北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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6.2 等差数列
考点1 等差数列及其前n项和
1.（2023全国甲文，5）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （
）
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，所以 ．
故选：C.
2.（2023全国乙理，10）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 （ ）
A. －1 B. C. 0 D.
【答案】B北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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【解析】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
， 则 在 中 ， 或
，
于是有 ，即有 ，解得 ，所以 ，
.
故选：B
a
3.(2021北京,6,4分)已知{a
n
}和{b
n
}是两个等差数列,且
k
(1≤k≤5)是常数,若a
1
=288,a
5
=96,b
1
=192,则b
3
b
k
的值为 ( )
A.64 B.100 C.128 D.132
答案
C 命题意图:本题以定义新运算为出题背景,考查等差数列的性质,考查学生的运算求解能力,考
查的核心素养是逻辑推理及数学运算,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求.
a
解题思路:解法一:因为{a n }是等差数列,所以2a 3 =a 1 +a 5 =288+96,所以a 3 =192,又因为当1≤k≤5时, k 是常值,
b
k
所以 a 3= a 1 ,即192 = 288,从而b 3 =128.
b b b 192
3 1 3
解法二:由题意可知 a 1= a 5 ,则b 5 =64,又{b n }是等差数列,所以b 3 = b 1 +b 5= 192+64=128.
b b 2 2
1 5北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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4.(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称
为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD,CC,BB,AA 是举,
1 1 1 1
DD CC BB A A
OD
1
,DC
1
,CB
1
,BA
1
是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 1=0.5, 1=k
1
, 1=k
2
, 1=k
3
.已知
OD DC CB BA
1 1 1 1
k,k,k 成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k= ( )
1 2 3 3
图1
图2
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
答案
D 令OD=DC=CB=BA=a,
1 1 1 1
则CC=ka,BB=ka,AA=ka,DD=0.5a,
1 1 1 2 1 3 1
所以 A 的坐标为 ( 4 a , k a + k a + k a +0 . 5 a ),
1 2 3
k a+k a+k a+0.5a k +k +k +0.5
所以k = 1 2 3 = 1 2 3 =0.725,
OA
4a 4
所以k+k+k+0.5=2.9.
1 2 3
因为k,k,k 成公差为0.1的等差数列,
1 2 3
所以k+k+k+0.5=3k-0.3+0.5=2.9,
1 2 3 3
所以k=0.9,故选D.
3
5.(2020课标Ⅱ理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石
板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇
面形石板(不含天心石) ( )
A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块
答案
C 由题意可设每层有n个环,则三层共有3n个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a=9为首
1
项,9为公差的等差数列{a},且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S,中层总数为S,下层总数为
n 1 2
S,∴S-S=[ n(n−1) ] [ n(n−1) ]=9n2=729,解得n=9(负值
3 3 2 9(2n+1)·n+ ×9 − 9(n+1)·n+ ×9
2 2
舍去).
27×26
则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+ ×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3 402(块).故选C.
2
6.(2015课标Ⅱ文,5,5分)设S 是等差数列{a}的前n项和.若a+a+a=3,则S=( )
n n 1 3 5 5
A.5 B.7 C.9 D.11
答案 A ∵{a}为等差数列,∴a+a=2a,
n 1 5 3
得3a=3,则a=1,
3 3
5(a +a )
1 5
∴S= =5a=5,故选A.
5 3
2
7.(2015课标Ⅰ文,7,5分)已知{a}是公差为1的等差数列,S 为{a}的前n项和.若S=4S,则a =( )
n n n 8 4 10
17 19
A. B. C.10 D.12
2 2
答案 B 由S
8
=4S
4
得8a
1
+8×7×1=4×(
4a +
4×3
×1
),解得a
1
=1,∴a
10
=a
1
+9d=19,故选B.
2 1 2 2 2
评析 本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.
8.(2015浙江理,3,5分)已知{a}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S.若a,a,a 成等比数列,则( )
n n 3 4 8
A.ad>0,dS>0 B.ad<0,dS<0
1 4 1 4
C.ad>0,dS<0 D.ad<0,dS>0
1 4 1 4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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5 5
答案 B 由a2=aa,得(a+2d)(a+7d)=(a+3d)2,整理得d(5d+3a)=0,又d≠0,∴a=- d,则ad=- d2<0,又
4 3 8 1 1 1 1 1 3 1 3
2 2
∵S=4a+6d=- d,∴dS=- d2<0,故选B.
4 1 4
3 3
9.(2013课标Ⅰ理,7,5分)设等差数列{a}的前n项和为S,若S =-2,S =0,S =3,则m=( )
n n m-1 m m+1
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C 解法一:∵S =-2,S =0,S =3,∴a =S -S =2,a =S -S =3,∴公差d=a -a =1,由S=na+
m-1 m m+1 m m m-1 m+1 m+1 m m+1 m n 1
n(n−1) n(n−1)
d=na+ ,
1
2 2
{
m(m−1)
ma + =0,①
1 2
得
(m−1)(m−2)
(m−1)a + =−2.②
1 2
1−m
由①得a= ,代入②可得m=5.
1
2
解法二:∵数列{a}为等差数列,且前n项和为S,
n n
∴数列{S
n
}也为等差数列.
n
S S 2S −2 3
m−1 m+1 m
∴ + = ,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.
m−1 m+1 m m−1 m+1
10.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{a}前9项的和为27,a =8,则a =( )
n 10 100
A.100 B.99 C.98 D.97
{ 9×8
S =9a + d=27,
答案 C 设{a n }的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 9 1 2 解得
a =a +9d=8,
10 1
{a =−1,a=a+(n-1)d=n-2,∴a =100-2=98.故选C.
1 n 1 100
d=1,
思路分析 用a,d表示S,a ,列方程组求出a,d,从而可求得a .
1 9 10 1 100
11.(2022全国乙文,13,5分)记S 为等差数列{a}的前n项和.若2S=3S+6,则公差d= .
n n 3 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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答案
2
解析
∵2S=3S+6,∴2(3a+3d)=3(2a+d)+6,即6d=3d+6,解得d=2.
3 2 1 1
12.(2014天津理,11,5分)设{a}是首项为a,公差为-1的等差数列,S 为其前n项和.若S,S,S 成等比数列,则a
n 1 n 1 2 4 1
的值为 .
1
答案 -
2
1
解析 S=a,S=2a-1,S=4a-6.故(2a-1)2=a×(4a-6),解得a=- .
1 1 2 1 4 1 1 1 1 1
2
13.(2013课标Ⅱ理,16,5分)等差数列{a}的前n项和为S.已知S =0,S =25,则nS 的最小值为 .
n n 10 15 n
答案 -49
解析 由S n =na 1 + n(n−1)d得 { 10a 1 +45d=0,
2 15a +105d=25,
1
2
解得a=-3,d= ,
1
3
n(n−1) 2 1
则S=-3n+ · = (n2-10n),
n 2 3 3
1
所以nS= (n3-10n2),
n
3
1
令f(x)= (x3-10x2),
3
则 f '(x)=x2-20x=x( 20),当x∈( 20)时, f(x)递减,
x− 1,
3 3 3
当x∈(20 )时, f(x)递增,又6<20<7, f(6)=-48,
,+∞
3 3
f(7)=-49,所以nS 的最小值为-49.
n
评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n的取值范围.
14.（2023全国乙文，18）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
15.（2023课标I，20） 设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数
列 的前 项和．
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【解析】（1） ， ，解得 ，
，
