文档内容
第 05 讲 空间向量及其应用
目录
01 考情透视·目标导航..................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..................................................................................................................................................4
知识点1：空间向量及其加减运算.............................................................................................................................4
知识点2：空间向量的数乘运算..................................................................................................................................5
知识点3：空间向量的数量积运算.............................................................................................................................6
知识点4：空间向量的坐标运算及应用.....................................................................................................................7
知识点5：向量法证明平行、垂直.............................................................................................................................7
知识点6：空间角公式..................................................................................................................................................9
知识点7：空间中的距离............................................................................................................................................10
解题方法总结...............................................................................................................................................................11
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算..........................................................................................................11
题型二：空间共线向量定理的应用..........................................................................................................................13
题型三：空间向量的数量积运算..............................................................................................................................14
题型四：三点共线问题..............................................................................................................................................16
题型五：多点共面问题..............................................................................................................................................18
题型六：证明直线和直线平行..................................................................................................................................21
题型七：证明直线和平面平行..................................................................................................................................22
题型八：证明平面与平面平行..................................................................................................................................23
题型九：证明直线与直线垂直..................................................................................................................................25
题型十：证明直线与平面垂直..................................................................................................................................26
题型十一：证明平面和平面垂直..............................................................................................................................27
题型十二：求两异面直线所成角..............................................................................................................................28
题型十三：求直线与平面所成角..............................................................................................................................30
题型十四：求平面与平面所成角..............................................................................................................................32
题型十五：求点面距、线面距、面面距..................................................................................................................35
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离..........................................................................................................37
04真题练习·命题洞见................................................................................................................................................39
05课本典例·高考素材................................................................................................................................................40
06易错分析·答题模板................................................................................................................................................42
易错点：计算线面角出错..........................................................................................................................................42
答题模板：用向量法求空间角..................................................................................................................................43考点要求 考题统计 考情分析
空间向量解立体几何一般以解答题形
（1）空间向量的线性运算
2024年I卷第17题，15分 式为主,每年必考,一般12分.以解答题为
（2）空间向量基本定理及
2024年II卷第17题，15分 主,难度中等,可灵活选择运用向量方法与
其应用
2023年I卷第18题，12分 综合几何方法,从不同角度解决立体几何
（3）向量法证明平行、垂
2023年II卷第20题，12分 问题,通过对比体会向量方法的优越性.选
直
2022年I卷第19题，12分 择题和填空题一般不用空间向量法.但要
（4）向量法求空间角
2022年II卷第20题，12分 理解向量基本定理的本质,感悟“基底”
（5）空间距离
的思想,并运用它解决立体几何中的问题.
复习目标：
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐
标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的
数量积判断向量的共线和垂直.
（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一
些简单定理．
（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题
的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识点1：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可
用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 的起点是 ，终点是 ，则向量 也可以记作
，其模记为 或 ．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作 ．当有向线段的起点 与终点 重合时， ．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．
（4）空间向量的加法和减法运算
① ， ．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
【诊断自测】如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ，
则下列向量中与 相等的是（ ）A． B．
C． D．
知识点2：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数 与空间向量 的乘积 称为向量的数乘运算．当 时， 与向量 方向相同；当 时，
向量 与向量 方向相反． 的长度是 的长度的 倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
， ．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，
平行于 ，记作 ．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使 ．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示， 为经过已知点 且平行于已知非零向量 的直线．对空间任意一点 ，点 在直线
上的充要条件是存在实数 ，使 ①，其中向量 叫做直线 的方向向量，在 上取 ，
则式①可化为 ②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当 ，即点 是线段 的中点时， ，此
式叫做线段 的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面 与向量 ，作 ，如果直线 平行于平面 或在平面 内，则说明
向量 平行于平面 ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理
如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，
使 ．
推论：①空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 ；或
对空间任意一点 ，有 ，该式称为空间平面 的向量表达式．
②已知空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，满足向量关系式 （其中
）的点 与点 ， ， 共面；反之也成立．
【诊断自测】已知点 ， ， ，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是
（ ）
A． ，3 B． ，2 C．1，3 D． ，2
知识点3：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 的夹角，
记作 ，通常规定 ，如果 ，那么向量 ， 互相垂直，记作 ．
（2）数量积定义
已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ，即 ．
零向量与任何向量的数量积为0，特别地， ．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
， （交换律）；
（分配律）．
【诊断自测】已知正四面体 ，底面边长为2，侧棱 中点为E，则 ．知识点4：空间向量的坐标运算及应用
（1）设 ， ，则 ；
；
；
；
；
．
（2）设 ， ，则 ．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知 ， ，则 ；
；
；
；
②已知 ， ，则 ，
或者 ．其中 表示 与 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量 在向量 上的投影为 ．
【诊断自测】已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
知识点5：向量法证明平行、垂直
（1）平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果
，那么向量 叫做平面 的法向量．
注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的法向量，向量
是与平面平行或在平面内，则有 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 ；
第二步：那么平面法向量 ，满足 ．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
（3）平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ．
【诊断自测】如图所示，四边形 为矩形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ，
， 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
知识点6：空间角公式
（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大
小，则 ．
（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具
体情况判断相等或互补），其中 ．
【诊断自测】如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明： 平面 .
(2)求 与平面 所成角的正弦值.知识点7：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质
直接计算．
如图，设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在
上的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两
异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ．
【诊断自测】如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，
若M、N分别为棱 、 的中点，O为 中点．(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点N到平面 的距离．
解题方法总结
用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可
以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简
单．
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进
而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便
于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三
条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
【典例1-1】如图，在空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且
， 为 的中点，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】如图，在四面体 中， 分别为 的中点， 为 的重心，则
（ ）A．
B．
C．
D．
【方法技巧】
空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向
量的运算法则．
【变式1-1】如图，在梯形 中， ，且 ，点 为空间内任意一点，设
， ，则向量 =（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱 的底面为梯形，
，若 平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．【变式1-3】如图，OABC是四面体，G是 的重心， 是OG上一点，且 ，则
（ ）
A． B． =
C． = D． =
【变式1-4】如图，在四面体 中， ， ， ， ， ， ，
M为 的重心，N为 的外心，则 （ ）
A． B．
C． D．
题型二：空间共线向量定理的应用
【典例2-1】若空间四点 满足 ，则（ ）
A． 直线
B． 直线
C．点P可能在直线 上，也可能不在直线 上
D． 直线 ，且【典例2-2】设 ， 是空间两个不共线的非零向量，已知 ， ，
，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【方法技巧】
空间共线向量定理： ．
利用此定理可解决立体几何中的平行问题．
【变式2-1】已知向量 ， ，若 ， ， 三点共线，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【变式2-2】在四面体 中，E为 的中点，G为平面 的重心．若 与平面 交于点
F，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知空间向量 ， ，且 ， ， ，则一定共线的
三点是（ ）
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
【变式2-4】在正方体 中，点E在对角线 上，且 ，点F在棱 上，
若A、E、F三点共线，则 ．
题型三：空间向量的数量积运算
【典例3-1】已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为
1、1、4，则 的取值范围为
【典例3-2】已知空间向量 ， ， ，则 ．
【方法技巧】
；
求模长时，可根据 ；求空间向量夹角时，可先求其余弦值 ．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数
量积是否为0，即 ．
为锐角 ； 为钝角 ．由此，通常通过计算 的值来判断两向量夹角是
锐角还是钝角．
【变式3-1】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 （ ）
A．1 B．－1 C． D．
【变式3-2】设O为坐标原点，向量 ， ， ，点Q在直线OP上运
动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱 （如图所示），点 是正方
形A B C D 的中心，则 （ ）
1 1 1 1
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-4】有一长方形的纸片 ， 的长度为 ， 的长度为 ，现沿它的一条对角线
把它折成直二面角，则折叠后 （ ）
A． B． C． D．【变式3-5】（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体 中，已知
， ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【变式3-6】（多选题）空间直角坐标系中，已知 ， ， ，
，则（ ）
A．
B． 是等腰直角三角形
C．与 平行的单位向量的坐标为 或
D． 在 方向上的投影向量的坐标为
题型四：三点共线问题
【典例4-1】如图，在棱长均相等的平行六面体 中，用空间向量证明下列结论．
若 是棱 的中点， 是 上靠近点 的三等分点，求证： 三点共线．【典例4-2】如图，已知 分别为四面体 的面 与面 的重心， 为 上一点，
且 .设 .
(1)请用 表示 ；
(2)求证： 三点共线.
【方法技巧】
先构造共起点的向量 ， ，然后证明存在非零实数 ，使得 ．
【变式4-1】如图，在平行六面体 中，点 在对角线 上，且 ，点
在对角线 上，且 ．求证： 、 、 三点共线．
【变式4-2】如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且
.求证：B，G，N三点共线.题型五：多点共面问题
【典例5-1】在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量 ，若 共面，
则实数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
要证明多点（如 ， ， ， ）共面，可使用以下方法解题．
先作出从同一点出发的三个向量（如 ， ， ），然后证明存在两个实数 ，使得
.
【变式5-1】如图，已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 交于点 ， ， ，
底面 ， 分别为侧棱 的中点，点 在 上且 ．求证：
四点共面.
【变式5-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）如图，正四棱锥 的底面边长和高均为2，
E，F分别为 ， 的中点．(1)证明： ；
(2)若点M是线段 上的点，且 ，判断点M是否在平面 内，并证明你的结论；
【变式5-3】已知点 在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，实数 满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式5-4】在正四棱锥 中，若 ， ，平面 与棱 交于点 ，则
四棱锥 与四棱锥 的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】如图四棱锥 ，且 ，平面 平面
，且 是以 为直角的等腰直角三角形，其中 为棱 的中点，点 在棱 上，且
.求证： 四点共面.
【变式5-6】已知正三棱锥 的侧棱长为 ，过其底面中心 作动平面 交线段 于点 ，分别交 的延长线于点 ，求 的值．
【变式5-7】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在三棱柱 中， ，
，平面 平面 分别为 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)若平面 平面 ，且 ，求 的长度．
【变式5-8】如图，在边长为3的正方体 中，点P，Q，R分别在棱 ， ，
上，且 .（1）求点D到平面 的距离；
（2）若平面 与线段 的交点为N，求 的值.
题型六：证明直线和直线平行
【典例6-1】如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的
中点， 为 的中点， ，求证： ．
【典例6-2】已知棱长为1的正方体 在空间直角坐标系中的位置如图所示，
分别为棱 的中点，求证： .【方法技巧】
将证线线平行转化为证两向量共线．设 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为 ，则
.
【变式6-1】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，
求证： .
【变式6-2】在四棱锥 中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形． ，
，且 ， ， ．若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存
在一点F，使得MF与PC平行．
题型七：证明直线和平面平行
【典例7-1】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体
组合而成的，且 .
求证： 平面 ；【典例7-2】如图，在四棱锥 中，底面 满足 ， 底面 ，
且 ，E为 中点．求证： 面
【方法技巧】
（1）利用共面向量定理．设 为平面 内不共线的两个向量，证明存在两个实数 ，使得
，则 ．
（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．
（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．
【变式7-1】如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ，点 为
的中点.
求证： 平面 ；
【变式7-2】由四棱柱 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，四边形
是菱形， 为 与 的交点， 平面 .求证： 平面
题型八：证明平面与平面平行
【典例8-1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA
＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．【典例8-2】如图，在长方体 中， ， ， .求证：平面 平
面 .
【方法技巧】
（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．
（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．
【变式8-1】如图所示，正四棱 的底面边长1，侧棱长4， 中点为 ， 中点为
．求证：平面 平面 .
【变式8-2】如图，在长方体 中， ， ， .
(1)求证：平面 平面 .
(2)线段 上是否存在点P，使得 平面 ？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.题型九：证明直线与直线垂直
【典例9-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥 中， ，
， ， 为线段 的中点．
证明： ．
【典例9-2】如图，直三棱柱 中， ， ， ， ， 是
的中点．
(1)求直线 的一个方向向量；
(2)求证： ．
【方法技巧】
设直线 的方向向量为 ，则 .
【变式9-1】在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， ， ， 为
的中点，二面角 为直二面角.求证： .
【变式9-2】如图，在多面体 中， 都是等边三角形，
平面 为 的中点.证明：题型十：证明直线与平面垂直
【典例10-1】如图，在正三棱柱 中， 分别是 的中点．
在线段 上是否存在一点Q，使 平面 ？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由．
【典例10-2】如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
.当 时，求证： 平面 ；
【方法技巧】
（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直．
（2）证明直线和平面内的任一直线垂直．
（3）转化为证明直线与平面的法向量共线．
【变式10-1】如图， 为正方体．证明： 平面 ；
【变式10-2】如图，在三棱锥 中， ， ，点 ， 分别是 ， 的
中点. 底面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)当 取何值时， 在平面 内的射影恰好为 的重心？
题型十一：证明平面和平面垂直
【典例11-1】如图，直四棱柱 的底面 为平行四边形， ， ，
， ， 是 的中点．平面 满足：直线 平面 ，直线 平面 ．求证：平面
平面
【典例11-2】如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， .证明：
平面 平面【方法技巧】
（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直
（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面．
【变式11-1】如图所示，在直三棱柱 中， 分别为棱
的中点．证明：平面 平面 ．
【变式11-2】平面上两个等腰直角 和 ， 既是 的斜边又是 的直角边，沿
边折叠使得平面 平面 ， 为斜边 的中点．
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
题型十二：求两异面直线所成角
【典例12-1】如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， 为等腰直角三角形，
，平面 平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．【典例12-2】在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱
称为堑堵．已知在堑堵 中， ， ， ，若直线 与直线 所成角
为 ，则 ( )
A． B．2 C． D．
【方法技巧】
设两异面直线a和b的方向向量为 和 ，利用求角余弦公式可求得 和 的夹角，由于两向量所成
角 的范围是 ，而两异面直线所成角 的范围是 ．所以 .
【变式12-1】（2024·辽宁抚顺·三模）在直三棱柱 中， ，
为 的中点，点 满足 ，则异面直线 所成角的余弦值为 ．
【变式12-2】（2024·高三·四川德阳·期末）正四面体 中， 、 分别是 和 的中点，则
和 所成角的大小是 .
【变式12-3】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平行六面体 中，
， .
(1)求证：四边形 为正方形；
(2)求体对角线 的长度；
(3)求异面直线 与 所成角的余弦值.
【变式12-4】（2024·高三·江苏南京·期中）如图，矩形 所在平面与 所在平面垂直，
，
(1)证明： 平面 ；(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值是 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.
【变式12-5】如图 ，在 中， 分别为 的中点， 为 的中点，AB=AC=2√5，
.将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，如图 ．
(1)求证： ．
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由．
题型十三：求直线与平面所成角
【典例13-1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱 的底面是正方形， ，
，点 在底面 的射影为 中点H，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【典例13-2】如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ．设平面 与平面
的交线为l．若 ，Q为l上的点，则PB与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
【方法技巧】
设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为 与 所成角的大小，则
．
【变式13-1】如图，AB是圆的直径，平面PAC 面ACB，且AP AC．(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.
【变式13-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
分别为线段 上一点， .
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【变式13-3】（2024·广西桂林·模拟预测）如图，几何体 中， 和 均为等边三角
形，平面 平面 ， 为 中点．
(1)证明： 与 不是异面直线；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【变式13-4】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台
中， 分别为 的中点， ，侧面 与底面 所成角为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【变式13-5】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 为菱形，现沿
进行翻折，使得 平面 ，过点 作 ，且 ，连接 ，所得图形如
图②所示，其中 为线段 的中点，连接 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
题型十四：求平面与平面所成角
【典例14-1】（2024·海南·模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，点 在平
面 内的射影恰为点 ，直线 ， 交于点 .
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【典例14-2】（2024·山西太原·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
， ， .(1)点 在侧棱 上，且 平面 ，确定 在侧棱 上的位置；
(2)若平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
【方法技巧】
（1）在平面 内， ，在平面β内， （ 是交线 的方向向量），其方向如图所示，则二面
角 的平面角的余弦值为 ．
（2）设 是二面角 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二
面角的外侧，则二面角 的余弦值为 ．
【变式14-1】（2024·安徽安庆·三模）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面
ABC，△ABC和△ACD均为正三角形， ， ，点F在棱AC上.
(1)若BF∥平面CDE，求CF的长；
(2)若F是棱AC的中点，求二面角 的正弦值.
【变式14-2】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥 的底面 是梯形，
平面 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点E，使得二面角 的余弦值为 .若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由.
【变式14-3】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 中， ， ，
，把梯形 绕 旋转至 ， ， 分别为 ， 中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 余弦的最小值．
【变式14-4】（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为 的中点，
平面 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ．
（i）求证： 平面 ；
（ii）设平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【变式14-5】由四棱柱 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，四边形
是菱形， 为 与 的交点， 平面 .(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为 ，求平面 与平面 夹角的大小.
题型十五：求点面距、线面距、面面距
【典例15-1】如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 底面 ，
， 、 、 分别是 、 、 的中点．求：
(1)直线 与平面 的距离；
(2)平面 与平面 的距离．
【典例15-2】（2024·广西柳州·一模）如图 的外接圆 的直径 ， 垂直于圆 所在的
平面， ， ， ， 为 上的点.
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点时，求点 到平面 的距离.平面 ， 平面 ， ；
， ，
【方法技巧】
如图所示，平面 的法向量为 ，点 是平面 内一点，点 是平面 外的任意一点，则点 到平
面 的距离 ，就等于向量 在法向量 方向上的投影的绝对值，即 或
【变式15-1】已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离．
【变式15-2】（2024·山西吕梁·三模）如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径，
为底面圆 的内接正三角形，且 的边长为 ，点 在母线 上，且 ， .
(1)求证： ，并求三棱锥 的体积；
(2)若点 为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.题型十六：点到直线距离、异面直线的距离
【典例16-1】在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面 平面 ，活动弹
子 分别在正方形对角线 ， 上移动，则 长度的最小值是 ．
【典例16-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点 ， ， ，
则点O到直线 的距离为 .
【方法技巧】
设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在 上
的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两异面
直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
【变式16-1】如图，多面体 是由长方体一分为二得到的， ， ，
，点D是 中点，则异面直线 与 的距离是 ．
【变式16-2】已知棱长为2的正四面体 中， 的一条高为 ，求 与 间的距离．
【变式16-3】（2024·高三·河北沧州·期末）已知正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，P，Q分别为线段 ， 上的动点，则 的最小值为 .
【变式16-4】（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别
是棱 上的动点，且 ．
(1)求证： ；
(2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面BEF夹角的正切值及点 到直线 的距
离．
【变式16-5】（2024·江苏南京·二模）在梯形 中， ， ， ，
，如图1．现将 沿对角线 折成直二面角 ，如图2，点 在线段 上．
(1)求证： ；
(2)若点 到直线 的距离为 ，求 的值．
1．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，
存在不全为0的实数 ，使得 ．已知 ，则 的充分条件
是（ ）
A． B．
C． D．2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，
则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
3．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）在正三棱柱 中， ，点 满足
⃑BP=λ⃑BC+μ⃑BB ，其中 ，μ∈[0,1]，则（ ）
1
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
4．（2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷））如图，以长方体 的顶点
为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则
的坐标为
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版））如图，已知平面四边形
ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所
成角的余弦的最大值是 ．1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．
活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记
．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
2．在空间直角坐标系中，已知向量 ，点 ，点 ．
（1）若直线l经过点 ，且以 为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：
（2）若平面 经过点 ，且以 为法向量，P是平面 内的任意一点，求证：
．
3．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，M是AB的中点，N是
的中点，P是 与 的交点．在线段 上是否存在点Q，使得 平面 ？
4．如图，正方体 的棱长为1，M是棱 的中点，O是 的中点．求证：OM分别与异
面直线 ， 垂直，并求OM的长．5．如图，已知正方体 的棱长为1，Q为 的中点，点P在棱 上， ．求
平面ABCD与平面BQP的夹角的余弦值．
6．如图，在正方体 中，E，F，G，H，K，L分别是AB， ， ， ， ，DA
各棱的中点．
（1）求证： 平面EFGHKL；
（2）求 与平面EFGHKL所成角的余弦值．
易错点：计算线面角出错
易错分析： 计算线面角时出错，常见原因包括：1. 对线面角概念理解不清，错误地将直线与平面上
任意直线的夹角视为线面角；2. 在利用向量法计算时，未正确设置平面的法向量和直线的方向向量，导致计算结果偏离实际；3. 忽视线面角的取值范围，错误地计算了钝角或超出规定范围的角；4. 计算过程中
存在符号错误或计算失误，影响最终结果的准确性。因此，在计算线面角时需仔细理解概念，正确设置向
量，并仔细检查计算过程。
【易错题1】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，在正四棱台 中，
.
(1)证明： ；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 的夹角的正弦值.
【易错题2】在长方体 中，已知异面直线 与AD， 与AB所成角的大小分别为60°
和45°，则直线 和平面 所成的角的余弦值为 ．
答题模板：用向量法求空间角
1、模板解决思路
用向量法求空间角的方法一般都是先确定两个向量（直线的方向向量或平面的法向量），然后求这两
个向量夹角的余弦值。
2、模板解决步骤
第一步：我们需要根据题目的描述，选择一个合适的点作为原点，并建立空间直角坐标系。
第二步：我们需要求出与所求角相关的直线的方向向量或平面的法向量。
第三步：我们可以利用向量的夹角公式来求出它们之间的夹角的余弦值。
第四步：我们根据得到的向量夹角的余弦值，可以确定所求角的值或其三角函数值。
【典型例题1】如图，正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则 ，【典型例题2】已知正四棱柱 的底面边长与侧棱长之比为 ，则平面 与平面
夹角的余弦值为 ．
