文档内容
重难点突破 10 圆锥曲线中的向量与共线问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：向量的单共线........................................................................................................................2
题型二：向量的双共线........................................................................................................................4
题型三：三点共线问题........................................................................................................................6
题型四：向量中的数量积问题............................................................................................................8
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量......................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................11首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的
坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共
线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线
性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
题型一：向量的单共线
【典例1-1】已知椭圆 的右焦点为F，点A，B在C上，且 .当 时，
.
(1)求C的方程；
(2)已知异于F的动点P，使得 .
（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：
（ii）若A，B，P三点不共线，且 ，求 面积的最大值.
【典例1-2】（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆 的左右焦点为 ，短轴长
为 为 上一点， 为 的重心.(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 上不同三点 ，满足 ，且 成等差数列，线段 中垂线交 轴于
点，求点 纵坐标的取值范围；
(3)直线 与 交于 点，交 轴于 点，若 ，求实数 的取值范围.
【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）已知点 和直线 : ，动点 与定点 的距离和
到定直线 的距离的比是常数 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知 ，过点 作直线 交 于 ， 两点，若 ，求 的斜率 的值.
【变式1-2】设直线l： 与椭圆 相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点
F．
(1)证明： ；
(2)若F是椭圆的一个焦点，且 ，求椭圆的方程．
【变式1-3】已知点 ，椭圆 上的两点 ．满足 ，则当 为何值时，
点 横坐标的绝对值最大？【变式1-4】在直角坐标系 中，已知 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点 为弦AB的中
点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若 ，求 的最大值．
题型二：向量的双共线
【典例2-1】如图，已知圆 ，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为
，线段CH的垂直平分线交线段TC于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若 ， ，试探究
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)过点 作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得 .且 ，点D为
垂足，证明：存在定点F，使得 为定值.【典例2-2】已知椭圆 的方程为 ， 分别是 的左、右焦点，A是 的上顶点.
(1)设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，求 的周长；
(2)给定点 ，直线 分别与椭圆 交于另一点 ，求 的面积；
(3)设 是椭圆 上的一点， 是 轴上一点，若点 满足 ， ，且点 在椭
圆 上，求 的最大值，并求出此时点 的坐标.
【变式2-1】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是椭圆 上三个不同的动
点（点 不在 轴上），满足 ，且 与 的周长的比值为 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)判断 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【变式2-2】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知椭圆 经过 ， 两点. 为
坐标原点，且 的面积为 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ，
.且直线 ， 分别与 轴交于点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若以 为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程；
(3)设 ， ，求 的取值范围.
【变式2-3】（2024·辽宁·三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆 的短轴长为 ，离心率为 . 点 为椭圆 上的一个动点，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线
与椭圆 的另一个交点为 ，设 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 为定值；
题型三：三点共线问题
【典例3-1】（2024·高三·山东威海·期末）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，
右焦点 的坐标为 ，过点 作直线交 于 ， 两点（异于 ， ），当 垂直于 轴时， .
(1)求 的标准方程；
(2)直线 交直线 于点 ，证明： ， ， 三点共线.
【典例3-2】（2024·高三·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系 中，点 在椭圆
上，过点 的直线 的方程为 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 与点 关于直线 对称，求证：点 三点共线．
【变式3-1】（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，
点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点 的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点 ，求证:三点共线.
【变式3-2】已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ，过 的直线 交 的右支于 两点，连结 交直线 于点 ，
求证： 三点共线．
【变式3-3】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点
与抛物线 的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左焦点为 ，过点 的直线l与椭圆C交于 两点，A关于x轴对称的点为M，证
明： 三点共线.
【变式3-4】（2024·上海松江·一模）已知椭圆 ： 的长轴长为 ，离心率为 ，
斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点A，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 的方程为： ，椭圆上点 关于直线 的对称点 （与 不重合）在椭圆
上，求 的值；
(3)设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若点 ， 和
点 三点共线，求 的值；题型四：向量中的数量积问题
【典例4-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左顶点为 ，离心率为
．
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，线段 的中点分别为 ， ．设过点 且垂直于
轴的直线为 ，若直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求 ．
【典例4-2】（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左、右
顶点分别为 为坐标原点， 为线段 的中点， 为椭圆上动点，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)延长 交椭圆于 ，若 ，求直线 的方程.
【变式4-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆 为坐标原点；
(1)求 的离心率 ；
(2)设点 ，点 在 上，求 的最大值和最小值；
(3)点 ，点 在直线 上，过点 且与 平行的直线 与 交于 两点；试探究：是否存在
常数 ，使得 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【变式4-2】（2024·福建厦门·二模）已知 ， ， 为平面上的一个动点.设直线 的斜
率分别为 ， ，且满足 .记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的轨迹方程；
(2)直线 ， 分别交动直线 于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 . 是否存在最大值？
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式4-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴的
两个端点为 ，且四边形 是边长为2的正方形. 分别是椭圆的左右顶点，动点 满足
，连接 ，交椭圆 于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证： 为定值.
【变式4-4】已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，过点 且斜率为 的直
线 交椭圆 于点 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若圆 是以 为圆心，1为半径的圆，连接 ，线段 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，使得
为定值，证明：点 在定直线上．
【变式4-5】（2024·高三·山东·开学考试）已知椭圆 ，且其右焦点为 ，过 点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 、 两点．
(1)设 为坐标原点，线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的取值范围；
若不存在，说明理由；
(2)过点 且不垂直于 轴的直线与椭圆交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ，试证明：直线
过定点．
题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量
【典例5-1】如图，已知椭圆 ，过椭圆 上第一象限的点 作椭圆的切线与 轴相交于 点，
是坐标原点，作 于 ，证明： 为定值.
【典例5-2】如图，已知抛物线 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 ， 两点，抛物线上
的点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， .
(1)求 的取值范围；
(2)过点 作直线 的垂线，垂足为 .求 的最大值.【变式5-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆的左顶点，过点 不与 轴重合的直线 交椭圆 于两点 ，直线 分别交直
线 于点 和点 ．求证：以 为直径的圆经过 轴上的两个定点．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点 在 轴上，点 在
上，长轴长与短轴长之比为 ．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设 为 的下顶点，过点 且斜率为 的直线与 相交于 两点，且点 在线段 上．若点
在线段 上， ，证明： ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明：线段 的中点 在直线 上；
(3)过点 作 轴的平行线，与直线 的交点为 ，证明：点 在以线段 为直径的圆上．2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为 ，上、
下顶点分别为 ，四边形 的内切圆 的半径为 ，过椭圆 上一点T引圆 的两条切线
（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆 于点P，Q．
(1)求椭圆 的方程；
(2)试探究直线 与 的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
3．已知椭圆 的上、下顶点分别为 ，已知点 在直线 ： 上，且椭圆的离心
率 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 的中点，直线 交直线 于
点 ， 为线段 的中点，求 的值．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆 的离心率是双曲线 的离心率的
倒数，椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当过点 的动直线 与椭圆 相交于两个不同点 时，设 ，求 的取值范围.5．已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 ， ，点 是线段 上的点，且
，求点 的轨迹方程．
6．（2024·吉林长春·一模）椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦
长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
7．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 的距离之
比为 ，记 的轨迹为曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点， ．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： ；
(3)若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂线，
垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
8．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线 的左顶点为 ，直线 与的一条渐近线平行，且与 交于点 ，直线 的斜率为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知直线 与 交于 两点，问：是否存在满足 的点
？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
9．如图:双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作直线 交 轴于点 .
(1)当直线 平行于 的斜率大于 的渐近线 时，求直线 与 的距离；
(2)当直线 的斜率为 时，在 的右支上是否存在点 ，满足 ?若存在，求出 点的坐标；若不
存在，说明理由;
10．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右
焦点分别为 ， ， ，且 的渐近线方程为 ，直线 交双曲线 于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)当直线 过点 时，求 的取值范围.
11．已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点 的直线 交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
12．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆 ，过 的直线与圆 交于 两点，
过 作 的平行线交直线 于 点.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过 作两条互相垂直的直线 交曲线 于 交曲线 于 ，连接弦 的中点和 的中
点交曲线 于 ，若 ，求 的斜率.
13．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l： 分别与x轴，直线 交于点A，B，点P
是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且 .
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足 ，延长MA交C于点N，求 的最小值.
14．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，双曲线 ， ， 分别为
曲线 的左焦点和右焦点， 在双曲线的右支上运动， 的最小值为1，且双曲线 的离心率为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)当过 的动直线 与双曲线 相交于不同的点 ， 时，在线段 上取一点 ，满足
．证明：点 总在某定直线上．15．（2024·高三·山东临沂·期末）已知圆 ： 的圆心为 ，圆 ： 的
圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切，动圆的圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程：
(2)已知点 ，直线 不过 点并与曲线 交于 两点，且 ，直线 是否过定点？若过定点，
求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
16．在直角坐标平面中， 的两个顶点A，B的坐标分别为 ， ，两动点M，N满
足 ， ，向量 与 共线．
(1)求 的顶点C的轨迹方程；
(2)若过点 的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求 的取值范围．
17．（2024·贵州贵阳·三模）已知 为双曲线 的右顶点，过点 的直线 交 于D、E两
点.
(1)若 ，试求直线 的斜率;
(2)记双曲线 的两条渐近线分别为 ，过曲线 的右支上一点 作直线与 ， 分别交于M、N两点，且
M、N位于 轴右侧，若满足 ，求 的取值范围（ 为坐标原点）.
18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线 的右顶点为 ，双曲线 的左､右
焦点分别为 ，且 ，双曲线 的一条渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；(2)已知过点 的直线与双曲线 右支交于 两点，点 在线段 上，若存在实数 且 ，
使得 ，证明：直线 的斜率为定值.
