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第 05 讲 空间向量及其应用 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习）已知 是空间一个基底， ， ，一定可以与向量 ，
构成空间另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，在斜三棱柱 中，M为BC的中点，N为 靠近
的三等分点，设 ， ， ，则用 ， ， 表示 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南益阳·高二期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设 、 ，向量 ， ，
且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数 使得 ，且
，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
6．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体
的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线 的是（ ）A． B．
C． D．
7．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体 的棱长为6，点 为 的中点，点 为底
面A B C D 上的动点，满足 的点 的轨迹长度为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高二专题练习）已知 是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点 在正方体表面上运
动，则 的最大值为( )
A．4 B．12 C．8 D．6
二、多选题
9．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，在平行六面体 中，
，点 分别是棱 的中点，则下列说法中正确
的有（ ）A．
B．向量 共面
C．
D．若 ，则该平行六面体的高为
10．（2022·全国·高一）在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中
点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022·广东·清远市博爱学校高一阶段练习）已知 与 夹角为60°且 ， ，则 在 方向上
的投影向量是______．
12．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在三棱锥 中， ， 平面ABC， 于点
E，M是AC的中点， ，则 的最小值为______．四、解答题
13．（2022·湖北恩施·高二期末）在三棱台ABC－ABC 中，C C⊥平面ABC，AB⊥BC，且
1 1 1 1
AB=BC=C C=2AB，O为AC的中点，P是C C的中点.
1 1 1 1
(1)证明：平面ABC⊥平面POB；
1
14．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知在正方体 中，E，F，G分别是棱
的中点．
(1)证明： 与平面 不平行；
B 能力提升1．（多选）（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ∥ ，则 ∥
B． 是 共线的必要条件
C． 三点不共线，对空间任一点 ，若 ，则 四点共面
D．若 为空间四点，且有 （ 不共线），则 是 三点共线的
充要条件
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，已知 ， ，
且 ， ， ， .取BC的中点O，过点O作 于点Q，则（ ）
A． B．四棱锥 的体积为40
C． 平面 D．
3．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体 中，点 满足
，点 满足 ，则点 与平面 的位置关系是
______；当 最小且 最小时， ______．
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期末）如图所示的平行六面体 中，已知
， ， ， 为 上一点，且 ．若 ，则
的值为__；若 为棱 的中点， 平面 ，则 的值为__．
C 综合素养
1．（2022·福建厦门·高二期末）如图，在正方体 中， 为 的中点，点 在棱 上．(1)若 ，证明： 与平面 不垂直；
2．（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点， （ 为常数，且 ）．
(1)若直线BF∥平面ACE，求实数 的值；
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱 中，底面是边长为1的菱形，侧棱长
为2．（1） 与 能否垂直？说明理由；
