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第 05 讲 空间向量及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体 中，E，F分别是 的中点，则直线
与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ）.
A． B． C． D．
3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量 与 的向量积是 一个向量，它的模
，它的方向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则（如图），在棱长
为2的正四面体 中，则 （ ）
A． B． . C． D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 为正方形，
是正三角形， ，平面 平面 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体 ，Q为上底面A B C D 所在平面内的动点，当
1 1 1 1
直线 与 的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，
则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报
时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在
某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正
四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），
已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟
面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知
，则当点 到平面 的距离最小时，直线 与平
面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量 ， ， 两两夹角均为 ，
， ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 、 、 、 四点可以共面
B．
C．
D．
10．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体 ， ，
是线段 上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（ ）A．该长方体外接球表面积为 B．三棱锥 的体积为定值
C．当 时， D． 的最大值为1
11．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱
中， 分别是 的中点，设 ， ，则（ ）
A．当 时，
B． ，使得 平面
C． ，使得 平面
D．当 时， 与平面 所成角为
12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体 中，
是棱 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．对于任意点 ， 到 的距离的取值范围为
D．对于任意点 ， 都是钝角三角形
13．（2023·河北·统考模拟预测）点 、 分别是正四面体ABCD棱 、 的中点，则
．14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为
，则其体积为 ．
15．（2023·北京大兴·校考三模）如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ，
上的动点.给出下列四个结论:
①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
④任意点 ，存在点 ，满足 .
其中所有正确结论的序号是 .
16．（2023·全国·模拟预测）已知长方体 中， ，点 是线段 上靠近点
的三等分点，记直线 的夹角为 ，直线 的夹角为 ，直线 的夹角为 ，则
之间的大小关系为 ．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）
17．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形，
， ， ， 是棱 上的中点.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台 中， 为 中点， ， ，
．(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积．
19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
，且 平面 ， ， ， 分别是 ， 的中点， 是 上一点，且
.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
20．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台 中， ，
， ， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
21．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为
底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
1．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， ， 分
别在棱 ， ， ， 上， ， ， ．（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥 中， ， ， ，
为 中点．
（1）证明 ；
（2）点 满足 ，求二面角 的正弦值．
3．（2023•北京）如图，四面体 中， ， ， 平面 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．4．（2022•新高考Ⅱ）如图， 是三棱锥 的高， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
5．（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．6．（2022•浙江）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ，
， ，二面角 的平面角为 ．设 ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
7．（2022•甲卷）在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
．
（1）证明： ；
（2）求 与平面 所成的角的正弦值．8．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱 的体积为4，△ 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；
（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
9．（2022•天津）直三棱柱 中， ， ， ， 为 中点，
为 中点， 为 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 的正弦值；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值．10．（2021•甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为
和 的中点， 为棱 上的点， ．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？
11．（2023•乙卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
， ， ， 的中点分别为 ， ， ，点 在 上， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）求二面角 的正弦值．
