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回扣 3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．终边相同角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ { β | β ＝ α ＋ k ·360° ， k ∈ Z } ，即
任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：
{ α | α ＝ k ·360° ， k ∈ Z } ．
(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：
{ α | α ＝ 180° ＋ k ·360° ， k ∈ Z } ．
(3)终边在x轴上的角的集合： { α | α ＝ k ·180° ， k ∈ Z } ．
(4)终边在y轴上的角的集合： { α | α ＝ 90° ＋ k ·180° ， k ∈ Z } ．
(5)终边在坐标轴上的角的集合： { α | α ＝ k ·90° ， k ∈ Z } ．
3．1弧度的角
在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
4．角度制与弧度制的换算
(1)1°＝ rad.
(2)1 rad＝°.
5．扇形的弧长和面积
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
相关公式：(1)l＝ | α | r .
(2)S＝lr＝ | α | r 2 .
6．利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y.
(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x.
(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
7．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±.
(2)商的关系：＝tan α.
8．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α π＋α －α π－α －α ＋α(k∈Z)
正弦 sin α － sin α － sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α － cos α cos α － cos α sin α － sin α
正切 tan α tan α － tan α － tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
9.三种三角函数的图象和性质
正弦函数 余弦函数 正切函数
y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域 [－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性) R
零点 {x|x＝kπ，k∈Z} {x|x＝＋kπ，k∈Z} {x|x＝kπ，k∈Z}
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
[－π＋2kπ，2kπ]
增区间 ，(k∈Z) ，(k∈Z)
单调性 (k∈Z)
减区间 (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
对称性
对称中心 (kπ，0) (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
10．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．
(3)图象变换
y＝sin x―――――――――→y＝sin(x＋φ)
―――――――――――→y＝sin(ωx＋φ)
―――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)．
11．三角恒等变换
(1) cos(α＋β)＝ cos α cos β － sin α sin β ，
cos(α－β)＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ，
sin(α＋β)＝ sin α cos β ＋ cos α sin β ，
sin(α－β)＝ sin α cos β － cos α sin β ，tan(α＋β)＝，
tan(α－β)＝.
(2)二倍角公式：
sin 2α＝ 2sin α cos α ，
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝2cos2α－1＝ 1 － 2sin 2 α ，
tan 2α＝.
(3)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
(4)辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，
其中tan φ＝.
12．正弦定理及其变形
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
13．余弦定理及其推论、变形
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，b2＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ，
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C .
推论：cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，
a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
14．面积公式
S ＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
△ABC
1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．
2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符
号化为正值后求解．
4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移
量为，而不是φ.
5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大
角”，避免增解．
