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第 2 讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC等于( )
A．1 B. C. D．3
2．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于( )
A. B. C. D.
3．(2022·榆林模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，b
－c＝1，cos A＝，则a等于( )
A．10 B．3 C. D.
4．已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )
A. B. C. D.
5．设角α，β的终边均不在坐标轴上，且tan(α－β)＋tan β＝tan α，则下列结论正确的是(
)
A．sin(α＋β)＝0 B．cos(α－β)＝1
C．sin2α＋sin2β＝1 D．sin2α＋cos2β＝1
6．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
7．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰
好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角
约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四
棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为( )
A．3米 B．4米
C．6(－1)米 D．3(＋1)米
8．(2022·济宁模拟)已知sin α－cos β＝3cos α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值
为( )A．－ B. C．－ D.
二、填空题
9．(2022·烟台模拟)若sin α＝cos，则tan 2α的值为________．
10．(2022·泰安模拟)已知sin＝，则sin＝________.
11.(2022·开封模拟)如图，某直径为5 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C
相距5海里，cos∠BAD＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为________海里；小岛B，C，D
所形成的三角形海域BCD的面积为________平方海里．
12．(2022·汝州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，cos 2C＝
cos 2A＋4sin2B，则△ABC面积的最大值为________．
三、解答题
13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c
为边长的三个正三角形的面积依次为S，S，S.已知S－S＋S＝，sin B＝.
1 2 3 1 2 3
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin Asin C＝，求b.
14．(2022·抚顺模拟)在①(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)；②cos2－cos Acos C＝；③＝tan A＋
tan B这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．
问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b＝2，________.
(1)求角B；
(2)求2a－c的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
