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第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一
象限角.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，
②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
答案 C
2.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角.
答案 B
3.(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于( )
A.－3 B.3 C. D.±3
解析 sin θ＝＝，解得m＝3.
答案 B
4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(
)
A.(－，) B.(－，－)
C.(－，－) D.(－，)
解析 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.
答案 A
5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值
范围是( )
A.(－2，3] B.(－2，3)
C.[－2，3) D.[－2，3]
解析 ∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴∴－2<a≤3.答案 A
6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧
度数为( )
A. B. C. D.2
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，∴α＝.
答案 C
7.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限
的角.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的
内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于
sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，
也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.
答案 A
8.(2016·合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边
在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得
cos2θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案 B
二、填空题
9.已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边
界)，则角α用集合可表示为________.
解析 在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，
所以，所求角的集合为(k∈Z).
答案 (k∈Z)
10.设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________.
解析 由已知P(cos α，sin α)，则Q(－cos α，－sin α).
答案 (－cos α，－sin α)
11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.
解析 设扇形半径为r，弧长为l，则
解得
答案
12.(2017·九江模拟)若390°角的终边上有一点P(a，3)，则a的值是________.
解析 tan 390°＝，又tan 390°＝tan(360°＋30°)＝tan 30°＝.∴＝，∴a＝3.
答案 3
13.已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长
到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan α＝( )
A.－1 B.1 C.－2 D.2
解析 圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan α
＝1.
答案 B
14.(2016·郑州一模)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，
则tan α等于( )
A. B. C.－ D.－
解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
答案 D
15.函数y＝的定义域为________.
解析 ∵2sin x－1≥0，∴sin x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈(k∈Z).
答案 (k∈Z)
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单 位圆的圆心的初始
位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在 (0，0)，圆在x轴上
沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1) 时，OP的坐标为
________.解析 如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ, Q为垂足.根据题意得
劣弧DP＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，
|CQ|＝cos＝sin 2，|PQ|＝sin＝－cos 2，
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，
所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，故OP＝(2－sin 2，1－cos 2).
答案 (2－sin 2，1－cos 2)
