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第 07 讲：第四章 三角函数（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·宁夏·银川二中高一期中）教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋
转多少弧度?（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针 ，其大小为 ，
故时针需要旋转 弧度，
故选：A.
2．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知角 的顶点与原点 重合，始边与x轴的非负半轴重合，
终边过点 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解： ，解得： ，故 ，
故选：A
3．（2022·辽宁葫芦岛·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
，
分子分母同除以 ，
，
解得：
故选：C
4．（2022·广西桂林·高一期中）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
对于A， 定义域为 ， ， 为奇函数，A错误；
对于B， 定义域为 ， ， 为偶函数，B正确；
对于C， 定义域为 ，即定义域关于原点对称， ，
为奇函数，C错误；
对于D， 定义域为 ， ， 为奇函数，D错误.
故选：B.
5．（2022·福建泉州·高二期中）函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
，
函数 为奇函数，排除选项D；
当 时， ， ，
，排除选项BC．
故选：A．
6．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））已知 都是锐角， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 都是锐角，所以 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，
，
故选：C.
7．（2022·贵州六盘水·高一期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：
“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定
大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深 ，锯道
，则图中 与弦 围成的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：设圆的半径为 ，则 ， ，
由勾股定理可得 ，即 ，
解得 ，所以 ， ，
所以 ，因此 .
故选：B
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知 ，（ ），若
函数在区间 内不存在对称轴，则 的范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
函数化简得 ，
由 ，
可得函数的对称轴为 ，
由题意知， 且 ，
即 ， ，若使该不等式组有解，
则需满足 ，即 ，又 ，
故 ，即 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，所以 ．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广西河池·高一期末）在 范围内，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
因为 ， ，
所以与 角终边相同的角是 和 ，
故选：AC．
10．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）为了得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 个单位长度
B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 个单位长度C．向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D．向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
【答案】AC
将函数 的图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 个单位
长度，可以得到函数 的图象，A正确.
将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 个单
位长度，可以得到函数 的图象，B不正确.
将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标
不变，可以得到函数 的图象，C正确.
将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标
不变，可以得到函数 ， D不正确.
故选：AC
11．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高一期中）给出下列命题中，正确的是（ ）
A．存在实数 ，使
B．存在实数 ，使
C．函数 是偶函数
D．若 ， 是第一象限的角，且 ，则
【答案】BC
对于 ，由 ，得 ，矛盾，错误；
对于 ，由 ，得 ， 即成立，正确；
对于 ， ，显然是偶函数，正确；
对于 ，取 ， ， ， 是第一象限的角，且 ，但 ，错误．故选：BC．
12．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（文））若 ，则 的值可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
由 ，可知 ，
当 ，即 时，即 时，
，
显然 不成立，故 ；
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
令 ，得 ，故 的值不可能为 .
故选：ABD.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·江西·高一阶段练习）已知 是奇函数，则 __________．（写出一个值即
可）
【答案】 （答案不唯一）
解：因为 是奇函数，所以 ， ，解得 ， ．
故答案为： （答案不唯一）
14．（2022·全国·高三专题练习）函数 的部分图象如图，则
___________.【答案】
由图可知 ， ，故 ，
将 代入解析式得 ，又 ，得 ，
故 ，
故答案为：
15．（2022·江苏·徐州市王杰中学高一阶段练习）已知 , ，则 的值
为________.
【答案】
……（1）
……（2）
由（1）+（2）得：
故答案为：
16．（2022·北京育才学校模拟预测）已知函数 在 有且仅有3个零点，则函
数 在 上存在_____个极小值点，请写出一个符合要求的正整数 的值______.
【答案】 1 3
， ，由条件可知 在区间 有3个零点，
由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点，
且 ，解得： ,
其中满足条件的一个正整数是3.
故答案为：1；3
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知 .
(1)化简 .
(2)已知 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2) .
(1) ；
(2)∵ ，
∴ .
18．（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）已知 是函数 的一个零点.
(1)求实数 的值；
(2)求 单调递减区间.
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ，所以
由题意可知 ，即 ，
即 ，解得 ．(2)解：由（1）可得 ，
函数 的递减区间为 ．
令 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 ．
19．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）如图，现要在一块半径为 ，圆心角为 的扇形白铁片
上剪出一个平行四边形 ，使点 在圆弧 上，点 在 上，点 在 上，设 ，平
行四边形 的面积为 .
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)求 的最大值及相应的 角．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时
(1)分别过 作 于 ， 于 ，则四边形 为矩形．
由扇形半径为1m，得 ， .
在 △ 中，
,
,， .
(2)由（1）得 .
∵ ，∴ ，∴
当 时， .
20．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）已知函数 ，若
__________．
条件①： ，且 在 时的最大值为 ；
条件②： ．
请写出你选择的条件，并求函数 在区间 上的最大值和最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①或选②结论相同，最大值为0；最小值为 ．
，其中 ，
若选①， ，解得 ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ；
若选②， ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， .
21．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出 在区间 上的图象；
(2)解不等式 .
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)完成表格如下：
00 2 0 0
在区间 上的图象如图所示：
(2)不等式 ，即 .
由 ，
解得 .
故不等式 的解集为 .
22．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）已知函数 的部分图
象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)先将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2
倍，得到 的图象.（i）若 ，当 时， 的值域为 ，求实数m的取值范围；
（ii）若不等式 对任意的 恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1) (2) ;
(1)根据函数 的部分图象可得： ，
，又因为 ，所以 ，所以
.
(2)由（1）知， ，先将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得： ，
再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 .
（i） ， ， ，所以 ，所以
.
（ii）不等式 对任意的 恒成立，令
，所以 ，所以上式：不等式
对任意的 恒成立，令
，对称轴为 ，① ， ，则 ，所以 .
② ， ，则 ，所以 .
故实数t的取值范围为： .
