北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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5.3 三角函数的图象和性质
考点1 三角函数的图象及其变换
( π) π
1.(2023全国甲理,10,5分)函数y=f(x)的图象由函数y=cos 2x+ 的图象向左平移
6 6
1 1
个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y= x- 的交点个数为 ( )
2 2
A.1 B.2 C.3 D.4
( π) π [ ( π) π]
答案 C 函数 y=cos 2x+ 的图象向左平移 个单位长度得 y=cos 2 x+ +
6 6 6 6
( π)
=cos 2x+ =-sin 2x的图象,即f(x)=-sin 2x的图象,
2
1 1
画出函数y=f(x)与y= x- 的图象如图,可得它们有3个交点,故选C.
2 2
( π)
2.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin 3x+ 图象上所有的点( )
5
π
A.向左平移 个单位长度
5
π
B.向右平移 个单位长度
5
π
C.向左平移 个单位长度
15
π
D.向右平移 个单位长度
15北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π) [ ( π )]
答案 D 因为y=2sin 3x+ =2sin 3 x+ ,所以把函数y=2sin
5 15
( π) π
3x+ 图象上所有的点向右平移 个单位长度,可以得到y=2sin 3x的图象,故选D.
5 15
( π) π
3.(2022全国甲文,5,5分)将函数f(x)=sin ωx+ (ω>0)的图象向左平移 个单位长度后得到曲线C,若
3 2
C关于y轴对称,则ω的最小值是 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
答案 C 设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),
[ ( π) π] ( πω π)
则g(x)=sin ω x+ + =sin ωx+ + ,
2 3 2 3
又曲线C关于y轴对称,
πω π π 1
∴ + = +kπ(k∈Z),∴ω=2k+ (k∈Z).
2 3 2 3
1
又ω>0,∴ω = .故选C.
min 3
4.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= ( )
( π) (π ) ( π) (5π )
A.sin x+ B.sin −2x C.cos 2x+ D.cos −2x
3 3 6 6
T 2π π π 2π 2π
答案 BC 由题图可知, = − = ,∴T=π,由T= 可知, =π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则
2 3 6 2 |ω| |ω|
(π ) (π ) π π
f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过 ,0 ,∴sin +φ =0,又∵ 是f(x)的下降零点,∴
6 3 6 3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2π 2π
+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ= +2kπ,k∈Z,不妨取φ= ,则f(x)=sin
3 3
( 2π) [( π) π] ( π)
2x+ =sin 2x+ + =cos 2x+ ,f(x)=sin
3 6 2 6
( 2π) [ (π )] (π )
2x+ =sin π− −2x =sin −2x ,故选BC.
3 3 3
π
5.(2016课标Ⅱ理,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为(
12
)
kπ π kπ π
A.x= - (k∈Z) B.x= + (k∈Z)
2 6 2 6
kπ π kπ π
C.x= - (k∈Z) D.x= + (k∈Z)
2 12 2 12
π [ ( π )]
答案 B 将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2sin 2 x+ =2sin
12 12
( π) π π kπ π kπ π
2x+
的图象,由2x+ =kπ+ (k∈Z),可得x= + (k∈Z).则平移后图象的对称轴为x= +
6 6 2 2 6 2 6
(k∈Z),故选B.
( π )
易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin
2x+
的图象.
12
( π) 1
6.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin
2x+
的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为(
6 4
)
( π) ( π)
A.y=2sin
2x+
B.y=2sin
2x+
4 3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π) ( π)
C.y=2sin 2x− D.y=2sin 2x−
4 3
π
答案 D 该函数的周期为π,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin
4
[ ( π) π] ( π)
2 x− + =2sin 2x− ,故选D.
4 6 3
π π
易错警示 三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x- ,而不是将2x变为2x- .
4 4
评析 本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.
( π)
7.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin 2x− 的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点( )
3
π
A.向左平行移动 个单位长度
3
π
B.向右平行移动 个单位长度
3
π
C.向左平行移动 个单位长度
6
π
D.向右平行移动 个单位长度
6
π [ ( π)] ( π)
答案 D 将y=sin 2x的图象向右平行移动 个单位长度得到y=sin 2 x− =sin 2x− 的图象,
6 6 3
故选D.
( π) [ ( π)]
评析 将y=sin 2x− 化为y=sin 2 x− 是解题的关键.
3 6
8.(2016课标Ⅱ文,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π) ( π)
A.y=2sin 2x− B.y=2sin 2x−
6 3
( π) ( π)
C.y=2sin
x+
D.y=2sin
x+
6 3
T π ( π) π (π )
答案 A 由题图可知A=2, = - − = ,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点 ,2 ,
2 3 6 2 3
( π ) 2π π π π
所以2sin 2× +φ =2,所以 +φ=2kπ+ ,k∈Z,即φ=2kπ- ,k∈Z,当k=0时,φ=- ,所以y=2sin
3 3 2 6 6
( π)
2x− ,故选A.
6
评析 本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式,其中A由函数最值确定,ω由周期确定,相邻的最高点
与最低点之间的水平距离为半个周期,φ通过确定点的坐标来求即可.
9.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
( 1 3)
A. kπ− ,kπ+ ,k∈Z
4 4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( 1 3)
B. 2kπ− ,2kπ+ ,k∈Z
4 4
( 1 3)
C. k− ,k+ ,k∈Z
4 4
( 1 3)
D. 2k− ,2k+ ,k∈Z
4 4
T 5 1 [ 3 5]
答案 D 由题图可知 = - =1,所以T=2.结合题图可知,在 − , (f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单
2 4 4 4 4
( 1 3) ( 1 3)
调递减区间为 − , .由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为 2k− ,2k+ ,
4 4 4 4
k∈Z,故选D.
(π )
10.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin
x+φ
+k,据
6
此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
(π )
答案 C 因为函数y=3sin
x+φ
+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为
6
3+5=8(m),选C.
评析 在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(ωx+φ)+k的函
数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.
11.(2014课标Ⅰ理,6,5分)
如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线
OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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π ( π)
答案 C 由题图可知:当x= 时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈ 0, 时,OM=cos x,设点M到
2 2
d
直线OP的距离为d,则 =sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,
OM
1 1
∴f(x)=sin xcos x= sin 2x≤ ,排除B,故选C.
2 2
π 5π
12.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x= 和x= 是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,
4 4
则φ=( )
π π π 3π
A. B. C. D.
4 3 2 4
2π (5 π) π π π
答案 A 由题意得 =2 π− ,∴ω=1, ∴f(x)=sin(x+φ),∴ +φ=kπ+ (k∈Z),φ=kπ+ (k∈Z),又
ω 4 4 4 2 4
π
0<φ<π,∴φ= ,故选A.
4
评析 本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.
( π) (π )
13.(2016北京,7,5分)将函数y=sin 2x− 图象上的点P ,t 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若
3 4
P'位于函数y=sin 2x的图象上,则( )
1 π √3 π
A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s的最小值为
2 6 2 6
1 π √3 π
C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s的最小值为
2 3 2 3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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(π ) ( π)
答案 A 点P ,t 在函数y=sin 2x− 的图象上,
4 3
( π π) 1
∴t=sin 2× − = .
4 3 2
(π 1)
所以P , .
4 2
(π 1)
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P' −s, .
4 2
因为P'在函数y=sin 2x的图象上,
[ (π )] 1 1
所以sin 2 −s = ,即cos 2s= ,
4 2 2
π 5 π 5π
所以2s=2kπ+ (k∈Z)或2s=2kπ+ π(k∈Z),即s=kπ+ (k∈Z)或s=kπ+ (k∈Z),又s>0,所以s的最小值为
3 3 6 6
π
.
6
14.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-√3cos x的图象可由函数y=sin x+√3cos x的图象至少向右平移
个单位长度得到.
2
答案 π
3
( 5 ) ( π)
解析 设f(x)=sin x-√3cos x=2sin x+ π ,g(x)=sin x+√3cos x=2sin x+ ,将g(x)的图象向右平移
3 3
( π) ( 5π) π
φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin
x−φ+
=2sin
x+
=f(x)的图象,所以x-φ+ =2kπ+x+
3 3 3
5π 4π 2π
,k∈Z,此时φ=-2kπ- ,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为 .
3 3 3
方法指导 先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图象变换遵循的
“左加右减”规律求解.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1
15.(2023 新课标Ⅱ,16,5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B 是直线 y= 与曲线
2
π
y=f(x)的两个交点,若|AB|= ,则f(π)= .
6
√3
答案 -
2
1 π 5π
解析 令sin(ωx+φ)= ,得ωx+φ= +2kπ,k∈Z或ωx+φ= +2kπ,k∈Z.
2 6 6
5π π
+2kπ−φ +2kπ−φ π
由题意可知, 6 -6 = ,k∈Z,
6
ω ω
5π π π
则 - = ,∴ω=4,
6ω 6ω 6
(2π )
∴f(x)=sin(4x+φ),又f(x)的图象过 ,0 ,
3
(2π) (8π ) 8π 2π
∴f =sin +φ =0,结合五点作图法得 +φ=2kπ,k∈Z,不妨取φ=- ,
3 3 3 3
( 2π) ( 2π) √3
∴f(x)=sin 4x− ,∴f(π)=sin 4π− =- .
3 3 2
(π)
16.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f = .
2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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π
答案 解题指导:利用所给函数f(x)=2cos(ωx+φ)图象中的关键点求出ω,φ,再将x= 代入f(x)的解析式即
2
(π)
可求出f .
2
(π ) (13π ) 3T 13π π 3π
解析 由题图可知点 ,0 , ,2 在f(x)的图象上,∴ = − = ,则T=π,所以|ω|=
3 12 4 12 3 4
2π (13π ) 13π 13π
=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ),将 ,2 代入得,2× +φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-
T 12 12 6
+2kπ,k∈Z,
(π) ( π 13π )
∴f =2cos 2× − +2kπ =−√3,k∈Z.
2 2 6
17.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .
答案 7
解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7
个交点.
思路分析 解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的关
键.
18.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的
距离为2√3,则ω= .
π
答案
2
{y=2sinωx,
解析 由 消去y,得sin ωx-cos ωx=0,
y=2cosωx北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π) kπ π
即√2sin ωx− =0,解得x= + ,k∈Z.
4 ω 4ω
( π )(5π )
取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为 ,√2 , ,−√2 ,又两交点的距离为2√3,
4ω 4ω
( π 5π ) 2 π
所以 − +(√2+√2)2=(2√3)2,解得ω= .
4ω 4ω 2
( π π)
19.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,− ≤φ<
图象上每一点的横坐标缩短为原来
2 2
π (π)
的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到y=sin x的图象,则f = .
6 6
√2
答案
2
( π)
x+
解析 y=sin x y=sin 6
(1 π)
x+
y=sin ,
2 6
(1 π) (π) ( π π) π √2
即f(x)=sin
x+
,∴f =sin
+
=sin = .
2 6 6 12 6 4 2
π ( π)
20.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与函数y=sin
2x+
2 3
的图象重合,则φ= .
5
答案 π
6北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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π ( π) [ ( π) ]
解析 令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移 个单位后得f x− =cos 2 x− +φ =cos(2x+φ-
2 2 2
π π ( π) π π
2x+
π)=sin (2x+φ-π)+ =sin 2x+φ- ,因为与y=sin 的图象重合,所以φ- = +2kπ(k∈Z),所以
2 2 3 2 3
5 5
φ=2kπ+ π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ= π.
6 6
(π ) π
21.(2011浙江文,18,14分)已知函数f(x)=Asin
x+φ
,x∈R,A>0,0<φ< .y=f(x)的部分图象如图所示,P、
3 2
Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
2π
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求A的值.
3
2π
解析 (1)由题意得,T= π =6.
3
(π )
因为P(1,A)在y=Asin
x+φ
的图象上,
3
(π )
所以sin
+φ
=1.
3
π π
又因为0<φ< ,所以φ= .
2 6
(2)设点Q的坐标为(x,-A).
0
π π 3π
由题意可知 x+ = ,得x=4,所以Q(4,-A).
3 0 6 2 0
2π
连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ= ,由余弦定理得
3
RP2+RQ2−PQ2
cos∠PRQ=
2RP·RQ北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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A2+9+A2−(9+4A2
) 1
= =- ,
2A·√9+A2 2
解得A2=3.
又A>0,所以A=√3.
评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q坐标,根据△PRQ的边
角关系,列出关于A的方程是求解关键.
考点2 三角函数的性质
(π 2π) π
1.(2023全国乙理,6,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间 , 单调递增,直线x=
6 3 6
2π ( 5π)
和x= 为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f − = ( )
3 12
√3 1 1 √3
A.- B.− C. D.
2 2 2 2
(π 2π) π 2π
答案 D ∵f(x)=sin(ωx+φ)在区间 , 单调递增,且直线 x= 和 x= 为函数
6 3 6 3
y=f(x)的图象的两条对称轴,
π 2π
∴f(x)在x= 和x= 处分别取得最小值和最大值,
6 3
T 2π π π
∴ = − = ,T=π,得|ω|=2,不妨取ω=2,
2 3 6 2
(2π) ( 2π ) 4π π
由f =sin 2× +φ =1,得 +φ= +2kπ,k∈Z,
3 3 3 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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5π 5π
得 φ=- +2kπ,k∈ Z. 取 k=0, 得 φ=- , 从 而 f
6 6
( 5π) [ ( 5π) 5π] ( 5π) √3
− =sin 2× − − =sin − = ,故选D.
12 12 6 3 2
2.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为 ( )
A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2
9 9
C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为
8 8
答案 D f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函
( 1) 2 9 1 9
数. f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2 cosx− + ,当cos x= 时, f(x) = .
4 8 4 max 8
故选D.
解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cos x-cos 2x转化为关于cos x的二次函
数,进而在[-1,1]范围内求二次函数的最值.
x x
3.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是( )
3 3
A.3π和√2 B.3π和2 C.6π和√2 D.6π和2
答案 C 解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求
解.
解析 由题意知:
2π
x x (√2 x √2 x) (x π)
f(x)=sin +cos =√2 sin + cos =√2sin + ,最小正周期T= 1 =6π;当sin
3 3 2 3 2 3 3 4
3
(x π) 3
+ =1,即x= π+6kπ,k∈Z时, f(x)取最大值√2,故选C.
3 4 4
易错警示 对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,导致后面无法
求解.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π)
4.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin x− 单调递增的区间是 ( )
6
( π) (π ) ( 3π) (3π )
A. 0, B. ,π C. π, D. ,2π
2 2 2 2
( π)
答案 A 解题指导:由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sin x− 的单调递增区间,通过运算求
6
出x的取值范围,结合选项分析即可.
( π)
解析 f(x)=7sin x− ,
6
π π π
令2kπ- ≤x− ≤2kπ+ ,k∈Z,
2 6 2
π 2π
解得2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z,
3 3
π 2π
令k=0,得- ≤x≤ .故选A.
3 3
5.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 ( )
( π π)
A. f(x)在 − ,− 上单调递减
2 6
( π π )
B. f(x)在 − , 上单调递增
4 12
( π)
C. f(x)在 0, 上单调递减
3
(π 7π)
D. f(x)在 , 上单调递增
4 12北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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π
答案 C f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ<x<kπ+ ,k∈Z,则f(x)的单调递减区间
2
( π) π
为 kπ,kπ+ ,k∈Z;令2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,解得kπ- <x<kπ,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为
2 2
( π )
kπ− ,kπ ,k∈Z.
2
( π π)
对于A, f(x)在 − ,− 上单调递增,故A错误;
2 6
( π ) ( π )
对于B, f(x)在 − ,0 上单调递增,在 0, 上单调递减,故B错误;
4 12
( π)
对于C, f(x)在 0, 上单调递减,故C正确;
3
(π π) (π 7π)
对于D, f(x)在 , 上单调递减,在 , 上单调递增,故D错误.故选C.
4 2 2 12
( π) 2π
6.(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin ωx+ +b(ω>0)的最小正周期为T.若 <T<π,且y=f(x)的
4 3
(3π ) (π)
图象关于点 ,2 中心对称,则f =( )
2 2
3 5
A.1 B. C. D.3
2 2
2π 2π 2π
答案 A ∵ <T<π,ω>0,∴ < <π,∴2<ω<3①.
3 3 ω
(3π )
又y=f(x)的图象关于点 ,2 中心对称,
2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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{
b=2,
∴ 3π π
ω· + =kπ(k∈Z),
2 4
2 1 5
从而ω= k− (k∈Z)②,由①②知ω= (取k=4),
3 6 2
(5 π) (π) 3
∴f(x)=sin x+ +2,∴f =sin π+2=1.
2 4 2 2
1
7.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得曲
2
π ( π)
线向右平移 个单位长度,得到函数y=sin x− 的图象,则f(x)= ( )
3 4
(x 7π) (x π )
A.sin − B.sin +
2 12 2 12
( 7π) ( π )
C.sin 2x− D.sin 2x+
12 12
( π) π
答案 B 将函数y=sin x− 的图象向左平移 个单位长度可得函数y=sin
4 3
[( π) π] ( π )
x+ − =sin x+ 的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不
3 4 12
(x π )
变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sin + ,故选B.
2 12
易错警示 (1)忽略图象的平移规律:“左加右减”,从而错选A;
(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.
(2π )
8.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点 ,0 中心对称,则
3
( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( 5π)
A. f(x)在区间 0, 单调递减
12
( π 11π)
B. f(x)在区间 − , 有两个极值点
12 12
7π
C.直线x= 是曲线y=f(x)的对称轴
6
√3
D.直线y= -x是曲线y=f(x)的切线
2
(2π ) (4π ) 4π
答案 AD 因为f(x)的图象关于点 ,0 对称,所以sin +φ =0,即 +φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-
3 3 3
4π 2π ( 2π)
,k∈Z.结合0<φ<π,得φ= ,所以f(x)=sin 2x+ .
3 3 3
π 2π 3π π 5π
对于A,令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为 -
2 3 2 12 12
π 5π ( 5π) [ π 5π ]
+kπ, +kπ ,k∈Z.显然 0, ⫋ − +kπ, +kπ ,k∈Z,故A正确.对于B, f
12 12 12 12 12
'(x)=2cos( 2π),令f '(x)=0,得2x+2π=kπ+π,k∈Z,即x=kπ π ,k∈Z.又因为x∈
2x+ −
3 3 2 2 12
( π 11π),所以x=5π,故f(x)在区间( π 11π)只有一个极值点,k∈Z,故B错误.对于C,令
− , − ,
12 12 12 12 12
2x+2π π+kπ,k∈Z,解得x=- π kπ,k∈Z,故C错误.对于D,结合B,令2cos( 2π)=-1,得2x+
= + 2x+
3 2 12 2 3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2π 2π 2π 4π π
= +2kπ,k∈Z或2x+ = +2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x= +kπ,k∈Z,故其中一个切点为
3 3 3 3 3
( √3),则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-√3=-x,即y=√3-x,故D正确.故选AD.
0,
2 2 2
( π)
9.(2022全国甲理,11,5分)设函数f(x)=sin ωx+ 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取
3
值范围是 ( )
[5 13) [5 19)
A. , B. ,
3 6 3 6
(13 8] (13 19]
C. , D. ,
6 3 6 6
π (π π) ( π)
答案 C 由x∈(0,π)得ωx+ ∈ ,ωπ+ ,要使函数f(x)=sin ωx+ 在(0,π)内恰有三个极
3 3 3 3
π π 3π 5π 5π π 13 8
值点、两个零点,则 ωx + 的取值应包括 , π , , 2 π , ,所以 <ωπ+ ≤3π,解得 <ω≤ ,
3 2 2 2 2 3 6 3
(13 8]
即ω的取值范围为 , ,故选C.
6 3
( π)
10.(2019课标Ⅲ理,12,5分)设函数f(x)=sin
ωx+
(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结
5
论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
( π )
③f(x)在 0, 单调递增
10北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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[12 29)
④ω的取值范围是 ,
5 10
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
答案 D 本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等知识,通过对函
( π)
数f(x)=sin
ωx+
图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生问题转化为熟悉问题的能力,
5
考查了直观想象的核心素养.
π
令t=ωx+ (ω>0),∵x∈[0,2π],
5
[π π]
∴t∈
,2ωπ+
且y=sin t,
5 5
∵f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,
[π π]
∴y=sin t在
,2ωπ+
上有且仅有5个零点,
5 5
π
∴2ωπ+ ∈[5π,6π),
5
[12 29)
∴ω∈ , ,故④正确.
5 10
[π π]
y=sin t在
,2ωπ+
上极值点的个数即为f(x)在[0,2π]上极值点的个数.
5 5
[π π]
由y=sin t在
,2ωπ+
上的图象可知f(x)在[0,2π]有且仅有3个极大值点,有2个或3个极小值点,故
5 5
①正确,②错误.
( π ) (π ωπ π)
当x∈ 0, 时,t∈ , + ,
10 5 10 5北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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[12 29)
又ω∈ , ,
5 10
ωπ π [11π 49π)
∴ + ∈ , ,
10 5 25 100
49π π
∵ < ,
100 2
(π ωπ π) ( π)
∴ , + ⊆ 0, ,
5 10 5 2
(π ωπ π)
∴y=sin t在t∈ , + 上单调递增.
5 10 5
( π )
∴y=f(x)在 0, 上单调递增,故③正确.
10
故选D.
π
解题关键 ①令t=ωx+ (ω>0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究.
5
( π) ( π)
②当ω>0时,y=sin
ωx+
的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin
ωx+
的增、
5 5
减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.
( π)
11.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin
2x+
的最小正周期为( )
3
π
A.4π B.2π C.π D.
2
答案 C 本题考查三角函数的性质.
( π) 2π
由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin
2x+
的最小正周期T= =π.故选C.
3 ω
12.(2017山东文,7,5分)函数y=√3sin 2x+cos 2x的最小正周期为( )
π 2π
A. B. C.π D.2π
2 3
答案 C 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π)
y=√3sin 2x+cos 2x=2sin 2x+ ,
6
2π
从而最小正周期T= =π.
2
1 ( π) ( π)
13.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)= sin x+ +cos x− 的最大值为( )
5 3 6
6 3 1
A. B.1 C. D.
5 5 5
1 ( π) ( π)
答案 A ∵f(x)= sin x+ +cos x−
5 3 6
1(1 √3 ) √3 1
= sinx+ cosx + cos x+ sin x
5 2 2 2 2
3 3√3
= sin x+ cos x
5 5
3 ( π)
= ×2sin
x+
5 3
6 ( π)
= sin
x+
,
5 3
6
∴f(x)的最大值为 .
5
故选A.
( π) (π )
一题多解 ∵cos x− =cos −x
6 6
[π (π )] (π )
=sin − −x =sin +x ,
2 6 3
6 ( π) 6
∴f(x)= sin
x+
,∴f(x) = .故选A.
5 3 max 5北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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(π )
14.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos −x 的最大值为( )
2
A.4 B.5 C.6 D.7
( 3) 2 11
答案 B f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 sinx− + ,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.
2 2
(π )
思路分析 利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos −x 转化为关于sin x的二次函数,
2
通过配方来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1].
15.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( )
π 3π
A. B.π C. D.2π
2 2
( π) ( π) ( π) 2π
答案 B ∵f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)=4sin x+ ·cos x+ =2sin 2x+ ,∴T=
6 6 3 2
=π,故选B.
评析 本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.
16.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关
1
答案 B f(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c= (1-cos 2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周
2
期为2π,所以选B.
2π
17.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x= 时,函数
3
f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2)
C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2π (2π) (4π ) 4π 3π
答案 A ∵ω>0,∴T= =π,∴ω=2.又A>0,∴f =-A,即sin
+φ
=-1,得φ+ =2kπ+ ,k∈Z,
ω 3 3 3 2
π ( π) ( π) ( π)
即φ=2kπ+ ,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin
2x+
,∴f(2)=Asin
4+
, f(-2)=Asin
−4+
,
6 6 6 6
π π 3π 7π π ( 7π )
f(0)=Asin .∵π<4+ < ,∴f(2)<0.∵- <-4+ <-π,且y=sin x在 − ,−π 上为减函数,∴sin
6 6 2 6 6 6
( π) ( 7π) π ( π)
−4+ <sin − =sin ,且sin −4+ >sin(-π)=0,从而有0<f(-2)<f(0).故有f(2)<f(-2)<f(0).
6 6 6 6
π π
评析 本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+ 与-4+ 的范围
6 6
是解题的关键.
( π) ( π)
18.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos 2x+ ,④y=tan 2x− 中,最小正
6 4
周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
答案 A ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;
( π) 2π
③y=cos
2x+
的最小正周期T= =π;
6 2
( π) π
④y=tan 2x− 的最小正周期T= .
4 2
因此选A.
评析 本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.
( π) (π )
19.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin ωx+ 在 ,π 单调递减,则ω的取值范围是( )
4 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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[1 5] [1 3]
A. , B. ,
2 4 2 4
( 1]
C. 0, D.(0,2]
2
π ωπ π π π
答案 A 由 <x<π得 + <ωx+ <ωπ+ ,
2 2 4 4 4
(π 3 )
又y=sin α在 , π 上递减,
2 2
ωπ π π
{ + ≥ ,
2 4 2
所以
π 3
ωπ+ ≤ π,
4 2
1 5
解得 ≤ω≤ ,故选A.
2 4
评析 本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.
( π)
20.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
ω>0,|φ|<
的最小正周期为π,且f(-
2
x)=f(x),则( )
( π)
A.f(x)在 0, 单调递减
2
(π 3π)
B.f(x)在 , 单调递减
4 4
( π)
C.f(x)在 0, 单调递增
2
(π 3π)
D.f(x)在 , 单调递增
4 4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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π 2π
答案 A f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin ωx+φ+ ,∵周期T= =π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函
4 ω
π π π
数,∴φ+ =kπ+ ,φ=kπ+ ,k∈Z.
4 2 4
π π ( π) ( π)
又|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=√2sin 2x+ =√2cos 2x,易得f(x)在 0, 上单调递减,故选A.
2 4 2 2
评析 本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度试
题.
( π) ( π)
21.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin
2x+
+cos
2x+
,则( )
4 4
( π) π
A.y=f(x)在 0, 单调递增,其图象关于直线x= 对称
2 4
( π) π
B.y=f(x)在 0, 单调递增,其图象关于直线x= 对称
2 2
( π) π
C.y=f(x)在 0, 单调递减,其图象关于直线x= 对称
2 4
( π) π
D.y=f(x)在 0, 单调递减,其图象关于直线x= 对称
2 2
( π) ( π) ( π)
答案 D f(x)=sin 2x+ +cos 2x+ =√2·sin 2x+ =√2cos 2x,其部分图象如图.故选D.
4 4 2
评析 本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角知识分析和解
决问题的能力,属中等难度试题.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π) π π
22.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,|φ|≤
,x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图
2 4 4
( π 5π)
象的对称轴,且f(x)在 , 单调,则ω的最大值为( )
18 36
A.11 B.9 C.7 D.5
{ ( π)
ω· − +φ=mπ,
( π 5π) π 5π π 4
答案 B 由f(x)在 , 上单调,得 ≥ - ,∴ω≤12,依题意,有 (m、
18 36 ω 36 18 π π
ω· +φ=nπ+
4 2
n∈Z),
{ω=2(n−m)+1,
∴
2(m+n)+1
φ= π.
4
π π ( π)
又|φ|≤ ,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ= ,取n=2,得ω=9, f(x)=sin
9x+
符合题意.当
2 4 4
π ( π) ( π 5 ) π
m+n=-1时,φ=- ,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin 11x− ,此时,当x∈ , π 时,11x- ∈
4 4 18 36 4
(13 23 )
π, π , f(x)不单调,不合题意.故选B.
36 18
解后反思 本题要求ω的最大值,正面入手难度较大,故对ω取特殊值进行检验.
23.(2023新课标Ⅰ,15,5分,中)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3
个零点,则ω的取值范围是 .
答案 [2,3)
解析 函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程
cos ωx=1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根,∵0≤x≤2π,∴0≤ωx≤2πω,
∴4π≤2πω<6π,即2≤ω<3,∴ω的取值范围为[2,3).北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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π ( π )
24.(2022北京,13,5分)若函数f(x)=Asin x-√3cos x的一个零点为 ,则A= ; f = .
3 12
答案 1;-√2
(π) π π
解析 由题意知f =0,即Asin −√3cos =0,解得A=1,所以f(x)=sin x-
3 3 3
( π) ( π ) ( π π) π √2
√3cos x=2sin x− ,所以f =2sin − =−2sin =−2× =−√2.
3 12 12 3 4 2
√3 π
25.(2022全国乙理,15,5分)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)= ,x= 为
2 9
f(x)的零点,则ω的最小值为 .
答案 3
2π √3
解析 ∵T= ,ω>0, f(T)= ,
ω 2
( 2π ) √3 √3
∴cos ω× +φ = ,∴cos φ= ,
ω 2 2
π ( π)
∵0<φ<π,∴φ= ,∴f(x)=cos ωx+ ,
6 6
(π) (πω π)
又f =0,∴cos + =0,
9 9 6
πω π π ω 1
∴ + =kπ+ (k∈Z),∴ =k+ (k∈Z),
9 6 2 9 3
∴ω=9k+3(k∈Z).
∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.
7π
26.(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件 f(x)-f -
4
4π
f(x)-f >0的最小正整数x为 .
3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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答案 2
( 7π) (4π)
解题指导:首先通过函数图象,确定ω和φ的取值,然后分别求出f − 和f 的值,最后结合三角
4 3
函数的单调性确定最小正整数x的值.
解析 设函数f(x)的最小正周期为T,则
3 13π π 3π
T= − = ,解得T=π,
4 12 3 4
2π
则 =π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).
|ω|
(π ) 2π π
将 ,0 代入上式,得 +φ= +2kπ,k∈Z,
3 3 2
π π
∴φ=- +2kπ,k∈Z,取φ=- ,
6 6
( π)
∴f(x)=2cos 2x− ,
6
( 7π) ( 7π π) π
∴f − =2cos − − =2cos =1,
4 2 6 3
(4π) (8π π) π
f =2cos − =2cos =0,
3 3 6 2
∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.
( π) ( π) 1
由f(x)>1,得2cos 2x− >1,即cos 2x− > ,①
6 6 2
( π)
由f(x)<0,得cos 2x− <0,②
6
π π π
由①得- +2kπ<2x- < +2kπ,k∈Z,
3 6 3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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π π 11π 5π
解得- +kπ<x< +kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=1,此时, <x< ;
12 4 12 4
π π 3π
由②得 +2kπ<2x- < +2kπ,k∈Z,
2 6 2
π 5π π 5π
解得 +kπ<x< +kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=0,此时, <x< .
3 6 3 6
综上,最小正整数x为2.
方法点拨 解本题的关键是能够正确求解f(x)的解析式,然后能结合三角函数的单调性求出x的取值范围.
( π)
27.(2018课标Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos
3x+
在[0,π]的零点个数为 .
6
答案 3
( π) kπ π π 4π
解析 令f(x)=0,得cos
3x+
=0,解得x= + (k∈Z).当k=0时,x= ;当k=1时,x= ;当k=2时,x=
6 3 9 9 9
7π
,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
9
( π π) π
28.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ) − <φ< 的图象关于直线x= 对称,则φ的值是 .
2 2 3
π
答案 -
6
解析 本题考查正弦函数的图象和性质.
π π (2π )
∵函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,∴x= 时,函数取得最大值或最小值,∴sin
+φ
=±1.
3 3 3
2π π π
∴ +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z),
3 2 6
π π π
又- <φ< ,∴φ=- .
2 2 6
( π) (π)
29.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cos ωx− (ω>0).若f(x)≤f 对任意的实数x都成立,则ω的最
6 4
小值为 .北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2
答案
3
解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用.
(π) (π)
∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立,∴f =1,
4 4
π π 2
∴ ·ω- =2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+ ,k∈Z.
4 6 3
2
又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值 .
3
π
名师点睛 由题意知函数f(x)在x= 处取得最大值,从而得出答案.
4
3( [ π])
30.(2017课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+√3cos x- x∈ 0, 的最大值是 .
4 2
答案 1
解析 本题主要考查三角函数的最值.
1 ( √3) 2
由题意可得f(x)=-cos2x+√3cos x+ =- cosx− +1.
4 2
[ π]
∵x∈ 0, ,∴cos x∈[0,1].
2
√3
∴当cos x= 时, f(x) =1.
2 max
31.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .
答案 √5
解析 本题主要考查三角函数的最值.
由题意可知f(x)=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(tan φ=2),
∴f(x)的最大值为√5.
32.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函
数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
√π
答案
2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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3
( π) π π π 2kπ− π
解析 由已知得f(x)=√2sin ωx+ ,令2kπ- ≤ωx+ ≤2kπ+ ,k∈Z,由ω>0,得 4 ≤x≤
4 2 4 2
ω
π
2kπ+
4 ,
ω
[ 3π π ]
k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为 − , ,
4ω 4ω
[ 3π π ]
所以(-ω,ω)⊆ − , ,
4ω 4ω
3π
{− ≤−ω,
4ω √π
所以 解得0<ω≤ ,
π 2
≥ω,
4ω
π π
又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+ =kπ+ ,
4 2
π √π √π
k∈Z,解得ω2=kπ+ ,k∈Z,又0<ω≤ ,所以ω= .
4 2 2
33.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .
答案 1
解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φ·cos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ-φ)
=sin x,
∴f(x)的最大值为1.
34.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为 .
答案 1
解析 f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x
=sin xcos φ+cos xsin φ-2sin φcos x
=sin xcos φ-cos xsin φ
=sin(x-φ)≤1,北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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所以f(x) =1.
max
35.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ= .
2√5
答案 -
5
(√5 2√5 ) 2√5 √5
解析 由辅助角公式得:f(x)=√5 sinx− cosx =√5sin(x-φ),其中sin φ= ,cos φ= ,由
5 5 5 5
π π ( π)
x=θ时, f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+ ,k∈Z,即θ=φ+ +2kπ,∴cos θ=cos
φ+
=-sin φ=-
2 2 2
2√5
.
5
评析 本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.
( π)
36.(2023北京,17,13分,中)设函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ ω>0,|φ|< .
2
√3
(1)若f(0)=- ,求φ的值;
2
[ π 2π] (2π)
(2)已知f(x)在区间 − , 上单调递增, f =1,再从条件①、条件②、条件③
3 3 3
这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
(π)
条件①: f =√2;
3
( π)
条件②: f − =-1;
3
[ π π]
条件③: f(x)在区间 − ,− 上单调递减.
2 3
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,
按第一个解答计分.
解析 (1)由题意得f(x)=sin(ωx+φ),北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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√3 π π
∴ f(0)=sin φ=- ,∵|φ|< ,∴φ=- .
2 2 3
[ π 2π]
(2)条件①与f(x)在 − , 上单调递增矛盾,显然不选条件①.
3 3
选条件②.
[ π 2π] (2π) ( π) T 2π ( π)
∵f(x)在 − , 上单调递增,且 f =1, f − =-1,∴ = − −
3 3 3 3 2 3 3
2π
=π,∴T= =2π,∴ω=1,
ω
(2π) (2π )
∴ f(x)=sin(x+φ),∵f =sin +φ =1,
3 3
2π π π
∴ +φ= +2kπ(k∈Z),即φ=- +2kπ(k∈Z),
3 2 6
π π
∵|φ|< ,∴φ=- .
2 6
选条件③.
[ π π] [ π 2π] π
∵f(x)在 − ,− 上单调递减,在 − , 上单调递增,∴f(x)在x=- 处取得最小值,
2 3 3 3 3
( π)
即f − =-1.
3
以下同选条件②.
37.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+√3sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π ] 3
(2)若f(x)在区间 − ,m 上的最大值为 ,求m的最小值.
3 2
1 1 √3
解析 (1)f(x)= - cos 2x+ sin 2x
2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π) 1
=sin 2x− + .
6 2
2π
所以f(x)的最小正周期为T= =π.
2
( π) 1
(2)由(1)知f(x)=sin 2x− + .
6 2
π
由题意知- ≤x≤m.
3
5π π π
所以- ≤2x- ≤2m- .
6 6 6
[ π ] 3
要使得f(x)在 − ,m 上的最大值为 ,
3 2
( π) [ π ]
即sin 2x− 在 − ,m 上的最大值为1.
6 3
π π
所以2m- ≥ ,
6 2
π
即m≥ .
3
π
所以m的最小值为 .
3
38.(2016山东文,17,12分)设f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
π
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移 个单位,得
3
(π)
到函数y=g(x)的图象,求g 的值.
6
解析 (1)f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2√3sin2x-(1-2sin xcos x)
=√3(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-√3cos 2x+√3-1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π)
=2sin 2x− +√3-1.
3
π π π
由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),
2 3 2
π 5π
得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
12 12
[ π 5π]
所以f(x)的单调递增区间是 kπ− ,kπ+ (k∈Z).
12 12
( ( π 5π) )
或 kπ− ,kπ+ (k∈Z)
12 12
( π)
(2)由(1)知f(x)=2sin 2x− +√3-1.
3
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
( π)
得到y=2sin x− +√3-1的图象,
3
π
再把得到的图象向左平移 个单位,
3
得到y=2sin x+√3-1的图象,
即g(x)=2sin x+√3-1.
(π) π
所以g =2sin +√3-1=√3.
6 6
方法总结 研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视
“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.
评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)
+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.
π π
39.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsin -x ·cos x- -√3.
2 3
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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[ π π]
(2)讨论f(x)在区间 − , 上的单调性.
4 4
{ π }
解析 (1)f(x)的定义域为
x|x≠ +kπ,k∈Z
.
2
( π)
f(x)=4tan xcos xcos x− -√3
3
( π)
=4sin xcos x− -√3
3
(1 √3 )
=4sin x cosx+ sinx -√3
2 2
=2sin xcos x+2√3sin2x-√3
=sin 2x+√3(1-cos 2x)-√3
( π)
=sin 2x-√3cos 2x=2sin 2x− .
3
2π
所以, f(x)的最小正周期T= =π.
2
π [ π π ]
(2)令z=2x- ,易知函数y=2sin z的单调递增区间是 − +2kπ, +2kπ ,k∈Z.
3 2 2
π π π π 5π
由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
2 3 2 12 12
[ π π] { π 5π } [ π π]
设A= − , ,B= x|− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z ,易知A∩B= − , .
4 4 12 12 12 4
[ π π] [ π π] [ π π ]
所以,当x∈ − , 时, f(x)在区间 − , 上单调递增,在区间 − ,− 上单调递减.
4 4 12 4 4 12
方法总结 研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差
的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sin x的性质进行研究.
评析 本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函数的定义域、
最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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40.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析 (1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
( π)
=√2sin 2ωx+ ,(3分)
4
2π π
所以f(x)的最小正周期T= = .(4分)
2ω ω
π
依题意, =π,解得ω=1.(6分)
ω
( π)
(2)由(1)知f(x)=√2sin 2x+ .
4
[ π π]
函数y=sin x的单调递增区间为 2kπ− ,2kπ+ (k∈Z).(8分)
2 2
π π π
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2 4 2
3π π
得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).(12分)
8 8
[ 3π π]
所以f(x)的单调递增区间为 kπ− ,kπ+ (k∈Z).(13分)
8 8
易错警示 本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注
意x的系数.
评析 本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.
( π)
41.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2 x− ,x∈R.
6
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π π]
(2)求f(x)在区间 − , 上的最大值和最小值.
3 4
解析 (1)由已知,有北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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( π)
1−cos2x 1−cos 2x− 1(1 √3 ) 1 √3 1 1
f(x)= - 3 = cos2x+ sin2x - cos 2x= sin 2x- cos 2x=
2 2 2 2 2 4 4 2
2
( π)
sin 2x− .
6
2π
所以, f(x)的最小正周期T= =π.
2
[ π π] [ π π] ( π) 1 ( π)
(2)因为f(x)在区间 − ,− 上是减函数,在区间 − , 上是增函数, f − =- , f − =-
3 6 6 4 3 4 6
1 (π) √3 [ π π] √3 1
, f = .所以, f(x)在区间 − , 上的最大值为 ,最小值为- .
2 4 4 3 4 4 2
x x x
42.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=√2sin cos -√2sin2 .
2 2 2
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
√2 √2
解析 (1)因为f(x)= sin x- (1-cos x)
2 2
( π) √2
=sin
x+
- ,
4 2
所以f(x)的最小正周期为2π.
3π π π
(2)因为-π≤x≤0,所以- ≤x+ ≤ .
4 4 4
π π 3π
当x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值.
4 2 4
( 3π) √2
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f − =-1- .
4 2
43.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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[ π]
(2)求f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.
2
( π)
解析 (1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=√2sin 2x+ +1,
4
2π
所以函数f(x)的最小正周期为T= =π.
2
( π)
(2)由(1)的计算结果知,f(x)=√2sin 2x+ +1.
4
[ π] π [π 5π]
当x∈ 0, 时,2x+ ∈ , ,
2 4 4 4
[π 5π]
由正弦函数y=sin x在 , 上的图象知,
4 4
π π π
当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最大值√2+1;
4 2 8
π 5π π
当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最小值0.
4 4 2
[ π]
综上,f(x)在 0, 上的最大值为√2+1,最小值为0.
2
评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.
( π)
44.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)
ω>0,|φ|<
在某一个周期内
2
的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π 5π
x
3 6
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中
(5π )
心为 ,0 ,求θ的最小值.
12
π
解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .
6
数据补全如下表:
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π π 7π 5π 13
x π
12 3 12 6 12
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0
且函数表达式为f(x)=5sin( π).
2x−
6
(2)由(1)知 f(x)=5sin( π),
2x−
6
得g(x)=5sin( π).
2x+2θ−
6
因为y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
π
令2x+2θ- =kπ,
6
kπ π
解得x= + -θ,k∈Z.
2 12
由于函数y=g(x)的图象关于点(5π )中心对称,
,0
12
kπ π 5π
令 + -θ= ,
2 12 12
kπ π
解得θ= - ,k∈Z.
2 3
π
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值 .
6
