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高考仿真重难点训练04 三角函数
一、选择题
1．下列角中与 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到 ，结合终边相同角的表示，即可求解.
【解析】由角度制与弧度制的互化公式，可得 ，
与角 终边相同的角的集合为 ，
令 ，可得 ，
所以与角 终边相同的角是 .
故选：D.
2．下列函数中，以2π为周期， 为对称轴，且在 上单调递增的函数是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合题意分别判断选项中三角函数的周期性、对称轴和单调性
【解析】 , ，故不满足周期为 ，故排除
： ， ，令 ,
即 ，当 时， 为对称轴，当 时为单调减函数，故排除
: ， ，但是正切函数不具有对称轴，故排除
综上，故选
【点睛】本题考查了三角函数图像的周期性、对称性以及单调性，熟练运用三角函数知识来求出结果，属
于基础题
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.
【解析】
.
故选：A.
4．已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象向左平移 个单位
长度后得到函数 的图象，则在下列区间上函数 单调递增的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的图象，棱台三角函数的性质求得 ，进而得到 ，结合正
弦型函数的性质，即可求解.
【解析】由函数 的图象，可得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，又由 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，令 ，
解得 ，
所以函数 的单调增区间是 .
故选：C.
5．将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的
中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，
这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）
随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是 ，其中
， ，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm
【答案】C
【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解.
【解析】由 ，得 .
由函数的图象可知函数的周期为 ，
所以 ，即 .
故选：C.
6．已知函数 在区间 上有且仅有3个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式得 ，进而根据求方程得 或 ，即
可列举出正的零点，列不等式即可求解.
【解析】由 可得 ，令 ,
所以 或 ，
故函数的正零点从小到大排列为： ，
要使在区间 上有且仅有3个零点，需要满足 且 ，解得 ，
故选：C
7．若 ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得 的取值范围，即可求
解.
【解析】由对数函数单调性，可得 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 .
故选：B.
8．已知 ，若存在实数 ，当 时，满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由函数性质，得 ， ，将问题转化为求 的取值范围，构造函数
，利用导数求函数 的值域即可.
【解析】作出函数 的图象如图，
当 时， ，由 得 ，由 可得 ，
由图可知， ，点 、 关于直线 对称，则 ，
点 、 关于直线 对称，则 ，
所以 ，
令 ，其中 ，
，当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以，当 时， ，
当 时， ；当 时， ，则 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.
二、多选题
9．下列化简正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系逐一证明即可.
【解析】 ，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：AB
10．已知函数 ，则（ ）
A．若 的图象向右平移 个单位长度后与 的图象重合，则 的最小值为1B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则 的最小值为5
C．若函数 的最小正周期为 ，则
D．当 时，若 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则方程
有无穷多个解
【答案】BC
【分析】对于A，B，根据图象平移规则得到 的取值，再由 ，即可得到 的最值；对于C，根据函
数的最小正周期求解即可；对于D，先求出 的解析式，再对方程进行换元化简，讨论即可得到方程解
的个数.
【解析】对于A项，因为 ，
所以 ， ，即 ， ，又 ，所以 的最小值为8，故A项错误；
对于B项，因为 ，
所以 ， ，即 ， ，又 ，所以 的最小值为 ，故B项
正确.
对于C项，因为函数 的最小正周期是 的最小正周期的一半，所以 的最小正周期为 ，所
以 ，解得 ，故C项正确.
对于D项，当 时， ，所以 ，方程.
令 ，则 ， ，当 时， ，即 ，所以
（舍）或 （舍）；
当 时， ，即 ，无解.
综上， 无解，故D项错误.
故选：BC.
11．已知 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的值域为
C． 在区间 上有33个零点
D．若方程 在 （ ）有4个不同的解 （ ，2，3，4），其中 （ ，2，
3），则 的取值范围是
【答案】AB
【分析】根据题意可得 ，从而可对A判断；由题意可得 ，则 为
的一个周期，不妨讨论 内的值域情况，从而可对B判断；令 ，可得 或 ，即
（ ），从而可对C判断；根据 分情况讨论得到 ， ，从而可对D判断.
【解析】对A：由
，
所以 ，则 的图象关于 对称，故A正确；
对B：由 ，
因为 ，所以 的一个周期
为 ，
不妨讨论 一个周期的值域情况，
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ；
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
当 ，此时 ，
则 ，因为 ，所以 ，则 ，则 ，
综上所述 ，故B正确；
对C： ，令 得 或 ，可得 （ ），
所以 ， ，所以 在 上有31个零点，故C错误；
对D： 是以 为周期的周期函数，当 时 ，
则 在 上有2个实根 ， ，且 与 关于 对称，所以 ；
当 时 ，则 在 上没有实根，
则 在 上有2个实根 ， ，且 与 关于 对称，且 ，
且 ， ，
当 时 ，则 在 上没有实根，
当 时， 有2个实根，但 只需有4个零点，
所以 ，又因为 ，
所以 的取值范围是 ，故D错误，
故选：AB．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.三、填空题
12．已知点 ，将 绕坐标原点O逆时针旋转 至 ，则点 的横坐标为
【答案】 /
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【解析】设点 的坐标为 ，则 ，
设 为 终边上的一点，则 ，
则 ， 解得 ，
故答案为： .
13．已知函数 ．直线 与曲线 的两个交点 如图所示，
若 ，且 在区间 上单调递减，则 ； ．
【答案】
【分析】根据 和 ，可构造方程求得 ，并确定 为半个周期，根据正弦函数单
调性可构造方程组求得 .
【解析】设 ，由 得： ， ，
又 ， ，解得： ，
此时 的最小正周期 ，
， 在区间 上单调递减，
和 分别为 单调递减区间的起点和终点，
当 时， ，
， ，又 ， ；
综上所述： ， .
故答案为： ； .
14．已知函数 ，对于任意的 ， ，
，且函数 在区间 上单调递增，则 的值为 ．
【答案】3
【分析】根据函数 在区间 上单调递增得到 的大致取值范围，再根据 ，
得到函数 图象的对称性，利用正弦函数的图象与性质分情况求解 的值并验证，
即可得解.
【解析】设函数 的最小正周期为 ，因为函数 在区间 上单调递增，所以 ，得 ，因此 ．
由 知 的图象关于直线 对称，
由 知 的图象关于点 对称．
①由 ，得 ，即 ，
解得 ，又 ，故 ，
当 时，所以 ，则 ，即 ，又 ，所以 ，
故 ， ，满足函数 在区间 上单调递增；
②由 ，得 ，即 ，
解得 ，又 ，故 ，
当 时，所以 ，则 ，
即 ，又 ，求得 ，故 ，
因为 ，不满足函数 在区间 上单调递增．
故 ．
故答案为：3.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据 ， 得到函数 图象
关于直线 对称，关于点 对称．利用正弦函数的图象与性质分 和
两种情况讨论，求解 的值并验证.
四、解答题15．已知 ， ，
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据两角差的正切公式可求得 的值；（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得到
，再用两角差的正切公式展开代值进去计算即可.
【解析】（1） ，
，
，解得 .
（2） .
16．已知函数 ．(1)求函数 的最小正周期和单调区间；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)最小正周期 ；单调递增区间为 ；单调递减区间为
.
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调
区间；
（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数 的取值范围．
【解析】（1） ，
则函数 的最小正周期 ；
令 ，解得 ，
可得函数 的单调递增区间为 ·
令 ，解得 ，
可得因数 的单调递减区间为 ；
（2）由（1）可知， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ， ， 由 增大到1，当 ， ， 由1减小到 ，
若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，则实数 的取值范围为
17．已知函数 .
(1)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个单位，得到函数
的图象.若 ，函数 有且仅有4个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最
值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结
合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【解析】（1）因为 ，
当 时，可得 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
因为 时， 恒成立，所以 ，
即实数 的取值范围为 .（2）由 图象的横坐标缩小为原来的 ，可得： ，
再将其向右平移 ，可得： ，
即函数 ，
因为 ，所以 ，在给定区间的正弦函数的零点是 ，
再由函数 有且仅有4个零点，则满足 ，
解得 ，所以实数 的取值范围 .
18．筒车亦称“水转筒车”，是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中
的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最
高点到水面的距离为6 m，筒车直径为8 m，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个
盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要 24 s，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置P 距水
0
面的距离为4 m.
(1)盛水筒A经过t s后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数h＝f
（t）的解析式；
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛
水筒A的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t.
（参考公式：sin θ－sin φ＝2cos ·sin ，cos θ－cos φ＝2sin sin ）
【答案】(1)h＝4sin（ t＋ ）＋2，t∈[0，24]
(2)8sin m，t＝11.5或t＝23.5.【解析】
解：（1） 以筒车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系．
设h＝M sin （ωt＋φ）＋N，t∈[0，24].
由题意知，2M＝8，M＋N＝6，
∴ M＝4，N＝2，即h＝4sin （ωt＋φ）＋2.
当t＝0时，h＝4sin φ＋2＝4，解得sin φ＝ ，结合图象初始位置可知φ＝ .
∵ T＝ ＝24，∴ ω＝ .
综上，h＝4sin （ t＋ ）＋2，t∈[0，24].
（2） 经过t s后A距离水面的高度h＝4sin （ t＋ ）＋2.
由题意知∠AOB＝ ＝ ，所以经过t s后B距离水面的高度h′＝4sin （ t－ ）＋2，则盛水筒B与
盛水筒A的高度差为H＝|h－h′|＝4|sin （ t＋ ）－sin （ t－ ）|，
利用sin θ－sin φ＝2cos sin ，H＝4|sin （ t＋ ）－sin （ t－ ）|＝8sin |cos （ t
＋ ）|，当 t＋ ＝kπ，k∈Z，
即t＝－ ＋12k，k∈Z时，H取最大值8sin （m）.
∵ t∈[0，24]，∴ 当t＝11.5或t＝23.5时，H取最大值．
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为8sin m，此时t＝11.5或t＝23.5.
【考查意图】
三角函数模型下相关实际应用问题．
19．如果函数 的导数 ，可记为 ．若 ，则表示曲线 ，直线 以及 轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若 ，且 ，求 ；
(2)已知 ，证明： ，并解释其几何意义；
(3)证明：1(√
1+cos
π
+
√
1+cos
2π
+
√
1+cos
3π
+⋯+
√
1+cos
nπ)
<
2√2，
n∈N*
．
n n n n n π
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到.
（2）先由定积分的预算得到 ，再分别构造函数 和
，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.
（3）先由二倍角公式化简得到 ，再由定积分的意义得到
，最后根据求导与定积分的运算得到
，最后得证.
【解析】（1）当 时，因为 ，所以设 ，
又 ，代入上式可得 ，
所以，当 时， ；当 时，设 ，同理可得 ，
综上， .
（2）因为 ，所以 ，
设 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，故 ，即 ；
设 ， ，
则 恒成立，所以 在 上单调递增， ，
所以 ，
综上， .
几何意义：当 时，曲线 与直线 （ 轴）， 以及 轴围成的“曲边面积”大于直
线 （ 轴）， 以及 轴，直线 围成的矩形面积，小于 （ 轴）， 以及 轴，
直线 围成的矩形面积.
（3）因为 ，
所以
，
设 ，则 ，
所以 ，故 .
【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，
利用导数分析其单调性；3、利用定积分的几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运
算得出最后结果.
