三角函数（解析版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_2024年高考数学一模试题好题汇编--三角函数

三角函数 题型01 任意角的三角函数 题型02 两角和与差的三角函数 题型03 三角函数的图象与性质 题型04 解三角形 题型01 任意角的三角函数 1 (2024·辽宁沈阳·统考一模)sinx=1的一个充分不必要条件是 . π 【答案】x= (答案不唯一) 2 【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解. π 【详解】因为x= 时sinx=1， 2 π 由sinx=1可得x= +2kπ,k∈Z, 2 π 故sinx=1的一个充分不必要条件是x= ， 2 π 故答案为：x= (答案不唯一) 2 2 (2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook)以微积分学中将函数展开成无 穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数， x3 x5 x7 23 25 27 如：sinx=x- + - +⋯，其中n!=1×2×3×⋯×n．根据该展开式可知，与2- + - + 3! 5! 7! 3! 5! 7! ⋯的值最接近的是 ( ) A.sin2° B.sin24.6° C.cos24.6° D.cos65.4° 【答案】C 【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可. 【详解】原式=sin2≈sin2×57.3° 1  =sin90°+24.6°  =cos24.6°， 故选：C. π 3 (2024·福建厦门·统考一模)若sinα+ 4  3 π =- ，则cosα- 5 4  = ． 3 【答案】- /-0.6 5 π 【分析】应用诱导公式有cosα- 4  π =cos α+ 4    - π  2  π =sinα+ 4  ，即可求值. π 【详解】cosα- 4  π =cos α+ 4    - π  2  π =sinα+ 4  3 =- . 5 3 故答案为：- 5 4 (2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是 ( ) A.cos2sin3<0 π 3π B.若圆心角为 的扇形的弧长为π，则扇形的面积为 3 2 C.终边落在直线y=x上的角的集合是 α  π  α= +2kπ,k∈Z  4 π D.函数y=tan2x- 6 2  的定义域为 x  π kπ  x≠ + ,k∈Z  3 2  ，π为该函数的一个周期 【答案】ABD 【分析】根据三角函数在各象限内的符号可判断出A正确；根据扇形弧长和面积公式可知B正确；由终边相 同的角的集合表示方法可知C错误；根据正切型函数定义域和周期的判断方法可知D正确. 【详解】对于A，∵2,3均为第二象限角，∴cos2<0，sin3>0，∴cos2sin3<0，A正确； π 对于B，设扇形的半径为r，则 r=π，解得：r=3， 3 1 π 3π ∴扇形的面积S= × ×32= ，B正确； 2 3 2 对于C，终边落在直线y=x上的角的集合为 α  π  α= +kπ,k∈Z  4  ，C错误； π π 对于D，由2x- ≠ +kπk∈Z 6 2  π kπ 得：x≠ + k∈Z 3 2  ， π ∴y=tan2x- 6  的定义域为 x  π kπ  x≠ + ,k∈Z  3 2  ； 又tan 2x+π    - π  6  π =tan2π+2x- 6  π =tan2x- 6  π ，∴π是y=tan2x- 6  的一个周期，D正确. 故选：ABD. cosx 5 (2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f(x)= ，若A，B是锐角△ABC的两个内 x 角，则下列结论一定正确的是 ( ) A. f(sinA)>f(sinB) B. f(cosA)>f(cosB) C. f(sinA)>f(cosB) D. f(cosA)>f(sinB) 【答案】D π π 【分析】由已知可得 >A> -B>0，根据余弦函数的单调性，得出cosA0,cosx>0，所以 <0，即f(x)<0， x2 所以fx  π 在0, 2  上单调递减. π π π 因为A，B是锐角△ABC的两个内角，所以A+B> ，则 >A> -B>0， 2 2 2 π 因为y=cosx在0, 2  上单调递减， π 所以0f(sinB)，故D正确. 同理可得f(cosB)>f(sinA)，C错误； 而A,B的大小不确定，故sinA与sinB，cosA与cosB的大小关系均不确定， 所以f(sinA)与f(sinB)，f(cosA)与f(cosB)的大小关系也均不确定，AB不能判断. 故选：D 6 (2024·河北·校联考一模)在△ABC中，若A=nBn∈N*  ，则 ( ) A.对任意的n≥2，都有sinAnsinB成立 D.存在n，使tanA>ntanB成立【答案】AD 【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC. π π 【详解】在△ABC中，当A=3B时，n=3，取B= ，则A= ，tanA=1， 12 4 π π tanB=tan - 3 4 3  3-1 = =2- 3，3tanB=3(2- 3)，则tanA>3tanB，B错，D对； 1+ 3 00 2 2  的最小正周期为4π． (1)求ω的值，并写出fx  的对称轴方程； (2)在△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c满足2a-c  cosB=b⋅cosC，求函数fA  的取值范围． 1 2π 【答案】(1)ω= ,x= +2kπ,k∈Z 4 3 1 (2) ,1 2  π 【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)=sin2ωx+ 6  ，再根据周期求出ω的值,利用整体法 即可求解对称轴. 1 π 1 π (2)把已知的等式变形并利用正弦定理可得cosB= ，故B= ，故f(A)=sin A+ 2 3 2 6  2π ,00)的图象向左平移 个单位长度后得 2 到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是 ( ) 1 2 4 5 A. B. C. D. 3 3 3 3 【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案. π 【详解】结合题意可得fx+ 2 7  π =sin ωx+ 2    + π  6  π π =sinωx+ ω+ 2 6  ,(ω>0)， π π π 因为曲线C关于y轴对称，所以 ω+ =kπ+ ,k∈Z 2 6 2  ， 2 解得ω=2k+ ,k∈Z 3  2 ,因为ω>0，所以当k=0时，ω有最小值 . 3 故选：B. 16 (2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数fx  =cos2x+acosx+2，则下列说法正确的有 ( ) A.当a=0时，fx  的最小正周期为π B.当a=1时，fx  7 的最小值为 8 C.当a=3时，fx  在区间0,2π  上有4个零点 D.若fx  π 在0, 3  上单调递减，则a≥2 【答案】AB 【分析】根据三角函数的周期性、含cosx的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识对选项进行 分析，从而确定正确答案. 【详解】当a=0时，fx  =cos2x+2，所以fx  的最小正周期为π，A选项正确； 当a=0时，fx  1 =cos2x+cosx+2=2cos2x+cosx+1=2cosx+ 4  2 7 7 + ≥ ， 8 8 所以fx  7 的最小值为 ，B选项正确； 8 当a=4时，fx  =cos2x+3cosx+2=2cos2x+3cosx+1=2cosx+1  cosx+1  ， 令fx  1 2π 4π =0，解得cosx=- 或cosx=-1，此时x= 或x= 或x=π， 2 3 3 fx  在区间0,2π  上有3个零点，C选项错误； fx  =cos2x+acosx+2=2cos2x+acosx+1，设t=cosx， π cosx在0, 3  1 上单调递减，则t∈ ,1 2  ，根据复合函数的单调性， gt  1 =2t2+at+1在 ,1 2  a 1 上单调递增，所以- ≤ ，解得a≥-2，D选项错误. 4 2 故选：AB π 17 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f(x)=sinωx+ 3cosωx(ω>0)满足:f 6  =2, 2π f 3  =0,则 ( ) 7π π A.曲线y=f(x)关于直线x= 对称 B.函数y=fx- 6 3  是奇函数 π 7π C.函数y=f(x)在 , 6 6  单调递减 D.函数y=f(x)的值域为[-2,2] 【答案】ABD π 【分析】用辅助角公式化简f(x),再利用f 6  2π =2,f 3  =0,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐 项判断即可. π 【详解】f(x)=2sinωx+ 3  ,所以函数y=f(x)的值域为[-2,2],故D正确；2π 因为f 3 8  2π π 3k-1 =0,所以 ω+ =kπ,k∈Z,所以ω= 1 ,k∈Z， 3 3 1 1 2 1 π 因为f 6  π π π =2,所以 ω+ = +2k π,k ∈Z,所以ω=12k +1,k ∈Z， 6 3 2 2 2 2 2 3k-1 所以 1 =12k +1,即k=8k +1， 2 2 1 2 所以ω∈{1,13,25,37⋯}， 7π 因为f 6  =2sin 12k 2 +1  7π π  + 6 3  3π =2sin14k π+ 2 2  =-2， 7π 所以曲线y=f(x)关于直线x= 对称,故A正确； 6 π 因为fx- 3  =2sin 12k 2 +1  π x- 3  π  + 3  =2sin 12k 2 +1   x-4k 2 π  =2sin 12k 2 +1   x  π 即fx- 3  π =-f-x- 3  ， π 所以函数y=fx- 3  是奇函数,故B正确； 2π 2π 7π π 取ω=13,则最小正周期T= = < - =π,故C错误. ω 13 6 6 故选：ABD 18 (2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A,B,C是函数fx  =sinωx+φ  (ω>0)的图象与直线y= 3 相邻的三个交点，且BC 2  -AB  π π = ,f- 3 12  =0，则 ( ) A.ω=4 9π B. f 8  1 = 2 C.函数fx  π π 在 , 3 2  上单调递减 D.若将函数fx  的图象沿x轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ  π 的最小值为 24 【答案】ACD 【分析】令fx  3 = 求得x ,x ,x 根据BC 2 A B C  -AB  π π = 求得ω=4，根据f- 3 12  =0求得fx  的解析 式，再逐项验证BCD选项. 【详解】令fx  =sinωx+φ  3 π 2π = 得，ωx+φ= +2kπ或ωx+φ= +2kπ，k∈Z， 2 3 3 π π 2π 由图可知：ωx +φ= +2kπ，ωx +φ= +2kπ+2π，ωx +φ= +2kπ， A 3 C 3 B 3 所以BC  1 π =x -x = - +2π C B ω 3  ，AB  1 π =x -x = ⋅ ， B A ω 3 π 所以 =BC 3  -AB  1 2π = - +2π ω 3  ，所以ω=4，故A选项正确，所以fx 9  =sin4x+φ  π ，由f- 12  π =0得sin- +φ 3  =0， π 所以- +φ=π+2kπ，k∈Z， 3 4π 所以φ= +2kπ，k∈Z， 3 所以fx  4π =sin4x+ +2kπ 3  4π =sin4x+ 3  π =-sin4x+ 3  ， 9π f 8  9π π =-sin + 2 3  1 =- ，故B错误. 2 π π 当x∈ , 3 2  π 5π π 时，4x+ ∈ ,2π+ 3 3 3  ， 5π π 因为y=-sint在t∈ ,2π+ 3 3  为减函数，故fx  π π 在 , 3 2  上单调递减，故C正确； 将函数fx  的图象沿x轴平移θ个单位得gx  π =-sin4x+4θ+ 3  ，(θ<0时向右平移，θ>0时向左平 移)， gx  π π 为偶函数得4θ+ = +kπ，k∈Z， 3 2 π kπ 所以θ= + ，k∈Z，则θ 24 4  π 的最小值为 ，故D正确. 24 故选：ACD. 19 (2024·重庆·统考一模)已知fx  =2asinωx⋅cosωx+bcos2ωxω>0,a>0,b>0  的部分图象如图 所示，当x∈ 0, 3π  4  时，fx  的最大值为 ． 【答案】 3 【分析】由图象求出函数fx  的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数fx  在 0, 3π  4  上的 最大值. 【详解】因为fx  =2asinωx⋅cosωx+bcos2ωx=asin2ωx+bcos2ωxω>0,a>0,b>0  ， 设fx  =Asin2ωx+φ  A>0,ω>0  ， 由图可知，函数fx  π π 的最小正周期为T=4× + 6 12  2π 2π =π，则2ω= = =2， T π fx 又因为A=  -fx max  2+2 min = =2，则fx 2 2  =2sin2x+φ  ， π 因为f- 12  π =2sinφ- 6  π =2，可得sinφ- 6  =1， π π 所以，φ- = +2kπk∈Z 6 2  2π ，则φ= +2kπk∈Z 3  ， 则fx  2π =2sin2x+ +2kπ 3  2π =2sin2x+ 3  ， 3π 2π 2π 13π 当0≤x≤ 时， ≤2x+ ≤ ， 4 3 3 6故fx 10  2π 3 =2sin =2× = 3. max 3 2 故答案为： 3. 20 (2024·云南曲靖·统考一模)函数fx  =Asinωx+φ  (其中A>0，ω>0，φ  π ≤ )的部分图象如 2 图所示，则 ( ) A. f0  =-1 B.函数fx  的最小正周期是2π C.函数fx  π 的图象关于直线x= 对称 3 D.将函数fx  π 的图象向左平移 个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称 6 【答案】AC 【分析】利用图象求出函数fx  的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周期性可判断B选 项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. fx 【详解】由图可知，A=  -fx max  2--2 min = 2  =2， 2 函数fx  3T 7π π 的最小正周期T满足 = -- 4 12 6  3π 2π 2π = ，则T=π，ω= = =2，B错； 4 T π 所以，fx  =2sin2x+φ  ， π f- 6  π =2sin 2×- 6    +φ   π =2sinφ- 3  π =-2，可得sinφ- 3  =-1， π π 5π π π π π π 因为- ≤φ≤ ，所以，- ≤φ- ≤ ，则φ- =- ，可得φ=- ， 2 2 6 3 6 3 2 6 所以，fx  π =2sin2x- 6  ，则f0  π =2sin- 6  =-1，A对； π f 3  π π =2sin2× - 3 6  π =2sin =2=fx 2  ， max 所以，函数fx  π 的图象关于直线x= 对称，C对； 3 将函数fx  π 的图象向左平移 个单位长度以后， 6 π 得到函数y=2sin 2x+ 6    - π  6  π =2sin2x+ 6  的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错. 故选：AC. 21 (2024·浙江·校联考一模)已知函数y=2sinωx+φ  ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且 点1,0  是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是 ( ) π π π 2π π π π 2π A.ω=- ,φ=- B.ω=- ,φ= C.ω= ,φ= D.ω= ,φ= 3 3 3 3 3 3 3 3【答案】D π 【分析】由题意首先得ω= ，进一步由ω+φ=kπ,k∈Z，对比选项即可得解. 3 T 2π 【详解】由题意函数的周期T满足， = 52-42=3= 2 2ω 11  π ，所以ω=± ， 3 又点1,0  是函数的一个对称点，所以ω+φ=kπ,k∈Z， ω= π 所以   ω φ= = k π 3 π- π,k∈Z 或   ω φ= =- kπ π 3 + π,k∈Z ，对比选项可知，只有当     φ= 2 3 3 π 时满足题意. 3 3  k=1 故选：D. 22 (2024·广东深圳·校考一模)已知函数fx  π =cosωx+ 3  +1(ω>0)的最小正周期为π，则fx  在 区间 0, π  2  上的最大值为 ( ) 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 【答案】C 【分析】由周期公式求得ω，结合换元法即可求得最大值. 2π 【详解】由题意T= =π，解得ω=2，所以fx ω  π =cos2x+ 3  +1， 当x∈ 0, π  2  时，t=2x+ π ∈  π , 4π 3  3 3  ， 所以fx  在区间 0, π  2  π 3 上的最大值为cos +1= ，当且仅当x=0时等号成立. 3 2 故选：C. 5π 23 (2024·山西晋城·统考一模)若函数f(x)=cosωx(0<ω<100)在π, 2  上至少有两个极大值点和 两个零点，则ω的取值范围为 ． 8 【答案】 ,2 5  12 ∪ ,100 5  【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解. ω>0 2kπ 2kπ >π 【详解】令ωx=2kπ，k∈Z，得f(x)的极大值点为x= ，k∈Z，则存在整数k，使得 ω ω 2k+1     ，     π < 5π ω 2 4(k+1) 解得 <ω<2k(k∈N*)． 5 因为函数y=cosx在两个相邻的极大值点之间有两个零点， 4(k+1) 所以 <ω<2k(k∈N*)． 5 8 12 当k=1时， <ω<2．当k=2时， <ω<4． 5 5 4(k+1) 4(k+2) 当k≥2时， < <2k．又0<ω<100， 5 5 8 所以ω的取值范围为 ,2 5  12 ∪ ,4 5  16 ∪ ,6 5  204 ∪⋅⋅⋅∪ ,100 5  8 = ,2 5  12 ∪ ,100 5  ． 8 故答案为： ,2 5  12 ∪ ,100 5 4k+1 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出 12  <ω<2kk∈N* 5  并赋值计算是解 决问题关键. 24 (2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于 它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数fx  =Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ   <π  的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 ( ) 1 π A.ω=2，频率为 ，初相为 π 6 B.函数fx  π 的图象关于直线x=- 对称 6 C.函数fx  在  π , 13π 12 24  上的值域为0,2  D.若把fx  2 π 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，则所得函数 3 12 π 是y=2sin3x+ 12  【答案】BCD 【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断. 3 13π π 3π 【详解】由图象可得A=2, T= - = ,∴T=π， 4 12 3 4 1 1 2π π 频率是 = ,ω= =2,∵f T π π 3  π =2,∴f 3  2π =2sin +φ 3  =2， 2π 即sin +φ 3  2π π =1,∴ +φ=2kπ+ (k∈Z)， 3 2 π π ∴φ=2kπ- (k∈Z),∵|φ|<π,∴φ=- ， 6 6 π 对于A，∴f(x)=2sin2x- 6  π ，初相是- ，故A错误； 6 π 对于B，f- 6  π π =2sin- - 3 6  =-2，故B正确； 对于C，因为x∈  π , 13π 12 24  ，所以2x- π ∈ 0, 11π 6  12  ， π ∴f(x)=2sin2x- 6  在  π , 13π 12 24  上的值域为[0,2]，故C正确； 2 π 对于D，把f(x)的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数为y=2sin3x- 3 6  ， π π 又向左平移 个单位，得到的函数为y=2sin 3x+ 12 12    - π  6  π =2sin3x+ 12  ，故D正确； 故选：BCD. 题型04 解三角形 25 (2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者 找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC=67.5°，从C点测得∠ACD=45°，∠BCE=75°，从E点测得∠BEC=60°．若测得DC=2 3，CE= 2(单位：百米)，则A，B两点的距离为 ( ) A. 6 B.2 2 C.3 D.2 3 【答案】C 【分析】在△ADC中，求得AC=DC；在△BCE中，利用正弦定理求得BC；再在△ABC中，利用余弦定理 即可求得结果. 【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC=67.5°，DC=2 3， 则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°，则AC=DC=2 3， 在△BCE中，∠BCE=75°，∠BEC=60°，CE= 2， 则∠EBC=180°-75°-60°=45°， 2× 3 则有 CE = BC ，变形可得BC= CE⋅sin∠BEC = 2 = 3， sin∠EBC sin∠BEC sin∠EBC 2 2 在△ABC中，AC=2 3，BC= 3，∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°， 则AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9， 则AB=3． 故选：C. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题. 26 (2024·广东深圳·校考一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c= 2acosA，则cosA= ( ) 1 2 3 6 A. B. C. D. 3 4 3 3 【答案】D 【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解. 【详解】解：因为c=2acosA， b2+c2-a2 由余弦定理可得c=2a⋅ ，将a=3，b=5代入整理得c=2 6， 2bc c 6 所以cosA= = . 2a 3 故选：D. 27 (2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c，且c-b=2bcosA，则下列结论正确的有 ( ) π A.A=2B B.B的取值范围为0, 4 13  a C. 的取值范围为 2, 3 b  1 1 D. - +2sinA的最小值为2 2 tanB tanA 【答案】AC 【分析】用正弦定理可判断A项，由锐角三角形可判断B项，用倍角公式可判断C项，切化弦后用取等条件即可判断D项. 【详解】在△ABC中，由正弦定理可将式子c-b=2bcosA化为sinC-sinB=2sinBcosA， 把sinC=sinA+B 14  =sinAcosB+cosAsinB代入整理得，sinA-B  =sinB， 解得A-B=B或A-B+B=π，即A=2B或A=π(舍去)，所以A=2B，选项A正确； 00， 所以a=2. b2+c2-a2 b2+c2-4 1 (2)由(1)及已知，有cosA= = =- ，可得b2+c2+bc=4， 2bc 2bc 2 又a+b+c=2+ 5，即b+c= 5， 1 3 所以(b+c)2-bc=5-bc=4⇒bc=1，故S = bcsinA= . △ABC 2 4 a-b 29 (2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 = c sinA-sinC ． sinA+sinB (1)求角B的大小； (2)若b=2，求△ABC周长的最大值． π 【答案】(1)B= 3 (2)6【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果； (2)根据a2+c2-b2=ac，结合基本不等式运算求解. a-b sinA-sinC a-b a-c 【详解】(1)因为 = ，由正弦定理可得 = ， c sinA+sinB c a+b 整理得a2+c2-b2=ac， a2+c2-b2 ac 1 由余弦定理可得cosB= = = ， 2ac 2ac 2 且B∈0,π 15  π ，所以B= . 3 (2)由(1)可知：a2+c2-b2=ac，整理得a+c  a+c 2-4=3ac，即ac=  2-4 ， 3 a+c 因为ac≤  2 ，当且仅当a=c=2时，等号成立， 4 a+c 则  2-4 a+c ≤ 3  2 ，可得a+c 4  2≤16，即a+c≤4， 所以△ABC周长的最大值为4+2=6. 30 (2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cosC 1 =- ,c=2a. 4 (1)求sinA的值； (2)若△ABC的周长为18，求△ABC的面积. 15 【答案】(1) 8 (2)3 15 【分析】(1)由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解; (2)由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解. 1 15 【详解】(1)因为0