北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题十二 数系的扩充与复数的引入
专题检测
1.(2017安徽黄山二模,2)复数z=(a+1)+(a2-3)i(i为虚数单位),若z<0,则实数a的值是( )
A.√3 B.1 C.-1 D.-√3
答案 D
由题意得{a+1<0,
a2-3=0,
解得a=-√3.故选D.
2.(2020河南濮阳零模,1)设复数z满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为M(a,b),则M不可能为 ( )
A.(2,√3) B.(3,2) C.(5,0) D.(4,1)
答案 D 设z=a+bi,因为|z-3|=2,所以(a-3)2+b2=4,经验证M(4,1)不满足,故选D.
3.(2019河北省级示范性高中联合体3月联考,1)下列各式的运算结果为实数的是 ( )
A.-i(1+i) B.i(1-i)
C.(1+i)-(1-i) D.(1+i)(1-i)
答案 D A,-i(1+i)=1-i;B,i(1-i)=1+i;C,(1+i)-(1-i)=2i;D,(1+i)(1-i)=2.故选D.
4.(2020九师联盟9月质量检测,1)已知i为虚数单位,则复数(2-i)i3的虚部为 ( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案 A 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,考查的核心素养是数学运算.(2-i)i3=(2-i)·(-
i)=-2i+i2=-1-2i,其虚部为-2,故选A.
5.(2019江西红色七校第二次联考,2)若复数z=(2+ai)(a-i)在复平面内对应的点在第三象限,其中a∈R,i为虚数
单位,则实数a取值范围为 ( )
A.(-√2,√2) B.(-√2,0) C.(0,√2) D.[0,√2)
答案 B z=(2+ai)(a-i)=3a+(a2-2)i在复平面内对应的点在第三象限,∴{ 3a<0, 解得- <a<0.故选B.
√2
a2-2<0,
6.(2020贵州4月模拟,5)据记载,欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉
为“数学中的天桥”,特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,将数学中五个重要的数(自然
对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,1和0)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧
π
拉公式,若复数 i的共轭复数为z,则z= ( )
e4
√2 √2 √2 √2
A.- - i B.- + i
2 2 2 2
√2 √2 √2 √2
C. + i D. - i
2 2 2 2
π π π √2 √2
答案 D 复数 e4 i=cos
4
+isin
4
=
2
+
2
i,
√2 √2
则其共轭复数为z= - i,故选D.
2 2
7.(2020辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中等期末,7)如图,在复平面内点P对应的复数z=2+i,将点
1
π
P绕坐标原点O逆时针旋转 到点Q,则点Q对应的复数z 的虚部为 ( )
2
6
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A. -1 B.√3+1 C.( 1)i D.(√3 )i
√3 √3- +1
2 2 2 2
π
答案 B 设P点对应的向量为⃗OP,向量⃗OP绕坐标原点O逆时针旋转 得到⃗OQ,∴⃗OQ对应的复数为
6
(2+i)·(
cos
π
+isin
π)=(2+i)(√3
+
1
i
)=(
√3-
1)+(√3
+1
)i,∴点Q对应的复数z
2
的虚部为√3
6 6 2 2 2 2 2
+1.故选B.
z
8.(2019山西太原模拟,3)设复数z=1-√3i(i是虚数单位),则 的虚部为 ( )
z
√3 √3 √3 √3
A. i B.- C. D.- i
2 2 2 2
答案 C ∵z=1-√3i,
∴z= z2 =(1+√3i)2 =1+2√3i-3=-1+√3i.
z z·z |z|2 4 2 2
z √3
∴ 的虚部为 .故选C.
z 2
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