北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.5 对数与对数函数
专题检测
[教师专用题组]
【3 年模拟】
1.(2019全国名校模拟示范卷一,5)已知函数f(x)={ 2x-1-2,x≤1, 若f(a)=-3,则f(a-7)= ( )
-log (x+1),x>1,
2
7 3 3 4
A.- B.- C. D.
3 2 5 5
答案 B ∵函数f(x)={ 2x-1-2,x≤1, f(a)=-3,
-log (x+1),x>1,
2
∴当a≤1时, f(a)=2a-1-2=-3,无解;
当a>1时, f(a)=-log(a+1)=-3,解得a=7,
2
3
∴f(a-7)=f(7-7)=f(0)=20-1-2=- .故选B.
2
x 1
2.(2018山东淄博模拟,10)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln + ,对任意a∈R,存在b∈(0,+∞),使f(a)=g(b),则b-a的最小
2 2
值为( )
1
A.2√e-1 B.e2-
2
C.2-ln 2 D.2+ln 2
b 1 1 1 1 1
答案 D 令y=ea,则a=ln y,令y=ln + ,可得b=2 y- ,令h(y)=b-a,则h(y)=2 y- -ln y,∴h'(y)=2 y- - .
2 2 e 2 e 2 e 2 y
1 1 1 1 1
显然,h'(y)是增函数,观察可得当y= 时,h'(y)=0,故h'(y)有唯一零点.故当y= 时,h(y)取得最小值,为2 - -ln
2 2
e2 2
2
=2+ln 2,故选D.
3.(2019北京东城期末,8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏
震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分
E
别为E
1
和E
2
,则 1的值所在的区间为( )
E
2
A.(1,2) B.(5,6)
C.(7,8) D.(15,16)
3
答案 B 由lg E=4.8+1.5M可得lg E=4.8+1.5×8=16.8,lg E=4.8+1.5×7.5=16.05,∵lg E-lg E=0.75= ,∴lg
1 2 1 2
4
E
E 1=3
4
,∴
E
E 1=1
0
3
4
=
√41 000
,∵5=
√4 625
<
√41 000
<
√41 296
=6,∴选B.
2 2
第1页共5页北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
x+1
4.(2018安徽安庆二模,7)函数f(x)= log|x|(0<a<1)的图象的大致形状是 ( )
|x+1| a
{
-log (-x),x<-1,
x+1 a
答案 C f(x)= log a |x|= log (-x),-1<x<0,
|x+1| a
log x,x>0.
a
故选C.
5.(2018北京二十七中期中,8)对于函数f(x)=lg|x-2|+1,有如下三个命题:
①f(x+2)是偶函数;
②f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数;
③f(x+2)-f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
答案 A 令g(x)=f(x+2)=lg|x|+1,则g(x)=g(-x),故①正确;
∵函数t=|x-2|在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,且y=lg t在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,故②正确;
f(x+2)-f(x)=lg|x|-lg|x-2|=lg| x |=lg| 2 |,在(2,+∞)上是减函数,故③错误.
1+
x-2 x-2
故选A.
6.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,3)设a>0,b>0,则“loga+logb≥log(a+b)”是“ab≥4”的( )
2 2 2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 若loga+logb≥log(a+b),则ab≥a+b.又a>0,b>0,则ab≥a+b≥2√ab,即ab≥4,故充分性成立;若
2 2 2
a=4,b=1,则满足ab≥4,但loga+logb=2,log(a+b)=log5>2,∴loga+logb≥log(a+b)不成立,故必要性不成立,故
2 2 2 2 2 2 2
选A.
7.(2018天津新华中学模拟,4)关于x的函数y=lo g 1(x2-ax+2a)在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是(
2
)
A.(-∞,2] B.(-1,+∞)
C.(-1,2] D.(-∞,-1)
g
答案 C ∵函数y=lo 1(x2-ax+2a)在[1,+∞)上为减函数,∴t=x2-ax+2a在[1,+∞)上为增函数,且在[1,+∞)上t>0恒
2
成立,
{ a
≤1,
则 解得-1<a≤2.
2
12-a+2a>0,
第2页共5页北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴实数a的取值范围是(-1,2].
8.(2017陕西西安4月模拟,6)若实数x满足logx=2+sin θ,则|x+1|+|x-10|= ( )
2
A.2x-9 B.9-2x C.11 D.9
答案 C 因为sin θ∈[-1,1],所以2+sin θ∈[1,3],即logx∈[1,3],解得x∈[2,8],所以|x+1|+|x-10|=(x+1)+(10-
2
x)=11,故选C.
9.(2018浙江9+1高中联盟期中,11)随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当
务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发
现了对数与指数的关系,即ab=N⇔b=logN.
a
现在已知2a=3,3b=4,则ab= .
答案 2
解析 因为2a=3,3b=4,所以a=log3,b=log4,
2 3
ln3 ln4 ln4
故ab=log3×log4= × = =2.
2 3
ln2 ln3 ln2
{
x+2
10.(2018江苏镇江高三上学期期末,14)已知k为常数,函数f(x)= ,x≤0, 若关于x的方程f(x)=kx+2
x+1
|lnx|,x>0,
有且只有4个不同的解,则实数k的取值范围为 .
答案 {1 }∪(-e,-1)
e3
x+2
解析 当x=0时, =kx+2成立,
x+1
故当x≠0时,方程有三个根,
x+2 -1
当x<0时, =kx+2⇒k= ,
x+1 x+1
-lnx-2
{ ,0<x<1,
当x>0时,|ln x|=kx+2⇒k=|lnx|-2= x
x x lnx-2
,x≥1,
x
-1
{ ,x<0,
x+1
故k= -lnx-2 ,0<x<1,令k=g(x),当0<x<1时,g'(x)= -1-(-lnx-2) = lnx+1 ,令g'(x)=0,则x=1
x x2 x2 e
lnx-2
,x≥1,
x
,g(1)=-e,
e
1-(lnx-2) -lnx+3
当x≥1时,g'(x)= = ,
x2 x2
第3页共5页北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1
令g'(x)=0,则x=e3,g(e3)= .
e3
画出图象可得k∈(-e,-1)∪{1 }.
e3
11.(2018北京石景山期末,9)若a=ln1,b=(1) 0.8 ,c= 1,则a,b,c的大小关系为 .
2 3
23
答案 a<b<c
解析 ∵a=ln1<0,0<b=(1) 0.8 <1,c= 1>1,∴a<b<c.
2 3
23
12.(2019贵州质量测评卷一,15)已知函数y=log(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数
a
f(x)=3x+b的图象上,则b= .
答案 -7
解析 令x-1=1,得x=2,∴定点为A(2,2),将定点A的坐标代入函数f(x)中,得2=32+b,解得b=-7.
13.(2018浙江萧山九中12月月考,11)若函数f(x)=√1+lgx+lg x,则f(x)的定义域为 ;不等式f(x)>1
的解集是 .
答案 [ 1 );(1,+∞)
,+∞
10
解析 由1+lg x≥0,得x≥ 1 ,则f(x)的定义域为[ 1 ).
,+∞
10 10
令√1+lgx=t,t≥0,则不等式f(x)>1可转化为t2+t-2>0,
∵t≥0,∴t>1.
∴1+lg x>1,∴x>1,故不等式f(x)>1的解集是(1,+∞).
1-x
14.(2018江苏南通一中期中)已知函数f(x)=-x+log .
2 1+x
(1)求f( 1 )+f( 1 )的值;
-
2 018 2 018
(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1)时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题意易得f(x)的定义域是(-1,1).
1-x
由f(x)=-x+log ,
2 1+x
第4页共5页北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
可得f(-x)=x+log
2
1+x=-(-x)+log 2(1-x) -1 =-(
-x+log
1-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0,
1-x 1+x 21+x
所以f( 1 )+f( 1 )=0.
-
2 018 2 018
1-x 2
(2)令t= =-1+ ,
1+x 1+x
2
则t=-1+ 在(-1,1)内单调递减.
1+x
又y=logt在(0,+∞)上单调递增,
2
1-x
所以f(x)=-x+log 在(-1,1)内单调递减,
2 1+x
1-a
所以当x∈(-a,a],其中a∈(0,1)时,函数f(x)存在最小值f(a)=-a+log .
2 1+a
15.(2018江苏盐城中学上学期第一次检测,16)已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)记函数g(x)=10f(x)+3x,求函数g(x)的值域;
(3)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.
解析 (1)∵函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x),
{2+x>0,
∴ 解得-2<x<2.
2-x>0,
∴函数f(x)的定义域为(-2,2).
∵f(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2).
∵g(x)=10f(x)+3x,
∴g(x)=-x2+3x+4=-( 3) 2 +25(-2<x<2),
x-
2 4
∴g(x)
max
=g(3)=25,g(x)
min
=g(-2)=-6.
2 4
∴函数g(x)的值域是( 25].
-6,
4
(3)∵不等式f(x)>m有解,∴m<f(x) ,
max
令t=4-x2,由于-2<x<2,∴0<t≤4,∴m<lg 4.
∴实数m的取值范围为{m|m<lg 4}.
第5页共5页
