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第二章 函数 ５ １
§２．４ 指数函数与对数函数
指数式与对数式 学生用书Ｐ２６ 评析 本题考查对数式、指数式的运算，注意 ｂ １ ，
ｌｏｇａ ＝ ａ
ｌｏｇｂ
１．（２０２１全国甲理，４，５分）青少年视力是社会普遍关注的问题
， 先求出 ｂ １ 是解题的突破口．
视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法 ｌｏｇａ ＝
２
记录视力数据 五分记录法的数据Ｌ和小数记录法的数据Ｖ满
，
足Ｌ Ｖ．已知某同学视力的五分记录法的数据为 ． 则 指数函数与对数函数 学生用书Ｐ２６
＝５＋ｌｇ ４ ９，
其视力的小数记录法的数据约为 （ １０ １０≈１ ． ２５９） （ ） １．（２０１９天津理，６，５分）已知ａ ＝ｌｏｇ５２， ｂ ＝ｌｏｇ０ ． ５０ ． ２， ｃ ＝０ ． ５ ０ ． ２ ， 则
． ． ． ． ａ ｂ ｃ的大小关系为
Ａ．１５ Ｂ．１２ Ｃ．０８ Ｄ．０６ ， ， （ ）
１． 答案 Ｃ ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
２．（２０２０课标 文，８，５分）设ａ 则 － ａ １． 答案 Ａ
Ⅰ ｌｏｇ３４＝２， ４ ＝ （ ）
１ １ １ １ ２．（２０１８天津理，５，５分）已知ａ ｂ ｃ １ 则ａ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ＝ｌｏｇ２ｅ， ＝ｌｎ ２， ＝ｌｏｇ１ ２ ， ，
１６ ９ ８ ６ ３
２． 答案 Ｂ ｂ ｃ的大小关系为
， （ ）
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ
３．（２０２０课标 文，１０，５分）设ａ ｂ ｃ ２ 则 Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
Ⅲ ＝ｌｏｇ３２， ＝ｌｏｇ５３， ＝ ， （ ） ２． 答案 Ｄ
３
ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ３．（２０２０课标 ，文１２，理１１，５分）若 ｘ ｙ － ｘ － ｙ 则
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ Ⅱ ２ －２ ＜３ －３ ， （ ）
３． 答案 Ａ ｙ ｘ ｙ ｘ
Ａ．ｌｎ（ － ＋１）＞０ Ｂ．ｌｎ（ － ＋１）＜０
４．（２０２０天津，６，５分）设ａ ＝３ ０ ． ７ ， ｂ ＝ ( １ ) －０ ． ８ ， ｃ ＝ｌｏｇ０ ． ７０ ． ８， 则ａ ， ３． Ｃ．ｌ 答 ｎ｜ 案 ｘ － ｙ ｜ Ａ ＞０ Ｄ．ｌｎ｜ ｘ － ｙ ｜＜０
３
ｂ ｃ的大小关系为 ４．（２０１８课标 理，１２，５分）设ａ ． ｂ ． 则
， （ ） Ⅲ ＝ｌｏｇ０ ． ２０３， ＝ｌｏｇ２０３， （ ）
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ａ ｂ ａｂ ａｂ ａ ｂ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ Ａ． ＋ ＜ ＜０ Ｂ． ＜ ＋ ＜０
４． 答案 Ｄ ａ ｂ ａｂ ａｂ ａ ｂ
Ｃ． ＋ ＜０＜ Ｄ． ＜０＜ ＋
５．（２０２０课标 理，１２，５分）若 ａ ａ ｂ ｂ 则 ４． 答案 Ｂ
Ⅰ ２ ＋ｌｏｇ２ ＝４ ＋２ｌｏｇ４ ， （ ）
ａ ｂ ａ ｂ ５．（２０１７天津理，６，５ 分）已知奇函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上是增函数
Ａ． ＞２ Ｂ． ＜２ （ ） ，
ａ ｂ２ ａ ｂ２ ｇ ｘ ｘｆ ｘ ．若ａ ｇ ． ｂ ｇ ０ ． ８ ｃ ｇ 则ａ ｂ ｃ
Ｃ． ＞ Ｄ． ＜ （ ）＝ （ ） ＝ （－ｌｏｇ２５１）， ＝ （２ ）， ＝ （３）， ， ，
５． 答案 Ｂ 的大小关系为
（ ）
６．（２０２０课标 理，１２，５分）已知 ５ ４ ４ ５．设ａ ｂ ａ ｂ ｃ ｃ ｂ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ａ
Ⅲ ５ ＜８ ，１３ ＜８ ＝ｌｏｇ５３， ＝ Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
ｃ 则 ５． 答案 Ｃ
ｌｏｇ８５， ＝ｌｏｇ１３８， （ ）
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ６．（ 课标文， ， 分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ ２０１７ Ⅰ ９ ５ （ ）＝ｌｎ ＋ｌｎ（２－ ）， （ ）
ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ｆ ｘ 在 单调递增
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ Ａ． （ ） （０，２）
６． 答案 Ａ ｆ ｘ 在 单调递减
Ｂ． （ ） （０，２）
ｘ ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称
７．（２０１８上海，１１，５分）已知常数ａ 函数ｆ ｘ ２ 的图象 Ｃ． ＝ （ ） ＝１
＞０， （ ）＝ ｘ ａｘ ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 对称
２ ＋ Ｄ． ＝ （ ） （１，０）
( ) ( ) ６． 答案 Ｃ
经过点Ｐ ｐ ， ６ 、 Ｑ ｑ ，－ １ ， 若 ２ ｐ ＋ ｑ ＝３６ ｐｑ ， 则ａ ＝ ． ７．（２０１７课 标 文，８，５分）函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ 的单调递增
５ ５ Ⅱ （ ）＝ｌｎ（ －２ －８）
７． 答案 区间是
６ （ ）
以下为教师用书专用 Ａ．（－∞，－２） Ｂ．（－∞，１） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（４，＋∞）
７． 答案 Ｄ
（２０１６浙江，１２，６分）已知ａ ｂ ．若 ｂ ａ ５ ａｂ ｂａ ８．（２０１９北京理，１３，５分）设函数 ｆ ｘ ｘ ａ － ｘ ａ 为常数 ．若
＞ ＞１ ｌｏｇａ ＋ｌｏｇｂ ＝ ， ＝ ， （ ）＝ｅ ＋ ｅ （ ）
２ ｆ ｘ 为奇函数 则ａ 若 ｆ ｘ 是 Ｒ上的增函数 则
则ａ ｂ ． （ ） ， ＝ ； （ ） ，
＝ ， ＝ ａ的取值范围是 ．
答案
４；２ ８． 答案
－１；（－∞，０］
解析 令 ｂ ｔ ａ ｂ ｔ 由 ｂ ａ ５ 得
ｌｏｇａ ＝ ，∵ ＞ ＞１，∴０＜ ＜１， ｌｏｇａ ＋ｌｏｇｂ ＝ ， 以下为教师用书专用（１—１０）
２
１．（２０１５天津文，７，５分）已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ ｜ ｘ － ｍ ｜
ｔ １ ５ 解得ｔ １ 或ｔ 舍去 即 ｂ １ ｂ ａ 又 （ ）＝２ －１
＋ ｔ ＝ ， ＝ ＝２（ ）， ｌｏｇａ ＝ ，∴ ＝ ， ｍ为实数 为偶函数．记ａ ｆ ｂ ｆ ｃ ｆ ｍ
２ ２ ２ （ ） ＝ （ｌｏｇ０ ． ５３）， ＝ （ｌｏｇ２５）， ＝ （２ ），
ａｂ ｂａ ａａ ａ ａ 即ａａ ａ ａ ２ 亦即 ａ ａ 解得ａ ｂ ． 则ａ ， ｂ ， ｃ的大小关系为 （ ）
＝ ，∴ ＝（ ） ， ＝ ， ＝ ， ＝４，∴ ＝２
２
５ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ｂ ａ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
答案 Ｂ 因为ｆ ｘ 是偶函数 所以ｍ 所以ｆ ｘ ｜ ｘ ｜ ｃ ｂ ａ ａ ｂ ｃ
（ ） ， ＝０， （ ）＝２ － Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
且ｆ ｘ 在 上为增函数 由题意得 ａ ｆ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ
１， （ ） ［０，＋∞） ， ＝ （ｌｏｇ０ ． ５３）＝ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
ｆ ｆ 因为 所以 ｆ 答案 Ａ 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质 通
（－ｌｏｇ２３）＝ （ｌｏｇ２３）， ｌｏｇ２５＞ｌｏｇ２３＞０， （ｌｏｇ２５）＞ ；
ｆ ｆ 即ｂ ａ ｃ 故选 ． 过对对数式的估算或适当 缩放 考查学生的直观想象与逻辑
（ｌｏｇ２３）＞（０）， ＞ ＞ ， Ｂ “ ”
２．（２０１３课标 文，１２，５分）若存在正数ｘ使 ｘ ｘ ａ 成立 推理的核心素养．
Ⅱ ２ （ － ）＜１ ，
则ａ的取值范围是 显然ｃ ． ０ ． ２ ．
（ ） ＝０３ ∈（０，１）
因为 所以 ｂ ．
Ａ．（－∞，＋∞） Ｂ．（－２，＋∞） ｌｏｇ３３＜ｌｏｇ３８＜ｌｏｇ３９， １＜ ＜２
因为 所以ａ ．
Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（－１，＋∞） ｌｏｇ２７＞ｌｏｇ２４＝２， ＞２
故ｃ ｂ ａ．选 ．
答案 Ｄ 由 ｘ ｘ ａ 得ａ ｘ １ 令ｆ ｘ ｘ １ 即ａ ＜ ＜ Ａ
２（ － ）＜１ ＞ － ｘ， （ ）＝ － ｘ， ＞ ７．（２０１６课标 文，８，５分）若ａ ｂ ｃ 则
２ ２ Ⅰ ＞ ＞０，０＜ ＜１， （ ）
ｆ ｘ 有解 则ａ ｆ ｘ 又 ｙ ｆ ｘ 在 上递增 所以 ｃ ｃ ａ ｂ
（ ） ， ＞ （ ）ｍｉｎ， ＝ （ ） （０，＋∞） ， Ａ．ｌｏｇａ ＜ｌｏｇｂ Ｂ．ｌｏｇｃ ＜ｌｏｇｃ
ｆ ｘ ｆ 所以ａ 选 ． ａｃ ｂｃ ｃａ ｃｂ
（ ）＞（０）＝－１， ＞－１， Ｄ Ｃ． ＜ Ｄ． ＞
评析 本题考查了函数的值域与最值的求法，考查了分离参 答案 Ｂ ｃ 当ａ ｂ 时 ｃ ｃ 项错误
∵０＜ ＜１，∴ ＞ ＞１ ，ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ ，Ａ ；
变量的方法，熟悉基本初等函数的单调性是解题关键． ｃ ｙ ｘ在 上单调递减 又ａ ｂ
∵０＜ ＜１，∴ ＝ｌｏｇｃ （０，＋∞） ， ＞ ＞０，
３．（２０１６课标 Ⅲ ，６，５分）已知ａ ＝２ ４ ３ ， ｂ ＝４ ２ ５ ， ｃ ＝２５ １ ３ ， 则 （ ） ∴ ｌｏｇｃ ａ ＜ｌｏｇｃ ｂ ，Ｂ 项正确 ；
ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｃ ｃ 函数ｙ ｘｃ 在 上单调递增
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ ∵０＜ ＜１，∴ ＝ （０，＋∞） ，
ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ 又 ａ ｂ ａｃ ｂｃ 项错误
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ ∵ ＞ ＞０，∴ ＞ ，Ｃ ；
答案 Ａ 因为ａ ４ ３ ２ ３ ｃ １ ３ ２ ３ 函数ｙ ｘ２ ３ 在 ∵０＜ ｃ ＜１，∴ ｙ ＝ ｃｘ 在 （０，＋∞） 上单调递减 ，
＝２ ＝４ ， ＝２５ ＝５ ， ＝ （０， 又 ａ ｂ ｃａ ｃｂ 项错误．故选 ．
上单调递增 所以 ２ ３ ２ ３ 即ａ ｃ ∵ ＞ ＞０，∴ ＜ ，Ｄ Ｂ
＋∞） ， ４ ＜５ ， ＜ ， 评析 本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和
又因为函数ｙ ＝４ ｘ 在Ｒ上单调递增 ， 所以 ４ ２ ５ ＜４ ２ ３ ， 即ｂ ＜ ａ ， 性质 ，熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质是
所以ｂ
＜
ａ
＜
ｃ
，
故选
Ａ
． 解题的关键．
的性
思
质
路
可
分
得
析
ａ ｃ
利
．再
用
利
指
用
数
指
的
数
运
函
算性
数
质
性
得
质
ａ
比
＝
较
４ ２ ３
ａ
，
，
ｃ
ｂ
＝５
得
２ ３，
ｂ
利
ａ
用
，从
幂
而
函数
得
８．（２０１３课标 Ⅱ 理，８，５分）设ａ ＝ｌｏｇ３６， ｂ ＝ｌｏｇ５１０， ｃ ＝ｌｏｇ７１４， 则
＜ ＜
结论． （ ）
ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ａ ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｃ
４．（２０１６四川文，１４，５分）若函数ｆ （ ｘ ） 是 ( 定义在 ) Ｒ上的周期为 ２ Ａ． 答 ＞ 案 ＞ Ｄ 由 Ｂ． 对 ＞ 数 ＞ 运算法则 Ｃ． 得 ＞ ａ ＞ ＝ｌｏｇ３６＝ Ｄ １ ． ＋ ＞ ｌｏｇ ＞ ３２， ｂ ＝１＋
的奇函数 ， 当 ０＜ ｘ ＜１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝４ ｘ ， 则ｆ － ５ ＋ ｆ （２）＝ ． ｌｏｇ５２， ｃ ＝１＋ｌｏｇ７２， 由对数函数图象得 ｌｏｇ３２＞ｌｏｇ５２＞ｌｏｇ７２， 所以ａ
２ ｂ ｃ 故选 ．
答案 ＞ ＞ ， Ｄ
－２ ９．（２０１３课标 文，８，５分）设ａ ｂ ｃ 则
解析 ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 Ⅱ ＝ｌｏｇ３２， ＝ｌｏｇ５２， ＝ｌｏｇ２３，
∵ （ ） ，
ｆ （ ）
∴ （０）＝０， ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ
又 ｆ ｘ 的周期为 Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
∵ （ ） ２， 答案 Ｄ
ｆ ∵ ３＜２＜３，１＜２＜ ５，３＞２，∴ ｌｏｇ３ ３＜ｌｏｇ３２＜ｌｏｇ３３，
∴ （２）＝０，
( ) ( ) ( ) １ ａ ｂ １ ｃ
又 ｆ ５ ｆ １ ｆ １ １ ２ ｌｏｇ５１＜ｌｏｇ５２＜ｌｏｇ５ ５，ｌｏｇ２３＞ｌｏｇ２２，∴ ＜ ＜１，０＜ ＜ ， ＞１，
∵ － ＝ － ＝－ ＝－４ ＝－２， ２ ２
２ ２ ２ ｃ ａ ｂ．故选 ．
( ) ∴ ＞ ＞ Ｄ
ｆ ５ ｆ ．
∴ － ＋（２）＝－２ １０．（２０１２课标文，１１，５分）当 ｘ １ 时 ｘ ｘ 则ａ的取值
２ ０＜ ≤ ，４ ＜ｌｏｇａ ，
评析 本题考查了函数的奇偶性及周期性，属中档题． ２
范围是
５．（２０１５山东理，１４，５分）已知函数ｆ ｘ ａｘ ｂ ａ ａ 的定 （ ）
（ ）＝ ＋ （ ＞０， ≠１） æ ö æ ö
义域和值域都是 ［－１，０］， 则ａ ＋ ｂ ＝ ． Ａ．è ç ０， ２ ø ÷ Ｂ．è ç ２ ，１ø ÷ Ｃ．（１， ２） Ｄ．（ ２，２）
２ ２
答案 － ３ 答案 Ｂ 易知 ０＜ ａ ＜１， 则函数ｙ ＝４ ｘ 与ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ的大致图
２
解析 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递增 则
① ＞１ ， （ ） ［－１，０］ ， 象如图 则只需满足 １ 解得 ａ ２ ２ ａ 故
{ａ－１
＋
ｂ
＝－１，无解．
， ｌｏｇａ
２
＞２， ＞
２
，∴
２
＜ ＜１，
ａ０
＋
ｂ
＝０，
选
Ｂ
．
{ａ－１ ｂ
当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递减 则 ＋ ＝０，解
② ０＜ ＜１ ， （ ） ［－１，０］ ， ａ０ ｂ
＋ ＝－１，
{
ａ １
得 ＝ ， ａ ｂ ３ ．
２ ∴ ＋ ＝－
ｂ ２
＝－２，
评析 本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想．
６．（２０１９天津文，５，５分）已知ａ ＝ｌｏｇ２７， ｂ ＝ｌｏｇ３８， ｃ ＝０ ． ３ ０ ． ２ ， 则ａ ， 评析 本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式．
ｂ ｃ的大小关系为
， （ ）
第二章 函数 ５ ３
学生用书Ｐ２６
1 续表
考点 指数式与对数式
ａ ａ
＞１ ０＜ ＜１
定义域 Ｒ
ａ ａ ｂ ｂ ｍ ｎ Ｎ∗ ｎ
＞０， ≠１， ＞０， ≠１， 、 ∈ ， ＞１
根式 ： ｎａ ； 负指数 ： ａ－ｎ ＝ａ １ ｎ； 如果ａｘ ＝ ｂ ， 那么ｘ叫做以ａ为 值域 ⑩ （ ０ ， ＋∞ ）
概念 分数指数幂 ａ ｍ ｎ ｎ ａｍ 底 ｂ 的 ① 对数 ， 记作 ｘ ＝ 过定点 （ ０ ， １ ） ， 即当ｘ ＝０ 时 ， ｙ ＝１
： ＝ ｂ ａ 叫做底数 ｂ 叫做
② ｌｏｇａ ， ，
ａ－ ｍ ｎ
＝ ａ
１
ｍ ｎ ＝ ｎ
１
ａｍ ③
真数 性质 当
当
ｘ
ｘ ＞０
时
时 ，
ｙ
＞１ ｙ ；
当
当
ｘ
ｘ ＜０
时
时 ，
ｙ
＞１ ｙ ；
基本 （１） 若ｎａ有意义 ， 则 （ ｎａ ） ｎ ＝ ａ ； （１）ｌｏｇａ１＝０，ｌｏｇａ ａ ＝④ １ ； 在 ＜０ ， 上 ０ 是 ＜ ＜１ 增函数 在 ＞０ ， 上 ０ 是 ＜ ＜１ 减函数
性质 ｎ ａｎ {ａ ， ｎ ＝２ ｋ －１（ ｋ ∈ Ｚ ）； （２） ａｌｏｇａｂ ＝⑤ ｂ ； （－∞，＋∞） （－∞，＋∞）
（２） ＝ ａ ｎ ｋ ｋ Ｚ ａｓ ｓ ｓ Ｒ ２．对数函数的图象与性质
｜ ｜， ＝２（ ∈ ） （３）ｌｏｇａ ＝⑥ （ ∈ ）
（１） ｌｏｇａ（ ＭＮ ） ＝ ⑦ ｌｏｇａ Ｍ ＋ ａ ＞１ ０＜ ａ ＜１
Ｎ
ｌｏｇａ ；
Ｍ
Ｍ Ｎ
（２）ｌｏｇａ Ｎ ＝⑧ ｌｏｇａ －ｌｏｇａ ；
ａｒ ａｓ ａｒ＋ｓ
（１） · ＝ ； ｂｔ ｔ ｂ 图象
运算 ａｒ ｓ ａｒｓ （３）ｌｏｇａ ＝ ｌｏｇａ ；
（２）（ ） ＝ ； 换底公式 Ｎ
性质 ａｂ ｒ ａｒ ｂｒ （４） ：⑨ ｌｏｇｂ ＝
（３）（ ） ＝ · Ｎ
其中ｒ ｓ Ｒ ｌｏｇａ ａ １ ｂｒ
（ 、∈ ） ｂ； ｌｏｇｂ ＝ ｂ； ｌｏｇａｓ ＝
ｌｏｇａ ｌｏｇａ
ｒ ｂ 定义域 （ ０ ， ＋∞ ）
ｓ ｌｏｇａ
其中Ｍ Ｎ ｔ ｒ ｓ Ｒ ｓ 值域 Ｒ
（ ＞０， ＞０，，，∈ ，≠０）
过定点 （ ， ） 即当ｘ 时 ｙ
１ ０ ， ＝１ ， ＝０
2
考点 指数函数与对数函数
当ｘ 时 ｙ 当ｘ 时 ｙ
性质 ＞１ ， ＞０； ＞１ ， ＜０；
当 ｘ 时 ｙ 当 ｘ 时 ｙ
０＜ ＜１ ， ＜０ ０＜ ＜１ ， ＞０
１．指数函数的图象与性质
在 上是 增函数 在 上是 减函数
ａ ａ （０，＋∞） （０，＋∞）
＞１ ０＜ ＜１
３．反函数
指数函数ｙ ａｘ ａ 且ａ 与对数函数ｙ ｘ ａ 且
图象 ＝ （ ＞０， ≠１） ＝ｌｏｇａ （ ＞０，
ａ 互为反函数 它们的图象关于直线 ｙ ｘ 对称．
≠１） ， ＝
学生用书Ｐ２７
比较指数式、对数式大小的方法 ０ ． ２ ｃ ． ０ ． ３ 则
２ ， ＝０２ ， （ ）
比较指数式的大小 一般是先尝试转化为同底数的幂式或
， ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｂ ｃ ａ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
同指数的幂式 ， 利用指数函数或幂函数的单调性解决． （２０１７课标 理，１１，５分）设ｘ ｙ ｚ为正数 且 ｘ ｙ
比较对数式的大小 也是优先考虑化为同底数的对数式 利 （２） Ⅰ ， ， ， ２ ＝３ ＝
， ， ｚ 则
用对数函数单调性比较． ５， （ ）
ｘ ｙ ｚ ｚ ｘ ｙ ｙ ｚ ｘ ｙ ｘ ｚ
利用上述方法不能解决的问题 可以尝试以下两个方法 Ａ．２ ＜３ ＜５Ｂ．５ ＜２ ＜３ Ｃ．３ ＜５ ＜２ Ｄ．３ ＜２ ＜５
， ： 解题思路
１．中间量法：先将各式与 或 这类中间量进行比较 显
“０” “１” ，
然负数小于 之间的数 而 之间的数必小于大于 的数．
（１）
三个式子无法直接化成同底数或同指数的形式．但范围
０、１ ， ０、１ １
２．构造法：根据需要构造适当的函数或代数式 利用 幂 比较容易确定 因此可用 中间量法 ．
， “ 、 ， “ ”
指 对 等函数的性质进行比较． 当正的幂式相等时 底数大的指数小．因此 本题实质是
、 ” （２） ， ，
例 （２０１９课标 ，文３，理３，５分）已知ａ ． ｂ 比较 ３ ５ 的大小．
（１） Ⅰ ＝ｌｏｇ２０２， ＝ ２， ３， ５
５ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 ｙ ｘ和ｙ ｘ 是其定义域上的增函数 ｙ ｘ ｚ ｘ １０ ｚ １０ ２ ｘ ５ ｚ 知 ｘ ｚ ．
（１）∵ ＝ｌｏｇ２ ＝２ ， ＝ ２ ＝５⇔（２ ） ＝（５） ⇔３２ ＝２５ ， ２ ＜５ ②
． ｘ 是减函数 ａ ． ｂ ０ ． ２ ０ ｃ ． ０ ． ３ 由 即得 ｙ ｘ ｚ．选
０２ ，∴ ＝ｌｏｇ２０ ２＜ｌｏｇ２１＝０， ＝２ ＞２ ＝１， ＝０２ ∈ ①② ３ ＜２ ＜５ Ｄ．
（０，０ ． ２ ０ ）， 即ｃ ∈（０，１） ． ∴ ａ ＜ ｃ ＜ ｂ．故选 Ｂ． 答案 （１） Ｂ （２） Ｄ
由 ｘ ｙ ｚ 可设 ２ ｘ ３ ３ ｙ ５ ５ ｚ ｔ 因为ｘ １－１ （２０１９课标 Ⅲ ，文１２，理１１，５分）设ｆ （ ｘ ） 是定义域为
（２） ２ ＝３ ＝５， （ ２） ＝（ ３） ＝（ ５） ＝ ， ，
Ｒ的偶函数 且在 单调递减 则
ｙ ｚ为正数 所以ｔ 因为 ６ ３ ６ ３ ６ ２ ６ 所以 ， （０，＋∞） ， （ ）
， ， ＞１， ２＝ ２ ＝ ８， ３＝ ３ ＝ ９， ２＜ ( )
３ ３； 因为 ２＝ １０ ２ ５ ＝ １０ ３２， ５ ５ ＝ １０ ２５， 所以 ２＞ ５ ５， 所以５ ５＜ ２＜ Ａ． ｆ ｌｏｇ３ １ ４ ＞ ｆ （２ －３ ２ ）＞ ｆ （２ －２ ３ ）
３ ．分别作出ｙ ｘ ｙ ３ ｘ ｙ ５ ｘ 的图象 如图． ( )
３ ＝（ ２） ， ＝（ ３） ， ＝（ ５） ， ｆ １ ｆ －２
３
ｆ －３
２
Ｂ． ｌｏｇ３ ＞（２ ）＞（２ ）
４
( )
ｆ －３
２
ｆ －２
３
ｆ １
Ｃ． （２ ）＞（２ ）＞ ｌｏｇ３
４
( )
ｆ －２
３
ｆ －３
２
ｆ １
Ｄ． （２ ）＞（２ ）＞ ｌｏｇ３
４
１－１． 答案 Ｃ
则 ｙ ｘ ｚ 故选 ．
３ ＜２ ＜５ ， Ｄ
一题多解 观察待证式 构造与 ｘ ｙ ｚ相关的代数式
， ２ ，３ ，５ ：
ｘ ｙ ｘ ６ ｙ ６ ２ ｘ ３ ｙ 知 ｘ ｙ
２ ＝３ ⇔（２ ） ＝（３ ） ⇔８ ＝９ ， ２ ＞３ ①；
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ２８
则ａ ｂ ｃ的大小关系为
指数式与对数式 、 、 （ ）
ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｃ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
１．（２０２１江苏百校联考４月第三次考，３） 数术记遗 是东汉时 ３． 答案 Ｂ
《 》
期徐岳编撰的一本数学专著 内有中国特色的十四种算法．它 ４．（２０２０山东夏季高考模拟，８）若ａ ｂ ｃ 且ａｃ ｂ２ 则
， ＞ ＞ ＞１ ＜ ， （ ）
最早记录中国古代关于大数的记法 黄帝为法 数有十等．及 ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ
：“ ， Ａ．ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇｃ Ｂ．ｌｏｇｃ ＞ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇａ
其用也 乃有三焉．十等者 亿 兆 京 垓 秭 壤 沟 涧 正 载． ｃ ｂ ａ ａ ｂ ｃ
， ， 、 、 、 、 、 、 、 、 、 Ｃ．ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｃ Ｄ．ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇｃ ＞ｌｏｇａ
三等者 谓上 中 下也．其下数者 十十变之 若言十万曰亿 十 ４． 答案 Ｂ
， 、 、 ， ， ，
亿曰兆 十兆曰京也．中数者 万万变之 若言万万曰亿 万万亿 ５．（多选题）（２０２１江苏常州一模，１２）已知正数ｘ ｙ ｚ 满足 ｘ
， ， ， ， ， ， ， ３ ＝
曰兆 万万兆曰京．上数者 数穷则变 若言万万曰亿 亿亿曰 ｙ ｚ 则
， ， ， ， ４ ＝１２， （ ）
兆 兆兆曰京也．从亿至载 终于大衍．下数浅短 计事则不尽
， ， ， ， ｚ ｘ ｙ １ ２ １
上数宏阔 世不可用．故其传业 唯以中数耳． 我们现在用的是 Ａ．６ ＜３ ＜４ Ｂ． ｘ ＋ ｙ ＝ ｚ
， ， ”
中数之法 ： 万万为亿 ， 万亿为兆 ， 万兆为京 ，……， 即 １０ ４ ＝１ 万 ， Ｃ． ｘ ＋ ｙ ＞４ ｚ Ｄ． ｘｙ ＜４ ｚ２
１０
８
＝１
亿
，１０
１２
＝１
兆
，１０
１６
＝１
京
，……，
地球的质量大约是 ５． 答案 ＡＣ
． 秭千克 ． 秭的位数是
５９６５ ，５９６５ （ ）
指数函数与对数函数
Ａ．２１ Ｂ．２０ Ｃ．２５ Ｄ．２４
１． 答案 Ｃ
１．（２０２１上海杨浦一模，１４）下列函数中 值域为 的是
２．（２０２１河北秦皇岛二模，４）为了保证信息安全传输 有一种系 ， （０，＋∞）
，
统称为秘密密钥密码系统 其加密 解密原理如下 （ ）
， 、 ：
加密密钥系统 发送 解密密钥系统 ｙ ｘ２ ｙ ２ ｙ ｘ ｙ ｘ
明文ｘ 密文ｔ 密文ｔ 明文ｙ． Ａ． ＝ Ｂ． ＝ ｘ Ｃ． ＝２ Ｄ． ＝｜ｌｏｇ２ ｜
→ → →
现在加密密钥为ｔ
＝２
ａｘ ＋１
（
ａ
＞０，
且ａ
≠１），
解密密钥为ｙ
＝３
ｔ
－５，
１． 答案 Ｃ
过程如下 发送方发送明文 通过加密后得到密文 再 ２．（２０２１湖北九师联盟２月质量检测，５）已知函数ｆ ｘ 是定义在
： “１”， “１８”， （ ）
发送密文 接受方通过解密密钥解密得明文 ．若接受 Ｒ上的偶函数 且在 上单调递增 则
“１８”， “４９” ， （０，＋∞） ， （ ）
方接到明文 则发送方发送的明文为 ｆ ０ ． ６ ｆ ｆ
“４”， （ ） Ａ． （２ ）＜（－ｌｏｇ３１３）＜（－３）
ｆ ｆ ０ ． ６ ｆ
３ ７ Ｂ． （－３）＜（２ ）＜（－ｌｏｇ３１３）
Ａ．－ｌｏｇ３２ Ｂ．ｌｏｇ３ ＋１ Ｃ．１６２ Ｄ．ｌｏｇ３ －１ ｆ ｆ ｆ ０ ． ６
２ ２ Ｃ． （－３）＜（－ｌｏｇ３１３）＜（２ ）
２． 答案 Ａ ｆ ０ ． ６ ｆ ｆ
Ｄ． （２ ）＜（－３）＜（－ｌｏｇ３１３）
３．（２０２０湖南衡阳一模）已知ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的偶函数 且在 ２． 答案 Ａ
（ ） ，
（－∞，０） 上单调递增 ， 若ａ ＝ ｆ （ｌｏｇ１ ２３）， ｂ ＝ ｆ （２ －１ ． ２ ）， ｃ ＝ ｆ
(
１
)
， ３．（２０２０广东揭阳三中第一次月考，６）函数ｆ （ ｘ ）＝
(
１
)ｘ２－６ ｘ
＋５
的
２ ３
第二章 函数 ５ ５
单调递减区间为 ５．（２０１９湖北、山东部分重点中学高三第一次联考，７）已知函数
（ ）
ｙ ｘ ｘ 若其值域为 则ｘ可能的取值范围是
Ａ．（－∞，＋∞）Ｂ．［－３，３］ Ｃ．（－∞，３］ Ｄ．［３，＋∞） ＝４ －３·２ ＋３， ［１，７］，
３． 答案 Ｄ
（ ）
( )
４．（２０２０广东揭阳摸底，６）已知函数ｆ ｘ ｘ １ 则下列 Ａ．［２，４］ Ｂ．（－∞，０］
（ ）＝ｌｏｇ１ ２ ＋ ｘ ，
Ｃ．（０，１］∪［２，４］ Ｄ．（－∞，０］∪［１，２］
判断 ５． 答案 Ｄ
：
ｆ ｘ 的定义域为 ｆ ｘ 的值域为 ６．（２０２１上海崇明二模，７）设ｆ ｘ ｘ 若ｆ ａ ｆ ａ 则
①（ ） （０，＋∞）；②（ ） ［－１，＋∞）； （ ）＝ｌｇ ， （１－ ）－ （ ）＞０，
ｆ ｘ 是奇函数 ｆ ｘ 在 上单调递增． 实数ａ的取值范围是 ．
③（ ） ；④（ ） （０，１）
其中正确的是 ( )
（ ） ６． 答案 １
０，
Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①④ Ｄ．③④ ２
４． 答案 Ｃ
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ２８ ４０分钟 ４５分
一、单项选择题（每小题５分，共２０分） ５．（２０２１河北唐山二模，１０）已知ａ ｂ 且ａｂ 则
＞ ＞０， ＝４， （ ）
ａ － ｂ ａ ｂ
１．（２０２１广东珠海一模，３）已知α ｌｎ３ β － １ ３ γ １ 则α Ａ．２ ＞１ Ｂ．ｌｏｇ２ －ｌｏｇ２ ＞１
＝２ ， ＝ｅ ， ＝ｌｎ ， ， ａ ｂ ａ ｂ
３ Ｃ．２ ＋２ ＞８ Ｄ．ｌｏｇ２ ·ｌｏｇ２ ＜１
β γ的大小关系是 ５． 答案 ＡＣＤ
， （ ）
α β γ β α γ γ β α β γ α
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ ６．（２０２１重庆一模，１１）ａ ｂ ｃ Ｒ 且ｂ 若 ａ ｂ １ 则ａ
１． 答案 Ｃ ， ， ∈ ， ＞０， ｅ ＝ｌｎ ＝ ｃ ， ，
ｂ ｃ的大小关系可以是
２．（２０２１湖南永州二模，４）已知ａ １ ｂ ０ ． ７ ｃ 则 ， （ ）
＝ｌｏｇ３ ， ＝３ ， ＝ｓｉｎ３， （ ） ａ ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ
２ Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ ６． 答案 ＡＣＤ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
２． 答案 Ｄ
三、填空题（每小题５分，共１５分）
３．（２０２０山东济宁一中质量检测，３）若ａ ｂ 则
＞ ， （ ） ７．（２０２１上海杨浦一模，８）设函数 ｆ ｘ 为偶函数 当 ｘ 时
ａ ｂ ａ ｂ ａ３ ｂ３ ａ ｂ （ ） ， ≥０ ，
Ａ．ｌｎ（ － ）＞０ Ｂ．３ ＜３ Ｃ． － ＞０ Ｄ．｜ ｜＞｜ ｜ ｆ ｘ ｘ 则不等式ｆ ｘ 的解集为 ．
３． 答案 Ｃ （ ）＝２ －１， （ ）＞１
７． 答案
４．（２０１９湖南长沙一模，１０）设平行于ｘ轴的直线ｌ分别与函数ｙ （－∞，－１）∪（１，＋∞）
８．（２０２１上海杨浦一模，９）方程 ｘ ｘ２ 的解为
ｘ和ｙ ｘ ＋１的图象相交于点Ａ Ｂ 若函数ｙ ｘ的图象上存在 １＋ｌｏｇ２ ＝ｌｏｇ２（ －３）
＝２ ＝２ ， ， ＝２ ．
点Ｃ 使得 ＡＢＣ为等边三角形 则这样的直线ｌ
， △ ， （ ） ８． 答案 ｘ
不存在 有且只有一条 ＝３
Ａ． 至少有两条 Ｂ． 有无数条 ９．（２０２０福建泉州３月适应性测试，１４）已知ａ ＝π １ ３ ， ｂ ＝（ｅ ２ ） １ ６ ，
Ｃ． Ｄ．
４． 答案 Ｂ ｃ ＝ｌｏｇπｅ，ｅ 为自然对数的底数 ， 则 ａ ， ｂ ， ｃ 的大小关系为
．
二、多项选择题（每小题５分，共１０分）
９． 答案 ａ ｂ ｃ
＞ ＞
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 所以 ｃ ｃ 所以 正确 故选
０， ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ ， Ｄ ， Ｄ．
１．（２０２１北京首师大二附中高三开学测试，２）已知 ｃ ａ ｂ 思路分析 依次分析选项，对于 ，构造函数ｙ ｃｘ，由指数
０＜ ＜１， ＞ ＞ Ａ ＝
下列不等式成立的是 函数的单调性判断；对于 ，构造函数ｙ ｘｃ，利用幂函数的单
１， （ ） Ｂ ＝
ｃａ ｃｂ ａｃ ｂｃ 调性判断；对于 ， 利用作差比较法分析．
Ａ． ＞ Ｂ． ＜ Ｃ Ｄ
ａ ｂ
ｃ ｃ ２．（２０２１北京西城一模，５）已知函数ｆ ｘ ２ ｘ 则不等式
Ｃ．ａ
－
ｃ＞ｂ
－
ｃ Ｄ．ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ （ ）＝ ｘ －ｌｏｇ２ ，
答案 Ｄ 对于 构造函数ｙ ｃｘ 由于 ｃ 所以函数ｙ ｆ ｘ 的解集是
Ａ， ＝ ， ０＜ ＜１， （ ）＞０ （ ）
ｃｘ 在Ｒ上为减函数 又由于ａ ｂ 则有ｃａ ｃｂ 所以 错误
＝ ， ＞ ＞１， ＜ ， Ａ ； Ａ．（０，１） Ｂ．（－∞，２）
对于 构造函数 ｙ ｘｃ 由于 ｃ 所以函数 ｙ ｘｃ 在
Ｂ， ＝ ， ０＜ ＜１， ＝ （０， Ｃ．（２，＋∞） Ｄ．（０，２）
上为增函数 又由于ａ ｂ 所以ａｃ ｂｃ 所以 错误 对
＋∞） ， ＞ ＞１， ＞ ， Ｂ ； 答案 Ｄ 由 ２ ｘ 得 ２ ｘ 如图所示 画出函数
ａ ｂ ａｂ ａｃ ａｂ ｂｃ ｃ ｂ ａ ｘ －ｌｏｇ２ ＞０， ｘ ＞ｌｏｇ２ ， ，
于 － － ＋ （ － ） 由于 ｃ ａ ｂ
Ｃ，ａ ｃ－ｂ ｃ＝ ａ ｃ ｂ ｃ ＝ ａ ｃ ｂ ｃ ， ０＜ ＜１， ＞ ＞
－ － （ － ）（ － ） （ － ）（ － ） ｙ ２ ｘ 与ｙ ｘ的图象 可知不等式ｆ ｘ 的解集为
所以ａ ｃ ｂ ｃ ｂ ａ 所以
ａ ｂ
所以
ａ ｂ ＝ ｘ （ ＞０） ＝ｌｏｇ２ ， （ ）＞０
１， － ＞０， － ＞０， － ＜０， ａ ｃ－ｂ ｃ＜０， ａ ｃ＜ｂ ｃ， 故选
－ － － － （０，２）， Ｄ．
ｃ ｃ ｂ ａ
所以 错误 对于 ｃ ｃ ｌｇ ｌｇ ｃ ｌｇ －ｌｇ
Ｃ ； Ｄ，ｌｏｇａ －ｌｏｇｂ ＝ ａ－ ｂ＝ｌｇ · ａ ｂ，
ｌｇ ｌｇ ｌｇ ·ｌｇ
因为 ｃ ａ ｂ 所以 ｃ ａ ｂ 所以 ｃ ｃ
０＜ ＜１， ＞ ＞１， ｌｇ ＜０，ｌｇ ＞ｌｇ ＞０， ｌｏｇａ －ｌｏｇｂ ＞
５ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｂ ( ｂ )ｘ
选项中 指数函数ｙ 在Ｒ上单调递增 故
ａ ，０，Ａ，Ｂ ， ＝ ａ ，
ｂ ( ｂ )ｘ
故 错误 正确 选项中 指数函数ｙ 在
ａ ＞１， Ａ ，Ｂ ，Ｃ，Ｄ ， ＝ ａ
ｂ
Ｒ上单调递减 故 故 错误．
， ０＜ ａ ＜１， Ｃ，Ｄ
７．（２０２１宁夏顶级名校监测，８）若ａ 设函数ｆ ｘ ａｘ ｘ 的
＞１， （ ）＝ ＋ －４
零点为ｍ ｇ ｘ ｘ ｘ 的零点为ｎ 则１ １的取值范围是
， （ ）＝ｌｏｇａ ＋ －４ ， ｍ＋ ｎ
一题多解 函数ｆ（ｘ）的定义域为（ ， ），排除选项 ，因
０ ＋∞ Ｂ
为ｆ（ ） ，所以排除选项 ， ，故选 （ ）
１ ＝２－ｌｏｇ２１＝２＞０ Ａ Ｃ Ｄ． ( ) ( )
３．（２０２１山西太原期末，３）已知ａ ＝π ０ ． ２ ， ｂ ＝ｌｏｇπ２， ｃ ＝ｃｏｓ２， 则 Ａ． ７
２
，＋∞ Ｂ． ９
２
，＋∞ Ｃ．（４，＋∞） Ｄ．［１，＋∞）
答案 Ｄ 函数ｆ ｘ ａｘ ｘ 的零点是函数ｙ ａｘ 与函数ｙ
（ ） （ ）＝ ＋ －４ ＝
ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｘ图象交点Ａ的横坐标 函数ｇ ｘ ｘ ｘ 的零点是
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ ＝４－ ， （ ）＝ｌｏｇａ ＋ －４
答案 Ａ 函数ｙ ｘ 在Ｒ上单调递增 ａ ０ ． ２ ０ ． 函数ｙ ｘ与函数ｙ ｘ图象交点Ｂ的横坐标 由于指数
∵ ＝π ，∴ ＝π ＞π ＝１ ＝ｌｏｇａ ＝４－ ，
∵
函数ｙ
＝ｌｏｇπ
ｘ在
（０，＋∞）
上单调递增
，∴ ０＝ｌｏｇπ１＜
ｂ
＝ｌｏｇπ２＜
函数ｙ
＝
ａｘ 与对数函数ｙ
＝ｌｏｇａ
ｘ互为反函数
，
其图象关于直线ｙ
又 ａ ｂ ｃ． ｘ对称 直线ｙ ｘ与直线ｙ ｘ垂直 故直线ｙ ｘ与直线
ｌｏｇππ＝１， ∵ ｃｏｓ２＜０，∴ ＞ ＞ ＝ ， ＝４－ ＝ ， ＝４－
( ) ．
４．（２０２１四川绵阳三模，７）已知ａ ＝ １ ０３ ， ｂ ＝ｌｏｇ１ ３０ ． ３， ｃ ＝ ａｂ ， 则 ｙ ＝ ｘ的交点 （２，２） 即是线段ＡＢ的中点 ，∴ ｍ ＋ ｎ ＝４，∴ ｍ １ ＋ ｎ １ ＝
３
ａ ｂ ｃ的大小关系为 ( ) ( ｍ ｎ )
， ， （ ） １ ｍ ｎ １ １ １ 当且仅当 ｍ ｎ
ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ａ ａ ｂ ｃ （ ＋ ） ｍ＋ ｎ ＝ ２＋ ｎ ＋ｍ ≥１， ＝ ＝２
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ ４ ４
( ) ０ ． ３ 时等号成立 故所求的取值范围是 ．故选 ．
答案 Ａ ａ １ ｂ ． １ ， ［１，＋∞） Ｄ
＝ ∈（０，１）， ＝ｌｏｇ１ ３０３＞ｌｏｇ１ ３ ＝１， ８．（２０２１陕西宝鸡一模，４）很多关于大数的故事里 例如 棋盘
３ ３ （ “
因为ｃ ＝ ａｂ ， ａ ∈（０，１）， ｂ ＞１， 所以ｃ ＜ ａ ， 即ｃ ＜ ａ ＜ ｂ ， 故选 Ａ ． 上的学问 ”“６４ 片金片在三根金针上移动的寓言 ”） 都涉及 ２ ６４
５．（２０２１天津河东一模，８）已知ｘ ｙ
ｙ ｘ
则
这个数．则
２
６４大致所在的范围是
（ ）
＞０， ＞０，ｌｎ ｘ ＞ｌｇ ｙ ， （ ） 参考数据 ． ．
（ ：ｌｇ２≈０３０，ｌｇ３≈０４８）
１ １ ｙ ｘ Ａ．（１０ １２ ，１０ １３ ） Ｂ．（１０ １９ ，１０ ２０ ） Ｃ．（１０ ２０ ，１０ ２１ ） Ｄ．（１０ ３０ ，１０ ３１ ）
Ａ． ｘ ＞ ｙ Ｂ．ｓｉｎ ＞ｓｉｎ 答案 Ｂ 设 ６４ Ｎ 两边同时取常用对数得 ６４ Ｎ
２ ＝ ， ｌｇ２ ＝ｌｇ ，
ｙ ｘ ｙ ｘ ｘ ｙ ∴６４ｌｇ２＝ｌｇ Ｎ ，∴ ｌｇ Ｎ ＝６４×０ ． ３０＝１９ ． ２，∴ Ｎ ＝１０ １９ ． ２ ， 故选 Ｂ ．
Ｃ． ｘ ＜ ｙ Ｄ．ｅ ＞１０ ９．（２０２１吉林普通中学第三次调研，８）已知函数ｙ ａｘ ｂ ａ
＝ｓｉｎ ＋ （ ＞
答案 Ａ ∵ ｌｎ ｙ ｘ ＞ｌｇ ｘ ｙ ，∴ ｌｎ ｙ －ｌｎ ｘ ＞ｌｇ ｘ －ｌｇ ｙ ， ０， 且ａ ≠１） 的图象如图所示 ， 则函数ｙ ＝ｌｏｇａ（ ｘ ＋ ｂ ） 的图象可能是
ｙ ｙ ｘ ｘ （ ）
∴ ｌｎ ＋ｌｇ ＞ｌｎ ＋ｌｇ ，
设ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ １ １
（ ）＝ｌｎ ＋ｌｇ ，∵ （ ）＝ ｘ ＋ｘ ＞０，
ｌｎ１０
ｆ ｘ 在 上单调递增
∴ （ ） （０，＋∞） ，
ｙ ｘ １ １ 故 正确
∴ ＞ ＞０，∴ ｘ ＞ ｙ ， Ａ ；
ｙ ｘ在 上不单调 错误
∵ ＝ｓｉｎ （０，＋∞） ，∴ Ｂ ；
ｙ ｘ
ｘ ｙ 时 ｙ２ ｘ２ ｙ ｘ 故 错误
＞０， ＞０ ， ｘ ＜ ｙ ⇒ ＜ ⇒ ＜ ， Ｃ ；
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ２
由 ｘ ｙ得 即 而由 ｙ ｘ 不能得
ｅ ＞１０ ， ｘ ＞ ｙ ｌｎ １０， ｘ２ ＞ｌｎ １０， ＞ ＞０ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
Ｔ
出 故 错误．故选 ． 答案 Ａ 由函数ｙ ａｘ ｂ的图象可得 ｂ π
， Ｄ Ａ ＝ｓｉｎ ＋ ０＜ ＜１， ＝ ａ ＞
６．（２０２１山西高考前测试，５）在同一直角坐标系中 指数函数ｙ ２
， ＝ ａ ．故函数ｙ ｘ ｂ 为减函数 且图象经过点
( ｂ )ｘ ２π－π，∴０＜ ＜１ ＝ｌｏｇａ（ ＋ ） ，
ａ
与二次函数ｙ
＝
ａｘ２
－
ｂｘ的图象可能是
（ ） （１－
ｂ
，０），（０，ｌｏｇａ
ｂ
），ｌｏｇａ
ｂ
＞０
．结合所给的选项
，
知选
Ａ
．
( ａ )
１０．（２０２１浙江绍兴４月模拟，４）函数ｆ ｘ ｘ ａ
（ ）＝ｌｏｇａ ＋ ｘ （ ＞１）
的图象可能是
（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
( ｂ )ｘ
答案 Ｂ 指数函数ｙ 的图象位于ｘ轴上方 据此
＝ ａ ，
可区分两函数图象 二次函数ｙ ａｘ２ ｂｘ ａｘ ｂ ｘ的零点为
， ＝ － ＝（ － ）
第二章 函数 ５ ７
则ｆ ｆ 成立
（－２）＜（３） ，
２ －２ ３ －３
又ｇ ｅ ＋ｅ ｇ ｅ ＋ｅ ｇ 故 正确．
（－２）＝ ， （３）＝ ＞ （－２）， Ｂ
２ ２
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
－ － ２ －２
选项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｅ －ｅ ｅ ＋ｅ ｅ －ｅ ｆ
Ｃ：２ （ ）· （ ）＝ ２× · ＝２× ＝２
２ ２ ２
ｘ 故 正确．
（２ ）， Ｃ
选项 ｆ ｘ ２ ｇ ｘ ２ ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ
Ｄ：［ （ ）］ －［ （ ）］ ＝［ （ ）＋ （ ）］·［ （ ）－ （ ）］＝
ｘ － ｘ 故 错误．故选 ．
ｅ ·（－ｅ ）＝－１， Ｄ ＡＢＣ
１３．（２０２１届山东潍坊统一检测，１０）已知正实数ｘ ｙ满足 ｘ
， ｌｏｇ２ ＋
( )ｘ ( )ｙ
ｙ １ １ 则下列结论正确的是
ｌｏｇ１ ２ ＜ － ， （ ）
２ ２
１ １ ｘ３ ｙ３
Ａ． ｘ ＜ ｙ Ｂ． ＜
ａ ( ａ )
答案 Ａ 由ａ ＞１ 得ｘ ＋ ｘ ≥２ ａ ＞２， 所以 ｌｏｇａ ｘ ＋ ｘ ＞０， Ｃ．ｌｎ（ ｙ － ｘ ＋１）＞０ Ｄ．２ ｘ － ｙ ＜ １
２
排除选项 故选 ． ( )ｘ
Ｂ，Ｃ，Ｄ， Ａ 答案 ＢＣ 原不等式可变形为 ｘ １ ｙ
二、多项选择题
ｌｏｇ２ －
２
＜ｌｏｇ２ －
( )ｙ ( )ｘ
１１．（２０２１届福建厦门科技中学１０月月考，１２）若函数ｆ ｘ 对任 １ 设ｆ ｘ ｘ １ ｘ
（ ） ， （ ）＝ｌｏｇ２ － ， ＞０，
意ａ ｂ Ｒ同时满足 当ａ ｂ 时 有ｆ ａ ｆ ｂ 当 ２ ２
， ∈ ：① ＋ ＝０ ， （ ）＋ （ ）＝０；② 则ｆ ｘ ｆ ｙ
ａ ｂ 时 有ｆ ａ ｆ ｂ 则称ｆ ｘ 为Ω函数．下列函数中 （ ）＜（ ），
＋ ＞０ ， （ ）＋ （ ）＞０， （ ） ( )ｘ
是Ω函数的有 又ｙ ｘ在 上是增函数 ｙ １ 在 上
（ ） ＝ｌｏｇ２ （０，＋∞） ， ＝ （０，＋∞）
Ａ． ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ ＋ｅ － ｘ Ｂ． ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ －ｅ － ｘ ( )ｘ ２
{ ｘ 是减函数 ｆ ｘ ｘ １ 在 上是增函数
０， ＝０， ，∴ （ ）＝ｌｏｇ２ － （０，＋∞） ，
ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ ２
Ｃ． （ ）＝ －ｓｉｎ Ｄ． （ ）＝ １ ｘ
－ ｘ ， ≠０ ｘ ｙ 即 ｘ ｙ．则 １ １ 错
∴ ＜ ， ０＜ ＜ ｘ ＞ ｙ ，Ａ ；
答案 ＢＣ 由条件 可知 对任意ａ Ｒ 都有ｆ ａ ｆ
① ， ∈ ， （ ）＋ （－ ｘ３ ｙ３ 正确
ａ 故ｆ ｘ 是奇函数． ＜ ，Ｂ ；
）＝０， （ ） ｙ ｘ 故 ｙ ｘ 正确
由条件 可知 当ａ ｂ时 ｆ ａ ｆ ｂ ｆ ｂ 故ｆ ｘ 是增 － ＋１＞１， ｌｎ（ － ＋１）＞０，Ｃ ；
② ， ＞－ ，（ ）＞－（ ）＝ （－ ）， （ ）
函数． ｘ ｙ 则 ｘ － ｙ ０ 但不能得出 ｘ － ｙ １ 例如ｘ ｙ ３
－ ＜０， ２ ＜２ ＝１， ２ ＜ ， ＝１， ＝ ，
对于 ｆ ′ ｘ ｘ － ｘ ２ ２
Ａ， （ ）＝ｅ －ｅ ，
显然当ｘ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 在 上单调递减 不符 则 ｘ － ｙ － １ ２ ２ １ 错．故选 ．
＜０ ， （ ）＜０， （ ） （－∞，０） ， ２ ＝２ ＝ ＞ ，Ｄ ＢＣ
合条件 故 中函数不是Ω函数． ２ ２
②， Ａ １４．（２０２１届山东聊城第一中学检测，１１）已知实数ａ ｂ ｃ满足ａ
对于 ｆ ｘ － ｘ ｘ ｆ ｘ 故 ｆ ｘ 是奇函数 满足条 ， ，
Ｂ， （－ ）＝ ｅ －ｅ ＝－ （ ）， （ ） ， ｂ ｃ 则下列结论正确的是
件 ＞ ＞１＞ ＞０， （ ）
①； ｃａ ｃｂ ｃ ｃ
ｆ ′ ｘ ｘ － ｘ 故ｆ ｘ 是增函数 满足条件 故 中函数 Ａ． ＞ Ｂ．ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ
是 （ Ω ） 函 ＝ 数 ｅ ． ＋ｅ ＞０， （ ） ， ②， Ｂ Ｃ．ｌｏｇ１ ３ ａ ＜ ａ１ ３ Ｄ． ａ２ ３ ＜ ｂ２ ３
对 数 于 满 Ｃ 足 ， ｆ 条 （－ 件 ｘ ）＝－ ｘ －ｓｉｎ（－ ｘ ）＝ｓｉｎ ｘ － ｘ ＝－ ｆ （ ｘ ）， 故ｆ （ ｘ ） 是奇函 数 答 又 案 ａ ｂ ＢＣ 所 以 Ａ ｃａ 选 ｃ 项 ｂ ： 故 因为 中 ０ 的 ＜ ｃ 结 ＜１ 论 ， 错 所 误 以 ｙ ＝ ｃｘ 为单调减函
， ＞ ， ＜ ， Ａ ；
， ①，
ｆ ′ （ ｘ ）＝１－ｃｏｓ ｘ ≥０， 故ｆ （ ｘ ） 是增函数 ， 满足条件 ②， 故 Ｃ 中函 Ｂ 选项 ： 对于ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ 与 ｙ ＝ｌｏｇｂ ｘ ， 因为 ａ ＞ ｂ ＞１， 所以当 ｘ ＞１
数是Ω函数． 时 ，０＜ｌｏｇａ ｘ ＜ｌｏｇｂ ｘ ，
对于 当ｘ 时 ｆ ｘ 而当ｘ 时 ｆ ｘ 故ｆ ｘ 在定 当 ０＜ ｘ ＜１ 时 ，０＞ｌｏｇａ ｘ ＞ｌｏｇｂ ｘ ，
Ｄ， ＜０ ，（ ）＞０， ＞０ ，（ ）＜０， （ ）
义域上不是增函数 不满足条件 故 中函数不是Ω函数 又 ０＜ ｃ ＜１， 所以 ｌｏｇａ ｃ ＞ｌｏｇｂ ｃ ， 故 Ｂ 中结论正确 ；
， ②， Ｄ ，
故选 ＢＣ ． Ｃ 选项 ： 对于ｙ ＝ｌｏｇ１ ３ ｘ ， 当ｘ ＞１ 时 ，ｌｏｇ１ ３ ｘ ＜０， 而 ｙ ＝ ｘ１ ３ 在 ｘ ＞１
１２．（ ｘ ２０２１ ｘ 届山东枣 ｘ 庄第 ｘ 三中学１０月检测，１０）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ 时 ， ｘ１ ３ ＞１， 所以 ｌｏｇ１ ３ ａ ＜ ａ１ ３ ， 故 Ｃ 中结论正确 ；
ｅ －ｅ － ｇ ｘ ｅ ＋ｅ － 则ｆ ｘ 和ｇ ｘ 满足 选项 ｙ ｘ２ ３在ｘ 时单调递增 又ａ ｂ 所以ａ２ ３ ｂ２ ３ 故
， （ ）＝ ， （ ） （ ） （ ） Ｄ ： ＝ ＞０ ， ＞ ＞１， ＞ ，
２ ２ 中结论错误．故选 ．
ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ Ｄ ＢＣ
Ａ． （－ ）＝－（ ）， （－ ）＝ （ ）
ｆ ｆ ｇ ｇ 三、填空题
Ｂ． （－２）＜（３）， （－２）＜ （３）
ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ １５．（２０２１浙江台州二模，１１）已知函数ｆ ｘ ｘ － ｘ 则ｆ
Ｃ． （２ ）＝２（ ）· （ ） （ ）＝３ －３ ＋２， （１）
ｆ ｘ ２ ｇ ｘ ２ 若ｆ ｍ 则实数ｍ ．
Ｄ．［ （ ）］ －［ （ ）］ ＝１ ＝ ； （ ）＝２， ＝
ｘ ｘ ｘ ｘ
－ －
答案 ＡＢＣ 选项 ｆ ｘ ｅ －ｅ ｅ －ｅ ｆ ｘ ｇ 答案 １４
Ａ： （－ ）＝ ＝－ ＝－（ ）， ；０
２ ２ ３
ｘ ｘ
－
ｘ ｅ ＋ｅ ｇ ｘ 故 正确． 解析 由题得ｆ １ １４．
（－ ）＝ ＝ （ ）， Ａ （１）＝３－ ＋２＝
２ ３ ３
选项 易知ｆ ｘ 为增函数 由ｆ ｍ 得 ｍ － ｍ 所以 ｍ ２ ．
Ｂ： （ ） ， （ ）＝２ ３ －３ ＋２＝２， （３ ） ＝１
５ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
又 ｍ 所以 ｍ 则ｍ ． 立 则实数ｍ的取值范围为 ．
３ ＞０， ３ ＝１， ＝０ ，
１６．（２０２１浙江新高考研究卷（三），１１） 年 德国数学家施蒂 答案
１５４４ ， ［－１，２ｅ－１］
费尔 约 年 在其著作 整数算术 中首 解析 ｆ ｘ ａｘ ｆ ′ ｘ ａｘ ａ．
（Ｍ．Ｓｔｉｆｅｌ， １４８７—１５７６ ） 《 》 ∵ （ ）＝ ，∴ （ ）＝ ｌｎ
次引入 指数 的概念．计算 ２ 又函数ｆ ｘ 的图象在 处的切线方程为ｙ ｘ
“ ” ：（ｌｇ ５） ＋ｌｇ ２·ｌｇ ５０＝ ， （ ） （０，１） ＝２ ＋１，
２
ｌｏｇ４９
＋３
ｌｏｇ９４
＝
．
∴
ｆ ′
（０）＝
ａ０
ｌｎ
ａ
＝２，
解得ａ
＝ｅ
２
，∴
ｆ
（
ｘ
）＝ｅ
２ ｘ．
答案 ｆ ｘ ｍｘ ｘ恒成立 ２ ｘ ｍｘ ｘ恒成立．
１；５ ∵ （ ）≥ ＋ ，∴ ｅ ≥ ＋
解析 ２ ２ 当ｘ 时 ０ 成立．
（ｌｇ５） ＋ｌｇ２·ｌｇ５０＝（ｌｇ５） ＋ｌｇ２·ｌｇ５＋ｌｇ２＝ｌｇ５· ＝０ ，ｅ ≥０
（ｌｇ５＋ｌｇ２）＋ｌｇ２＝１，２
ｌｏｇ４９
＋３
ｌｏｇ９４
＝２
ｌｏｇ２３
＋３
ｌｏｇ３２
＝３＋２＝５
．
当ｘ 时 令ｇ ｘ ｅ
２ ｘ
则ｇ′ ｘ ｅ
２ ｘ
（２
ｘ
－１）
１７．（２０２１北京石景山高三统练一，１２）已知函数ｆ ｘ ｘ 若 ≠０ ， （ ）＝ ｘ －１， （ ）＝ ｘ２ ，
（ ）＝ ｜ｌｎ ｜，
( ) ( ) ( )
ａ ｆ １ ｂ ｆ １ ｃ ｆ 则ａ ｂ ｃ从小到大排序为 当ｘ １ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ 在
＝ ， ＝ ， ＝ （２）， ， ， ∈（－∞，０）∪ ０， ， （ ）＜０， （ ） （－∞，０），
８ ４ ２
． ( ) ( )
１ 上单调递减 当ｘ １ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ 在
答案 ｃ ｂ ａ ０， ， ∈ ，＋∞ ， （ ）＞０， （ ）
＜ ＜ ２ ２
( ) ( ) ( ) ２ ｘ
解析 由题可知 ａ ｆ １ １ ｂ ｆ １ １ 上单调递增 当ｘ 时 ｍ ｅ 恒成立 ｍ
， ＝ ＝ ｌｎ ＝ｌｎ ８， ＝ ＝ ，＋∞ ， ＞０ ， ≤ ｘ －１ ，∴ ≤
８ ８ ４ ２
( ｘ ) ( ) ｘ
２ ２
１ ｃ ｆ ． ｅ ｇ １ 当ｘ 时 ｍ ｅ 恒成立 而
ｌｎ ＝ｌｎ４， ＝ （２）＝ ｜ｌｎ２｜＝ｌｎ２ ｘ －１ ＝ ＝２ｅ－１， ＜０ ， ≥ ｘ －１ ，
４ ｍｉｎ ２
因为函数ｙ ｘ在 上单调递增 所以ｃ ｂ ａ 故答案 ２ ｘ
＝ｌｎ （０，＋∞） ， ＜ ＜ ， ｇ ｘ ｅ ｍ ．
为ｃ ｂ ａ． （ ）＝ ｘ －１＜－１，∴ ≥－１
＜ ＜
１８．（２０２１天津河东一模，１５）已知函数ｆ ｘ ａｘ ａ ａ 的 综上 ｍ ．
（ ）＝ （ ＞０， ≠０） ，－１≤ ≤２ｅ－１
图象在 处的切线方程为ｙ ｘ 若ｆ ｘ ｍｘ ｘ恒成
（０，１） ＝２ ＋１， （ ）≥ ＋
学生用书Ｐ２９
１．（多选题）（２０２１ ５·３ 原创题）已知函数定义域是 Ｄ 定义
， ： 又 ｆ ０ １
[ｍ ｎ ] ∵ （０）＝１＝ｅ ＝２－ ０，
ｆ ｘ 在Ｄ内是单调函数 存在区间Ａ Ｄ ｅ
（１） （ ） ，（２） ＝ ， ⊆ ， ｆ ｘ 在Ｒ上是增函数．
２ ２ ∴ （ ）
使得ｆ ｘ 在Ａ上的值域是 ｍ ｎ 那么称函数ｆ ｘ 为 理想函 函数ｆ ｘ 的图象有对称中心．
（ ） ［ ， ］， （ ） “ （２） （ ）
数 区间Ａ是 理想区间 ．则下列说法中正确的是 { ｘ ｘ
”， “ ” （ ） ｆ ｘ ２－ｅ ， ＞０，
若函数ｆ ｘ ｘ 则任意区间Ａ [ ｍ ｎ ] Ｒ都是 理想区间 ∵ （－ ）＝ ｅ － ｘ ， ｘ ≤０，
Ａ． （ ）＝２ ， ＝ ， ⊆ “ ” ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ
２ ２ ＞０ ， （－ ）＋（ ）＝２－ｅ ＋ｅ ＝２；
若ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｘ 是 理想函数
Ｂ Ｃ ． ． 若 ( ｆ （ （ ｘ ） ） ＝ ＝ ｅ ｌｏ ) ｇ － ａ １ （ ， ａｘ ＋ ｈ （ ） ） （ ａ ＞ “ ０， 且 ａ ≠ ” １） 是 “ 理想函数 ”， 则 ｈ ｘ ≤０ 时 ， ｆ （－ ｘ ）＋ ｆ （ ｘ ）＝ｅ － ｘ ＋２－ ｅ １ ｘ ＝２，
ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 的图象关于点 中心对称．
１ ∴ （ ）＋（－ ）＝２， （ ） （０，１）
∈ － ，０
４ 由ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ｘ２ 得ｆ ｘ ｘ２ ｆ ｘ ａ
（３） （ － ）＋（ ＋ｌｎ ）≤２ （ ＋ｌｎ ）≤２－（ － ），
若ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｘ 是 理想函数
１．
Ｄ．
答案
（ ）
Ａ
＝
Ｂ
ｌｏ
Ｃ
ｇ２（２ －２）， （ ） “ ” 即ｆ
（
ｘ
＋ｌｎ
ｘ２
）≤
ｆ
（
ａ
－
ｘ
），
故ｘ ｘ２ ａ ｘ
{ ｘ ｘ ＋ｌｎ ≤ － ，
ｅ ， ＞０， ａ ｘ ｘ２．令ｇ ｘ ｘ ｘ２
２．（２０２１ ５·３原创题）设ｆ ｘ ∴ ≥２ ＋ｌｎ （ ）＝２ ＋ｌｎ ，
（ ）＝ １ ｘ ． 则ａ ｇ ｘ ．
２－ ｘ， ≤０ ≥ （ ）ｍａｘ
ｅ ｘ 时 ｇ ｘ ｘ ｘ
判断函数ｆ ｘ 的单调性 ＜０ ， （ ） ( ＝２ ＋２ ) ｌｎ（－ ），
（１） （ ） ；
试问函数ｆ ｘ 的图象是否有对称中心 若有 请求出对称 则ｇ′ （ ｘ ）＝２ １＋ １ ｘ ，
（２） （ ） ？ ，
中心 若没有 请说明理由 当ｘ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ 单调递减
； ， ； ∈（－１，０） ， （ ）＜０， （ ） ；
（３） 当ｘ ＜０ 时 ， ｆ （ ｘ － ａ ）＋ ｆ （ ｘ ＋ｌｎ ｘ２ ）≤２ 恒成立 ， 求实数ａ的取 当ｘ ∈（－∞，－１） 时 ， ｇ′ （ ｘ ）＞０， ｇ （ ｘ ） 单调递增 ，
值范围．
ｇ ｘ ｇ ａ ．
２． 解析 ｘ 时 ｆ ｘ 是增函数
∴
综上
（
ａ
）ｍａｘ＝ （－１）＝
．
－２，∴ ≥－２
ｘ 时
（
ｆ
１
′
）
ｘ
＞０
－ ｘ
， （
故
）
ｆ ｘ 在
；
上是增函数
， ∈［－２，＋∞）
≤０ ， （ ）＝ｅ ＞０， （ ） （－∞，０］ ，
