2.3 指数函数、对数函数和幂函数的综合应用
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................4
知识点一、指数运算............................................................................................................................4
知识点二、指数函数及其性质............................................................................................................4
知识点三、对数运算............................................................................................................................5
知识点四、对数函数的图像与性质....................................................................................................5
知识点五、幂函数................................................................................................................................6
方法总结1：对数函数.........................................................................................................................7
03 真题回顾..........................................................................................................................................8
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................16
题型1：指对运算的求解...................................................................................................................16
题型2：指数函数的图象与性质.......................................................................................................20
题型3：对数函数的图象与性质.......................................................................................................25
题型4：幂函数的图象与性质...........................................................................................................30
题型5：指数与对数的反函数关系...................................................................................................35
题型6：指对幂函数的实际应用.......................................................................................................39
题型7：单调性法比较数值大小.......................................................................................................42
题型8：中间值法比较数值大小.......................................................................................................44
题型9：结合单调性与奇偶性比较大小...........................................................................................45
题型10：特值法比较数值大小.........................................................................................................47
题型11：利用糖水不等式比较大小.................................................................................................51
题型12：常用估值的应用.................................................................................................................54
题型13：闭合函数的相关问题.........................................................................................................57
05 课后拓展精练................................................................................................................................62
知识点一、指数运算
1、若
，则叫做的次方根．（
，
）
（1）当为奇数时，
；（2）当为偶数时，
；
2、根式的性质：①
，②
（
，
）
3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（
，
，
，且
）
①
；②
4、正数的指数幂的运算性质：（
，
，
，
）
①
，②
，③
；
④
，⑤
，⑥
．
知识点二、指数函数及其性质
1、指数函数概念：一般地，函数
（
，且
）叫做指数函数，其中
是自变量，函数的
定义域为
.
2、图像与性质
函数名称
指数函数
定义
函数
（
，且
）叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点
，即当
时，
．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
变化对图
象的影响
在第一象限内，
越大图象越高；在第二象限内，
越大图象越低．
指数函数
与
的图象关于
轴对称．
函数①
；②
；③
；④
的图象如下图左所示，则
；
即
时，
（底大幂大）；
时，
．
x
y
①②
③
④
1
O
x
y
f(x)=2x
g(x)=3x
h(x)=(
1
3)x
f(x)=(
1
2)x
O
知识点三、对数运算
1、如果
（
，且
），那么数
叫做以
为底
的对数，记作
．
2、
（
，且
）．
①
；②
；③
；④
．
3、对数的运算性质(
，且
，
，
)：若
，则
.（两边取对数）
（1）
；
（2）
；
（3）
．
4、换底公式：
；(其中，
，且
，
，且
)
推论：①
；②
；③
．
知识点四、对数函数的图像与性质
1、对数函数的概念：函数
（
，且
）叫做对数函数，其中
是自变量.
2、图像与性质
图象
定义域
值域
R
过定点
奇偶性
非奇非偶
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
变化对图像
的影响
在第一象限内，
越大图象越靠低；
在第四象限内，
越大图象越靠高．
知识点五、幂函数
1、定义：函数
做幂函数，其中
是自变量，
是常数.
2、常见的五种幂函数的图象
3、幂函数的性质
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
④在经过点
平行于
轴的直线的右侧，图像从下往上幂指数由小到大分布
⑤幂指数的分母为偶数时，图象只在一象限
幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于
轴对称
幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于原点对称
幂函数
，
（
，且
互质）可分别化为：
，
，再研究函数性质.
方法总结1：对数函数
1、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当
时，随
的增大，对数函数的图象愈靠近
轴；当
时，对数函数的
图象随
的增大而远离
轴．
y
x
1
1
a增大
a增大
x
x
x
x
a4
a3
a2
a1
log
log
log
log
O
2、与对数函数有关的奇函数
奇函数：①
，更一般地，
②
，更一般地，
3、设函数
，记
．
①若
的定义域为
，即
恒成立，则
或
②若
的值域为
，即
取遍一切正实数，则
或
1．（2026 年高考上海卷数学高考真题）为不为1 的任意实数，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
.
2．（2025 年高考北京卷数学真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的
时间
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，
训练时间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【解析】设当N 取
个单位、
个单位、
个单位时所需时间分别为
,
由题意，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
3．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设
．下列各项中，能推出
的一项是
（ ）
A．
，且
B．
，且
C．
，且
D．
，且
【答案】D
【解析】∵
，∴
，
当
时，
定义域上严格单调递减，
此时若
，则一定有
成立，故D 正确，C 错误；
当
时，
定义域上严格单调递增，要满足
，需
，即A、B 错误.
故选：D
4．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知
，则x，y，z 的大小关系不可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
5．（2025 年上海春季高考练习数学试题）幂函数
在
上是严格减函数，且经过
，则
的值可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】因为幂函数
在
上是严格减函数，所以
，故C 错误，D 错误；
对于A，若
，则
，当
时，
，
所以幂函数
过点
，故A 错误；
对于B，若
，则
，当
时，
，
所以幂函数
过点
，故B 正确.
故选：B.
6．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
7．（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
8．（2024 年北京高考数学真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表
示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种
类数没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，则
，即
，所以
.
故选：D.
9．（2024 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上递增，且
，
所以
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
所以
，
故选：D
10．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
11．（2023 年北京高考数学真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
12．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
13．（2023 年天津高考数学真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
.
所以
.
故选：D
14．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
在区间
上单调递减，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以的取值范围是
.
故选：D
15．（2024 年上海春季高考练习数学试题）函数
的定义域为_______.
【答案】
【解析】由题意可得
，即
的定义域为
.
故答案为：
.
16．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知
且
，则
______．
【答案】64
【解析】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
17．（2023 年北京高考数学真题）已知函数
，则
____________．
【答案】1
【解析】函数
，所以
.
故答案为：1
18．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
，则
的值域是______；
【答案】
【解析】当
时, 根据指数函数的图象与性质知
，
当
时,
.
综上:
的值域为
.
故答案为：
.
19．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数的取值范围是
.
故答案为：
.
题型1：指对运算的求解
【典例1-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）化简并计算下列各式：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）
，
，
，
，
原式
（2）
（3）令
，
则
，
又
，
，
，
原式
.
【典例1-2】（2026·高一·福建漳州·阶段检测）（1）计算：
．
（2）计算：
.
（3）已知
，求
的值．
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）由
得
，
；
由
得
，
，
故
.
【变式1-1】（1）求
的值；
（2）设
，用
表示
.
【解析】（1）
；
（2）因为
，
所以
.
【变式1-2】（2026·高一·甘肃兰州·期中）（1）化简：
；
（2）求值：
．
【解析】（1）
.
（2）
.
【变式1-3】（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）计算：
(1)
.
(2)
.
【解析】（1）
（2）
.
【变式1-4】（1）计算：
；
（2）对于正整数
，
，
和非零实数
，
，
，
，有
，
，
求
，
，的值．
【答案】【小题1】
【小题2】
，
，
【分析】
第（1）问分别利用对数恒等式、对数运算性质、指数与对数互化、根式化简等方法逐项计算，最后合并
结果；
第（2）问先设公共值为参数，利用指数运算法则进行变形，代入已知等式化简得到关于底数的关系式，代入
已知等式化简得到关于底数的关系式，再根据底数为正整数且满足大小关系，结合因数分解求得具体值.
【小题1】
．
【小题2】∵
，且
，
为非零实数，
∴
，∴
．
同理可得
，
，∴
，
即
．
又
，
，
，为正整数，且由题意可知
，
∴
．
∵
，∴
，
，
．
【变式1-5】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）（1）计算：
．
（2）计算：
．
（3）已知
，求
的值．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）已知
，则
，解得
，
，则
，
．
【变式1-6】（2026·高一·四川成都·阶段检测）计算下列各式的值.
(1)
(2)
【解析】（1）
（2）
题型2：指数函数的图象与性质
【典例2-1】（2026·高一·辽宁大连·期中）设函数
，若互不相等的实数
，
，，满
足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】我们先分析函数
的图像：
不妨设
，
因为互不相等的实数
满足
，
所以
，
，
，
，
由
，得
，即
，
，
因为
，所以
，解得
，
则
，即
，
，
符合选项 D.
【典例2-2】（2026·高一·辽宁大连·期中）已知
且
，函数
对任意实
数
，
，都有
成立，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为对任意实数
，
，都有
成立，
所以
在
上为增函数，
则
，解得
，则实数
的范围是
.
【变式2-1】若
是指数函数，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【答案】B
【解析】由指数函数的定义得
，解得
.
【变式2-2】（2026·湖北黄冈·二模）已知函数
有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
有两个零点，则方程
有两个实根，
即
有两个实根，即直线
与函数
的图象有两个交点.
结合函数
的图象，可得
，
所以的取值范围是
.
【变式2-3】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数
恒过定点
，且点
在
函数
的图象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【答案】C
【解析】
过定点
，所以
，
因为点
在函数
的图象上，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为4.
【变式2-4】（2026·江西南昌·三模）设
且
，函数
的值域为
的一个
充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，因为函数
在
上单调递增，则
在
上单调
递增，
所以
，即
在
上的值域为
；
当
时，
，
且
.
①当
时，
在
上单调递减，所以
，
即
在
上值域为
，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值
域为
，不合题意；
②当
时，
在
上单调递增，所以
，
即
在
上值域为
，
因为整个函数值域为
，所以
，解得
或
，
又因为
，所以
，即
.
所以函数
的值域为
的一个充分不必要条件对应的
的取值范围应为
的
真子集，所以B 正确.
【变式2-5】（2026·湖南·三模）已知函数
且
在
上的值域为
，
则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
在
上具有相同的单调性，
所以
在
上单调，要满足题意，则
在
上单调递增，
所以
，解得
，故选C.
【变式2-6】（2026·高一·青海海南·期末）已知
且
，若函数
的值域为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，则
在
单调递减，即
，
，
当
时，
的最大值为
，又因为
，此时两部分值域的并集不为
，
不符合题意；
若
，当
时，
，
，当
时，
的最大值为
，
只需
的最大值大于等于2，
所以
，解得
.
【变式2-7】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为
上的增函数，
所以由复合函数的单调性知
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，满足题意；
当
时，
在
上单调递减，则
，
解得
.
综上，
.
【变式2-8】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
由题意知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立.
所以
，解得
.
a 的取值范围是
.
【变式2-9】（2026·河北邢台·三模）已知函数
则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵ 当
时，
为单调递增函数，当
时，
，所以此时
.
当
时，
为单调递增函数，
也为单调递增函数，
∴
在
上单调递增，且
.
∴ 函数
是定义域为
的单调递增函数.
令
，当
时，有
.
设
（
），则
，整理得
.
解得
或
，∵
，∴
不符合题意，舍去.
∴
，即
.
∵
在
上单调递增，
∴
等价于
，解得
.
∴ 实数
的取值范围为
，故选A.
【变式2-10】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值
是（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】设
，则
，函数
等价于函数
．
令
，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线
．
当
，即
时，
在
上单调递增，此时无最值，不满足题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
或
（舍去）．
所以实数
的值是
.
题型3：对数函数的图象与性质
【典例3-1】（2026·贵州毕节·二模）已知函数
的图象过点
，且无限接近
直线
，但又不与该直线相交，则
的值为（ ）
A．
B．4
C．
或
D．
【答案】A
【解析】由题知，
，即
，
又
，则
，解得
，
由对数函数性质，
无限接近
，
则
时，
，即
，
故
，解得
，则
【典例3-2】（2026·高三·山东日照·阶段检测）函数
的单调递减区间是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，解得
，可知函数
的定义域为
，
因为
在定义域内单调递减，
且
在
内单调递增，在
内单调递减，
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
所以函数
的单调递减区间是
.
【变式3-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】由于
是奇函数，定义域关于原点对称，因此
也不在定义域内，
代入分子得
，解得
，
求参数
： 将
代入
得：
，
由于
在定义域内，奇函数满足
，代入
得：
，解得
，
此时函数
，
，
则
，
即
，则
是奇函数，满足题意，
故
.
【变式3-2】（2026·河南周口·模拟预测）若函数
的值域为
，则实
数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，则
在
上单调递减，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
此时要想满足
的值域为
，则有
，解得
，结合
，可得
；
若
，则当
时，
，当
时，
，
的值域不为
，不合题意；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
的值域不可能为
，不合题意；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
此时要想满足
的值域为
，则有
，解得
，结合
，可得
，
综上所述，实数
的取值范围为
.
【变式3-3】（2026·山东威海·一模）已知函数
且
的值域为
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，因为函数
的值域为
，故函数
的值域包含
，
求导得
，又因为
且
，由
可得
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：D.
【变式3-4】（2026·高三·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数
（
且
）的部分图象如
图所示，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】由函数图像知，
在定义域内单调递减，所以
，
根据图像可知函数
的图像是把
的图像向左平移小于1 个单位得到的，
所以
，解得
.
【变式3-5】（2026·高三·内蒙古包头·期末）已知函数
（
且
）的图象恒过定点
A，若点A 在直线
上，其中
，则
为最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
（
且
），所以当
，即
，
，
所以函数
（
且
）的图象恒过定点
，
所以直线为
，即
，所以
，
所以
，
当且仅当
，
，即
，
时等号成立.
故选：C.
【变式3-6】（2026·安徽·模拟预测）“函数
在区间
上单调递增”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】二次函数
的对称轴为
，
函数
在区间
上单调递增，则
，解得
，
由
可得
，但是由
得不到
，
所以函数
在区间
上单调递增是
的必要不充分条件.
【变式3-7】（2026·高三·重庆·阶段检测）设
且
，若函数
的最小值
为2，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】D
【解析】由已知
，
所以
，
令
，又
，
故
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
因为函数
的最小值为2，
所以
，解得
.
故选：D.
【变式3-8】（2026·广西·模拟预测）若对任意的
，不等式
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由于函数
在
上均单调递增，故均至多有一个零点，
而不等式
恒成立，
若
，则需
恒成立，由于
的值域为R，故
不恒成立；
故
，则
有公共零点，设为
，
则
，即
，
故
，
令
，则
，
，由于
在
上均单调递增，
故
在
上单调递增，
则
时，
；
时，
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，即
的最小值为1，
故选：C
【变式3-9】（2026·广西南宁·模拟预测）设函数
．若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域是
，
当
，得
，
，得
，
当
时，
，则
恒成立，又
在区间
单调递增，则
，
当
时，
，则
恒成立，又
在区间
单调递增，则
，
由
，得
，则
，
所以
，当
，
时，
的最小值为
.
故选：B
题型4：幂函数的图象与性质
【典例4-1】（多选题）（2026·高一·河北邢台·期末）已知幂函数
在
上单调递
增，函数
．若
，
，
，则
的值可能是（ ）
A．8
B．18
C．24
D．27
【答案】BC
【解析】由题意知
，解得
或；
当
时，函数
在
上单调递增，符合题意；
当
时，函数
在
上单调递减，不合题意；
因此
，
由
，可得
,
因为函数
在
上单调递增，若
，可得
，
依题意可知
，解得
；
所以
，即
的值可能是18，24.
故选：BC
【典例4-2】（多选题）（2026·高一·辽宁抚顺·开学考试）已知幂函数
的图像经过点
，则下列命
题正确的有（ ）
A．函数
为增函数
B．函数
为偶函数
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【解析】设幂函数
，函数
的图像经过点
，则
，
，
，
，所以
，即
；
由
，所以函数
为偶函数，所以B 正确；
分析函数解析式可知：
时，随着
的增大，
也增大，
也增大，
所以
时，
单调递增；
又
为偶函数，所以
时，
单调递减，所以A 错误；
时，
单调递增，又
，所以
时，
，C 正确；
大致画出函数图像如下，
为点
与点
两点中点的纵坐标，
为
时的函数值，
观察图象可知选项D 正确.
故选：BCD
【变式4-1】（多选题）（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知函数
的图象经过点
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
或
D．当
时，
，若
，则
【答案】ABD
【解析】因为函数
的图象经过点
，所以
，解得
，
所以
，故A 正确；
的定义域为
，对
，则
，且
，
所以函数
是偶函数，故B 正确；
因为
，所以
在
上单调递增，
由
，
是偶函数，得
，即
，
解得
，故C 错误；
因为当
时，
，所以
，
，
又
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
【变式4-2】（多选题）（2026·高一·广东汕头·期末）已知幂函数
的图像经过点
，则下列命题
正确的是（ ）
A．
为非奇非偶函数
B．
的值域是
C．若
，则
D．
在
上单调递减
【答案】ACD
【解析】由函数
是幂函数，设
，又
的图像经过点
，
所以
，∴
，即
．
对于A，函数
的定义域为
，不关于原点对称，所以函数
为非奇非偶函数，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，所以
，故C
正确；
对于D，
，
由函数单调性的性质可知，函数
是
上的减函数，故D 正确，
故选：ACD
【变式4-3】（2026·北京·三模）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
的值域为
【答案】D
【解析】对于A 选项：由分数指数幂的运算得
，而
，二者不相等，故A 错误；
对于B 选项：由
是偶函数得
，又幂函数
在
上单调递增，
且
，故
，即
，B 错误；
对于C 选项：
的定义域为
，对任意
，有f (- x)=(- x)
2
3 =
3√(- x)
2=
3√x
2= f ( x)，
故
是偶函数，C 错误；
对于D 选项： 对任意
，
，因此
，值域为
，D 正确 .
【变式4-4】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数
是幂函数，对任意
，
，且
，满足
．若
，且
的值为负数，则下列结论中
一定不成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】因为函数
是幂函数，
则
，
解得
或
，
因为对任意
，
，且
，满足
，
所以
在
上单调递增，
时，
，在
上单调递减，故舍，
所以
时，
，
对于A，取
时，
，
可能成立；
对于B，取
时，
，
可能成立；
对于C，取
时，
，
可能成立；
对于D，因为
，则
，则
，
由单调性可知
，故
，与
矛盾，一定不成立.
【变式4-5】（2026·高二·江苏常州·阶段检测）已知幂函数
的图像经过点
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
为奇函数
C．
为减函数
D．
的值域为
【答案】D
【解析】设
，
由函数
的图像经过点
，则
，解得
，
所以
，故函数的定义域为
，故A 错误；
由定义域关于原点对称及
可知函数为偶函数，故B 错误；
由
在
上无单调性，故C 错误；
因为
，故
的值域为
，故D 正确.
故选：D
题型5：指数与对数的反函数关系
【典例5-1】（2026·广东广州·二模）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】B
【解析】因为两个函数图象关于直线
对称，
所以
是
的反函数，
对
整理得：
，
，
交换
可得反函数：
，
又因为
，所以
，
化简可得：
，即
，
两边取以3 为底的对数，则
.
【典例5-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
，函数
，若
与
的图象关于直线
对称，
与
的图象关于直线
对称，则下列关系不可能
成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
上任意取点
，点
关于直线
的对称点为
，
因为点
在
上，故
，得
，
即
，同理得
，
在同一坐标系内画出
与
的图象如下：
得
或
或
成立，
而
不成立.
【变式5-1】（2026·高一·贵州安顺·期末）如果
是函数
的零点，
是函数
的零点，那么
的值为（ ）
A．
B．3
C．5
D．6
【答案】C
【解析】因为
是实数集上增函数，
所以
是函数
的唯一零点，
所以
，
所以直线
与函数
的图象的交点
的横坐标为
.
因为
是正实数集上增函数，
所以
是函数
的唯一零点，
所以
，
所以直线
与函数
的图象的交点
的横坐标为
.
因为函数
和
互为反函数，
所以它们的图象关于直线
对称，且直线
与直线
互相垂直，
所以点
关于直线
对称，
所以
，所以
.
故选：C
【变式5-2】（2026·高一·全国·阶段检测）已知方程
与
的实数根分别为
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
与
的图象关于直线
对称，
且直线
也关于直线
对称，且两条直线的交点坐标为
，
所以直线
与曲线
的两交点
关于点
对称，
所以
，可得
．
故选：A．
【变式5-3】（2026·河北衡水·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】由
可得：
，
又由
可得：
.
而函数
与
互为反函数，所以它们的图象关于直线
对称，
下面作出函数
，
，
，
的图象：
由图可得：方程
的根为
，即
为如图交点
的横坐标，
方程
的根为
，即
为如图交点
的横坐标，
由图可知交点
的横坐标为，根据对称性可得：
，
根据同构方程思想可得：满足
和
的根必有：
，
所以
，
故选：A.
【变式5-4】已知
是函数
的一个零点，
是函数
的一个零点，
则
的值为（ ）
A．1
B．2020
C．4040
D．4016
【答案】B
【解析】由题意，
是曲线
与曲线
交点
的横坐标，
是曲线
与曲线
交点
的横坐标，
显然
关于
对称，且函数
与
互为反函数，
故
与
关于直线
对称，即
，故
或
，
.
故选：B
【变式5-5】（2026·高二·云南丽江·期末）若
，设函数
的零点为
，
的零点为
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的零点是
与
图象交点
的横坐标，
函数
的零点是
与
图象交点
的横坐标，
由于
与
互为反函数，其图象关于直线
对称，
直线
与直线
垂直，
故直线
与直线
的交点
即是
的中点，
，
，
当且仅当
时等号成立，故
，
故所求的取值范围是
．
故选：B．
【变式5-6】（2026·高三·全国·三轮复习）已知函数
，若存在
使得
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
的反函数为
，由
可得
，
所以题干等价为
与
的图象在区间
有交点，
因为
与
的图象关于直线
对称，
所以两函数图象交点必在
上，
故
图象与直线
在区间
有交点，
则
在区间
有解，则
，
令
，则
，
则
在区间
单调递增，又
，
则
的取值范围为
．
故选：D
题型6：指对幂函数的实际应用
【典例6-1】（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为
，其中
为初始质量，T 为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.
已知该物质的半衰期为8 天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的
.
参考数据：
A．25
B．27
C．29
D．31
【答案】B
【解析】由题意，
，
设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的
，
则有
，所以
，
（天），
故大约经过27 天后，剩余质量变为初始质量的
.
【典例6-2】（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家
有关规定：
血液中酒精含量达到
的驾驶员即为酒后驾车，
及以上认定为醉酒驾车．
假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
．如果在停止喝酒以后，他血液
中酒精含量会以每小时
的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶．（参考数据：
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【解析】设他经过
个小时后
血液中酒精含量为
，
则
，
当
时，
，即
，
解得
，
因为时间必须大于
小时才能使酒精含量低于
，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾
驶.故选项C 正确.
【变式6-1】（2026·山东枣庄·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
，
是正的常数．如果在前
消除了
的污染物，那么要消除
的污染物大约需要（参考数据：
，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，即
，
设消除
的污染物大约需要
，
由题意可得
，即
，取对数可得
，
两式相比可得
，则
，
所以要消除
的污染物大约需要
.
故选：C.
【变式6-2】（2026·高三·四川·阶段检测）一种质量为
的物质，在化学分解中，经过时间（单位：
）后，所剩的质量
（单位：
）与时间t 的函数关系为
（
，
均为参数，
且
）.
已知
的该物质，在化学分解中，经过
后，所剩的质量为
，再经过
后，所剩的质量为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养.
由题意可得
，
所以
，解得
.
故选：A
【变式6-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是
，其中
为预测期人口数，
为初期人口数，
为预测期内人口增长率，
为预测期
间隔年数，则下列说法不正确的为（ ）
A．若在某一时期内
，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内
，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内
，则这期间人口数呈摆动变化
D．若在某一时期内
，则这期间人口数不变
【答案】C
【解析】当
时，
，则
逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A 正确；
当
时，
，则
逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B 正确，C 错误；
时，
，则
值不变，所以这期间人口数不变，故D 正确.
故选：C.
【变式6-4】（2026·高三·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为：
，其中
、
是正的常数．如果在
前
消除了
的污染物，那么污染物减少
大约需要花费（ ）
（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可知，当
时，
；
当
时，
，解得
，那么
.
因为污染物减少
，所以
，所以
，
所以
．
所以污染物减少
大约需要花费
．
故选：B．
【变式6-5】（2026·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的
污水处理装置每小时从处理池清除掉
的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的
，大约
需要的时间为（ ）（参考数据：
）
A．
小时
B．
小时
C．
小时
D．
小时
【答案】B
【解析】设处理池中的残留物初始时为
，则小时后，处理池中的残留物为
，
根据题意可得
，即
，解得
.
因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的
，大约需要的时间为
小时.
故选：B.
题型7：单调性法比较数值大小
【典例7-1】（2026·重庆·模拟预测）已知
，
，
，比较
，
，的大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对数函数
在定义域
上单调递减，
由于
，因此
，即
；
对数函数
在定义域
上单调递增，
由于
，因此
，即
；
指数函数
在定义域R 上单调递减，由
，因此
，
综上可得
.
【典例7-2】（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
在
单调递减，
，
所以
，
因为
在
上单调递增，
，
所以
，
因为
在
上单调递减，
，
所以
，
即
，
，
，
所以
.
【变式7-1】（2026·天津滨海新区·三模）设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
在R 上单调递增，所以
，则
，
因为
在
上单调递增，所以
，则
，
因为
在
上单调递增，且
，
所以
，则
.
【变式7-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
在
上单调递减，
所以
，
同理，函数
在
上单调递增，所以
.
综上，可得
.
题型8：中间值法比较数值大小
【典例8-1】（2026·天津河东·二模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可知，底数
，指数
，因此
又因为
且
所以
再看
利用换底公式，
由于
所以
从而
综上可得
因此
【典例8-2】（2026·江西九江·二模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可得：
，
，
，故
.
【变式8-1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
, 因
, 故
.
.
综上可得大小关系：
.
【变式8-2】（2026·天津宝坻·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
所以
【变式8-3】（2026·山西忻州·模拟预测）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
．
因为指数函数
单调递增，且
，
所以
．
又
，
．
所以
．
故选：B.
【变式8-4】（2026·天津·模拟预测）设
，
，
，则
，
，的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，故
，
，
，即
，
．
题型9：结合单调性与奇偶性比较大小
【典例9-1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
．由
，得
，
函数
在
上单调递增，
单调递减，
故方程有唯一解，且
．
由
，代入
得
，故
．
令
，该函数在
上单调递增，
因为
，
，所以
．
综上，
．
【典例9-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知实数
满足
，
，
，则
的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，因为
是
上的增函数，
是R 上的减函数，
所以
为
上的单调递增函数，
计算得
，
，
由零点存在性定理可得方程
得解
，
由
，得
，所以
，
又
为
上的单调递减函数，
在
上单调递增，
所以
，
，
所以
．
【变式9-1】已知满足
的
的最大值为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
是单调递增函数，而
，
则
等价于
，
所以满足
的
的最大值为
，
又
，综上
.
【变式9-2】（2026·福建厦门·二模）设函数
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
,所以函数是偶函数，所以
.
当
时,
,此时有
，所以函数
在
单调递增，
又因为
,所以
.
又因为
,所以
,
由函数的单调性可得
即
【变式9-3】（2026·天津滨海新区·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，
设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，
可得函数
在
上为单调递减函数，且
，
所以
，
，
因为
，所以
，
，
，
可得
，所以
，
即
，所以
.
题型10：特值法比较数值大小
【典例10-1】（多选题）（2026·高三·湖北黄冈·阶段检测）若
，
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】A 选项，
，由题意得
，即
，
，故
，A 正确；
B 选项，若
，不妨设
，则
，
其中
，
而
，
故
，所以
，
所以
，故
，B 错误；
C 选项，若
，又
在R 上单调递增，故
，
其中
，
所以
，
设
，其在R 上单调递增，
又
，故
，解得
，C 正确；
D 选项，若
，当
时，
，
令
，其在R 上单调递减，
又
，故
时，
，
，故
，
由C 知，
，
在R 上单调递增，
，
时，
，故
，
，
满足
，又
在R 上单调递增，故
；
当
时，同理可得
，又
在R 上单调递减，故
，D 正确.
故选：ACD
【典例10-2】（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知互不相等的正数
满足
，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
所以
，整
理可得
．
令
，
在同一直角坐标系中分别作出
的图象，
因为
互不相等，观察可知，当
时，
，当
时，
．
【变式10-1】（2026·广西崇左·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，
即
，且
，
，
令
，
，则
，
因为函数
在定义域
内单调递增，则
.
例如
，
，满足
，但
，且
均无意义，故AC 错误；
例如
，
，满足
，但
，故B 错误；
由
可得
，即
，
所以
，故D 正确.
【变式10-2】（2026·福建福州·三模）已知
，则
的大小关系
不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
,
，
，
；
即转化为函数
与
，
与
，
与
图象的交点问题.
分别画出
，
，
，
，
，
的图象，如图所示：
由图可知，
与
的图象交于
两点，
与
的图象交于
两点，
与
的图象交于
两点；同时
.
对于A，
时，满足
，故A 正确；
对于B，
，不满足
，故B 错误；
对于C，
，满足
，故C 正确；
对于D，
，满足
，故D 正确.
【变式10-3】（多选题）（2026·江西萍乡·一模）已知实数
，若
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于选项A，已知
，则
，故
，A 正确.
对于选项B，因为
，幂函数
在
上单调递增，又
，所以
，B 错误.
对于选项C，
，
因为
，
，所以
，
，
，
故
，即
，C 正确.
对于选项D，构造函数
，
，则
在
上单调递增.
因为
，所以
，即
，整理得
，D 错误.
故选：AC
【变式10-4】（2026·广东深圳·一模）若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系
不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，
与
互为反函数，故其交点
在直线
上，且交点横坐标小于1，
而
与
交点的横坐标等于1，
从而
，
，
在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：
与
的图像交点为
,
与
的图像交点为
,
且
当直线
位于点
的上方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于点
的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于
点的上方，
的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
当直线
位于
点的下方时，此时直线
与三个函数的交点横坐标满足
，
题型11：利用糖水不等式比较大小
【典例11-1】若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如
果在此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方法一：对数型糖水不等式
因为
, 所以
. 因为函数
在
上单调递减，所以
，
可得
, 且
.
所以
, 即
,
故选 :A.
方法二：普通型糖水不等式
由已知条件
, 可得
. 可以得到
, 即
.
所以
, 即
.
,
即
, 所以
, 即
.
综上,
,
故选: A.
【典例11-2】
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比决定了糖水的甜度，如
果再添加
克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，由
得，
，故A 正确；
对于B，因为
，故B 错误；
对于C，由题得
，故C 错误；
对于D，由糖水不等式得
，所以
，故D 错误.
故选：A.
【变式11-1】（2026·四川凉山·一模）
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比
决定了糖水的甜度，如果再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
(
，
).若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意当
，
时
成立，得出
，用作差法比较得出
，
即可得出答案.因为
，
，
所以
，
，
根据题意当
，
时
成立，
又
，
所以
，
即：
，
又
所以
，
所以
，
故选：B.
【变式11-2】（多选题）生活经验告诉我们：
克糖水中有
克糖（
，
，且
），若再添加
克糖（
）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：
，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖
水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．
C．若
，
，为
三条边长，则
D．若
，
，为
三条边长，则
【答案】BD
【解析】A，由糖水不等式得：
，
时，
，故A 错误.
B，
，故B 正确.
C，
，故C 错误.
D，
，故D 正确.
故选：BD
【变式11-3】已知a 克糖水中含有b 克糖，若再添加m 克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖
浓度更大），对应的不等式为
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知
，
又
．
综上，
．
故选：A
题型12：常用估值的应用
【典例12-1】（2026·高三·陕西渭南·开学考试）已知
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，则有
，
，
由
，有
，
由
，得
，即
，
则有
，
由
，得
，
由
，得
，
所以
.
【典例12-2】（2026·高三·山东·阶段检测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设
均为正数.
根据泰勒公式，当
时，
.
代入
得
，即
.
令
，
求导得
，故
在
时递增，
，即
.
令
，则
，
故
，
，故
.
因此
，即
.
【变式12-1】（2026·天津滨海新区·三模）设
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
注意到
，
，
则
，从而
.
又注意到
，从而
.
【变式12-2】（2026·河南·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由对数换底公式得：
，
，
因为
是增函数，且
，
所以：
，即
，
指数函数
是减函数，因此
，即
，
综上可得
.
【变式12-3】已知三个函数
，
，
的零点依次为a，b，c，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
是
上的增函数，
，
，
因此零点
，即
.
令
，得零点
.
是
上的增函数，
，
，因此零点
，即
，
综上可得大小关系：
.
【变式12-4】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
且
，所以
.
题型13：闭合函数的相关问题
【典例13-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数
在
时，函数值
的取值区间恰为
，则称
为
的一个“
倍倒域区间”.定义在
上的奇函数
，当
时，
，则
在区间
内的“8 倍倒域区间”为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为定义在
上的奇函数，所以
，所以
.
因为当
时，
，所以当
时，
，
所以
，
则当
时，
单调递减，
设
，由
，
得
，
解得
，
所以
在区间
内的“8 倍倒域区间”为
.
故选：D
【典例13-2】（2026·高三·山西吕梁·开学考试）定义：设函数
的定义域为
，如果
，使得
在
上的值域为
，则称函数
在
上为“等域函数”，若定义域为
的函数
（
，
）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，函数
在
上为减函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在
，
（
）使得
，
所以
，消去
，得
，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上是单调增函数，
所以符合条件的
，
不存在.
当
时，函数
在
上为增函数，
若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，
则存在
，
（
）使得
，
，即方程
在
上有两个不等实根，
即
在
上有两个不等实根，
设函数
（
），则
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
所以
，又
，
，
故
，即
.
故选：C.
【变式13-1】对于函数
,若存在区间
,使得
,则称函数
为“可等域函
数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①
;②
;③
;④
.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在①中,如在区间
、
都是
的可等域区间,故①不合题意;
在②中,
,且
在
时递减,在
时递增,
若
,则
,于是
,又
,
,而
,故
,
是一个可等域区间;
若
,则
,解得
,
,不合题意,
若
,则
有两个非负解,但此方程的两解为1 和
,也不合题意,
故函数
只有一个等可域区间
,故②成立;
在③中,函数
的值域是
,所以
,
函数
在
上是增函数,考察方程
,
由于函数
与
只有两个交点
,
,
即方程
只有两个解
和,
因此此函数只有一个等可域区间
,故③成立;
在④中,函数
在定义域
上是增函数,
若函数有
等可域区间
,则
,
,
但方程
无解(方程
无解),故此函数无可等域区间,故④不成立.
综上只有②③正确.
故选:B.
【变式13-2】对于函数
，若存在区间
，使得
，则称函数
为“可等
域函数”.区间
为函数的一个“可等域区间”.给出下列三个函数：
①
；②
；③
；
则其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】在①中，在
上的所有闭区间都 是
的可等域区间，故①不合题意；
在②中，
，且
在
时递减，在
时递增，
若
，
，则
，
，于是
，又
，
，而
（1）
，故
，
，
是
一个可等域区间；
若
，则
，解得
，
，不合题意，
若
，则
有两个非负解，但此方程的两解为1 和
，也不合题意，
故函数
只有一个等可域区间
，
，故②成立；
在③中，函数
的值域是
，
，所以
，
函数
在
，
上是增函数，考察方程
，
由于函数
与
只有两个交点
，
，即方程
只有两个解0 和1，
因此此函数只有一个等可域区间
，
，故③成立.
故选C
【变式13-3】一般地，若函数
的定义域为
，值域为
，则称
为
的“k 倍跟随区
间”；特别地，若函数
的定义域为
，值域也为
，则称
为
的“跟随区间”.下列结
论不正确的是（ ）
A．函数
存在跟随区间
B．若
为
的跟随区间，则
C．函数
存在跟随区间
D．二次函数
存在“2 倍跟随区间”
【答案】C
【解析】对于A，因为
在R 上单调递增，所以对于
，其值域为
，
由“跟随区间”的定义可知函数
存在无数个跟随区间，故A 正确；
对于B，若
为
的跟随区间，且
的对称轴为
，
所以
，解得
或
（舍），故B 正确；
对于C，假设
存在“跟随区间”
，
因为
在单调区间
上均单调递减，
则有
，解得
，
此时在
内包含0，
时函数无意义，故
不存在跟随区间，故C 错误；
对于D，若函数
存在2 倍跟随区间，
设定义域为
，值域为
，
当
时，函数在定义域上单调递增，则
，
则
是方程
的两个不相等的实数根，解得
或
，
故存在定义域为
使得值域为
，D 正确.
故选：C.
【变式13-4】对于函数
，若存在区间
，当
时的值域为
，则称
为
倍值函数．若
是
上
倍值函数，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【解析】可看出
在定义域
内单调递增，从而可得出
，
，即得出
，
是方程
的两个不同根，从而得出
，可设
，通过求导，根据导数符号可得出
的极
小值为
，并判断出
在
上单调递减，在
上单调递增，并得出
趋向0 时，
趋
向正无穷，
趋向正无穷时，
趋向正无穷，这样即可得出
时，方程
有两个不同根，即
得出
的取值范围．
在定义域
内单调递增，
，
，即
，
，即
，
为方程
的两个不同根，
，
设
，
，
时，
；
时，
，
是
的极小值点，
的极小值为：
，
又
趋向0 时，
趋向
；
趋向
时，
趋向
，
时，
和
的图象有两个交点，方程
有两个解，
实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
1．（2026·北京大兴·三模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
，同时取对数得：
，
，
又
，且函数
在区间
单调递增，因此
，
可得：
，即
，故
.
2．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
单调递增，故
，
单调递增，故
，
，
对于
，，设函数
，
，
故函数
在
上单调递增，
所以
，
则
，所以
，
故
．
3．已知函数
，若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
又因函数
在
上单调递增，则
，
所以
，
因
，且
在
上单调递增，
所以
，即
.
故
.
4．（2026·天津河西·三模）设
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由指数函数的性质，可得
，即
，
且
，即
，
又由对数函数的性质，可得
，即
，
所以
.
5．（2026·河北保定·三模）已知实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
对于函数
，定义域为R，且
，
所以函数
为偶函数，
，令
，则
，
所以
单调递减，又
所以当
时，
，故
在
上递减；
当
时，
，故
在
上递增.
由
即
得，
，所以
，即
，
对于A，当
时，满足
，此时
，故
不成立，错误；
对于B，当
时，满足
，此时
，故
不成立，错误；
对于C，因为
，所以
，根据
在定义域上单调递增，
所以
，正确；
对于D，当
时，满足
，此时
，
故
不成立，错误.
6．（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】构造指数函数
，底数
，所以
单调递减，即
；
，即
.
7．（2026·广东深圳·模拟预测）若
，
，
，
，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由对数函数
在
上单调递减，
得
，即
；
由对数函数
在
上单调递增，
得
，即
，因此
.
由幂函数
在
上单调递减，
得
，即
.
综上，
且
.
8．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知
，
，
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因
，
，
，
则
，
又因
，
则得
.
9．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，则
.
10．（2026·山东青岛·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵对数函数
定义域上单调递增，且
，所以
，
，
令函数
，
，且
，
则导数
，当
时，
，函数单调递减，
∴
，即
，
∴
.
11．（2026·高三·全国·一轮复习）比较大小
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增.
，
因
，则
,两边取对数得
，则
，即
；
设
，则
，
在
上单调递增.
又
，
即
对
恒成立.
令
得，
,又
，∴
，
，
又
综上可得，
.
12．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若
，
，
，
，则
a，b 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
则
，
设
，
，
令
，
，
在
上单调递增，则
时，
，
即
，则
，
在
上单调递减，
，即
，
，
，
，
则
．
13．（2026·甘肃·模拟预测）设
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将
用变量x 替代，则
，
，
，其中
，
令
，则
，
令
，则
，
则
在
上单调递减，且
，
，
所以
，使得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减．
又
，
，则
，则
在
上单调递增，
则
，即
，所以
，
记
，
，则
，
在
上单调递增，
又
，所以
，所以
.
综上，
.
14．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知
，
，
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】.因为
，
所以
，即
，所以
.
构造函数
，
求导得
，故
在
单调递增.
因此
，即
.
令
，得
，得证
.
构选函数
，求导得
，
因为
，所以
，所以
在
单调递减，
当
时，
.
令
，得
，由
故
.综上，
.
15．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为
的偶函数
在
上单调递减，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为定义域为
的偶函数
在
上单调递减，所以
在
上单调递增.
因为
，
，
，
所以
.
又
，所以
.
16．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数
，求导得
，
当
时
，
单调递增，因此
，即
.
令
，得
，即
.
，对
同时取次方得
，
.
因为幂函数
在
单调递增，
，
，故
.
综上
.
17．（2026·宁夏银川·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
设
，
，
，
，
在
上是单调递增函数，
，
，
，
在
上是单调递减函数，
，
，
，
为
上的单调递减函数，
，
，
，
，即
.
18．（2026·湖北襄阳·一模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
，
故构造函数
，则
，
令
，
故
，因此
在
上单调递增，
故
，故
在
恒成立，故
在
上单调递增，因此
，即
.
19．（2026·高一·安徽合肥·期末）设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，则
，
因为
，所以
，则
，
则
；
因为
，所以
，
因为
在
上单调递减，
所以
，即
，则
；
因为
，所以
，则
，
故
.
故选：D
20．（2026·高三·山东临沂·期末）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系正确的一项是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
则
，
设
，
则
，
设
，
则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
则
，所以
，即
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，
即
，所以
.
故选：D
21．（多选题）（2026·高一·浙江衢州·期中）已知幂函数
的图象经过点
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．函数
的值域为
D．当
时，
【答案】AD
【解析】设幂函数为
将
代入解析式得
，故
，所以
，
定义域为
，
因为
，故函数为奇函数，故A 正确；
函数
，故B 错误；
显然
的值域为
，故C 错误；
当
时，
，
即满足
，故D 正确
故选：AD
22．（多选题）若
，
为正实数，且
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，由于
，根据对数函数的性质，对数函数在正实数范围内是递增的，因此
一定成立，故A 正确；
对于选项B，将不等式变形为
，设
，则
，当
时，因此
在
上是增函数. 由于
，有
，即
，从而
一定成立，故B 正
确；
对于选项C，设
，则
.当
时，
，当
时，
.因此，
在
上是减函数，在
上是增函数，由于
，
不一定成立，因为
和
可能
位于
的不同的单调区间，故C 错误；
对于选项D，设
则
.
设
，则
.
当
时，
，因此
在
上是增函数.
由于
，所以当
时，
，即
，
因此
在
上是增函数.
由于
，所以当
时，
，
即
一定成立，故D 正确.
故答案为ABD.
23．（多选题）（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数
满足
，则下列不等
关系正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】令
，则
，
，
，
.
A 选项：
，故A 正确；
B 选项：
，故B 错误；
C 选项：
，故
；
，故
；从而
，
故C 正确；
D 选项：由A 知
，则
，故D 正确.
故选：ACD.
24．（多选题）（2026·河北保定·一模）下列不等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于A，
，故
，A 正确，
对于B，
，故
，B 正确，
对于C, 由于
，故
，故
，故C 错
误，
对于D,
,所以
，故
，故D 错误，
故选：AB
25．（多选题）已知
，则使得“
”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为
，所以
得
,故
，故A 正确；
对于B，取
，此时满足
，但
，故B 错误；
对于C，由
可得
，即
，
当
时，
，
而
，故C 错误；
对于D，由
可知，
，因为
，所以
，故D 正确．
故选：AD
26．（多选题）（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）若
，
，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于选项A，
，又易知
在
上单调递增，所以
，故选项A 错误，
对于选项B，因为
，
，则
，
，
又
，
，
所以
，故选项B 正确，
对于选项C，易知
，
，所以
，故选项C 正确，
对于选项D，由选项C 知
，
，所以
，故选项D 错误，
故选：BC.
27．（多选题）已知
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，函数
均为
上的增函数，且
时，两函数值都等于1，
时，两函数值都等于9，作出函数
的图象如图1，
由图可知当
时，
，即
故A 正确；
对于B，当
时，
，由于
，故
，即
，故B 正确；
对于C，当
时，
，由于
，则
故C 错误；
对于D，因
都是
上的增函数，
且当
时，两函数值都等于1，作出函数
的图象如图2，
由图象可知当
时，
，即
，故D 正确.
故选：ABD.
28．（多选题）已知函数
在
上先增后减，函数
在
上先增后减．若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
，
．
设
在
上先增后减，
．
，
，
，
．
，
设
，
在
上先增后减，
．
29．（多选题）（2026·重庆·一模）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
，
，
，
，
因为
，所以
，所以
，
对于
，因为函数
在
上单调递增，所以
，
故
正确；
对于
，因为
，
所以
，所以
，故
正确；
对于
，因为函数
在
上单调递减，又
，
所以
，故
错误；
对于
，因为
，
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，而
，所以
，故
正确.
故选：
.
30．（多选题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，
所以
，则
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
当且仅当
时取等号，
又
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
，故C 错误；
对于D，
，
因为
，
所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
31．函数
的定义域为D,若存在闭区间
,使得函数
同时满足:(1)
在
内是单调
函数;(2)
在
上的值域为
,则称区间
为
的“
倍值区间”.
下列函数中存在“3 倍值区间”的有_____.
①
;②
;③
;④
.
【答案】①③
【解析】对于①,若函数
存在“3 倍值区间”
,则有
,解得
．所以函
数函数
存在“3 倍值区间”
．
对于②,若函数
存在“3 倍值区间”
,则有
,结合图象可得方程
无解．所以函数函数
不存在“3 倍值区间”．
对于③,当
时,
．当
时,
,由对勾函数的性质可得函数
在区间
上单调
递增．
若函数
存在“3 倍值区间”
,且
,则有
,解得
．
所以函数
存在“3 倍值区间”
．
对于④,函数
为增函数,若函数
存在“3 倍值区间”
,则
,由图象可得方程
无解,故函数
不存在“3 倍值区间”．
综上可得①③正确．
故答案为：①③
