文档文本内容
2.7 指数函数
13 大考点汇总
考点01 指数与指数幂的化简、求值
考点02 指数函数的判定以及求参数
考点03 指数型函数图象过定点问题
考点04 根据指数型函数图象求参数的范围
考点05 判断指数函数的单调性
考点06 求指数型复合函数的单调性
考点07 利用指数(型)的单调性求参数
考点08 由指数函数的单调性解不等式
考点09 比较指数幂的大小
考点10 求指数型函数的最值
考点11 根据指数函数的最值求参数
考点12 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域)
考点13 指数函数综合应用
题型专练
考点01 指数与指数幂的化简、求值
1．已知
，求
以及
的值．
【答案】
，
【分析】利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出
、
、
的值即可求解
【详解】对
两边平方可得
，则
，
对
平方可得
，所以
，
即
，
根据立方和公式可得
，
所以
，
对
两边平方，可得
，则
，
所以
．
2．（1）化简：
；
（2）求值：
．
【答案】
；
【详解】（1）
.
（2）
.
3．计算：
(1)
.
【答案】(1)
【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可．
【详解】（1）
4．计算：
(1)
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求解即可；
【详解】（1）原式
.
5．计算下列式子的值(请务必书写必要的计算步骤)
(1)
【答案】(1)
【详解】（1）原式=
6．（1）
【答案】(1)70；
【分析】（1）利用指数及分数指数幂运算公式化简求值．
【详解】（1）
；
考点02 指数函数的判定以及求参数
7．已知指数函数
的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】由指数函数定义结合
的图象经过点
可得
，
，据此可得答案.
【详解】因
为指数函数，则
.因
的图象经过点
，则
，
∴
.
故选：A.
8．若
是指数函数，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【答案】B
【详解】由指数函数的定义得
，解得
.
9．已知指数函数
，则实数
的取值范围是________；
【答案】
【分析】根据指数函数的定义求解；
【详解】由已知
且
，解得
且
，
所以
的范围是
.
故答案为：
10．函数
是指数函数，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．1 或
【答案】A
【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值.
【详解】因为函数
是指数函数，所以
且
，
即
且
，解得
.
故选：A.
考点03 指数型函数图象过定点问题
11．函数
且
的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________．
【答案】
【详解】令
，解得
，
将
代入函数，得
，
故函数恒过定点
．
12．已知函数
是指数函数，则函数
的图象过定点___________
【答案】
【详解】由题意得，
，得
，则函数
的图象过定点
.
13．对于任意
且
，函数
的图象恒过定点
. 若
的图象也过点
，
则
____.
【答案】
【分析】先由函数图象经过定点
推得
，求出
，再由图象过点
确定
的值即可.
【详解】因为函数
的图象恒过定点
，所以
，
解得
，故
.
又
的图象也过点
，则
，则得
，
因
，故
，所以
.
故答案为：
.
14．已知函数
的图象恒过定点
，则
_____.
【答案】
【分析】令
求出函数定点即可.
【详解】当
时，
，则函数
的图象恒过定点
，
则
，则
.
故答案为：
考点04 根据指数型函数图象求参数的范围
15．已知函数
有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
有两个零点，则方程
有两个实根，
即
有两个实根，即直线
与函数
的图象有两个交点.
结合函数
的图象，可得
，
所以的取值范围是
.
16．若函数
且
的图象如图，其中a，b 为常数，则函数
的图象大致
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察图像判断底数
，再结合特殊值求解.
【详解】观察
的图像可知
，
则
也应当是单调递增的，排除掉选项C，D；
代入
，
，
，可得
；
则
，结合图像判断A 正确.
17．已知函数
（
且
）与函数
（
且
）的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象的特征分析即可.
【详解】
过点
作
轴的垂线，交
于
，
可得：
，
过点
作
轴的垂线，交
于
，
可得：
，解得
，
由图象知：
，
所以：
.
故选：D
18．已知函数
，
，
，
，
是函数
的4 个零点，且
，则
的取值范围为_______；
的取值范围是_______.
【答案】
【分析】转化为
与
有4 个不同的交点，同一坐标系内画出
与
的图象，得到
，
，并得到
，求出
.
【详解】令
，即
，
，
即
与
有4 个不同的交点，
同一坐标系内画出
与
的图象，
故
，令
，解得
，
显然
，
令
，整理得
，
故
，
令
得，
或
，
故
，
，
，
.
故答案为：
，
19．（多选）在如图所示的图象中，二次函数
与函数
在同一平面直角坐标系内的图
象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据题意结合二次函数与指数函数的图象性质逐项分析即可．
【详解】A：由图可得二次函数
的对称轴为
且
，结合图可得
，即得
，
由图知
为减函数，则有
，符合
，故A 不合题意；
B：由图可得
且
，此时
、
异号，则与函数
为减函数相矛盾，故B 符合题意；
C：由图可得
且
，即得
，由图知
为减函数，则
，符合
，
故C 不合题意；
D：由图可得
且
，此时
、
异号，则与函数
为减函数相矛盾，故D 符合题意；
故选：BD.
20．已知
，则
________________.
【答案】2
【分析】根据题意，转化为
分别为直线
与
和
的图像交点横坐标，结合
和
的图像关于直线
对称，联立方程组，求得交点坐标，即可求解.
【详解】由
，可得
，
所以
分别为直线
与
和
的图像交点横坐标，
因为
和
的图像关于直线
对称，如图所示，
联立方程组
，解得
，所以
，可得
,
故答案为：
.
考点05 判断指数函数的单调性
21．下列函数中，在区间
上单调递减，且是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间
上单调递减且为奇函数两个条件即可求解．
【详解】对A 选项，
的定义域为
，
，
既不满足
也不满足
，为非奇非偶函数，不符合要求，故A 错误；
对B 选项，
的定义域为
，
满足
，是奇函数，
根据幂函数性质，
在
上单调递增，在
上单调递增，不符合单调递减的要求，故B 错误；
对C 选项，
的定义域为
，关于原点对称，
满足
，是奇函数，
由反比例函数的性质可知，
在
上单调递减，两个条件均满足，故C 正确；
对D 选项，
的定义域为
，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性
质，
在
上单调递增，不符合要求，故D 错误．
22．已知函数
，则
是（）
A．偶函数，且在
上是增函数
B．奇函数，且在
上是增函数
C．偶函数，且在
上是减函数
D．奇函数，且在
上是减函数
【答案】D
【分析】先确定
定义域为
且关于原点对称,求出
判定为奇函数,再将函数变形为
,由
在
上递增推出
在
上递减,从而选出答案D.
【详解】已知函数
，定义域为
，关于原点对称.
.满足
，故
是奇函数.
.因为
且在
上单调递增.
所以
在
上单调递增，进而
在
上单调递减.
故
在
上单调递减.
综上，
是奇函数，且在
上是减函数.
23．下列函数中，在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，函数
在
上单调递增；
对于B，函数
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
对于C，因为函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增；
对于D，因为函数
和
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减.
24．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是奇函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递减
C．
是偶函数，且在
上单调递增
D．
是偶函数，且在
上单调递减
【答案】A
【分析】根据奇偶性的定义及指数函数、幂函数的单调性判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，
又
，
所以
为奇函数，
又
、
、
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增.
故选：A
考点06 求指数型复合函数的单调性
25．已知函数
，
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的值域．
【答案】(1)
的减区间为
，增区间为
(2)
【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数
与外层函数
的单调性与值域，即可
求得函数
的单调区间与值域.
【详解】（1）
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
在
上单调递减，
所以根据复合函数单调性判断法则：
的减区间为
，增区间为
.
（2）令
，则
，
则
，即
的值域为
.
26．函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可.
【详解】对于函数
，令
，即
，解得
或
，
所以函数
的定义域为
，
又函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
即函数
的单调递减区间为
.
故选：B
27．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果.
【详解】函数
中，令
，则函数
在
上单调递减，
上单调递增，
而函数
为减函数，因此函数
在
上单调递增，
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间是
.
故选：A.
28．函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间.
【详解】函数
由
和
复合而成，
因为
，其单调递减区间是
，单调递增区间是
；
而函数
在
上单调递减，
由复合函数的单调性知
的单调递减区间是
.
考点07 利用指数(型)的单调性求参数
29．已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为
为
上的增函数，
所以由复合函数的单调性知
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，满足题意；
当
时，
在
上单调递减，则
，
解得
.
综上，
.
30．已知函数
，满足对任意的
都有
成立，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
在
上单调递减，结合指数函数单调性计算即可得解.
【详解】由对任意的
都有
成立，
故
在
上单调递减，
则
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
31．已知
，
，若函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可.
【详解】由
在
上单调递减知
；
由
在
上单调递减知：
当
，即
满足题意；
当
，
，所以
，
由
在
上单调递减，得
，所以
，
综上，a 的取值范围是
.
32．若函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，则
在
上单调递增，从而得到
即可.
【详解】因为函数
在
上单调递减，
令
，
又因为
单调递减，则
在
上单调递增，
则
，所以实数
的取值范围是
.
33．已知条件
的解集为
，条件
是减函数，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求出命题中的
的取值范围，再根据集合间的关系结合充分必要条件定义即可得到答案；
【详解】对命题
：
，
对命题q：
，
因为
真包含于
，
所以
是
的必要不充分条件.
34．已知
，若函数
有最小值，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分
和
两种情况讨论，结合二次函数与指数函数单调性即可求解.
【详解】（i）当
时：
时，函数
开口向上，对称轴
，在定义域内可取得最小值
；
时，函数
在定义域内单调递减，
则
，因此整个函数最小值为0，符合题意；
（ii）当
时：
时，对称轴
，
在
单调递减，最小值为
；
时，
，函数
在定义域内单调递增，则
，
函数有最小值要求左段最小值不大于右段下界，即
，
整理得
，解得
，结合
得
.
综上，
的取值范围是
.
考点08 由指数函数的单调性解不等式
35．已知函数
则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵ 当
时，
为单调递增函数，当
时，
，所以此时
.
当
时，
为单调递增函数，
也为单调递增函数，
∴
在
上单调递增，且
.
∴ 函数
是定义域为
的单调递增函数.
令
，当
时，有
.
设
（
），则
，整理得
.
解得
或
，∵
，∴
不符合题意，舍去.
∴
，即
.
∵
在
上单调递增，
∴
等价于
，解得
.
∴ 实数
的取值范围为
，故选A.
36．已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
可得对称性，进而根据函数的单调性，可得
求解．
【详解】由
，
得
的图象关于直线
对称，
设
，则
，
因为
在
上单调递增，且
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
由
，可得
，
所以
，整理得
，
解得
或
．
37．已知函数
若关于z 的不等式
在
上有解，则实数m
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值
域问题进行解答.
【详解】函数
，
令函数
，即
，
，故
是奇函数，
因为
是
上的增函数，
所以
是
上的减函数，
是
上的减函数，
因此
是
上的减函数，
也是
上的减函数，
将
代入不等式
，
即
，化简可得
，
因为
是奇函数，所以
，
代入可得
，
因为
是减函数，
，所以
，
令
，
，故
，
，
是对勾函数，在
上单调递增，
因此当
时，
，当
时，
，
即
，则
，
在
上有解，即
大于
在
上的下确界，
因此实数
的取值范围是
.
38．已知函数
，若
，则
的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先判断函数
的奇偶性，再判断函数
的单调性，利用函数性质求
的范围即可.
【详解】已知函数
，则
，
是奇函数，
是增函数，
是增函数，
是增函数，
因为
，
，即
，
是单调递增函数，
，解得
．
所以
的取值范围是
.
39．已知实数
满足不等式
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)求不等式
的解集A；
(3)若当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由指数函数单调性性质即可求解；
（2）由对数函数的单调性即可求解；
（3）令
，将题设不等式恒成立问题转化成一元二次不等式恒成立问题即可求解.
【详解】（1）因为函数
在
上单调递减，
又
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）由（1）可知函数
为增函数，又
，
所以
.
所以不等式
的解集
.
（3）当
时，不等式
恒成立，
令
，则
，
所以
在
上恒成立，
所以当
时
，当且仅当
即
时等号成立，
所以
，即
，即实数
的取值范围为
.
40．已知函数
，
，若对任意
，都有
，则实数m 的取值范
围是________．
【答案】
【分析】运用换元法化简不等式，利用函数单调性求函数最小值，结合不等式恒成立的条件求解．
【详解】设
，
，
，
，
，
不等式
转化为
，
，
，即
，
不等式转化为
，
令
，任取
，且
，
则
，
，
，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
不等式
对任意
恒成立，
，
实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
考点09 比较指数幂的大小
41．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
因为
，且
，
所以
，即
，
，因为
，幂函数
在
上单调递增，
，
所以
，因此
，即
，
，
因为
，
，所以
，
因为
，所以
，即
，
因此
.
42．已知
，
，
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因
，
，
，
则
，
又因
，
则得
.
43．（多选）已知实数a，b 满足等式
，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】如图，在同一坐标系下画出
与
的图象，结合图象可知A，B，D 可能成立．故选
ABD．
44．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为函数
是减函数，又
，
则
，
同理，函数
是增函数，所以
.
综上，可得
.
考点10 求指数型函数的最值
45．已知函数
（
且
）的图象经过点
.则函数
的最大值是（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由已知得
，解得
，则
在R 上是减函数，
因为
，所以
，所以
，即函数
的最大值为3.
46．定义在
上的函数
，则
的最大值是________.
【答案】
【分析】首先换元，设
，
，
，再结合复合函数的单调性，求出函
数的最值即可．
【详解】设
，
，它是增函数，且
，
，
，它在
上递增，在
上递减，
因此
在
上递增，在
上递减，
∴
．
47．已知函数
，则
的最大值与最小值之差为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解.
【详解】函数
，
因为
单调递增，所以
；
因为
单调递减，所以
；
所以当
时，
；当
时，
；
则
的最大值与最小值之差为
.
48．函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值．
【详解】
，令
，则
，
原函数化为
，函数开口向上，对称轴为
，
，
在对称轴处取得最小值，最小值为
,
所以
的最小值为1．
故选：D．
考点11 根据指数函数的最值求参数
49．已知函数
，其中
且
．
(1)若a=2, g(x)= f (2 x)−2f (x)，求
的最小值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
．
【分析】（1）结合二次函数性质和指数函数性质，利用配方法可求
的最小值；
（2）先判断
，然后求出
的最大值后列不等式即可求解．
【详解】（1）当
时，
，
则
，
∴当
即
时，
．
（2）当
时，则
在
上为增函数，
故
的值域为
，不符合条件；
∴
，此时
在
上为减函数，
故
，
由题意得
，得
，又
，
解得
，即实数
的取值范围为
．
50．若函数
在区间
上的最大值是14，则实数
的值是（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．5 或
【答案】C
【分析】按
分类，借助单调性求出最大值列式求解.
【详解】当
时，函数
都是R 上的减函数，则函数
是R 上的减函数，
当
时，
，
，则
；
当
时，函数
都是R 上的增函数，则函数
是R 上的增函数，
当
时，
，
，则
，
所以实数
的值是或
.
51．若函数
，存在最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别讨论
，
和
三种情况，根据
的单调性及条件，分析求解，即可得答案.
【详解】当
时，函数
在
和
上都递增，
且当
时，
，
则函数
不存在最小值；
当
时，
，则
在
上递增，
又
，且
时，
，而
，
所以函数
的最小值为
；
当
时，
在
上递减，要使函数
存在最小值，
则需
在
上递增，
当
时，
，
所以
，解得
，
此时，
，
综上所述，
．
52．已知函数
，其中
且
．
(1)设
．
①若
，求
的值；
②若
，求
的最小值．
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)①
；②
(2)
【分析】(1) ①由
得
，代入表达式即可；②写出
的表达式，利配方法求其
最小值即可；
(2) 当
分别讨论分析即可.
【详解】（1）
时，
，
①由
得
，
．
②
，
时，
，即
时，
；
（2）当
时，
的值域为
，不符合条件，
，且
解得
，
，即实数
的取值范围
.
53．已知函数
，
．
(1)若
对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若关于
的方程
有实根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由不等式恒成立利用基本不等式计算可得
，
（2）利用方程有根并根据对勾函数性质，求出函数
在
上的值域即可.
【详解】（1）由
可得
，
因此
，
又易知
，当且仅当
，即
时，等号成立；
所以满足
即可，解得
，
因此实数
的取值范围为
.
（2）由
可得
，
所以
，即
；
令
，则
，即
，
易知函数
在
上单调递增，所以可得
.
因此实数
的取值范围为
.
54．已知函数
是定义域为
的偶函数.
(1)求
的值；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用
得
，则得到
值，最后代入计算即可；
（2）变形
，再利用整体换元法，并结合二次函数性质即可得到方程，解
出即可.
【详解】（1）因为
是定义域为
的偶函数，
则
，即
，
所以
，即
，
.
（2）
，
，
令
，因为
，则根据对勾函数和指数函数单调性可知
，即
，
，
若
时，当
时，
，解得
；
当
时，当
时，
，解得
，不符合题意，舍去；
综上，可知
．
考点12 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域)
55．已知
且
，若函数
的值域为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
单调递增，则
，
当
时，
，要使函数
的值域为
，
则需
在
时的值域包含
，故需满足
，
解得
.
56．已知函数
在
上没有零点，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得
和
时，
没有零点的
的取值
范围，即可求解.
【详解】当
时，则
，所以
，
由
在
上无零点，即
在
无解，
即
在
无解，可得
；
当
时，可得
，由
在
上无零点，即
在
无解，
即
在
无解，可得
或
，
所以要使函数
在
上没有零点，则实数
的取值范围为
.
57．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用二次函数和指数函数单调性得出两段函数值域，依题意得出不等式即可求得实数
的取值范围.
【详解】当
时，
的值域为
，
当
时，
的值域为
，
若使函数
的值域为
，则
,
画出函数
和
在同一坐标系下的图象，如下图：
显然当
和
时，
，当
时，满足题意；
因此不等式
的解集为
.
故答案为：
58．已知函数
是奇函数，
.
(1)求
的解析式；
(2)若对任意的
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇函数的性质求出参数
的值，即可得解；
（2）设
在
上的值域为
，
在
上的值域为
，依题意可得
，利用
的单调
性求出
，令
，则
，依题意可得
在
上恒成立，参变分离，结合
函数的单调性求出
的取值范围.
【详解】（1）
，
，
的定义域为
，又
为奇函数，
，
，
，
，
，解得
，
，
；
（2）由题可知设
在
上的值域为
，
在
上的值域为
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递减，当
时
，
，
，
；
，
令
，因为
，则
，
，
，
，
恒成立，其中
，
，
，
在
上单调递增，
，
，
即
的取值范围为
.
考点13 指数函数综合应用
59．已知函数
（其中
，
为常数，且
，
）的图象经过点
，
．
(1)求
的解析式；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据题意，列出关于
的方程组，求得
，即可求解；
（2）根据题意，转化为
在
上恒成立，结合
与
在
的单调性，
求得其有最小值，即可得到答案.
【详解】（1）解：因为函数
的图象过点
和
，
可得
，所以
，
又因为
，所以
，则
，所以
．
（2）解：由（1）知：
，
，
因为不等式
在
上恒成立，
即当
时，
恒成立，
即
在
上恒成立，
又因为
与
在
上均单调递减，
所以
在
上也单调递减，
所以当
时，
有最小值
，所以
，
所以实数
的取值范围是
．
60．若函数
和
同时满足以下两个条件：①
或
；②
，使
.则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
要使条件①成立，则必须保证当
时，
恒成立，
又
在
上单调递增，故
，
.
时，
，要使条件②成立，这必须保证
在区间
有解.
即
成立，
，又
在
上单调递增，
.
综上，
的取值范围是
.
61．已知函数
，
．
(1)若函数
为奇函数，求实数
的值；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，若方程
有实根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由奇函数的性质可得
，求出
的值，再利用奇函数的定义验证即可；
（2）由
结合参变量分离可得
，求出函数
在
上的值域，即可得出实数
的取值
范围；
（3）由
参变分离得出
，令
，则
，可得
，构造
函数
，其中
，求出函数
在
上的值域，即可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，且该函数为奇函数，
所以
，解得
，则
，
对任意的
，
，即函数
为奇函数，
综上所述，
.
（2）对任意的
，
，则
，
由
可得
，
所以
，
因为函数
在
上为增函数，当
时，
，故
，
因此实数
的取值范围是
.
（3）因为
，
由
得
，可得
，
所以
，
对任意的
，
，
，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
令
，则
，可得
，
构造函数
，其中
，
对任意的
、
且
，
，即
，故函数
在
上单调递减，
故当
时，
，且
，
所以函数
在
上的值域为
，故实数
的取值范围是
.
62．已知函数
，若
，
恒成立，则实数
的取值范围是________.
【答案】
【分析】令
，将不等式
变成
对任意
恒成立，分离常数可得
，令
，结合函数的单调性求解即可.
【详解】
，即
.
令
，由
可得
，则
对任意
恒成立，
等价于
对任意
恒成立，
所以
，即
.
令
，易知
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，所以
在
上的最大值为
.
所以
，因为函数
为增函数，当
时，
，
因此
.即实数
的取值范围为
.
