文档文本内容
2.2 单调性与最大(小)值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
当x1<x2 时,都有f ( x 1)<
f ( x 2),那
么就称函数f(x)在区间I 上
单调递增,特别地,当函数f(x)
在它的定义域上单调递增时,
我们就称它是增函数
当x1<x2时,都有f ( x 1)>
f ( x 2),那么就称函
数f(x)在区间I 上单调递减,特别地,当
函数f(x)在它的定义域上单调递减时,
我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调
性,区间
I 叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前
提
设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实
数M 满足
条
件
(1)∀x∈D,都有
f ( x )≤
M
;
(2)∃x0∈D,使得
f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D,都有
f ( x )≥
M
;
(2)∃x0∈D,使得
f ( x 0) ＝
M
结
论
M 为最大值
M 为最小值
常用的结论
1.函数单调性的常用结论
(1)若f(x),g(x)均在区间A 上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A 上单调递增(减).
(2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝
1
f ( x)的单调性相反.
2.函数最值的结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
考点一 判断函数的单调性
考点二 利用定义证明函数的单调性
考点三 已知单调性求参数
考点四 复合函数的单调区间
考点五 复合函数的单调性求参数
考点六 利用函数单调性比较大小
考点七 利用函数单调性求参数
考点八 利用函数单调性求最值(值域)
考点九 利用函数最值求参数
考点十 复合函数求最值
考点一 判断函数的单调性
1．（25-26 高二上·贵州安顺·期中）已知函数
．
(1)判断
的奇偶性，并证明；
(2)判断
的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)
在
上单调递减，证明见解析
【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算判断并证明即可；
（2）利用单调性的定义任取
满足
，结合对数的运算判断
的符号证明即可；
【详解】（1）函数
是奇函数，证明如下：
，所以
，解得函数定义域
，
因为任意
，都有
，
又
，所以函数
是奇函数.
（2）
在
上单调递减，证明如下：
法一：任取
满足
，
因为
＝
，
因为
，
，且
单调递增，
所以
，
，
依据同向不等式的可加性，
所以
，
即
，所以
在
上单调递减．
法二：任取
满足
，因为
，
所以
，
因为
，
，
所以
，即
，
所以
，即
，所以
在
上单调递减．
2．（25-26 高三上·上海杨浦·期中）设
为常数，
且函数
为奇函数．
(1)求
的值；
(2)判断函数
的单调性，并给出证明；
【答案】(1)
(2)函数
在
上严格递增，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义，将
代入函数求得
；
（2）利用定义法判断和证明函数的单调性即可；
【详解】（1）函数
为奇函数，则满足
，
所以
，解得
，则
.
因为
，所以当
时，
为奇函数，满足题意.
（2）函数
在
上严格递增.证明如下：
当
时，
，
则
，
又因为
，所以
，
，
，
所以
，即
，
故函数
在
上严格递增．
3．（25-26 高三上·北京·月考）已知
是奇函数.
(1)求
的值；
(2)若
的定义域为
，判断
的单调性并证明；
【答案】(1)
或
(2)函数
是
上的增函数，证明见解析
【分析】（1）由函数
是奇函数，分
和
不存在，两种情况讨论，结合
，
即可求解；
（2）由（1）得到函数
，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
【详解】（1）解：由函数
是奇函数，
①若
，解得
，所以
，
则
，
又由
，可得
，解得
，所以
，
经验证：
，
所以函数
是定义在
上的奇函数，所以
；
②若
不存在时，可得
，此时
，
由
，可得
，解得
，所以
，
经验证：
，
所以函数
是定义在
上的奇函数，所以
；
（2）解：函数
是
上的增函数.
证明如下：由（1）知：函数
，其定义域为
，
任取
且
，
则
，
因为
，可得
，
所以
，即
，所以
是
上的增函数.
4．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）函数
是定义在
上的奇函数，且
．
(1)求
的解析式，并用函数单调性的定义证明
在区间
上为增函数；
【答案】(1)
，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得
，根据
可求得
，进而根据函数单调性的定义判断
的符号即可；
（2）根据函数的奇偶性将已知不等式等价转化，再利用单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）∵函数
在
上是奇函数，
∴
，即
，∴
，
.
又∵
，即
，解得
，
∴
的解析式为
.
函数
在区间
上为增函数，证明如下：
证明：任取
，且
，
则
，
∵
，∴
，
，
，
，
，故
，
∴
，即
，
∴函数
在区间
上为增函数.
考点二 利用定义证明函数的单调性
5．（25-26 高三上·上海·期中）函数
的单调减区间是____________．
【答案】
【分析】先确定对数真数大于
的定义域，再根据复合函数同增异减，结合外层对数函数为减函数，将原函数的减
区间转化为内层余弦函数在真数大于
条件下的单调增区间，解不等式得到结果.
【详解】由
解得
，
外层函数
是减函数（底数
），要求
的单调减区间，根据同增异减，等价于求内层函数
的单调增区间（同时满足
）。
的单调增区间为
，
由
，可得
解得
，
即函数
的单调递减区间是
.
6．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）函数
在
上的单调递增区间是________，最小值是________．
【答案】
6
【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解．
【详解】因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
由对勾函数的图像可知，函数
在
上的单调增区间是
，最小值是6．
7．（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
【答案】B
【分析】求导后可得函数
的单调区间，再求出函数
定义域及其奇偶性，设
，则
，求出
时的单调性即可得解.
【详解】
，则当
或
时，
，
单调递减区间为
，
当
时，
，
单调递增，
对
，有
且
，
则
，
又
，故
为偶函数，故只需分析
时的单调性，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，则
单调递增；
当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，
上单调递增，
则当
时，
单调递减，
时，
单调递增；
故当
时，
单调递增区间为
、
，
单调递减区间为
，
由偶函数性质可知，当
时，
单调递增区间为
，
故函数
的单调递增区间为
，
，
.
8．（25-26 高三上·重庆·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将函数
化为分段函数，作图即可求解.
【详解】
，
作出函数图象，如图：
所以函数
的单调递减区间为
.
故选：C.
考点三 已知单调性求参数
9．（2026·河北保定·二模）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，求导得
，
在
上单调递增；
当
时，
，函数单调递增，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
，解得
，
，即
．
10．（25-26 高二下·黑龙江·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【详解】由题意可知，函数
在
上单调递增，需同时满足以下三个条件：
①
在
上单调递增；
②
在
上单调递增；
③当
时，
，因此
.
对于①，要使
在
上单调递增，则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，因为
，所以
，解得
；
对于②，因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增时，
；
对于③，
，所以
.
综上所述，实数
的取值范围是
，故D 正确.
11．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）已知函数
（
且
）在
上单调递减，则
实数
的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可.
【详解】因为
（
且
）在
上单调递减，
所以
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
12．（2026 高二下·福建·学业考试）已知函数
在区间
是减函数，则实数a 的取值范围是
________
【答案】
【详解】
的对称轴为
，开口向上，递减区间为
.
所以
，所以
.
13．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【分析】按函数类型分类讨论，结合一次函数、二次函数的单调性列式求得.
【详解】当
时，
是R 上的减函数，符合题意，则
；
当
时，函数
在
上单调递减，因此
，解得
；
当
时，函数
在
上单调递减，
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
14．（2026 高三·全国·专题练习）形如
的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”
的单调性，若函数
在
上单调，则a 的取值范围为______．
【答案】
【详解】易知函数
在区间
和
上单调递减，在
和
上单调递增，
从而当函数
在
上单调递减时，
，则
，得
，
当函数
在
上单调递增时，
，则
，得
，
综上，a 的取值范围为
．
考点四 复合函数的单调区间
15．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可.
【详解】函数
有意义，则
，解得
.
令
，开口向下，对称轴为
.
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
函数
关于
是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层
的减区间，
即
.
16．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，则
，
是指数函数，且在
上单调递增，
是二次函数，图象开口向下，对称轴为
，且在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，
的单调递增区间为
．.
17．（25-26 高三上·辽宁沈阳·月考）函数
的单调递增区间是______．
【答案】
和
.
【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案.
【详解】令
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
当
时，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
和
.
18．（25-26 高三上·安徽六安·月考）函数
的单调递减区间为________
【答案】
【分析】先求得函数
的定义域，根据复合函数单调性求解.
【详解】
，解得
，
函数
的定义域为
，
令
，
当
时，
单调递减，
单调递增，
函数
在
上单调递减，
函数
的单调递减区间为
．
19．（25-26 高三上·天津河东·期末）已知函数
则函数的单调增区间为______
【答案】
【分析】设
，分别判断函数
与
的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得
原函数的单调增区间.
【详解】设
，因
是
上的减函数，
而
在
上单调递减，在
上单调递增，
由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为
.
故答案为：
.
考点五 复合函数的单调性求参数
20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得.
【详解】令
，
由题意知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立.
所以
，解得
.
a 的取值范围是
.
21．（25-26 高二下·宁夏银川·期中）函数
在
上是减函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数
，再结合真数在区间
上恒正，得到
，最终即可得
到
的取值范围.
【详解】根据题意，对于函数
，
令
，则
，
又由
且
，则
为减函数，
若函数
在
上是减函数，
必有
，解可得
，
即
的取值范围为
.
22．（25-26 高三下·河北沧州·月考）已知函数
在区间
存在单调递增区间，则正数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数（型）复合函数单调性分析求解即可.
【详解】由
，解得：
，所以函数
的定义域为
，
令
，二次函数开口向下，对称轴为
，
由
，所以
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
在
上单调递增，
所以要使函数
在区间
上存在单调递增区间，
则
且
即
且
，解得
，即正数
的取值范围是
.
23．（25-26 高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围.
【详解】函数
是开口向上的二次函数，其对称轴为
；
因为函数
在区间
上单调递增，
所以内层函数
在区间
上单调递增且
在区间
上恒成立
即
，即实数
的取值范围是
.
故选：B.
考点六 利用函数单调性比较大小
24．（25-26 高二下·河南信阳·期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得
，
设
，则
.
当
时，
，则
，所以
在
上单调递减；
当
时
，则
，所以
在
单调递增.
所以
，即
.
25．（25-26 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于
，通过构造函数
，求导确定单调性可判断，对于
，通过构造
，求导确定单调性可判断，进而可解题.
【详解】由
，构造
，
则
，
，
所以
在
上单调递增，
故
，即
，故
.
由
，
构造
，
则
，
，
所以
在
上单调递增，
故
，即
，故
.
综上，
.
26．（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，可判断
大小，构造函数
，求导确定单调性，可判断
大小，即可求解.
【详解】因为
，所以
，则
．
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
则
，
则
，即
．故
．
27．（25-26 高二下·广东广州·期中）设
，
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题目条件和作差法比较大小，构造函数，根据函数导数判定函数单调性，进而判定函数值的正负，
判定各数值的大小.
【详解】由题可知
，
设函数
，则
，
在
上
，即函数
在
单调递减，
可知
，当
时，
恒成立，
所以
，即
，
设函数
，则
，
在
上
，即函数
在
单调递增，
可知
，当
时，
恒成立，
所以
，即
，
综上所述，可知
.
考点七 利用函数单调性求参数
28．（25-26 高二下·山东济宁·期中）已知函数
，若
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知函数
为奇函数，且在定义域
内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】因为函数
的定义域为
，
且
，可知函数
为奇函数，
又因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
可知函数
在定义域
内单调递增，
若
，则
，
可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
29．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分类讨论，当
时，根据
解不等式，当
时，即
时根据函数的单调性求
解,
【详解】当
时，即
时，
，
故
满足题意；
当
时，即
时，令
，则
+1 在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以由
可得
，解得
，
又
，故
.
综上，实数a 的取值范围为
.
30．（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由条件判断
在
上单调递减，结合偶函数的性质可得
在
上单调递增，从而
，利用函数单调性得
，求解该不等式即得.
【详解】因对任意
，总有
，可知
在
上单调递减，
又因
是定义在
上的偶函数，故
在
上单调递增，
故
，
两边取平方得
，即
，解得
或
，
故不等式
的解集为
.
31．（2026·安徽芜湖·二模）已知
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
在
上均为增函数，
则
在
上为增函数，
由
，得
，即
，
则不等式
的解集为
.
32．（25-26 高二下·吉林长春·阶段检测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数得函数
在
上单调递增，由单调性可得
，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意可得函数
的定义域为
，
，
因为
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，所以
恒成立，函数
在
上单调递增，
则不等式
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
33．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助导数可研究函数
在
上的单调性及其最小值，结合
时，
，可得
，
解出即可得.
【详解】当
时，
，
令
，则
恒成立，
故
在
上单调递增，则
，
则
在
上单调递减，则
，
又当
时，
，
则有
，解得
，
故满足
的实数
的取值范围是
.
34．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解.
【详解】令
，
因为函数
在定义域上单调递增，
则
在区间
上单调递增，
函数
的图象开口向上，对称轴为
，
所以
，
则实数a 的取值范围是
.
故选：A.
考点八 利用函数单调性求最值(值域)
35．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
，
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的值域．
【答案】(1)
的减区间为
，增区间为
(2)
【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数
与外层函数
的单调性与值域，即可求得函
数
的单调区间与值域.
【详解】（1）
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
在
上单调递减，
所以根据复合函数单调性判断法则：
的减区间为
，增区间为
.
（2）令
，则
，
则
，即
的值域为
.
36．（24-25 高三上·上海·期中）函数
的值域为_____．
【答案】
【详解】使用二倍角公式
，将原函数化为
，
整理为关于
的二次函数
，
令
，可知
，
因此
，
易知该抛物线的对称轴为
，
因此函数
在区间
上是单调递减的，
所以函数最大值在
处取得，即
，
最小值在
处取得，即
，
因此，该函数的值域为
．
37．（25-26 高二下·北京·期中）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值也有最小值
B．有最大值无最小值
C．无最大值有最小值
D．无最大值也无最小值
【答案】A
【分析】通过求导法分析函数单调性，进而判断最值.
【详解】函数
的分母
恒成立，定义域为
.
根据除法求导法则，
，
令
，得极值点
和
.
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
则极小值
，极大值
；且当
时，
，
因为极小值
，极大值
，所以函数的最小值为
，最大值为
.
因此
既有最大值
，也有最小值
.
38．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
.
(1)指出
的定义域；
(2)求
的最小值与最大值.
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）要使函数有意义，根号内的表达式非负即可；（2）用三角换元法求解.
【详解】（1）由题可知
，解得
，即
的定义域为
.
（2）令
，
，则
，
代入原函数得
.
令
，由
得
，
代入得函数化为
，
，由
得
，
因此
，即
.
是开口向上的二次函数，对称轴为
，在区间
上单调递增，
因此最小值
，
最大值
，
因此
的最小值为
，最大值为
.
39．（25-26 高二下·江苏·期中）已知函数
，求其最值．
【答案】最大值为20，最小值为
．
【分析】利用求导思想来判断三次函数的单调性，再结合闭区间求最值即可.
【详解】因为
，
所以求导得：
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
．
，
即
取到最大值为20，最小值为
．
考点九 利用函数最值求参数
40．（25-26 高三上·山东日照·月考）已知函数
，若
在
上既有最大值，也有最小
值，则实数a 的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出函数
的单调区间及对应的函数值集合，再由给定条件列出不等式组求解.
【详解】函数
在
上单调递减，函数值集合为
，
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递减，函数值集合为
，
由函数
在
上既有最大值，也有最小值，得
，
因此
，解得
，所以实数a 的取值范围是
.
41．（25-26 高三上·上海浦东新·月考）已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；
（2）利用换元法，结合常数分离法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
由
，所以不等式
的解集为
；
（2）令
，因为
，所以
，
，因为
，
所以由
，
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，即
时，取等号，
所以
在
单调递减，则
，
因此当
时，
恒成立，只需
，
所以实数
的取值范围为
.
42．（25-26 高三上·安徽合肥·期末）设函数
．
(1)判断函数
的单调性，并求不等式
的解集；
(2)若
在
上的最小值为11，求实数m 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据单调性的性质判断函数
的单调性，分析可知函数
是奇函数，结合单调性和奇偶性整
理可得
，运算求解即可；
（2）换元令
，可得
，结合二次函数性质讨论最值，进而分析求解.
【详解】（1）由题意可知：函数
的定义域为R，
且
在定义域R 上单调递增，则函数
在定义域R 上单调递增，
又因为
，所以函数
是奇函数，
则不等式
可化为
，
可得
，即
，解得
，
所以不等式的解集为
.
（2）因为
，
则
，
又因为
，则
，
令
，可得
，
因为
的图象开口向上，对称轴为直线
，
当
，即
时，则
在
内单调递增，
可得
，解得m＝
；
当
，即
时，则
，
整理得到
，无解；
综上所述：当m＝
时，
在
上的最小值为11.
43．（25-26 高三上·湖北·期末）已知函数
有最小值，则
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分
、
、
、
四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值.
【详解】①若
，则
，
因为
的图象的对称轴为
，
故该函数在
上单调递增，所以
，
若
，则
，当
时，
，则
有最小值；
若
，因为
在
上单调递减，所以
，
若
存在最小值，则
，得
，舍去；
若
，因为
在
上单调递增，所以
，
若
存在最小值，则
，得
；
②若
，因为
在
上单调递增，所以
，
因为
，则
的最小值必在
上取得，符合题意；
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
考点十 复合函数求最值
44．（25-26 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求
的值域；
(2)若
时，
的最小值为
，求函数
的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解；
（2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数
的解析式.
【详解】（1）若
，则
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以若
，则
的值域为
.
（2）
.
令
，
.
当
时，
在
上单调递增，
因为
是增函数，所以
在
上单调递增.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
因为
是增函数，所以
在
上单调递减.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
因为
是增函数，
所以当
时，
取得最小值，即
.
综上，
.
45．（25-26 高三上·辽宁盘锦·开学考试）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的单调递增区间为
C．当
时，
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】确定函数定义域，利用定义判断奇偶性，结合复合函数单调性的分析方式逐项判断即可．
【详解】解：
定义域为
，
，则
为偶函数，故A 正确；
当
时，
，令
，
为增函数，
在
单调递减，在
单调递增，
时，
的单调递增区间为
，
又
为偶函数，
则函数
在
和
单调递减，在
和
单调递增，
所以
的单调递增区间为
，故B 正确；
当
时，
，且函数
在
单调递减，
，故C 错误；
函数
在
和
单调递减，在
和
单调递增，
，故D 正确．
46．（25-26 高三上·河北唐山·月考）设定义在
上的函数
，则
的最小值是______．
【答案】
/
【分析】令
，
，分析
的单调性，即可求得
的最小值，即
的最小值.
【详解】令
，
.
设
，
.
因为
，所以
，所以
，所以
，即
.
所以
在
上单调递增，所以
．
故答案为：
.
47．（25-26 高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数
．
(1)求
的最小值，并求出当
取得最小值时
的值；
(2)求
的单调递减区间．
【答案】(1)最小值为
，
；
(2)
【分析】（1）令
，结合二次函数性质求解即可；
（2）利用复合函数的单调性列不等式求解可得.
【详解】（1）因为
的定义域为
，
所以
，
令
，
，则
，
当
，即
，即
时，
取得最小值，最小值为
.
（2）因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
令
，解得
，
所以
的单调递减区间为
.
1．（25-26 高三上·陕西汉中·月考）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．函数
的最大值为
B．已知
，
，
，则
的最小值为9
C．已知函数
的定义域为
，则
定义域为
D．若函数
，则
【答案】AD
【分析】A：令
，求
在
上的最大值；B：利用基本不等式求解；C：计算
即可；D：令
，利用换元法求解.
【详解】A 选项，令
，则
，
因
在
上单调递减，则
的最大值为
，故A 正确；
B 选项，由题意得，
，
等号成立时
，故B 错误；
C 选项，由题意得，
，得
，
故
定义域为
，故C 错误；
D 选项，令
，则
，
则
，故D 正确.
故选：AD
2．（25-26 高三上·山东滨州·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性求函数单调区间.
【详解】函数
，设
，由
得
或
，
∴函数定义域为
.
当
时，
是减函数；而
为增函数，
∴
为减函数．
当
时，
为增函数，
为增函数，
∴
为增函数．
∴
的减区间为
.
故选：C.
3．（25-26 高三上·四川眉山·期中）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间.
【详解】函数
，则该函数在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递减区间为
.
故选：C
4．（24-25 高三上·四川宜宾·期中）若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
函数
在
上单调，且
开口向下，在区间
上不可能单调递减，
函数
在
上不可能单调递减，故
在
上单调递增，
，解得
，
的取值范围是
．
5．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从
而得到相应的不等式组，进而求解即可．
【详解】由
在
上单调递减，而
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
想要函数
在
上单调递减，
即要
在
上单调递减，且
，
即
，解得
，
所以
的取值范围是
．
故选：D
6．（2026·天津和平·一模）“
”是“函数
在区间
上为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以“
”可以得到“函数
在区间
上为减函数”，
但“函数
在区间
上为减函数”可得 “
”.
故“
”是“函数
在区间
上为减函数”的充分不必要条件.
7．（25-26 高二下·安徽合肥·阶段检测）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系.
【详解】设
（
），
则
，
在
上单调递增，
所以
，
当
时，
，取
，得
，即
；
设
（
），
则
，
在
上单调递减，
所以
，
所以当
时，
，
取
，得
，即
.
故
.
8．（25-26 高三上·江苏连云港·期末）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数
，
令
，解得
，所以函数的定义域为
，
又
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：C
9．（25-26 高二下·湖南邵阳·期中）函数
在区间
上的奇偶性和最小值分别是（ ）
A．奇函数､
B．偶函数
C．奇函数､6
D．既不是奇函数也不是偶函数､6
【答案】D
【详解】因为
不关于原点对称，所以
在区间
上既不是奇函数也不是偶函数，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以其最小值为
.
10．（25-26 高二下·四川成都·期中）（多选）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小.
【详解】对于A 选项，构造函数
，其中
，则
，
故函数
在
上单调递减，所以
，
即
，即
，即
，
故
，A 对；
对于B 选项，构造函数
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以当
且
时，
，
令
，可得
，即
，B 错；
对于D 选项，因为当
且
时，
，故
，
所以当
且
时，
，
令
，得
，即
，D 对；
对于C 选项，构造函数
，其中
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
，故
，C 错.
11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
【答案】AC
【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正误.
【详解】对于A：
等价于
，解得
或
，故A 正确，
对于B：
等价于
，即
，
整理得
，解得
，且
，故B 错误；
对于C：当
时，
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D：
，
，即
，故D 错误.
12．（25-26 高二下·江苏镇江·期中）已知函数
，若
，都有
，则实数a
的取值范围是________.
【答案】
【分析】以
，
和
分段求解
，分离参数后构造函数，用导数求出函数最值求解.
【详解】当
时，
，符合题意；
当
时，
恒成立，即
，
随着
的增大而减小，当
时，
，
；
当
时，
恒成立，即
，
令
，
，令
，即
，解得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
的最大值为
，
，
综上，
，即实数a 的取值范围是
.
13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，且
在
上恒成立，则实数
的
最小值为___________．
【答案】
【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值
【详解】
当
时，
，当且仅当
时等号成立
．又
，即
实数
的最小值为-3．
14．（25-26 高二下·上海·期中）已知函数
，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为
，
在
上均为减函数，所以
在
上为减函数.
所以不等式
等价于
，
整理得
，解得
或
.
故该不等式的解集为
.
15．（25-26 高三上·河南·月考）已知a 为实数，函数
，若
，则
______．
【答案】
【分析】根据
，构造函数
，可得存在唯一
，使得
,且
即可求解.
【详解】
，
令
，由于当
时，
，当
时，
，且
在
上单调递增，
则存在唯一
，使得
，且
,
若
，则
，得
，可得
．
16．（25-26 高三上·海南海口·期中）已知函数
.
(1)设
.
（i）计算
的值，并求
的最小值；
（ii）求
的单调递减区间.
(2)对任意
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)（i）
；（ii）
的单调递减区间为
(2)
【分析】（1）（i）换元令
将原函数化为二次函数，代入
计算函数值，通过二次函数配方求最小值.
（ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间.
（2）换元转化为区间
上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8 解出
的范围.
【详解】（1）（i）将
代入得
.
令
，则
.
.
因为
，
，当且仅当
即
时取等号，所以
.
（ii）
在
上单调递增.
在
上单调递减，在
上单调递增.
由
得
.
所以由复合函数“同增异减”可知
的单调递减区间为
.
（2）对任意
，
恒成立，求
的取值范围.
令
，
，
，即
，
.
题意等价于
在
上恒成立.
函数图像开口向上，对称轴为
.
①当
时，
在
上单调递增，
，
，
，与
矛盾，舍去.
②当
时，
，
.
若
，
，
.
若
，
，
.
③当
时，
在
上单调递减，
，
，
，与
矛盾，舍去.
综上，
的取值范围是
.
17．（25-26 高三上·上海·期末）已知
．
(1)当
时，若
，判断
的单调性并给出证明；
(2)若
在
上有解，求实数a 的取值范围；
(3)若
在区间
上是增函数，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用单调性的定义可证函数的单调性.
（2）不等式等价于
，根据题意只需
即可求解.
（3）法一：由题意可得
0 在
上恒成立，进而可得
在
上恒成立，可求得实数a 的取值
范围.法二：由
在区间
上是增函数，在
上任取
，则
，进而计算
可求得实数a 的取值范围.
【详解】（1）当
时，
在
上单调递增.
证明：设
，则
因为
，所以
，则
，
所以
，那么
0，
即
，所以
在
上单调递增.
（2）由
在
上有解，可得
在
上有解，
即
在
上有解.
令
，函数
的图象开口向下，对称轴为
，
所以
在
处取得最大值
.
因为
在
上有解，所以
，即实数
的取值范围是
.
（3）法一：对
求导，根据求导公式
，
可得
.因为
在区间
上是增函数，
所以
0 在
上恒成立，即
在
上恒成立，
因为
，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
令
，因为
，所以
在
上单调递减，
则
，所以
，即实数
的取值范围是
.
法二：因为
在区间
上是增函数，
所以在
上任取
，
所以
，
因为
，所以
，
，所以
，
所以
对
恒成立，
所以
对
恒成立，
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
