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2.2 函数的单调性及其应用（精练题组版）
题组一 具体函数的单调性
1.（2025 高三·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 广西）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 陕西宝鸡·期末）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 甘肃）函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为（ ）
A．(-∞，0]，[1，+∞)
B．(-∞，0]，(-∞，1]
C．[0，+∞)，[1，+∞)
D．[0，+∞)，(-∞，1]
5（2025 陕西）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江西·一模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
7（23-24 高三上·广东湛江·开学考试）已知函数
，则
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（24-25 山东·阶段练习）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有最小值
B．
的单调递增区间为
C．
有最大值
D．
的单调递增区间为
9．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）设函数
在
上为增函数，则下列结论错误的是（ ）
A．
在
上为减函数
B．
在
上为增函数
C．
在
上为增函数
D．
在
上为减函数
10．（2025 天津和平·期中）函数
的单调递增区间是 .
11．（24-25 广东韶关·期中）已知函数
，则下列说法正确的是 .
（1） 函数
在
上是单调递增
（2） 函数
在
上是单调递增
（3） 当
时，函数
有最大值
（4） 当
或
时，函数
有最小值
12（24-25 湖南邵阳·阶段练习）函数
的单调递减区间为 .
13．（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）函数
的单调递增区间是
14．（2024 山东）函数
的单调递增区间是 ．
15（2024 高三下·全国·专题练习）若函数
，则函数
的单调递增区间为 ．
题组二 已知单调性求参数
1．（24-25 河南周口·期末）若函数
有意义，且在区间
上单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 湖北·阶段练习）已知
且
，函数
在
上单调递增，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3（2024·湖北·二模）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4（24-25 云南大理·期末）已知函数
，
，则“
是
函数
”
“
在
上单调
递增
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.（24-25 陕西西安·期末）二次函数
在区间
上单调递增的一个充分不必要条件为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（24-25 北京·期中）已知函数
，满足对任意
，都有
成立，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 辽宁丹东·期中）设函数
若
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围为 .
10（2025 高三·全国·专题练习）若
是函数
的单调递增区间，则实数a 的值为 .
11．（2024·江苏无锡·二模）已知函数
满足对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围为 .
13．（24-25 上海浦东新·阶段练习）若函数
在
上是严格增函数，则实数的取值范
围是 .
14（23-24 高三上·上海静安·开学考试）若函数
在区间
上严格增，则实数
的取值
范围为 .
题组三 函数奇偶性的判断
1．（24-25 湖南娄底·阶段练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（23-24 湖南 ）（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在
上单调递减的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 贵州 ）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5（24-25 高三下·河南信阳·开学考试）已知函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三下·天津宁河·开学考试）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高三下·湖北·开学考试）函数
，则对任意实数
，下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递增
C．
是奇函数，且在
上单调递减
D．
是偶函数，且在
上单调递减
11．（24-25 高三上·广东湛江·期末）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（24-25 高三上·安徽亳州·期末）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题组四 已知奇偶性求参数
1.（24-25 高三上·甘肃武威·期末）若函数
.为奇函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．无解
2（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．1
3（24-25 高三下·浙江·开学考试）若函数
为奇函数，则实数
（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
4．（24-25 高三下·上海·阶段练习）设
且
是奇函数，则实数
的值为 .
5（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知函数
为奇函数，则
.
6（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知
，且
是偶函数，则实数
．
题组五 奇偶性的应用---求解析式
1（2024·江西景德镇·三模）已知函数
是奇函数，则
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2（24-25 上海）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
3.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
是奇函数，当
时，
，则
．
4（2025 新疆）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则函数
的解析
式为_________．
5．（2024 山东潍坊·期中）已知
，
是分别定义在
上的奇函数和偶函数，且
，
则
.
6．（2025 北京）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
题组六 奇偶性的应用---求函数值
1.（2025·广东·一模）若函数
是奇函数，则
．
2. （24-25 高一上·海南·期中）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
3.（2024·全国·模拟预测）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
4.（23-24 高三上·安徽·开学考试）已知函数
的最大值为
，最小值为
，
则
5.（2025 南昌）设函数
的最大值为
,最小值为
,则
6.（2025 广东）已知函数
在
，
上的最大值和最小值分别为
、
，则
。
7.（2025 江苏淮安·阶段练习）已知函数
的最大值为
，最小值
为
，则
8.（2025 广东·阶段练习）已知函数
在
上的最大值为
，最小值为
，则
9.（24-25 高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数
在区间
的最大值是M，最
小值是m，则
的值等于 ．
10．（2025 湖北）若函数
既存在最大值
，又存在最小值
，则
的值为
11（2025 山西吕梁·期中）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
.
12（23-24 高三上·云南·阶段练习）函数
，
，记
的最大值为
，最小值为
，则
.
题组七 单调性与奇偶性的应用---解不等式
1.（2025 河北）已知
是定义在
上的增函数，若
的图象过点
和
，则满足
的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2.（2025 四川）已知函数
是定义在
上的减函数，则当
时，实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 云南）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数
，则使得
成立的
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广东广州·一模）定义域为
的偶函数
在
上单调递减，且
，若关于
的不等式
的解集为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6（24-25 高三下·河北衡水·开学考试）已知函数
，则不等式
的解集为
．
题组八 单调性与奇偶性的应用---比较大小
1.（2024 湖北 ）已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 北京 ）已知
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025 山东 ）已知函数
是定义在R 上的偶函数，且当
时，对任意的不相等实数
总有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025·新疆）已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2025 河南 ）已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2025 安徽）已知
，若
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题组九 抽象函数的单调性与奇偶性
1．（24-25 云南昭通·期中）（多选）函数
对任意
，
总有
，当
时，
，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是
上的减函数
C．
在
上的最小值为2
D．若
，则实数
的取值范围为
2．（2025·江苏南京·一模）（多选）已知函数
满足：对任意
，且当
时，
.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．当
时，
D．
在
上单调递减
3．（24-25 江西）（多选）已知函数
的定义域是
，对任意的实数
、
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
为
上的增函数
D．函数
为奇函数
4．（24-25 高三上·吉林白城·期中）定义在
上的函数
，满足对任意x，
，有
，且
.
(1)求
，
的值；
(2)判断
的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当
时，
，解不等式
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义在R 上的函数.对任意
，总有
，
，且
时，
恒成立.
(1)求
(2)判断
的奇偶性并证明
(3)证明
在
上单调递减
6.（2024 高三·全国·专题练习）设函数
是R 上的增函数，对任意
，都有 .在①
，②
中任选一个条件，然后解答以下问题.
(1)求
；
(2)求证：
是奇函数；
(3)若
，求实数x 的取值范围.
7.（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数
满足：对任意的实数x，y 均有.
.，
且
，当
且
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明；
8．（23-24 福建福州·阶段练习）已知函数
对任意实数
恒有
，且当
时，
，又
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明你的结论；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
9．（23-24 上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a 和b，使得函数
总满足
，
则称函数
是“
型函数
．
”
(1)已知奇函数
是“
型函数
，求函数
”
的解析式；
(2)已知函数
是“
型函数
，求
”
p 和b 的值；
(3)已知函数
是“
型函数
，求一组满足条件的
”
k、a 和b 的值，并说明理由．
10（23-24 高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数
对任意x、
，都有
，且
时，
．
(1)证明：
为奇函数；
(2)证明：
在R 上为减函数．
