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第2讲 函数的单调性和最值
复习要点 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理
解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．
一 函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于定义域D内某个区间I上的
任意两个自变量的值x，x
1 2
定义
当x f ( x )，那么就
1 2 1 2 1 2 1 2
说函数f(x)在区间I上是增函数 说函数f(x)在区间I上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
二 函数的最值
前提 设函数f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
①对于任意的x∈D，都有 ①对于任意的x∈D，都有
f ( x )≤ M ； f ( x )≥ M ；
条件
②存在x∈D，使得 ②存在x∈D，使得
0 0
f ( x ) ＝ M f ( x ) ＝ M
0 0
结论 则M是y＝f(x)的最大值 则M是y＝f(x)的最小值
三 利用定义判断函数单调性的步骤
1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
常/用/结/论
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2) 若 k >0 ，则是 k f ( x ) 与 f ( x ) 单调性相同；若 k <0 ，则 k f ( x ) 与 f ( x ) 单调性相反 ；
(3) 函数 y ＝ f ( x )( f ( x )>0) 在公共定义域内与 y ＝－ f ( x ) ， y ＝的单调性相反 ；
若f(x)，g(x)在同一区间单调递增且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)·g(x)也单调递增．
同理：若f(x)，g(x)单调递减且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)·g(x)单调递减．
若f(x)，g(x)单调递增且f(x)＜0，g(x)＜0，则f(x)·g(x)单调递减．
若f(x)，g(x)单调递减且f(x)＜0，g(x)＜0，则f(x)·g(x)单调递增．(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关，简记“同增异减”．
2．增函数(减函数)的等价变形：∀x，x∈[a，b]且x≠x，则
1 2 1 2
(1)(x－x)[f(x)－f(x)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
1 2 1 2
(2)(x－x)[f(x)－f(x)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
1 2 1 2 ⇔ ⇔
⇔ ⇔
1．判断下列结论是否正确．
(1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)0，解得
x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单
调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
答案：D
3．(1)函数y＝的单调递减区间是__________．
(2)函数y＝的单调递减区间是__________．
解析：(1)∵y＝＝－1＋，故其单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)．
(2)由≥0，得x∈(－1,1]，即为函数y＝的单调递减区间．
答案：(1)(－∞，－1)，(－1，＋∞)
(2)(－1,1]
4．(1)函数y＝＋的最小值是___________．
(2)函数f(x)＝在[2,6]上的最大值和最小值分别是________，________.
解析：(1)由得x≥0.
又函数y＝＋在[0，＋∞)上是增函数，所以函数的最小值为＋＝2.
(2)函数f(x)＝＝＝2＋在[2,6]上单调递减，所以f(x) ＝f(6)＝＝，f(x) ＝f(2)＝＝4.
min max
答案：(1)2 (2)4
题型 求函数的单调区间
典例1求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋1；
(2)f(x)＝log (3 － 2 x － x 2 ) ；
\f(1,2
和对数函数相关的复合函数，单调性问题应首先关注定义域．
(3)f(x)＝ x － ln x .
应用导数方法讨论单调性，也应考虑定义域．解：(1)由于f(x)＝
即f(x)＝
画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单
调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
(2)令u＝3－2x－x2，则y＝log u.
\f(1,2
∵ u >0 ， ∴ － 3< x <1 ，且当 x ∈ ( － 3 ，－ 1) 时，u单调递增，当x∈[－1,1)时，
先求定义域，单调区间是定义域的子集．
u单调递减，又y＝log u在(0，＋∞)上为减函数，故f(x)的单调递增区间为[－1,1)，单
\f(1,2
调递减区间为(－3，－1]．
(3)由题意，得x>0.
f′(x)＝1－＝.
可得f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 1
由上表可知，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
判断函数单调性常用的几种方法
(1)定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升
或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)．
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及
f(x)±g(x)的增减性进行判断；②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝
g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.
对点练1(1)(多选)(2024·河北石家庄模拟)下列函数在(－∞，0)上单调递减的是( )
A．y＝tan x B．y＝ln(－x)
C．y＝ D．y＝－
(2)(2024·四川资阳模拟)函数f(x)＝－x的单调递增区间为( )
A． B．(0,1)
C． D．(1，＋∞)解析：(1)函数y＝tan x在(－∞，0)上不单调，故A不满足条件；由复合函数的单调性
可知函数y＝ln(－x)在(－∞，0)上单调递减，故B满足条件；函数y＝＝x在(－∞，0)上单
调递减，故C满足条件；函数y＝－在(－∞，0)上单调递增，故D不满足条件．故选BC．
(2)令t＝，显然t＝在[0，＋∞)上单调递增．又y＝t－t2＝－2＋在上单调递增，由≤得
0≤x≤，所以f(x)的单调递增区间是 .故选A．
答案：(1)BC (2)A
题型 函数单调性的判断
典例2判断函数f(x)＝ 在 ( － 1,1) 上的单调性，并用定义证明．
定义法着重考查运算，作差变形后常常因式分解，得到影响代数式符号变化的“关键
因子”．
解：函数f(x)在(－1,1)上是增函数，证明如下：
任取x，x∈(－1,1)且x0，记a＝f(1)，b＝，c＝，则( )
1 2
A．c0等价于 >0 ，所以函数在 (0 ，＋∞ ) 上
两边同时除以xx，构造出函数的单调性，注意代数式的结构特点．
1 2
单调递增，而函数f(x)是R上的偶函数，即b＝＝，显然有<<，即ac>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
2
解析：(1)函数f(x)＝e－(x－1) 是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu
为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由
复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的
图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又<2－<<1，所以fc>a，故选A．
(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－
y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.
答案：(1)A (2)B
维度2 利用单调性求最值
典例4(1)函数f(x)＝x－(x∈[1,2])的最大值为( )
A．－1 B．1
C． D．2
(2)(2024·河北张家口模拟)函数f(x)＝ 2 ＋ 的最小值 为________．
也应利用运算关系判断单调性，x∈(－∞，0]时，2和都为减函数，由减＋减＝减，可
知f(x)在(－∞，0]单调递减，同理得f(x)在[2，＋∞)单调递增，这样再求最小值．
解析：(1)因为函数y＝x， y ＝－在区间 [1,2] 上均单调递增 ，故函数f(x)在[1,2]上
单调性判断依据为增＋增＝增. 借此可迅速判断．
单调递增，当x∈[1,2]时，f(x) ＝f(2)＝2－1＝1.故选B．
max
(2)由题意可知函数f(x)的定义域满足即x≤0或x≥2，所以 函数 f ( x ) 的定义域为 ( －∞，0] ∪ [2 ，＋∞ ) ，f(x)＝2|x－2|＋.
【易错提醒】在研究函数的基本性质的过程中，往往需要先求出函数的定义域，这是
容易漏掉的一个重要环节，不能抛开函数定义域去研究函数的值域、单调性等性质．
函数 u ＝ | x － 2 | 在 ( －∞， 0] 上单调递减，在 [2 ，＋∞ ) 上单调递增，且函数 y ＝ 2 u 单调递
增，所以 y ＝ 2 | x － 2 | 在 ( －∞， 0] 上单调递减，在 [2 ，＋∞ ) 上单调递增，
【扫清障碍】分解复合函数，并分别判断内、外层函数的单调性，依据“同增异减”
的原则判断复合函数的单调性．
函数v＝x2－2x在(－∞，0]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，且函数y＝单调递增，
所以y＝在(－∞，0]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．
故f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，而f(0)＝4，f(2)＝1，所以函
数f(x)的最小值为1.故答案为1.
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单
调性法几乎成为首选方法．
对点练4(2024·广东佛山一中月考)已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1，∴2xx－1>0.
1 2 1 2 1 2
又x－x<0，
1 2
∴f(x)－f(x)<0，即f(x)0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立．
设g(x)＝x2＋2x＋a(x≥1)，
则g(x) >0.
min
又g(x)＝(x＋1)2＋a－1，其图象的对称轴为x＝－1，且开口向上，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增．
∴g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝3＋a.
由3＋a>0，得a>－3，即实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
维度3 利用单调性求参数的范围
典例5(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)设函数 f ( x ) ＝ 2 x ( x － a ) 在区间 (0,1) 单调递减 ，则a
转化为区间(0,1)在对称轴x＝左侧．
的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．C．(0,1) D．(0,1]
(3)(2024·湖南师大附中测试)已知函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且对任意的x ，x∈[0，
1 2
＋∞)，x≠x，都有>2，f(1)＝2 020，则满足
1 2
这样的式子很常见，它往往是在告知我们某个函数的单调性，对其进行简单的变形，
找出要构造的函数，问题就迎刃而解了．
不等式f(x－2 020)>2(x－1 011)的x的取值范围是( )
A．(2 021，＋∞)
B．(2 020，＋∞)
C．(1 011，＋∞)
D．(1 010，＋∞)
解析：(1)由题意得y＝x(x－a)在区间(0,1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D．
(2)因为函数f(x)＝是定义 在 R 上的增函数，所以解得 0< a≤，
这个分段函数单调递增有三个条件，两段函数应分别单调递增，并且保证接头处单调
递增．
所以实数a的取值范围为.故选B．
(3)>2，可转化为>0，
由已知把常数2移项，并项变形，构造出f(x)－2x的单调性．
所以 f ( x ) － 2 x 在 [0 ，＋∞ ) 上单调递增 ，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)－2x为奇函数，
【破题有招】此处为解题的关键步骤，也可通过“令0≤x ＜x ，则f(x)－f(x)＞2x －
1 2 2 1 2
2x，即∀0≤x＜x，f(x)－2x＞f(x)－2x”得到f(x)－2x在[0，＋∞)上单调递增．
1 1 2 2 2 1 1
所以f(x)－2x在R上单调递增，因为 f ( x － 2 020)>2( x － 1 011) ，f(1)＝2 020，
设H(x)＝f(x)＝2x，构造得H(x－2 020)＝f(x－2 020)－2(x－2 020)＞2 018＝H(1)，即：
H(x－2 020)＞H(1)．
所以f(x－2 020)－2(x－2 020)>f(1)－2，所以x－2 020>1，解得x>2 021，即x的取值范
围是(2 021，＋∞)．故选A．
1．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使
其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
2．利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，
确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
3．解决分段函数的单调性问题时，要注意分段处端点函数值的大小.
对点练 5(1)(2024·江苏泰州摸底)设定义在 R 上的函数 f(x)满足：当 x2x的解集为( )
1 2 2 1
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
(2)(2024·陕西咸阳月考)已知函数f(x)＝2ln x＋－x，则不等式f(2x－1)2x ⇒>1＝，即g(x)>g(1)，所以由单调性解得x<1.故选A．
(2)由题意可知，函数f(x)＝2ln x＋－x的定义域为(0，＋∞)．
⇒
因为f′(x)＝－－1＝－2≤0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
则由f(2x－1)
