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2.2 单调性与最大(小)值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I
当x1<x2 时,都有f ( x 1)<
f ( x 2),那
么就称函数f(x)在区间I 上
单调递增,特别地,当函数f(x)
在它的定义域上单调递增时,
我们就称它是增函数
当x1<x2时,都有f ( x 1)>
f ( x 2),那么就称函
数f(x)在区间I 上单调递减,特别地,当
函数f(x)在它的定义域上单调递减时,
我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调
性,区间
I 叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前
提
设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实
数M 满足
条
件
(1)∀x∈D,都有
f ( x )≤
M
;
(2)∃x0∈D,使得
f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈D,都有
f ( x )≥
M
;
(2)∃x0∈D,使得
f ( x 0) ＝
M
结
论
M 为最大值
M 为最小值
常用的结论
1.函数单调性的常用结论
(1)若f(x),g(x)均在区间A 上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A 上单调递增(减).
(2)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝
1
f ( x)的单调性相反.
2.函数最值的结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
考点一 判断函数的单调性
考点二 利用定义证明函数的单调性
考点三 已知单调性求参数
考点四 复合函数的单调区间
考点五 复合函数的单调性求参数
考点六 利用函数单调性比较大小
考点七 利用函数单调性求参数
考点八 利用函数单调性求最值(值域)
考点九 利用函数最值求参数
考点十 复合函数求最值
考点一 判断函数的单调性
1．（25-26 高二上·贵州安顺·期中）已知函数
．
(1)判断
的奇偶性，并证明；
(2)判断
的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
2．（25-26 高三上·上海杨浦·期中）设
为常数，
且函数
为奇函数．
(1)求
的值；
(2)判断函数
的单调性，并给出证明；
3．（25-26 高三上·北京·月考）已知
是奇函数.
(1)求
的值；
(2)若
的定义域为
，判断
的单调性并证明；
4．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）函数
是定义在
上的奇函数，且
．
(1)求
的解析式，并用函数单调性的定义证明
在区间
上为增函数；
考点二 利用定义证明函数的单调性
5．（25-26 高三上·上海·期中）函数
的单调减区间是____________．
6．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）函数
在
上的单调递增区间是________，最小值是________．
7．（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
8．（25-26 高三上·重庆·期末）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 已知单调性求参数
9．（2026·河北保定·二模）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高二下·黑龙江·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）已知函数
（
且
）在
上单调递减，则
实数
的取值范围为__________．
12．（2026 高二下·福建·学业考试）已知函数
在区间
是减函数，则实数a 的取值范围是
________
13．（2026 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围为______.
14．（2026 高三·全国·专题练习）形如
的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”
的单调性，若函数
在
上单调，则a 的取值范围为______．
考点四 复合函数的单调区间
15．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（25-26 高三上·辽宁沈阳·月考）函数
的单调递增区间是______．
18．（25-26 高三上·安徽六安·月考）函数
的单调递减区间为________
19．（25-26 高三上·天津河东·期末）已知函数
则函数的单调增区间为______
考点五 复合函数的单调性求参数
20．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（25-26 高二下·宁夏银川·期中）函数
在
上是减函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（25-26 高三下·河北沧州·月考）已知函数
在区间
存在单调递增区间，则正数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（25-26 高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 利用函数单调性比较大小
24．（25-26 高二下·河南信阳·期中）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（25-26 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（25-26 高二下·广东广州·期中）设
，
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 利用函数单调性求参数
28．（25-26 高二下·山东济宁·期中）已知函数
，若
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2026·安徽芜湖·二模）已知
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（25-26 高二下·吉林长春·阶段检测）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 利用函数单调性求最值(值域)
35．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
，
(1)求函数
的单调区间；
(2)求函数
的值域．
36．（24-25 高三上·上海·期中）函数
的值域为_____．
37．（25-26 高二下·北京·期中）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值也有最小值
B．有最大值无最小值
C．无最大值有最小值
D．无最大值也无最小值
38．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
.
(1)指出
的定义域；
(2)求
的最小值与最大值.
39．（25-26 高二下·江苏·期中）已知函数
，求其最值．
考点九 利用函数最值求参数
40．（25-26 高三上·山东日照·月考）已知函数
，若
在
上既有最大值，也有最小
值，则实数a 的取值范围是______．
41．（25-26 高三上·上海浦东新·月考）已知函数
．
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)当
时，
恒成立，求实数a 的取值范围．
42．（25-26 高三上·安徽合肥·期末）设函数
．
(1)判断函数
的单调性，并求不等式
的解集；
(2)若
在
上的最小值为11，求实数m 的值．
43．（25-26 高三上·湖北·期末）已知函数
有最小值，则
的取值范围是__________.
考点十 复合函数求最值
44．（25-26 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求
的值域；
(2)若
时，
的最小值为
，求函数
的解析式．
45．（25-26 高三上·辽宁盘锦·开学考试）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的单调递增区间为
C．当
时，
D．
的最小值为
46．（25-26 高三上·河北唐山·月考）设定义在
上的函数
，则
的最小值是______．
47．（25-26 高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数
．
(1)求
的最小值，并求出当
取得最小值时
的值；
(2)求
的单调递减区间．
1．（25-26 高三上·陕西汉中·月考）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．函数
的最大值为
B．已知
，
，
，则
的最小值为9
C．已知函数
的定义域为
，则
定义域为
D．若函数
，则
2．（25-26 高三上·山东滨州·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·四川眉山·期中）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·四川宜宾·期中）若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·天津和平·一模）“
”是“函数
在区间
上为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（25-26 高二下·安徽合肥·阶段检测）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·江苏连云港·期末）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高二下·湖南邵阳·期中）函数
在区间
上的奇偶性和最小值分别是（ ）
A．奇函数､
B．偶函数
C．奇函数､6
D．既不是奇函数也不是偶函数､6
10．（25-26 高二下·四川成都·期中）（多选）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
12．（25-26 高二下·江苏镇江·期中）已知函数
，若
，都有
，则实数a
的取值范围是________.
13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，且
在
上恒成立，则实数
的
最小值为___________．
14．（25-26 高二下·上海·期中）已知函数
，则不等式
的解集为__________.
15．（25-26 高三上·河南·月考）已知a 为实数，函数
，若
，则
______．
16．（25-26 高三上·海南海口·期中）已知函数
.
(1)设
.
（i）计算
的值，并求
的最小值；
（ii）求
的单调递减区间.
(2)对任意
恒成立，求
的取值范围.
17．（25-26 高三上·上海·期末）已知
．
(1)当
时，若
，判断
的单调性并给出证明；
(2)若
在
上有解，求实数a 的取值范围；
(3)若
在区间
上是增函数，求实数a 的取值范围．
