考向05函数的单调性及最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 05 函数的单调性与最值 1. （2022年浙江卷第7题）已知 ，则 （ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】因为 ， ，即 ，所以 ． 故选：C. 2. （2022年 新高考1卷第7题）设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 ，因为 ， 当 时， ，当 时 ， 所以函数 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，故 ，即 ， 所以 ，所以 ，故 ，所以 ，故 ， 设 ，则 , 令 ， ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 又 ， 所以当 时， ， 所以当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，即 ，所以 故选：C. 3. （2022年北京卷第14题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为 ________；a的最大值为___________． 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1 【解析】若 时， ，∴ ； 若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不 符合题目要求； 若 时， 当 时， 单调递减， ， 当 时，∴ 或 ，解得 ， 综上可得 ；故答案为：0（答案不唯一），1 （1）函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。 （2）函数f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。 （3）函数的单调定义中的x 、x 有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区 1 2 间。 （4）求函数的单调区间必须先求定义域。 （5）求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x ，x ∈D(x ≠x )，则 1 2 1 2 (1)>0(或(x －x )[f(x )－f(x )]>0)⇔f(x)在D上单调递增． 1 2 1 2 (2)<0(或(x －x )[f(x )－f(x )]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 1 2 1 2 2．函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在 端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 【易错点1】求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误． 【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只 能用“逗号”或“和”联结． 1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是 y ex y  x3 y lnx y  x A． B． C． D． x22x3 1 f x   2 2．函数 的单调递减区间是 , ,1 3, 1, A． B． C． D． 3．已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数 ，若 对 恒成立， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是 ( ) A． B． C． D．一、单选题 1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））下列函数中是减函数的为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数 ，若 且 ，则有 （ ） A． 可能是奇函数，也可能是偶函数 B． C． 时， D． 4．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知 ，则 ， ， 的大小为（ ） A． B． C． D． 5．（2022·青海·模拟预测（理））若 ，则（ ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 满足 ，对于 ， ，当 时，都有 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2022·江苏无锡·模拟预测）定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是增函数，则 称 在区间 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ） A． 在 上是“弱减函数” B． 在 上是“弱减函数” C．若 在 上是“弱减函数”，则 D．若 在 上是“弱减函数”，则 8．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）当 时，不等式 成立．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2022·上海长宁·二模）已知函数 满足： ，则不等式 的解集 为__． 10．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递 增且有界的函数 ，即 ， ， ．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是 ______．① ；② ；③ ；④ ． 1．（2021年全国高考甲卷数学（文））下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 2．（2018·陕西高考真题（理））下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是 A． B． C． D． 3．（2019·陕西高考真题（理））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A． B． C． D． fx=x2 axb M m 4．（2017·浙江高考真题）若函数 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则 的 值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 5．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数 ，则f(x) ( )A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 1 f(x) x2  ,g(x)sinx 6．（2021年浙江卷）已知函数 4 ，则图象为如图的函数可能是（ ） 1 1 y  f(x)g(x) y  f(x)g(x) A． 4 B． 4 C．y  f(x)g(x) D． 7．(2018年北京卷)能说明“若 对任意的 都成立，则 在 上是增函数”为 假命题的一个函数是__________． 1．【答案】B 【解析】四个函数的图象如下 y y y y y=x3 y=e-x y=lnx x x y=|x| x O O O O显然B成立． 【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题． 根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案． 2．【答案】D 【解析】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增． 因为函数 在定义域上为减函数， 所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）． 故选D． 【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函 数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增 异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间． 3．【答案】B 【解析】函数 ， ， ， 根据指数函数和对数函数的单调性可得： ， ， ， 因为函数 在 上单调递减，且 ， 所以 ，即 . 故选：B 【点睛】 对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同， 不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数 不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指 数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4．【答案】A【解析】在同一坐标系内画出 的图象，由图象可知， 在 上， 恒成立，即 ， 当且仅当 或 时等号成立， ， 设 ，则 等价于 ， 即 ， ， 再设 ，原不等式可化为 ， 即 ， 而 ， ， 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设 ，则原不等式等价于 ，再设 ，并参变分离求出最值解出实数 的取值范围，考查了数形结合 的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题． 5．【答案】B f(x)=x(x1) f(x+1)=2 f(x) f(x) 【解析】∵ 时， ， ，∴ ，即 右移 个单位， 图像变为原来的 倍． 8 4(x2)(x3) 如图所示：当 时， f(x)=4f(x2)=4(x2)(x3)，令 9 ，整理得： 9x2 45x560，∴ （舍），∴ ， ，∴ 时， 成立，即 ，∴ ，故选B ． 一、单选题 1．【答案】B 【解析】选项A：由 ，可得 为增函数.判断错误； 选项B：由 ，可得 为增函数，则 是减函数.判断正确；选项C：由 ，可得 是减函数，则 为增函数.判断错误； 选项D： 在 上单调递增. 判断错误. 故选：B 2．【答案】C 【解析】因为 ， 当 时 函数单调递减，且 ， 当 时 函数单调递减，且 ， 所以函数 在 上是单调递减， 所以不等式 等价于 ，解得 ． 即不等式的解集为 ； 故选：C 3．【答案】D 【解析】若 是奇函数，则 ，又因为 ，与 矛盾， 所有函数 不可能时奇函数，故A错误； 令 ，则 ， 因为 ， ，所以 ，所以函数 为增函数， 所以 ，即 ，所以 ，故B错误； 因为 ，所以 ， ，所以 ，故 ，即 ， 所以 ，故C错误； 有 ，即 ，故D正确. 故选：D. 4．【答案】C 【解析】令函数 ，当 时，求导得： ， 则函数 在 上单调递减，又 ， ， ， 显然 ，则有 ，所以 . 故选：C 5．【答案】D 【解析】对于A,B,令 ，则 ， 当 时， 单调递增， 且 故存在 ，使得 ， 则当 时， 递减，当 时， 递增， 由于 ，此时 大小关系不确定， 故A,B均不正确； 对于C,D,设 ，则 ，当 时， ，故 单调递减， 所以当 时， ，即 ，即 ，故C错误，D正确，故选：D 6．【答案】B 【解析】由题设 时 ，即 在R上递增， 又 ，而 等价于 ， 所以 ，即 ，可得 .故不等式解集为 .故选：B 二、多选题 7．【答案】BCD 【解析】对于A， 在 上单调递减， 不单调，故A错误； 对于B， ， 在 上 ，函数 单调递减， ， ，∴ 在 单调递增，故B正确； 对于C，若 在 单调递减，由 ，得 ， ∴ ， 在 单调递增，故C正确； 对于D， 在 上单调递减， 在 上恒成立 ， 令 ， ，令 ， ， ∴ 在 上单调递减， ， ∴ ，∴ 在 上单调递减， ，∴ ， 在 上单调递增， 在 上恒成立， ∴ ， 令 ， ， ∴ 在 上单调递增， ， ∴ ， 综上： ，故D正确. 故选：BCD. 8．【答案】AD 【解析】当 时，不等式 ，令 ， 则 在 上单调递增， 因 ，则 ，A正确； 因 ，则 ，B不正确； 由 知， ，有 ，则 ， 由选项A知， ，即 ，C不正确；由 得， ，则 ，D正确. 故选：AD 三、填空题 9．【答案】 【解析】根据题意可得 ，且 为奇函数 当 时， ，则 在 上单调递增 ∴ 在 上单调递增 则 ，即 ，解得 ∴ 即 的解集为 故答案为： ． 10．【答案】③④ 【解析】对于①， 无界，不符合题意； 对于②， 不单调，不符合题意； 对于③， 单调递增，且 ，则 ，符合题 意； 对于④， 单调递增，且 ，则 ，符合题意． 故答案为：③④1．【答案】D 【解析】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍. 对于C， 在 为减函数，不合题意，舍. 对于D， 为 上的增函数，符合题意，故选：D. 2．【答案】D 【解析】 试题分析：由于 ，所以指数函数 满足 ，且当 时单调 递增， 时单调递减，所以 满足题意，故选D． 考点：幂函数、指数函数的单调性． 3．【答案】D 【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D. 4．【答案】B 【解析】因为最值在 中取，所以最值之差一定与 无关，选 B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系， 结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在 区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区 间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 5．【答案】D【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，排除B； 当 时， ， 在 上单调递减， 在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确． 【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前 提下，根据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数， 根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论． 6．【答案】D 【解析】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 A； 对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C， ，则 ， 当 时， ，与图象不符，排除C. 故选：D. 7．【答案】 （不答案不唯一） 【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足 对任意的 都成立，且函数 在 上不是增函数即可，如， ，答案不唯一．