文档文本内容
2.3 函数奇偶性、周期性、对称性及其应用
11 大考点汇总
考点01 函数奇偶性的定义与判断
考点02 由奇偶性求函数解析式
考点03 利用奇偶性求参数
考点04 利用函数奇偶性解不等式
考点05 利用周期性求函数的解析式
考点06 函数周期性的应用
考点07 利用函数的周期性求函数值
考点08 利用对称性求函数的解析式
考点09 函数对称性的应用
考点10 利用对称性研究单调性
考点11 由函数对称性求函数值或参数
题型专练
考点01 函数奇偶性的定义与判断
1．下列函数中，既是奇函数又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.
【详解】对于A.函数
的定义域是
，所以函数是非奇非偶函数，故错误；
对于B，因为
，所以函数是偶函数，故错误；
对于C,
在
上单调递减，故错误；
对于D，因为
，所以函数是奇函数，且在
上单调递增，正确；
2．（多选）已知
为奇函数，
为偶函数，且
均为非零函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】ACD
【分析】由奇偶性的定义确定
为奇函数，由此得
与
奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨
论即可.
【详解】设
，
，
由题意得
，即
①，
，即
②，
②除以①得
，即
为奇函数，A 正确；
由上并结合“同偶异奇”知
与
奇偶性相异，故B 错误，
当
为奇函数，
为偶函数时，
为偶函数，
为偶函数，
满足
为奇函数，
为偶函数，
当
为偶函数，
为奇函数时，
为偶函数，
为偶函数，
不满足
为奇函数，故C，D 正确.
3．判断下列各函数是否具有奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
；
(5)
(6)
【答案】(1)奇函数
(2)非奇非偶函数
(3)非奇非偶函数
(4)奇函数
(5)即是奇函数也是偶函数
(6)非奇非偶函数
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）
的定义域为
，它关于原点对称．
，故
为奇函数；
（2）
的定义域为
不关于原点对称，
故
既不是奇函数也不是偶函数；
（3）因为
，所以
，即函数
的定义域为
，
不关于原点对称，故
既不是奇函数也不是偶函数；
（4）由
，得
，且
，
所以
的定义域为
，关于原点对称，
所以
．又
，
所以
是奇函数；
（5）对于函数
，因为
，所以
，
其定义域为
，关于原点对称．因为对定义域内的每一个
，
都有
，所以
，
，
所以
既是奇函数又是偶函数；
（6）因为
，所以
，所以
的定义域为
，
不关于原点对称，所以
既不是奇函数也不是偶函数．
故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非
偶函数
4．函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】探讨函数
的奇偶性并排除两个选项，再由
时的函数值正负排除并判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，
，
函数
是偶函数，图象关于
轴对称，排除CD；
当
时，
，
，排除B，选项A 符合题意.
故选：A
考点02 由奇偶性求函数解析式
5．已知
为定义在
上的奇函数，当
时有
，求
的解析式．
【答案】
【分析】由
为定义在
上的奇函数，则
，再根据
时，
，
求解即可.
【详解】因为
为定义在
上的奇函数，所以
．
设
，
所以
6．已知函数
为偶函数，
为奇函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，采用解方程组的方法可求出
的解析式，代入数值计算，即得答案.
【详解】由题意知函数
为偶函数，
为奇函数，且满足
，
则
，即
，
故
，则
，
故选：D
7．已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性即可求解.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，
当
时，
，
所以当
时，
.
故选：B
8．已知
，
分别为定义在
上的偶函数、奇函数，且满足
，则
的
值为______．
【答案】
/
【分析】根据函数奇偶性得
，再结合题设求出函数解析式结合指数、对数运算性质即可求
解.
【详解】因为
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
.
故答案为：
考点03 利用奇偶性求参数
9．若函数
为奇函数，则
____．
【答案】1
【详解】函数
定义域为
，关于原点对称，因为函数
为奇函数，
所以
，
，
，
所以
，即
，整理得
对定义域内的
恒成立，解得
.
10．已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质求解即可．
【详解】由奇函数
的定义域为
，得
，解得
．
当
时，
0，则
，
又
时，
，所以
，所以
．
11．已知函数
是偶函数，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【详解】由
，
，
因为函数
是偶函数，则
，
即
，则
，
即
恒成立，可得
.
12．已知
是定义域为
的偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义域关于原点对称且对称轴为
轴可构造方程组求得
，进而求得结果.
【详解】
是定义域为
的偶函数，
，解得：
，
，
.
故选：A.
考点04 利用函数奇偶性解不等式
13．已知函数
是定义域在
上的奇函数，且在
上为增函数，若
，则实
数
的取值范围是______．
【答案】
【分析】先判断
在
上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于
的不等式组，从而可得实数
的取值范围.
【详解】因为
为奇函数且在
上为增函数，故
在
上为增函数，
因为
为
上的奇函数，故
即为
，
故
，故
.
14．已知函数
是定义域为R 的偶函数，当
时，
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
与
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增．
因为函数
是定义域为R 的偶函数，且
，
所以由
，或
，
所以原不等式的解集为
．
15．已知定义在R 上的偶函数
在
上是增函数，且
.若
，则x 的取值范围是
______．
【答案】
或
【分析】结合已知根据已知条件将原不等式转化为
或
，即可得解.
【详解】定义在R 上的偶函数
在
上是增函数，且
，
根据偶函数的对称性可知，
在
上是减函数，
，
若
，则
或
，
即
或
，
即
或
．
故答案为：
或
16．设函数
，则不等式
的解集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得
即可.
【详解】函数
的定义域为
，
且
，即
为偶函数，
当
时
与
，
与
均在
上单调递增，
所以
与
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，则不等式
等价于
，
即
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
故选：B.
考点05 利用周期性求函数的解析式
17．已知函数
是周期为4 的周期函数，且
，则
在区间
上的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据周期性求函数解析式.
【详解】因为函数
是周期为4 的周期函数，
所以
时，
，
所以
，即
，
故选：C
18．已知定义在
上的函数
以4 为周期，当
时，
，求当
时
的最小值．
【答案】
【分析】设
，利用周期性得
，即可求最小值.
【详解】设
，则
，又函数的周期为4，
所以
，
当
时取等号，即所求最小值为
.
19．设
是周期为2 的奇函数，当
时，
，则
时，
＝________．
【答案】
【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得
，结合
的范围以及已知条件，即可求得答
案.
【详解】当
时，
，则
，
因为当
时，
，所以
．
因为
是周期为2 的奇函数，
所以
，
故答案为：
20．定义域为
的奇函数
满足
，当
时，
，且
.
(1)当
时，画出函数
的图象，并求其单调区间、零点；
(2)求函数
在区间
上的解析式.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）利用条件得出
，计算
结合对数函数的图象与性质作图并求单调
区间与零点即可；
（2）利用（1）的结论及
求解析式即可.
【详解】（1）由题意可知：
，
所以
，
即
，则
时
，
令
，则
，
综上
，
作图如下：
结合对数函数的单调性与奇函数的性质知
的单调递增区间为
，无单调递减区间，
且其零点有三个，分别为
；
（2）因为
，则
，
当
时,
,
当
时,
,
当
时,
，
则
.
考点06 函数周期性的应用
21．设
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．7
【答案】A
【详解】因为
是定义在
上且周期为2 的奇函数，
所以
，
，
所以
，
因为当
时，
，所以
，所以
.
22．已知偶函数
满足
，且在区间
上是减函数，则
，
，
的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据周期性及偶函数的性质得到
，
，再比较
、、
的大小，
结合函数在
上的单调性即可判断.
【详解】因为
，所以
是以
为周期的周期函数，
又
为偶函数，所以
，
，
又
且
在
上单调递减，
所以
，
即
.
故选：D
23．若偶函数
对任意
都有
，且当
时，
，则
______．
【答案】
【分析】由题意求得
，可得
的周期为6，
则
，即可求解.
【详解】由
，且当
时
，
，
得
，
，
则
是以6 为周期的函数，
所以
.
故答案为：
24．（多选）已知奇函数
的定义域为
，若
，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
D．
的一个周期为
【答案】ACD
【分析】由奇函数可得
，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】对于A，由定义域为
且函数
为奇函数，可得
，A 选项正确；
对于B，由
，可得
，则函数
关于直线
对称，B 选项错误；
对于C，由
以及奇函数性质可知
，
可得
，即可得
，即C 选项正确；
对于D，根据C 中的结论可知
，
即可得
，函数
的一个周期为
，D 选项正确；
故选：ACD.
考点07 利用函数的周期性求函数值
25．已知函数
满足
．当
时，
，则
________．
【答案】8
【详解】因为
，所以
是以3 为周期的周期函数，所以
．
26．若函数
满足
.且当
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据条件，得到
的一个周期为
，从而有
，再代入
，即可求解.
【详解】因为
，则
，所以
的一个周期为
，
所以
，又
，所以
，则
，
故选：C.
27．已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由周期性、奇函数性质转换即可求解.
【详解】已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，且
，
则
.
故选：D.
28．已知
是定义在
上且周期为2 的函数，当
时，
，则
______．
【答案】
【分析】利用函数的周期性求得
，
，即可得解.
【详解】
是定义在
上且周期为2 的函数，当
时，
，
则
，
，
所以
.
故答案为：
考点08 利用对称性求函数的解析式
29．已知函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式.
【答案】
【分析】在函数
上取点
，设
为
关于点
的对称点，利用对称关系列出变
换方程组，求得
，代入
，整理即得
的解析式.
【详解】设
为
上任一点，
为
关于点
的对称点，
则
解得
因为点
在
的图象上，所以
.
把
代入上式，可得
，整理得
，
即
.
30．已知函数
与
的图象关于点
对称，则
______．
【答案】
【分析】设
是
上一点，关于点
的对称点为
，得到
，将其代入函
数
的解析式，即可求得
的解析式.
【详解】设
是
图象上任意一点，且点
关于点
的对称点为
，
可得
，解得
，
将其代入函数
，可得
，所以
，
即
.
故答案为：
.
31．下列函数中，其图象与函数
的图象关于直线
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设函数
的图象为曲线
，该曲线关于
对称的曲线为
，
设曲线
上任意一点的坐标为
，则有
，
该点
关于直线
对称点的坐标为
，
因此有
，代入
中，
得
，
故选：C
32．若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x 的图象关于直线x＝2 对称，则g（x）＝________．
【答案】ln （4－x）
【分析】利用对称的定义求解即可.
【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2 对称的点为（4－x，
y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x 的图象上，所以y＝ln （4－x）,
即
,
故答案为：
考点09 函数对称性的应用
33．写出一个同时满足下列性质①②③的函数
______.
①定义域为
；
②
；
③
.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】由题意知
图象关于点
对称，再结合正比例函数构造即可；
【详解】由③
得函数
图象关于点
对称，
，则可取
，符合①②③.
.（答案不唯一）
34．（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．
在定义域上单调递减
【答案】ABC
【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例函数的性质依次判
断各选项即可.
【详解】因为
，
对于A：因为
的对称中心为
，将其向右平移1 个单位，
再向上平移2 个单位得到
，所以对称中心变为
，故A 正确；
对于B：任取
上一点
，其关于直线
的对称点为
，
而
，
因此其对称点
也在
上，所以
的图象关于
对称，故B 正确；
对于C：因为
，所以
，
即
的值域为
，故C 正确；
对于D：
的定义域为
，它仅在区间
和
上分别单调递减，
不能说在整个定义域上单调递减，例如：取
，
有
，不符合单调递减定义，故D 错误.
35．若曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．2
C．0
D．1
【答案】C
【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出
，再代入解析式得出
，最后代回验证即可.
【详解】令
，由
，得
或
，故函数
的定义域为
．
由曲线关于直线
对称，得定义域关于直线
对称，则
，
此时必有
，即
，解得
，
此时
，
因此函数
的图象关于直线
对称，即
，
满足题意，故
．
36．（多选）下列函数中，其图像是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的对称性求解判断即可.
【详解】对于A，
，满足
，图像关于
中心对称，故
A 满足；
对于B，
是偶函数，关于
轴对称，故B 错误；
对于C，
定义域为
，若存在对称中心，则其横坐标只能为
，
，所以函数图像的对称中心为
，故C 满足；
对于D，
定义域为
，若存在对称中心，则其横坐标只能为1，
所以函数图像的对称中心为
，故D 满足．
考点10 利用对称性研究单调性
37．已知函数
是定义
上的偶函数，且
，若
在区间
上是减函数，则
（ ）
A．在区间
上是增函数，在区间
上是增函数
B．在区间
上是增函数，在区间
上是减函数
C．在区间
上是减函数，在区间
上是增函数
D．在区间
上是减函数，在区间
上是减函数
【答案】B
【分析】根据函数关于
轴和
轴对称，利用已知区间的单调性求解.
【详解】因为
，所以函数
关于
成轴对称，
所以区间
与区间
，区间
与
关于
对称，
由函数
在区间
上是减函数，可知函数在
上是增函数，
又函数
是偶函数，所以函数
在
上是增函数，
所以函数
在
上是减函数，
故选：B
38．如果奇函数
在
上是减函数且最小值是4，那么
在
上是（ ）
A．减函数且最小值是－4
B．减函数且最大值是－4
C．增函数且最小值是－4
D．增函数且最大值是－4
【答案】B
【分析】根据奇函数的对称性，在区间
上的性质，可得到函数在区间
上的性质，即可求解.
【详解】由题意，奇函数
在区间
上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数
在
区间
上也是减函数，又由奇函数
在区间
上的最小值是4，
即
，所以
，所以函数
在区间
上的
最大值为
，
故选：B.
39．设
定义域为R，对任意的
都有
，且当
时，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件，可得
关于
对称，所以
，根据
时的解析式，可得其单调性，
根据对称性，可得
时的单调性，根据自变量的大小关系，可得函数值的大小关系，即可得答案.
【详解】因为
，所以
关于
对称，
因为当
时，
，单调递增，
所以当
时，
单调递减，
因为
，
所以
.
故选：B
40．已知函数
为偶函数，且函数
在
上单调递增，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为
为偶函数，所以
的图象关于y 轴对称，则
的图象关于直线
对称．
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减．
因为
，所以
，解得
．
故选：A.
考点11 由函数对称性求函数值或参数
41．已知函数
的图象关于点
对称，则
_______________．
【答案】2
【详解】
，关于点
对称，
由题意可知函数
关于点
对称，所以解得
.
42．（多选）已知函数
的图象关于点
对称，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据正切型函数的对称性逐一判断即可.
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，
所以
，则
.
A：令
，符合题意；
B：令
，不符合题意；
C：令
，符合题意；
D：令
，不符合题意，
故选：AC
43．函数
的图像关于点
中心对称，则
_____.
【答案】
/
【分析】根据对称中心求得
，从而求得
.
【详解】函数
的图像关于点
中心对称，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：
44．已知
，则
__________．
【答案】
/
【分析】由题可得
且
，即可求解.
【详解】由题知
，且
，
所以
.
故答案为：
.
