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考点巩固卷 05 函数的图象与方程 （八大考点）
考点01：函数图象的识别考点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断
图象的上下位置
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(5) 从函数的周期性，判断图象的循环往复
1．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过判断函数 的奇偶性和 在 处的导函数值的正负即可得解.
【详解】 的定义域为R， ，所以
为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除B选项；
又 ，
所以 ，函数图象在 处的切线斜率大于0，所
以排除C、D选项；
故选：A.
2．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
试卷第2页，共63页C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性单调性与函数值符号确定函数的图象.
【详解】由 ，得 ，所以 的定义域为 .
又 ，
所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称，故B错误；
因为 ，所以当 时， ，所以 ，
且在定义 内为增函数，故A，D错误.
对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确.
故选:C
3．函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可.
【详解】根据题意，函数 ，定义域为R，
，则 是奇函数，图象关于原点对称，排除CD，
又 ，排除A.
故选：B.
4．已知函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可.
【详解】根据题意，由函数的图象， 的定义域为 ，其图象关于原点对称，
为奇函数；在 上，函数图象与 轴存在交点.
由此分析选项：
对于A， ，其定义域为 ，有 ，
为偶函数，不符合题意；
对于B， ，其定义域为 ，
试卷第4页，共63页有 ， 为奇函数，其图象关于原点
对称；
当 时， ，函数图象与 轴存在交点，符合题意；
对于C， ，当 时， ，故 恒成立，所以该函数
图象在 上与 轴不存在交点，不符合题意；
对于D， ，其定义域为 ，
有 为偶函数，不符合题意.
综上所述，只有选项B的函数满足，
故选：B．
5．函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.
【详解】 ，又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又 ，
故可排除D.
故选：B.
6．函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断函数 的奇偶性从而排除选项A、D；再判断当 时 函数值的
符号即可排除C.
【详解】因为 为奇函数，所以排除 ；当 时， ，
所以排除C.
故选：B.
7．函数 的部分图象大致为（ ）
试卷第6页，共63页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性，再分别判断 ， 时的函数值的正负，运用排除
法可得结论.
【详解】因为 ，
所以函数为奇函数，可排除D选项；
当 时， ， ， 可排除B；
当 时， ， ， ，可排除A；
故选：C.
8．函数 的图象是下列的（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数 的定义域可排除B；求出 的奇偶可排除C，D.
【详解】因为函数 的定义域为 ，解得： ，故B错误.
，则函数 为奇函数，故C，D错误；
故选：A.
9．函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
试卷第8页，共63页【答案】D
【分析】利用函数的性质判断函数图象
【详解】依题意，可得 ，则 为奇函数，且当 时， ，则
A，B，C均不正确，
故选：D．
10．函数 的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，然后分析当 时的函数值符号，进行判断即
可．
【详解】因为 ，定义域为 ，
且 ，则 是偶函数，图象关于 轴对称，排除A，D，
当 时， ，故 ，所以，当 时， ，当 时， ，排除B，所以C正确．
故选：C
02：确定零点所在区间考点
1.零点存在定理：若 在 的图象是一条连续的曲线，且 ，则 在
上有零点.
2.特别提醒：
（1）满足了零点存在定理的条件，只能得出该函数有零点，无法判断零点的个数.
（2）若单调函数 在 的图象是一条连续的曲线，且 ，则 在
上有唯一零点.
（3）在零点存在定理中， 是 在 上有零点的充分条件，不是必要
条件，即使不满足该条件，即 ， 在 上仍然可能有零点.
11．方程 的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理分析判断即可.
【详解】令 ， 在 上连续，且单调递增，
对于A，因为 ， ，
所以 的零点不在 内，所以A错误，
对于B，因为 ， ，
所以 的零点不在 内，所以B错误，
试卷第10页，共63页对于C，因为 ， ，
所以 的零点在 内，所以方程 的解所在区间为 ，所以C正确，
对于D，因为 ， ，
所以 的零点不在 内，所以D错误，
故选：C
12．函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为函数 的定义域为 ，又 ，易知函数 在
上单调递增，
又 ，所以在 内存在一个零点 ，使 .
故选：C.
13．已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零点存在性定理结合单调性判断.
【详解】因为函数 在 单调递减，
函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，又 ， ，
所以函数 在 上存在唯一零点.
故选：D.
14．函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可.
【详解】由函数 可知 单调递增，
因为 ， ，
， ，
所以 零点所在区间是 ，
故选：B
15．若函数 在 上是单调函数，且满足对任意 ，都有 ，
则函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据 ，列出关于 的方程，进而求得
的值，得到 的解析式，再用零点存在定理判断即可.
【详解】因为函数 在 上是单调函数， ，
试卷第12页，共63页设 ，所以 ，
所以 ，
因为 与 在 上单调递增，所以 有唯一解，解得 ，
所以 ，
又 ， ，
故 的零点所在的区间为 .
故选：B.
16．函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断 的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，
所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .
故选：B.
17．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先判断函数 的单调性，结合函数零点存在性定理可得到答案.
【详解】因为 和 均是R上的增函数，所以函数 是R上的增
函数，
又 ， ， ，
所以函数 的零点所在区间为 .
故选：C.
18．设函数 ， ， 在 上的零点分别
为 ，则 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数结合零点存在性定理得出 ， ， ，再根据
， 可得 ，即可得出答案.
【详解】因为 ， ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以存在 使得 ，
所以 ，
因为 ， ，令 ，解得 ，
试卷第14页，共63页当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又因为 ，
又 ， ，所以 ，所以 在 上单
调递增，
又 ， ，所以存在 使得 ，所以 最大，
因为 ，所以 ，
， ，
又 ，
.
故选：B．
19．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先验证函数 的单调性，再代入 验证，由零点存在定理得到零点所
在区间.
【详解】当 时，设 ，
则 ，故 在 上是单调递增函数；
又 ， ，
由零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间为 .
故选：C.
20．设方程 的两根为 ， ，则（ ）
A． ， B．
C． D．
【答案】C
【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出 ，即可判断AD，计算出
，可判断BC.
【详解】由 可得 ，
在同一直角坐标系中同时画出函数 和 的图象，如图所示：
因为 ， ，
试卷第16页，共63页由图象可知， ，
所以 故A，D错误；
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，故B错误，C正确.
故选：C
03：求函数零点及零点个数考点
在小题中，研究函数零点个数，一般有两种方法.
方法1：令 ，解方程，得出零点个数.
方法2：通过变形转化为求两函数图象的交点个数.
例如，设 ，求 的零点个数，可将 等价变形成
，进而转化成研究函数 与 图象的交点个数.
提醒：将 拆分成两个函数时，原则是这两个函数的图象容易画出，不然就没法通过图
象交点去研究零点个数了.
21．函数 的零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】令 ，求解方程即得.
【详解】由 ，设 ，则得 ，
解得 ，从而 ，所以 .故选：C.
22．已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分类求出函数零点即可.
【详解】当 时，由 ，得 或0（舍去）；
当 时，由 解得 或 .
故共有3个零点.
故选：C.
23．已知符号函数 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
先分段写出 的解析式，然后分类求方程 的根即可.
【详解】令 ，则
，
当 时，若 ，得 ，符合；
当 时，若 ，得 ，符合；
当 时，若 ，得 ，符合；
试卷第18页，共63页故函数 的零点个数为 .
故选：C.
24．函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的性质求解即可.
【详解】令 ，得 ，则 ；
故 ， ，
所以 在 共有4个零点，
故选： C.
25．已知 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零
点，则 的值为（ ）．
A．1 B．2018 C． D．4036
【答案】B
【分析】变形得到 ， ，同一坐标系内画出 ， ，
的图象，根据 和 的图象关于 对称， 也关于 对
称，得到 两点关于 对称，从而得到 ，化简得到答案.
【详解】由题意知 是 的一个根， 是 的一个根，
即 ， ，同一坐标系内画出 ， ， 的图象，
根据反函数性质可得 和 的图象关于 对称， 也关于 对称，
其中 ，
故 两点关于 对称，故 的中点在 上，
即 ，故 ，即 ，
故 ，
故选：B
26．若 是函数 的一个极值点， 是函数 的一个零点，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据极值点以及零点的含义可得 ，即可发现 和 都是函数
的零点，利用函数单调性即可求解.
【详解】 ，
试卷第20页，共63页由 得
可知 和 都是函数 的零点，
因为函数 是单调递增函数，所以 ， ．
故选：C．
27．若函数 的导数 ， 的最小值为 ，则函数 的
零点为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，确定 ，由 的最小值为 ，可求出
，即可得出 的解析式，进一步求出函数的零点.
【详解】因为函数 的导数 ，所以 ， 为常数，
设 ，则 恒成立， 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，又 ，
故当 时， ，即 单调递减，
时， ，即 单调递增，
所以 在 处取得最小值，即 ，所以 ，
所以 ，由 ，
令 ，解得 ，所以 的零点为 .
故选：C.28．函数 的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【答案】A
【分析】由题意令 可得关于 的方程，进而求解.
【详解】由题意令 ，因为 ，所以 ，即 .
故选：A.
29．已知函数 （ ）的零点为 ，函数 （
）的零点为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式易得 ，从而得到 即 ，逐一判断选项
即可.
【详解】因为 在 单调递增，
所以 ，
所以函数 在 单调递增，且 ，
所以函数 在 上只有一个零点 ；
而函数 ，
且函数 的零点为 ，
所以 ，所以 ，故B错误；
试卷第22页，共63页对于A，因为函数 的零点为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故A正确;
对于 ，故C正确；
对于 ，故D正确.
故选：B.
30．. 已知函数 的零点分别为 ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将函数的零点转化为两个图象的交点的横坐标，结合函数的图象，即可求解.
【详解】因为函数 的零点分别为 ，
可转化为 与三个函数 的交点的横坐标为 ，
在同一坐标系下，画出函数 与函数 的图象，
如图所示，
结合图象可得： .
故选：B.04：二分法考点
1、二分法的定义
对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数
f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，
即f(x)＝0的近似解的方法叫作二分法．
2、运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右两侧函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变
号零点不适用.
3、用二分法求函数零点
1、给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的步骤
（1）确定零点 的初始区间 ，验证 ；
（2）求区间 的中点 ；
（3）计算 ，进一步确定零点所在的区间：
①若 （此时 ），则 就是函数的零点；
②若 （此时 ），则令 ；
③若 （此时 ），则令 .
（4）判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点近似值 （或 ）；
否则重复（2）~（4）
注：（1）初始区间的确定要包含函数的变号零点；
(2)用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如
求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的
问题．
4、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值 ，即 ；
“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，
试卷第24页，共63页如计算 ，精确到0.01，即0.33
（2）精确度 表示当区间的长度小于 时停止二分；
此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似
值。
5、用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区
间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
6、用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，
又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间是否达到要求(达到给定
的精度)，以决定是停止计算还是继续计算.
31．用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ，
，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
根据函数零点的存在性定理可知零点 ，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为 ，
由零点存在性知：零点 ，
根据二分法，第二次应计算 ，即 .
故选：B.
32．已知增函数 的图象在 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为 ， ， ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二分法的过程得到 满足的方程组，由此求解出 的值，即可得出答案.
【详解】因为依次确定了零点所在区间为 ， ， ，
可得 ，即 ，解得 .
所以 .
故选：B.
33．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.
【详解】
不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A， 有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B， 有唯一零点 ，
试卷第26页，共63页但 恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C， 有两个不同零点 ，且在每个零点左右两侧函数值异号，
故可用二分法求零点；
对于D， 有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零
点.
故选：B.
34．设 ，用二分法求方程 在 上的近似解时，经过两次二分
法后，可确定近似解所在区间为（ ）
A． 或 都可以 B．
C． D．不能确定
【答案】B
【分析】借助二分法定义计算即可得.
【详解】 ， ，
第一次取 ，有 ，
故第二次取 ，有 ，
故此时可确定近似解所在区间为 .
故选：B.
35．已知函数 ，现用二分法求函数 在 内的零点的近似值，则使
用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据二分法的计算方法即可判断.
【详解】由二分法可知，第一次计算 ，又 ，
由零点存在性定理知零点在区间 上，所以第二次应该计算 ，
又 ，所以零点在区间 .
故选：B.
36．已知函数 在区间 内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，
至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.
【详解】由所给区间 的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经
过n次操作后，区间长度变为 ，
故需 ，解得 ，所以至少需要操作7次.
故选：C
37．用二分法求函数 的一个正零点的近似值（精确度为 时，依次计算
得到如下数据； ，关于下一步的
说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算
试卷第28页，共63页D．没有达到精确度的要求，应该接着计算
【答案】C
【分析】由二分法的定义直接求解即可.
【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，
时的区间长度为 ，
故没有达到精确的要求，应该接着计算 的值.
故选：C
38．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据
如下：
那么方程 的一个近似根 精确度为 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点存在性定理及二分法，结合表格计算即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，所以函数在 内有零点，因
为 ，所以不满足精确度为
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，所以不满足精确度为
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，所以不满足精确度为
因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因为
，所以不满足精确度为因为 ，所以 ，所以函数在 内有零点，因
为 ，满足精确度为 ，
所以方程 的一个近似根 精确度为 可以是区间 内任
意一个值 包括端点值 .
故选：C.
39．用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算发现 ，
，可得其中一个零点 ，则第二次还需计算函数值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二分法，可得答案.
【详解】由题意，第一次经过计算发现 ， ，可得其中一个零点
，
由于 ，则第二次需计算 ，
故选：C．
40．若函数 的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：
， ， ， ， ，
，那么方程 的一个近似根（精确度 ）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
试卷第30页，共63页【分析】由参考数据可得 ，区间 满足题干要求精确到 ，
结合选项可得答案.
【详解】因为 ，所以不必考虑端点 ；
因为 ，所以不必考虑端点 和 ；
因为 ， ，所以 ，所以函数 在
内有零点，
因为 ，所以满足精确度0.1；
所以方程 的一个近似根（精确度0.1）是区间 内的任意一个值（包括端
点值），
根据四个选项可知： .
故选：C.
05：根据函数零点所在区间求参数的取值范围
已知函数零点所在区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
② 利用 零点存在性定理 ，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
41．已知函数 ，则使 有零点的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判断 ，此时可得 的单调性，依题意可得 ，令
，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在 使得 ，
从而得到 有零点的充要条件为 ，即可判断.【详解】因为 ，
当 时 ， ，所以 ， 没有零点，故A错误；
当 时 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
，要使 有零点，则需 ，
即 ，令 ，则 在 上单调递减，
且 ， ， ，
所以存在 使得 ，
所以 有零点的充要条件为 ，
所以使 有零点的一个充分条件是 .
故选：D
42．若函数 的最小正周期为 ，在区间 上
单调递减，且在区间 上存在零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定周期求得 ，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间
列出不等式组，然后结合已知求出范围.
【详解】由函数 的最小正周期为 ，得 ，而 ，解得 ，
试卷第32页，共63页则 ，由 ，
得 ，又 在 上单调递减，
因此 ，且 ，解得 ①，
由余弦函数的零点，得 ，即 ，
而 在 上存在零点，则 ，
于是 ②，又 ，联立①②解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
43．已知函数 ，若 有且只有一个零点 ，且 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数 的导数，按 分类，结合函数单调性、极值讨论函数
的零点是否符合题设要求即可得解.
【详解】显然 ，否则函数 有 两个零点，不符合题意，
函数 ，求导得 ，
当 时，由 ，得 或 ，函数 在 上单调递增，
，则函数 在 上有一个零点，不符合题意；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取得极小值 ，当 时， 取得极大值 ，
而 ，则 在 上有唯一零点，
因为 有且只有一个零点 ，且 ，则当且仅当 ，于是 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
44．若函数 在区间 上有极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，然后根据导函数为单调函数，利用零点存在定理列式计算.
【详解】由已知得 ，明显 为单调递增函数，
若函数 在 上有极值点，
则 且 ，解得 .即 .
故选：C.
45．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
．若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设条件画出函数 的简图，由图象分析得出 的取值范围.
试卷第34页，共63页【详解】当 时， ，则
，
即当 时， ，
同理当 时， ；
当 时， .
以此类推，当 时，都有 .
函数 和函数 在 上的图象如下图所示：
由图可知， ，解得 ，
即对任意 ，都有 ，即 的取值范围是 .
故选：D
46．已知函数 在 内有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.【详解】 是增函数， 也是增函数，所以 是 上的增函数.
因为 在 内有零点，
所以 ，解得 .
故选：A
47．若椭圆 的离心率和双曲线 的离心率恰好是关于 的方程 的两个实
根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出 ， 的范围，利用离心率恰好是关于 的方程 的
两不等实根，即可得出实数 的取值范围.
【详解】由椭圆与双曲线的性质可知，椭圆的离心率 ，双曲线的离心率
，
关于 的方程 有两个不相等的实根 ， ，
令 ，则 解得： ．
故选：D．
48．关于x的方程 的唯一解在区间 内，则k的值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
试卷第36页，共63页【分析】由零点存在性定理结合函数单调性可判断得解.
【详解】由题意得，关于x的方程 的唯一解在区间 内可
转化为：
函数 的唯一零点在区间 内，
由 ，且 ，
由零点存在性定理可得 在 上有零点，
又因为函数 的唯一零点在区间 内，
所以 .
故选：A．
49．函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数 在区间 上存在零点，
由函数 在 的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足 ，
即 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
50．已知 ，若关于x的方程 在 上有解，则a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知可得 .当 时，设 ， ，根
据函数的单调性以及函数增长速度的快慢，结合函数图象，列出不等式，求解即可得出；
当 时，代入方程求解，即可判断；当 时，设 ，根据函数的单
调性，结合零点存在定理，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
当 时，设 ， ，
函数 在 上单调递减， 在 上单调递减.
但是函数 的递减的速度要慢于函数 的递减速度，
试卷第38页，共63页且 .
作出函数 以及 的图象
如图，要使 与 在 上有交点，
应满足 ，即 .
又 ，所以 ；
当 时，由已知可得 ，
整理可得 ，解得， 或 （舍去），
此时方程有解 ，满足；
当 时，设 ，
函数 以及 均为 上的增函数，
所以， 在 上单调递增.
要使 在 上有解，根据零点存在定理可知，应有 ，即 ，解得 .
综上所述， .故选：B.
考点06：根据函数零点个数求参数的取值范围
已知方程有根求参数的取值范围常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，把方程解的问题转化为函数图象交点问题，利用数形结合的方法求解.
51．若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对 进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解.
【详解】若 时， ，则 ，满足题意，
若 ，当 ，解得 且 ，此时满足题意，
若 时， ，此时 ，
此时方程在 只有一根 ，满足题意，
试卷第40页，共63页若 时， ，此时 ，
此时方程在 只有一根 ，满足题意，
当 ，得 时，此时 ，
此时方差的根为 ，满足题意，
综上可得 或
故选：C
52．已知函数 ， ，若函数
有8个零点，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，得到 或 ，当 ， ，利用导数与函数
单调性间的关系，得到 的单调区间，数形结合，得到当 时， 有四个
根，从而有当 ， 有四个零点，由 和 ，
直接求出零点，即可求出结果.
【详解】令 ，得到 ，解得 或 ，
又 时， ， ，由 得到 ，由 ，得到 ，
即当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，又 ， ， 时， ，其图象如图，
所以，当 时， 或 均有2个根，
有四个根，即 时， 有四个零点，
又函数 有8个零点，所以，当 ， 有四个零点，
由 ，得到 或 ，
即 或 ，
由 ，得到 或 ，
即 或 ，
又 ， ，所以从右向左的 个零点为 ， ，
， ，
所以 ，得到 ，
试卷第42页，共63页故选：D.
53．已知函数 在 上有且仅有两个零点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于 的不等式，即可求得
实数 得取值范围.
【详解】函数 ，
由 ，得 ，
要使函数 在 上有且仅有两个零点，
则 ，得 ，
即 的取值范围是 .
故选： .
54．已知函数 ，若函数 在 有6个不
同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】令 ，得 或 ，作出函数 的图象，
结合函数图象，分 ， 和 三种情况讨论即可得解.
【详解】令 ，即 ，
解得 或 ，
如图，作出函数 的图象，
当 时， 有无数个解；
当 时，则方程 无解，
因为函数 在 有6个不同零点，
所以方程 在 有6个不同的实根，
即函数 的图象在 有6个不同的交点，
试卷第44页，共63页由图可知， ，所以 ，
当 时，则方程 无解，
则方程 在 有6个不同的实根，
即函数 的图象在 有6个不同的交点，
由图可知， ，所以 ，
综上所述，实数a的取值范围是 .
故选：C.
55．已知函数 在区间 内没有零点，则 周期
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合
已知条件，求出 的最大值，从而可求周期的最小值．
【详解】 ，
令 得 ，所以 ， ，
因为 在区间 内没有零点，
所以，只需 且 ，解得 ，
令 得 ， 得 ，因为 ，所以 的取值范围 ，
所以 周期的最小值是 ，
故选： ．
56．若函数 在 上有两个不同的零点，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布，即可列出不等式，结合选项即可求解.
【详解】 在 上有两个不同的零点,则 ，
故 ，故B正确，ACD错误，
故选：B
57．已知关于x的方程 在 上有两个不同的实数解，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则可得 有两个根 ，进而利用二次
试卷第46页，共63页函数的性质可得 时可满足条件.
【详解】 在 上有两个零点，
设 ，则 有两个根 ．
因为 ，且 是开口向上，对称轴为 的二次函数，
因为 ， ，则存在 ，使得 ，
若方程 在 上有两个根，则 ，解得 ，
所以非零实数a的取值范围为 ．
故选：B.
58．已知函数 ，有且只有一个负整数 ，使 成立，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，将问题转化为 有且只有一个负整数解，分别构造
与 ，做出函数图象，结合图象可得 ，即可求解.
【详解】已知函数 ，
则 有且只有一个负整数解，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得最小值为 ，
且 时， ， 时， ，
设 ，则 恒过点 ，
在同一坐标系中分别做出 与 图象，如图所示，
显然 ，由题意可得 ，解得 ，
试卷第48页，共63页所以 ，即 的取值范围是 .
故选：A
59．设函数 ， ，当 时，曲线 与
恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有
一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；
解法二：令 ，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
60．已知函数 ，若函数 有6个不同
的零点，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】画出函数图象，再根据函数零点个数以及二次函数根的分布情况，可求得 .
试卷第50页，共63页【详解】作出函数 的图象如下图所示：
结合图象可知，令 ，令 ，
则可得方程 有两个不相等的实数根 ，不妨设 ；
所以 ，解得 或 ；
若函数 有6个不同的零点，
根据图象可知当 时符合题意，此时 无解；
当 时，满足函数有6个不同的零点，
根据二次函数根的分布可知此时需满足 ，
解得 ，因此实数a的取值可以是 .
故选：C
考点07：分段函数与零点问题
形如1：已知定义域为 的函数 ，若 是三个互不相同
的正数，且 ，则 的范围是？
破解：作出函数 的图象，不妨设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ .
形如2：已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ，
， ，且 ，则 的取值范围是？
破解：由题意作函数 与 的图象如下，
结合图象可知， ， ，故 ， ，
故 ，
试卷第52页，共63页61．已知函数 ， ，若 存在3个零点，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将函数零点问题转化为函数图象交点问题，然后结合函数图象，代入
计算，即可求解.
【详解】
令 ，即 ，
则函数 的零点个数即为函数 与函数 交点的个数，
做出函数 与函数 的图象，如图所示，
当直线 与曲线 相切时，
又当 时， ，则 ，则 ，则 ，即且点为 ，此时 ，
因为 存在3个零点，即函数 与函数 的图象有3个交点，
所以 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
故选：D62．已知函数 若 有4个零点，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先讨论 是否为函数零点，然后 ，两边同时除以 ，分离参数，
最终转化为 与 交点问题，求导，研究单调性画出 图象，即可得到答案.
【详解】当 时， ，对于任意 恒成立，所以 是其中的一个零点.
当 时， 有三个（除 之外）的零点，即 ，
所以 有三个交点.
令 ，
当 ， ， ,
当 ， 单调递增. 当 ， 单调递减，
所以 .
当 ， 为二次函数，易知单调性，
在 单调递减，在 单调递增. .
图象如下：
试卷第54页，共63页与 有三个交点， 的取值范围为 或
者 .
故选：B
63．已知函数 ，函数 与函数 的图象
有5个不同的交点，则正实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数 的图象，数形结合求得参数 的范围.
【详解】作出 的图象如图所示，
函数 与函数 的图象有5个不同的交点，即 有5个不同零点，
令 ，则 ，又 ，
当 时， 有唯一的 ，即 仅有一个零点，不合题意；当 时， 有三个零点 ， ， ，相应的 只有3个零
点，不合题意；
当 时， 有三个零点 ， ， ，
所以 有1个零点， 有1个零点，则 有3个零点，
又 ， ，则 ，解得 ，
又 ， .
综上，正实数 的取值范围是 .
故选：A.
64．设 ，函数 ，若函数 恰有5个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，可确定当 时，函数的零点个数，继而作出 的大致图象，
考虑 时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，
即可解决.
【详解】设 ，当 时， ，此时 ，
由 得 ，即 ，解得 或 ，
所以 在 上有2个零点；
时，若 ，对称轴为 ，函数 的大致图象如图：
试卷第56页，共63页此时 ，即 ，则 ，
所以 无解，则 无零点， 无零点，
综上，此时 只有两个零点，不符合题意，
若 ，此时 的大致图象如下：
令 ，解得 （ 舍去），
显然 在 上存在唯一负解，
所以要使 恰有5个零点，
需 ，即 ，解得 ，
所以 ．
故选：D
65．定义在 上的 满足对 ，关于 的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意，对 化简得 ，即
，画出 图象，结合图象即可得到答案.
【详解】关于 的方程 可化简为 ，
即 有7个不同的根，画出 的图象，
观察可以看出当 有4个不同的根，
故只需 有3个不同的根即可，所以 .
故选：A.
66．已知函数 ，若曲线 与直线 恰有2个公共点，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
试卷第58页，共63页【分析】由导函数等求出函数单调性和切线方程，画出 的图象，数形结合即可得解.
【详解】当 时， ，其在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，则 ；
当 时， ， ，
其在 上单调递减，且 .
作出 的图象，如图，易知 的取值范围是 .
故选：C.
67．已知函数 若关于 的方程 有5个不同的实数根，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线 与函数 的图象有5个交点，可得
是奇函数，可得只需直线 与曲线 有2个交点即可，即方程
有2个实数根，利用导数即可求解.【详解】由题意得 ，则直线 与函数 的
图象有5个交点.
显然，直线 与 的图象交于点 .
又当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，所以 是奇函数，
则必须且只需直线 与曲线 有2个交点即可，
所以方程 有2个实数根.令 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以 .
又当 趋近于0时， ,所以 ；
当 趋近于 时， ，
所以必须且只需 .
68．已知函数 ，函数 有四个不同的零点，从小到大依次
为 ，则 的取值范围为（ ）
试卷第60页，共63页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用求导研究分段函数单调性，再作出分段函数图象，确定参数取值范围
，再利用韦达定理分别得到根与系数的关系，再构造新的函数，即可求出值域.
【详解】∵ 时， ，∴ ，
则当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，在 上单调递增，且 ， ，
又 时， ， ，
则当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ，
根据分段函数定义域，画出函数图象，
现将 有四个零点转化为 的图象与 有四个不同交点，
由图分析可知： ，
由图可知： 是方程 的两根，而 ，
可知： ，
是方程 的两根，而 ，可知：
，所以可得： ，
设 ， ，则 ，故 在 上单调递增，
当 时， ，即 .
故选：D.
69．函数 ，若方程 恰有三个不相等的实数根，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程 恰有三个不相等的实数根可转化为 与
的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.
【详解】作出 与 的图象，
的图象为恒过定点 的直线，如图：
当 时，设 与 相切于点 ，
试卷第62页，共63页则 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
由图象可知，此时 的图象与 的图象有两个公共点，
当 时， 的图象与 的图象有一个公共点，
当 时， 的图象与 的图象有三个公共点，
当 时， 的图象与 的图象有两个公共点，
综上， ， 的图象与 的图象有三个公共点，
即方程 恰有三个不相等的实数根，故实数 的取值范围是 .
故选：A
70．已知函数 ，若关于x的方程 的不同实数根
的个数为6，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程 因式分解得 ，所以
或 ，根据函数 的草图，判断 的解的个数，从而确定解的个数，可得 的取值范围.
【详解】当 时， ，由此可知 在 单调递减，
且当 时， ，在 上单调递增， ；
当 时， 在 单调递增，在 上单调递减，
，如图所示．
得 ，即
或 ，
由 与 有两个交点，则 必有四个零点，
即 ，得 .
故选：C
考点08：嵌套函数与零点问题
定义：①函数里调用另一个函数⇒f [g(x)] ⇒简称函数嵌套.
⇒f [f (x)]
⇒
②函数里调用函数本身 简称递归嵌套.
函数嵌套原理求函数解析式步骤如下：
f [f (x)+A]=B
形如：
f (x)+A=m⇒f (x)=m−A
第一步：令
试卷第64页，共63页x=m f (m)=m−A m=?
第二步：令 ， ,解出
f (x)
第三步：求出 的解析式.
71．已知函数 若函数 有5个不同的零点，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得 ，得到函数 的单调性和极值，作出函数 的图象，
根据题意，转化为 和 共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解.
【详解】当 时， ，此时 ，
则 时， 单调递减； 时， 单调递增，
所以，当 是 的极小值点，作出如图所示的函数 的图象，
函数 有5个不同的零点，则方程 ，
即 有5个不相等实数根，
也即是 和 共有5个不相等实数根，
其中 有唯一实数根 ，
只需 有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：C.72．已知函数 ， ，若关于 的方程
有两个不等实根 ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用导函数得出函数 在 上单调递增，将关于 的方程 有
两个不等实根转化为关于 的方程 有两个不等实根；再数形结合得出 ，
；最后构造函数 ，并利用导数求
出该函数的最大值即可.
【详解】由 可得：
函数 的定义域为 ， ，
所以函数 在 上单调递增.
令 .
因为关于 的方程 有两个不等实根 ， ，
试卷第66页，共63页则关于 的方程 有两个不等实根 ， .
作出函数 的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知 .
由 可得： ， ，
解得： ，即有 .
设 ，
则 .
令 ，得： ；令 ，得： ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 .
故选：B.
73． 满足 ，且当 时， ，则方程
的所有根之和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D【分析】画出函数图象，求出 的解对照图象求得根之和.
【详解】由题意得，则 关于 对称，其图象如下
令 ，则关于 的方程 由4个解 ，其中
，
关于 的方程 有四个解，由对称性可知，其和为4，
同理：
关于 的方程 有两个解，由对称性可知，其和为2，
关于 的方程 有两个解，由对称性可知，其和为2，
关于 的方程 有两个解，由对称性可知，其和为2，
所以方程 的所有根之和为10.
故选:D
74．已知函数 ，若关于 的方程 有8个不相
等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
试卷第68页，共63页【分析】利用导数研究函数 的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数
的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于 的不等式组，
解不等式组即可得到实数 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，令 ，解得 ，
故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，
结合绝对值函数的图象可画出函数 的大致图象，如图所示：
令 ，则方程 ，
即方程 ， ，
①当 时， 式无实数根，直线 和 的图象无交点，原方程无实数根；
②当 时， 式有两个相等的实数根，直线 和 的图象最多有4个交点，
因此要使 有8个不相等的实数根，
则 式有两个不相等的实数根，不妨设为 ，且 ，则 .
则 ，解得 .故选：C.
75．设定义在 的单调函数 ，对任意的 都有 ，若
方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对任意的 ，都有 ，又 是定义在 上的单调
函数，则 为定值，求出其值后得 ，进而求得 由方程
有两个不同的实数根，转化为 有两个不同的实数根，
令 对其求导求得 的最小值，从而求得实数 的取值范围.
【详解】依题意，对任意的 ，都有 ，
又 是定义在 上的单调函数，则 为定值，
设 ，则 ，
所以 ，由已知 有两个不同的实数根，
令 则 ，所以 在 上单调递减，在 上单
调递增，
所以 时， 取得最小值 ，所以符合条件的 的范围是 .
试卷第70页，共63页故选：B.
76．已知函数 ，若方程 的实根个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象，数形结合可得
与 有 个交点，不妨设为 且 ，则
，再分别判断 的根的个数，即
可得解.
【详解】因为 ，则 ， ， ， ，
令 ，解得 或 ，
又在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象，
由图象观察可知 与 有 个交点，不妨设为 且 ，
则 ，
当 时，由 ， ，则存在 个不同实根，
由 ， ，则存在 个不同实根，由 ， ，则存在 个不同实根，
由 ， ，则存在 个不同实根，
综上 的实根个数为 ．
故选：C
77．已知定义在区间 上的函数 ，若存在 时，
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 的单调性及 ，得到 在区间 有解，分离出参数
即可求解.
【详解】由题意知 ．设 ．则
．因为 在 上单调递增，故 在 上单调递增．
设 ．
若 ，则可得 在区间 有解．
在区间 上有解，且 在区间
上有解，
且 在区间 恒成立．
试卷第72页，共63页．
故选：D.
78．已知函数 ，若方程 有三个不同的实数解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得 ，得到函数 的单调性和最值，把方程有三个不同的实数解，
转化为方程 有两个不同的实数根 和 ，且 或
，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 ，
当 时， ，且 ，
画出函数 的图象，如图所示，
令 ，要使得 有三个不同的实数解，
则 有两个不同的实数根 和 ，
且 或 ，若 且 时，此时无解；
若 且 时，令 ，
只需要 ，解得 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用
方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
79．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
试卷第74页，共63页【答案】B
【分析】令 ，求出方程 的根，再结合图象求出 的解的个数即
可.
【详解】依题意，函数 零点的个数，即为方程 解的个数，
令 ，则 ，当 时， ，令 ， ，
函数 在 上单调递增，于是函数 在 上单调递增，
又 ， ，则存在 ，使得 ；
当 时， ，解得 或 ，
作函数 的大致图象，如图：
又 ，则 ，
当 时， ，由 的图象知，方程 有两个解；
当 时， ，由 的图象知，方程 有两个解；
当 ， 时， ，由 的图象知，方程 有一个解，
综上所述，函数 的零点个数为5.
故选：B80．已知函数 ，设函数 ，则函数
有6个零点的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意通过数形结合在同一平面直接坐标系内画出直线 与函数 的图
象，研究方程 的根的分布情况，再接着结合关于 的一元二次方程
的根的个数分类讨论可得关于 的一元二次方程 的根的
个数只能为2，由此不妨设 或 ，根据二次函数的根的分布情况
列出不等式或方程组即可求解.
【详解】由题意先来研究方程 的根的分布情况，
我们将其转换为直线 与函数 的图象的交点分布情况即可，
在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如图所示，
所以当 时，方程有0个根；
当 时，方程有1个根；
当 时，方程有2个根；
当 或 时，方程有3个根；
试卷第76页，共63页当 时，方程有4个根；
而关于 的一元二次方程 的根的个数可能为0，1（两个相等的实数根），
2，
若关于 的一元二次方程 的根的个数为0，则函数
的零点个数为0，
若关于 的一元二次方程 的根的个数为1，则函数
的零点个数至多为4个，
所以关于 的一元二次方程 的根的个数只能为2，
若函数 有6个零点，
且注意到在0，1，2，3，4这些数中，两个数之和为6只有两种情况： 和 ，
即设方程 的两个根为 ，
不失一般性，不妨设 或 ，或 ，
当且仅当此时满足题意，
而若 ，且注意到二次函数 开口向上，
则当且仅当 ，解得 ；
若 ，且注意到二次函数 开口向上，
则当且仅当 ，此时 矛盾；若 ，则 ，此时无解，
综上所述，函数 有6个零点的充要条件是 .
故选：A.
试卷第78页，共63页
