文档内容
专题20.3 勾股定理（章节复习）
（知识荟萃+24个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）
【解析版】
知识荟萃
2
知识点梳理01:勾股定理..............................................................2
知识点梳理02:勾股定理的验证........................................................2
知识点梳理03:勾股定理的逆定理......................................................3
知识点梳理04:勾股数................................................................3
题型讲练...............................................................................4
题型1：用勾股定理解三角形..........................................................4
题型2：已知两点坐标求两点距离......................................................5
题型3：勾股树(数)问题..............................................................6
题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积............................................7
题型5：勾股定理与网格问题..........................................................8
题型6：勾股定理与折叠问题.........................................................10
题型7：利用勾股定理证明线段平方关系...............................................12
题型8：勾股定理的证明方法.........................................................14
题型9：以弦图为背景的计算题.......................................................16
题型10：用勾股定理构造图形解决问题................................................17
题型11：勾股定理与无理数..........................................................19
题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用)............................................20
题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用)................................................21
题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)............................................22
题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用)........................................24
题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)........................................25
题型17：解决航海问题(勾股定理的应用)..............................................26
题型18：求河宽(勾股定理的应用)....................................................28
题型19：判断是否受台风影响(勾股定理的应用)........................................30题型20：求最短路径(勾股定理的应用)................................................32
题型21：判断三边能否构成直角三角形................................................34
题型22：在网格中判断直角三角形....................................................35
题型23：利用勾股定理的逆定理求解..................................................37
题型24：勾股定理逆定理的实际应用..................................................40
中考真题..............................................................................42
分层训练..............................................................................47
基础夯实..........................................................................47
培优拔高..........................................................................51
知识点梳理01:勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直
角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有 a 2 + b 2 = c 2，这种关系我们称为勾股定理.
2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做
股，斜边c叫做弦.
知识点梳理02:勾股定理的验证
勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分
面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明
方法如下
（1）弦图证明
A D H G
B C E F
内弦图 外弦图∴ ∴
（2）“总统”法（半弦图）
C
c
D b
c
a
A b E a B
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ，∴
知识点梳理03:勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足 a 2 + b 2 = c 2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直
角.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：
（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；
（3）比较二者是否相等；
（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不
是直角三角形.
知识点梳理04:勾股数
1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.
3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.
4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等.
题型1：用勾股定理解三角形
【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）若△ABC中，∠C=90°，AB=17，BC=8，则
AC=（ ）A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．利用勾股定理直接计算AC的
长度．
【规范解答】解：∵∠C=90°，AB=17，BC=8，
∴AB2=AC2+BC2，
∴172=AC2+82，
∴AC=❑√225=15（负值已舍去）
故选：C．
【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）在△ABC中，若∠A=30°，AB=8，BC=5，
则△ABC的面积为 ．
【答案】
8❑√3+6或8❑√3−6
【思路点拨】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，过点B作AC边上的高构造直角三角形是解决本题
的关键．过点B作BD⊥AC，在Rt△BAD中先求出BD、AD，再在Rt△BCD中求出CD，最后求出
△BAC的面积．
【规范解答】解：①如图所示：
当∠B为钝角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D．
在Rt△BAD中，∵BA=8，∠A=30°，
∴BD=4，AD=4 ❑√3．
在Rt△BCD中，∵BC=5，BD=4，
∴CD =❑√BC2−BD2= 3．
1 1
∴ S = AC×BD = × (3+4 ❑√3 )×4=6+8 ❑√3．
△BAC 2 2
②如图所示：当∠C为钝角时，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．
在Rt△BAD中，∵BA=8，∠A=30°
∴BD=4，AD=4 ❑√3．
在Rt△BCD中，∵BC=5，BD=4，
∴CD =❑√BC2−BD2= 3．
1 1
∴ S = AC×BD = × (4 ❑√3− 3)×4=8 ❑√3− 6．
△BAC 2 2
故答案为：6+8 ❑√3或8 ❑√3− 6．
题型2：已知两点坐标求两点距离
【典例精讲】（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点P坐标为(−3,2)，以点O为圆心，以OP
的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（ ）
A．❑√5 B．❑√13 C．−❑√5 D．−❑√13
【答案】D
【思路点拨】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得
OP=❑√13，再根据点A所在的位置即可得．
【规范解答】解：∵点P坐标为(−3,2)，
∴OP=❑√22+32=❑√13，
∵以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，
∴OA=OP=❑√13，
又∵点A位于x轴的负半轴，
∴点A的横坐标为−❑√13，
故选：D．
【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，点P(−❑√6,2)到原点的距离是
．【答案】❑√10
【思路点拨】本题考查勾股定理．根据勾股定理求解即可．
【规范解答】解：∵点P(−❑√6,2)到x轴的距离为2，到y轴的距离为❑√6，
∴点P(−❑√6,2)到原点的距离是❑√(❑√6) 2+22=❑√10，
故答案为：❑√10．
题型3：勾股树(数)问题
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （ ）
A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D．1,❑√2,❑√3
【答案】D
【思路点拨】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满
足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得．
【规范解答】解：A、32+42=52，是勾股数，此选项不符合题意；
B、52+122=132，是勾股数，此选项不符合题意；
C、72+242=252，是勾股数，此选项符合题意；
D、1,❑√2,❑√3不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意．
故选：D．
【变式训练】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3，❑√6
【答案】C
【思路点拨】本题考查的是勾股数定义，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念
判断即可．
【规范解答】解：A、∵32+32≠52，∴3，3，5不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、∵72+242=252，∴7，24，25是勾股数，符合题意；
D、∵2，3，❑√6不全是正整数，∴2，3，❑√6不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
题型4：以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例精讲】（24-25八年级下·全国·月考）如图所示，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面
积分别是S ，S ，S .如果S =100，S =50，S =50，那么△ABC的形状是 三角形．
1 2 3 1 2 3【答案】等腰直角
【思路点拨】本题意在使抽象难懂的知识变得通俗易懂，通过审题把题目中的条件进行转化，是解题的关
键．
由已知得三个正方形的面积分别是三角形各边的平方，由已知得其符合勾股定理从而得到其是一个等腰直
角三角形．
【规范解答】解：∵S =100，S =50，S =50，
1 2 3
∴S =S +S 且S =BC2 ，S =AB2 ，S =AC2 ，
1 2 3 1 2 3
∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，
∴ΔABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【变式训练】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，正方
形A的面积为4，另两个正方形的边长不可能是（ ）
❑√6 ❑√10
A．1，3 B．1，❑√3 C．❑√1.5，❑√2.5 D． ，
2 2
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜
边长的平方．根据勾股定理得出正方形A的面积=两个小正方形的面积之和，则可得出答案．
【规范解答】解：根据题意知：正方形A的面积=两个小正方形的面积之和，
A、12+32=10≠4，则另两个正方形的边长不可能是1，3，故本选项符合题意；
B、12+（❑√3）2=4，则另两个正方形的边长可能是1，❑√3，故本选项不符合题意；
C、(❑√1.5) 2+(❑√2.5) 2=4，则另两个正方形的边长可能是❑√1.5，❑√2.5，故本选项不符合题意；(❑√6) 2 (❑√10) 2 ❑√6 ❑√10
D、 + =4，则另两个正方形的边长可能是 ， ，故本选项不符合题意；
2 2 2 2
故选：A．
题型5：勾股定理与网格问题
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在4×6的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的
顶点叫做格点，点A是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线
表示．）
(1)在图1中作出所有长为5的线段AB，且点B是格点；
(2)在图2中先作一条线段AC，使AC=❑√17，再作一条线段CD=3❑√2，且C、D为格点；
❑√13
(3)在图3中作一条线段AE，使AE= ．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【思路点拨】本题考查网格作图-应用与设计作图，涉及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答
本题的关键．
（1）由网格特点或勾股定理取格点B，即可得解；
（2）由网格特点和勾股定理，取格点C、D，可得到AC=❑√12+42=❑√17，CD=❑√32+32=3❑√2；
（3）由网格特点和勾股定理，取格点F，可得到AF=❑√22+32=❑√13，再取AF与格线的交点E，得到
❑√13
AE= ．
2
【规范解答】（1）解：如图1，格点B 和线段AB 或点B 和线段AB 即为所求作；
1 1 2 2
；（2）解：如图2，格点C和点D，线段AC和线段CD即为所求作；
；
（3）解：如图3，线段AE即为所求作．
【变式训练】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格
纸中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点．请在图1、图2中画出符合要求的图形．
(1)在图1中画一条线段AB，使AB=❑√26．（要求：线段的端点必须与方格纸中的格点重合）；
(2)在图2中，以AB为底边，画一个等腰三角形ABC，使S =4．
△ABC
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】本题主要考查勾股定理与网格问题，格点图中画等腰三角形；
（1）利用网格再结合勾股定理画图即可；
（2）结合等腰三角形的判定和性质画图即可．
【规范解答】（1）解：如图，线段AB即为所求，AB=❑√12+52=❑√26
；
（2）解：如图，等腰三角形ABC′和等腰三角形ABC′′均满足题意，
AB=❑√22+22=2❑√2
，
h=❑√22+22=2❑√2，
1
∴S = ×2❑√2×2❑√2=4．
△ABC 2
题型6：勾股定理与折叠问题
【典例精讲】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片ABC中，
∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的
长是 ．
13 1
【答案】 /2
6 6
【思路点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得AP=AB=2，∠B=∠APB，CE=PE，∠C=∠CPE，可得∠APE=90°，继而设
AE=x，则CE=PE=3−x，然后根据勾股定理即可求解．
【规范解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处，∴AP=AB=2，∠B=∠APB，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴CE=PE，∠C=∠CPE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∴∠APE=90°，
在Rt△APE中，AP2+PE2=AE2，
设AE=x，则CE=PE=3−x，
∴22+(3−x) 2=x2，
13
解得：x= ，
6
13
即AE= ，
6
13
故答案为： .
6
【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ADE沿DE翻折
与△BDE重合，若AC=6,BC=3．则CD的长为 ．
9
【答案】
4
【思路点拨】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．由折叠的性质得：BD=AD，然后在
Rt△BCD中，利用勾股定理解答即可．
【规范解答】解：∵将△ADE沿DE翻折与△BDE重合，
∴BD=AD，
∵AC=6,BC=3，
∴BD=AD=6−CD，
∵∠C=90°，
∴CD2+BC2=BD2，∴CD2+32=(6−CD) 2，
9
解得：CD= ，
4
9
故答案为： ．
4
题型7：利用勾股定理证明线段平方关系
【典例精讲】（24-25九年级下·江西·期末）设P为等腰直角△ABC斜边AB上或其延长线上一点，
S=AP2+BP2，那么（ ）
A．S<2CP2 B．S=2CP2 C．S>2CP2 D．不确定
【答案】B
【思路点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面．
此题分两种情况讨论：①当P在线段AB上，②当P在AB的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求
的点P．
【规范解答】
解：P为线段AB上时，
①当P为中点时，如图
则有AP=PB=PC，
∴S=AP2+BP2=CP2+CP2=2CP2
即S=2CP2；
②当点P不为中点时，如图
过点C作CD⊥AB的垂线，设AD=CD=BD=1，PD=x则CP2=PD2+12=x2+1=(BP−1) 2+1=2+BP2−2⋅BP
同理，CP2=x2+1=(1−AP) 2+1=2+AP2−2⋅AP
两式相加得
2CP2=4+AP2+BP2−2(AP+BP)=4+AP2+BP2−2×2=AP2+BP2
即S=2CP2；
点P在AB的延长线上时，如图，
过点P作PF垂直于AC的延长线于点F， 过点P作PE垂直于CB的延长线于点E，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴△AFP,△BEP为等腰直角三角形，
∴AF=PF,BE=PE
∴AP2=AF2+PF2=2PF2
BP2=BE2+PE2=2PE2
在Rt△PCF中，CP2=CF2+PF2
在Rt△PCE中，CP2=CE2+PE2
两式相加得
2CP2=CF2+PF2+PE2+CE2=2PF2+2PE2=AP2+BP2
即S=2CP2；
综上可知：S=2CP2．
故选：B．
【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形
拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形ABCD中AC⊥BD于点O，AB=6，BC=5，CD=2，请直接写出AD= ．
【答案】(1)见解析
(2)❑√15
【思路点拨】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）根据△ABO,△BCO,△CDO,△ADO均为直角三角形，根据勾股定理得出 AB2+CD2=AD2+BC2
即可求出AD的值.
【规范解答】（1）解：S =(b−a) 2=b2−2ab+a2，
小正方形
1
另一方面S =c2−4× ab=c2−2ab，
小正方形 2
即b²−2ab+a²=c²−2ab，
∴a²+b²=c²；
（2）解：由题意可得， △ABO,△BCO,△CDO,△ADO均为直角三角形，
由勾股定理可得， AO2+BO2=AB2①，CO2+DO2=CD2②，AO2+DO2=AD2③，BO2+CO2=BC2④
①+②可得AO2+BO2+CO2+DO2=AB2+CD2；
③+④可得AO2+DO2+BO2+CO2=AD2+BC2；
即：AB2+CD2=AD2+BC2，
∴62+22=AD2+52，
解得AD=❑√15（负值舍去），
故答案为：❑√15．
题型8：勾股定理的证明方法
【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了
“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（
）A． B．
C． D．
【答案】D
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为c，则大正方形面积等于c2，大正方形
1
面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则4× ab+(b−a) 2=c2 ，据此可判断A；小正
2
方形的边长为c，则小正方形的面积等于c2，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，
1 1
则(a+b) 2−4× ab=c2 ，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为 c2 ，中间等腰直角三角形的面积
2 2
a+b 1 1
又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则 (a+b)−2× ab= c2 ，据此可判断C；D选项中的图
2 2 2
形不能证明勾股定理．
【规范解答】解：A、大正方形的边长为c，则大正方形面积等于c2，大正方形面积等于四个直角三角形的
1
面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于4× ab+(b−a) 2 ，
2
1
∴4× ab+(b−a) 2=c2 ，
2
∴2ab+a2−2ab+b2=c2，
∴a2+b2=c2，故A能证明勾股定理，不符合题意；
B、小正方形的边长为c，则小正方形的面积等于c2，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形
1
的面积，则小正方形的面积等于(a+b) 2−4× ab，
21
∴(a+b) 2−4× ab=c2 ，
2
∴a2+2ab+b2−2ab=c2，
∴a2+b2=c2，故B能证明勾股定理，不符合题意；
1
C、中间等腰直角三角形的面积为
c2
，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面
2
a+b 1
积，则中间等腰直角三角形的面积为 (a+b)−2× ab，
2 2
a+b 1 1
∴ (a+b)−2× ab= c2 ，
2 2 2
∴a2+2ab+b2−2ab=c2，
∴a2+b2=c2，故C能证明勾股定理，不符合题意；
D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意；
故选：D．
【变式训练】（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的
两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【思路点拨】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关
键．根据图形列代数式即可得出结果．
1
【规范解答】解：甲出的结果为：(a+b) 2=a2+b2+4× ab=a2+b2+2ab，不符合题意；
2
1
乙得出的结果为：(a+b) 2−4× ab=c2 ，即a2+b2=c2，符合题意；
2
故答案为：乙．
题型9：以弦图为背景的计算题
【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，
可以验证的式子为（ ）A．a2−2ab+b2=(a−b) 2 B．a2+b2=c2
C．a2+2ab+b2=(a+b) 2 D．a2−b2=(a+b)(a−b)
【答案】B
【思路点拨】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4个三角形的
面积+1个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案．
【规范解答】解：由图可得：大正方形的面积=c2，
大正方形的面积=4个三角形的面积+1个小正方形的面积，
1
∴c2=4× ab+(b−a) 2 ，
2
∴a2+b2=c2，
故选：B．
【变式训练】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1
个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个
直角三角形的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．72
【答案】A
【思路点拨】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一
个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积
之间的关系是解题的关键．
【规范解答】解：4个直角三角形的面积和为81−9=72，
∴一个直角三角形的面积为72÷4=18．
故选：A．题型10：用勾股定理构造图形解决问题
【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度
DE=0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC=3m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的
绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【答案】5米
【思路点拨】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形BCEF是矩形，设AD=x，则AB=x，
AC=x−1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC2+CB2=AB2，代入计算即可求解．
【规范解答】解：由题意可知，AC⊥BC，CE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠BCE=∠CEF=∠BFE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=EF=1.5m，
∵DE=0.5m，
∴CD=CE−DE=1.5−0.5=1m，
设AD=x，则AB=x，AC=x−1，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC2+CB2=AB2，
∴(x−1) 2+32=x2，
解得x=5，
答：绳索AD的长度5米．
【变式训练】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点A处装一个由传感器控制
的灯，点A离地面4.5m，任何东西只要移至该灯5m及5m内范围，灯就自动发光．已知小军身高1.5m，若
他走到CD处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ）A．5m B．4m C．3m D．2m
【答案】B
【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计
算即可．
【规范解答】解：当人走到点C的位置，头顶D与点A距离是5m时，灯刚好自动发光，
作DE⊥AB于E，
则AE=4.5−1.5=3，
在Rt△ADE中，DE=❑√AD2−AE2=4(m)，
答：身高1.5m的学生要走到离墙4m的地方灯刚好发光．
故选：B．
题型11：勾股定理与无理数
【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点B表示的数是
5，CB⊥AB于点B，且BC=3，以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数
是（ ）
A．6.5 B．6 C．❑√34 D．5.8【答案】B
【思路点拨】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
根据勾股定理可以得到AC=❑√AB2+BC2=5，可以得到AD=AC=5，即可写出点D所表示的数．
【规范解答】解：由图可得，AB=5−1=4，
∵CB⊥AB，BC=3，
∴AC=❑√AB2+BC2=5，
∴AD=AC=5，
∴点D所表示的数为5+1=6，
故选：B．
【变式训练】（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为a，
点B表示的数为b，则b−a= ．
【答案】❑√3−❑√2/−❑√2+❑√3
【思路点拨】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算OE，OD，可得OA，OB，再
进一步求解即可．
【规范解答】解：如图，
∵OE=❑√12+12=❑√2，OD=❑√12+(❑√2) 2=❑√3，
∴OA=OE=❑√2，OB=OD=❑√3，
∵点A表示的数为a，点B表示的数为b，
∴AB=b−a=❑√3−❑√2，
故答案为：❑√3−❑√2．题型12：求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将2.6米长的梯子搭在自己家的房屋外面的
墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．1.5米 B．1.6米 C．2米 D．2.4米
【答案】D
【思路点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．
根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．
【规范解答】解：根据题意得顶端距离地面的高度=❑√2.62−12=2.4，
故选：D.
【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O
的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O
距离为3m，同时梯子顶端B下降至D，那么BD= m．
【答案】7−2❑√11
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形．
利用勾股定理先求出AB2，再求出OD，最后利用线段的和差进行求解即可．
【规范解答】解：根据题意得，OD=OB−BD=7−BD，
OC=OA+AC=2+1=3，
由勾股定理得，CD2=AB2=OB2+OA2=49+4=53，
OD=❑√CD2−OC2=❑√53−9=2❑√11，∴BD=OB−OD=7−2❑√11，
故答案为：7−2❑√11．
题型13：求旗杆高度(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗
杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）m．
A．12 B．13 C．17 D．18
【答案】D
【思路点拨】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
旗杆的长=BC+AB，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
【规范解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂
直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13(m)，
所以旗杆折断之前高度为BC+AB=13+5=18(m)．
故选：D．
【变式训练】（24-25八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根
系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出1m（如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面
（如图2）．现测得点C到旗杆AB的距离为5m，求旗杆的高度AB．【答案】旗轩的高度为12m
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，
两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．设旗杆AB的高度为xm，则AC长为(x+1)m，根据
勾股定理得出52+x2=(x+1) 2，然后解方程即可．
【规范解答】解：设旗杆AB的高度为xm，则AC长为(x+1)m，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5m，
∴52+x2=(x+1) 2，
解得x=12．
答：旗轩的高度为12m．
题型14：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高10m的树顶
飞到一棵高5m的树顶上，两棵树相距12m，则喜鹊至少要飞 m．
【答案】13
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解．
【规范解答】解：如图，根据题意得：AC=12m,BC=10−5=5m,∠ACB=90°，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√52+122=13m．
即喜鹊至少要飞13m．
故答案为：13.
【变式训练】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，
两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．17 B．15 C．10 D．8
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进
行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【规范解答】解：两棵树的高度差为10−2=8（米)，间距为15米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=❑√82+152=17（米)．
故选：A．
题型15：求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶
端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（ ）A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺
【答案】D
【思路点拨】本题可将竹子折断的部分与地面构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加
上未折断部分离地面的高度，从而得到竹子折断前的高度．本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，
熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）是解题的关键．
【规范解答】解：设竹子折断处离地面4尺的部分为直角边a=4，顶端落地点离竹子底端3尺为另一直角边
b=3，折断部分为斜边c．
根据勾股定理c=❑√42+32=❑√16+9=❑√25=5
则竹子折断之前的高度为5+4=9（尺）
故选：D．
【变式训练】（23-24八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆
AC，被大风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为5m的快车
道上？说明理由．
【答案】会，理由见解析
【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，解题的关键是正确求出AC 的长度．先根据
1
线段的和差求出BC 的长度，再由勾股定理求出AC 的长度，与5进行大小比较即可．
1 1
【规范解答】解：根据题意，AB=2m，AC=8m，
则BC=BC =AC−AB=8−2=6(m)，
1∴AC =❑√BC 2−AB2=❑√62−22=❑√32(m)，
1 1
又∵❑√32>❑√25=5，
∴倒下的电线杆顶部C 会落在与它的底部A距离5m的快车道上．
1
题型16：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）如图，将一根长为24cm的吸管置于底面直径为
5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤12
【答案】B
【思路点拨】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理．
根据图形分析出h最长、最短时的位置，分别求出h的长，从而可得出h的取值范围．
【规范解答】解：当吸管与圆柱母线平行时，h最长，
此时h=24−12=12(cm)；
当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，h最短，
∴(24−h) 2=52+122，解得：h=11或h=37（舍去），
∴h的取值范围是11≤h≤12，
故选：B．
【变式训练】（23-24八年级下·河北邯郸·月考）如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支
铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为6cm．若这支铅笔斜放入
圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．4.5cm B．5cm C．5.5cm D．6cm【答案】A
【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出AC=13cm，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度
在5cm∼6cm之间，即可得出结论．
【规范解答】解：根据题意可得图形：
AB=18−6=12(cm)，BC=5cm
，
在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=❑√122+52=13(cm)，
∴18−13=5(cm)，
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在5cm∼6cm之间，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
题型17：解决航海问题(勾股定理的应用)
【典例精讲】（2023·河北保定·二模）如图，一艘快艇从A地出发，向正北方向航行5海里后到达B地，
然后右转60°继续航行到达C地，若C地在A地北偏东30°方向上，则AC=（ ）
5❑√3 5
A．5海里 B． 海里 C．5❑√3海里 D． 海里
2 2
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形内角
和定理，过点B作BD⊥AB交AC于D，则∠ABD=90°，由题意得，∠DBC=30°，∠BAC=30°，
则可证明∠C=∠DBC=30°，进而得到DB=DC；再求出AD=2BD，进而得到AB=❑√3BD=5，据此
求出BD的长即可得到答案．
【规范解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AB交AC于D，则∠ABD=90°，
由题意得，∠DBC=90°−60°=30°，∠BAC=30°，∴∠C=180°−∠A−∠ABD−∠DBC=30°，
∴∠C=∠DBC，
∴DB=DC，
在Rt△ABD中，∠A=30°，∠ABD=90°，
∴AD=2BD，
∴AB=❑√AD2−BD2=❑√3BD=5，
5❑√3
∴BD= 海里，
3
∴AC=AD+CD=BD+2BD=5❑√3海里，
故选；C．
【变式训练】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然
后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为（ ）
A．50km B．40km C．30km D．10❑√7km
【答案】A
【思路点拨】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角
形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键．
【规范解答】解：如图，
由题意得：∠DAB=60° ， ∠EBC=30°，DA∥EB，
∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠ABC=180°−∠DAB−∠EBC=90°，
在Rt△ABC中，AB=30km，BC=40km，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√302+402=50km，
∴A，C两港之间的距离为50km．
故选：A．
题型18：求河宽(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际
上岸地点C偏离了想到达的点B 50米．他在水中游了130米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）
．
【答案】120米
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，利用勾股定理可以求出AB=120米．
【规范解答】解：∵游泳爱好者想横渡一条河，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=130米，BC=50米，
∴AB=❑√AC2−BC2=❑√1302−502=120米．
故答案为：120米．
【变式训练】（24-25八年级下·广西来宾·期末）（1）等边三角形的边长为2，求它的中线长，并求出
其面积；
（2）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的体育馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得
AC=20,∠A=45°,∠C=90°，如图所示，求A，B之间的距离．【答案】（1）中线AD=❑√3，S =❑√3；（2）AB=20❑√2．
△ABC
【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的实际应用，熟练掌握各知识
点并灵活运用是解题的关键．
1
（1）由等边三角形的性质得到BD= BC=1，AD⊥BC，再由勾股定理求解高，最后由三角形面积公
2
式即可求解；
（2）先证明△ABC为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解．
【规范解答】解：（1）如图，AD为等边△ABC的中线，AB=BC=AC=2，
∴BD=1，AD⊥BC，
∴由勾股定理得:AD=❑√AB2−BD2=❑√3，
1 1
∴S = BC·AD= ×2×❑√3=❑√3；
△ABC 2 2
（2）∵AC=20，∠A=45°，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴AC=BC=20，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=❑√AC2+BC2=❑√202+202=20❑√2．题型19：判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半
径为130km，即距离台风中心为130km的区域都会受到台风的影响．如图，线段BC是台风中心从C市移
动到B市的路线，A是大型农场，且AB⊥AC．若A，B之间相距150km，A，C之间相距200km．判断
农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
【答案】农场A会受到台风的影响，理由见解析
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面
积法求点到直线的距离是解题的关键．
先利用勾股定理求出BC的长度，再通过三角形面积公式求出A到BC的距离AD，最后比较AD与台风影
响半径130km的大小，判断农场A是否受影响．
【规范解答】解：农场A是否会受到台风的影响，理由如下：
过点A作AD⊥BC于D．
∵AB⊥AC AB=150km AC=200km
， ， ，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC=❑√AB2+AC2
=❑√1502+2002
=❑√22500+40000
=250km，
1 1
∵S = AB⋅AC= BC⋅AD，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×150×200= ×250×AD，
2 2
解得AD=120km，
∵120<130，∴农场A会受到台风的影响．
【变式训练】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南
方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离
AD=60km．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)4h
(2)游人在2.5小时内撤离才可脱离危险
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，
两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算即可；
（2）根据在30km范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=
路程÷速度计算，然后求出时间段即可．
【规范解答】（1）解：∵AB=100km，AD=60km，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
BD=❑√AB2−AD2=80(km)，
80÷20=4(h)，
则台风中心经过4h从B移动到D点；
（2）解：如图，
∵ 30km
距台风中心 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD−DE=80−30=50(km)，
50
∴游人在 =2.5(h)内撤离才可脱离危险．
20
题型20：求最短路径(勾股定理的应用)
【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高
为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外
壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
【答案】C
【思路点拨】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股
定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点A关于EQ的对称点C，过点C作CD⊥NQ的交NQ的延长线
于点D，连接BC交EQ于点F，根据两点之间线段最短，可知最短路径为BC，最后利用勾股定理解答即
可．
【规范解答】解：将圆柱侧面展开，作点A关于EQ的对称点C，过点C作CD⊥NQ交NQ的延长线于点
D，连接BC交EQ于点F，如图所示：
∴AF=CF AE=CE
， ，
∴蚂蚁吃到饭粒的路径为AE+BF=CF+BF=BC，此时路径最短，
∵透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm
的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，
1
∴ AE=CE=3cm，MN=EQ=CD= ×10=5cm，BN=3cm，QN=12cm，
2∴BQ=QN−BN=12−3=9cm，
∵∠D=90°，
∴ BC=❑√CD2+BD2=❑√52+122=13cm．
∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是13cm．
故选：C．
【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄石·月考）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，
在杯内壁离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A
处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）
【答案】16❑√2
【思路点拨】本题考查勾股定理、几何体的展开图，解题的关键是：该圆柱的侧面展开，作A关于EF的
对称点A′，可得A′B即为最短距离，在直角△A′DB中，A′D、BD和A′B的长度满足勾股定理，据此求
解．
【规范解答】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
1
则A′D= ×32=16cm，BD=14−3+5=16cm，
2
连接A′B，则A′B即为最短距离，
在直角△A′DB中， 由勾股定理得：
A′B=❑√162+162=16❑√2(cm)，
故答案为：16❑√2．题型21：判断三边能否构成直角三角形
【典例精讲】（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位：cm）的长度分别为1，2，3，4，
5，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5
【答案】C
【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．
先根据三角形不等式判断各组线段能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形.
【规范解答】解：A、∵1+2=3，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形．
B、∵2+3>4，2+4>3，3+4>2，∴能组成三角形，但∵22+32=4+9=13，42=16，13≠16，∴不是
直角三角形．
C、∵3+4>5，3+5>4，4+5>3，∴能组成三角形，且∵32+42=9+16=25，52=25，∴是直角三角形．
D、∵1+3=4<5，∴不能组成三角形．
故选：C．
【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为
1．
(1)在图1中分别画出长度为❑√17与❑√13的线段AB、CD，要求线段的端点在格点上．
(2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、❑√5、2❑√5的三角形，使它们的顶点都在格点上．
(3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)这个三角形是直角三角形
【思路点拨】（1）根据勾股定理可得长为4、宽为1的长方形的对角线长为❑√17，长为3、宽为2的长方
形的对角线长为❑√13，选择合适的矩形连接对角线即可；
（2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为❑√5，
长为4、宽为2的矩形的对角线长为2❑√5，依次连接对角线即可；
（3）观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可证这个三角形是直角三角形；
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键．【规范解答】（1）解：如图，连接长为4、宽为1的长方形的对角线为线段AB，长为3、宽为2的长方形
的对角线长为线段CD；
（2）如图，依次连接长为4、宽为3的矩形的对角线，长为2、宽为1的矩形的对角线长和长为4、宽为2
的矩形的对角线；
（3）∵(2❑√5) 2+(❑√5) 2=52，
∴这个三角形是直角三角形．
题型22：在网格中判断直角三角形
【典例精讲】（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成△ABC
中，A点坐标为(2,3)，B点坐为(−2,0)，C点坐标为(0,−1)．
(1)求AC的长；
(2)求证：AC⊥BC．【答案】(1)2❑√5
(2)见解析
【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用.
（1）根据平面直角坐标系和勾股定理，即可得解；
（2）首先根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，即可得证.
【规范解答】（1）根据勾股定理，得
AC=❑√22+42=2❑√5
（2）根据勾股定理得到，BC2=12＋22=5,AB2=32＋42=25，
AC2=22+42=20
∴BC2＋AC2=AB2
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴AC⊥BC.
【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用无刻度的直尺，分别按下列
要求作图．
(1)在图①中，画一格点E，使得∠ABE=45°；
(2)在图②中的CD上找一点H，使得∠BHD=45°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路点拨】（1）构造等腰直角三角形的底角解答即可；
（2）根据题意，得AB⊥CD，取格点F，连接BF交CD于点H，根据作图，得AB⊥AF,AB=AF，解
答即可．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂直的判定，
熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【规范解答】（1）解：构造等腰直角三角形的底角，如图所示，则∠ABE=45°，
则点E即为所求．
（2）解：根据题意，得AB⊥CD，
取格点F，连接BF交CD于点H，
根据作图，得AB⊥AF,AB=AF，
得到∠AFB=45°,AF∥CD，
故∠BHD=∠AFB=45°
故点H即为所求．
题型23：利用勾股定理的逆定理求解
【典例精讲】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，四边形ABCD中,
AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,∠B=90°．
(1)连接AC，求AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)5
(2)四边形ABCD的面积为36
【思路点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接AC，将四边形分割为两个直角三角形分别求解．
（1）在Rt△ABC中，用勾股定理求AC的长；
（2）利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边
形面积．
【规范解答】（1）解：∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴由勾股定理得AC2=AB2+BC2=42+32=25，
∴AC=5．
（2）解：∵AC=5，AD=12，CD=13，
∴AC2+AD2=52+122=169=CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠CAD=90°．
∴四边形ABCD的面积
1 1 1 1
= ×AB×BC+ ×AC×AD= ×4×3+ ×5×12=6+30=36．
2 2 2 2
答：四边形ABCD的面积为36．
【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·月考）2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年
11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每
天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是
A→B→D和A→C→D．已知AB=160m，AC=200m，点C在点B的正东方120m处，点D在点C的
正北方50m处．(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更
短．
【答案】(1)AB⊥BC，理由见详解
(2)小亮跑的路线更短
【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意，可得BC=120m，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出△ABC是直角三角形，即可求
解；
（2）在Rt△BCD中，由勾股定理求得BD的长度，求AB+BD和AC+CD的长度，比较即可求解．
【规范解答】（1）解：AB⊥BC，
理由：由题意可知AB=160m，AC=200m，点C在点B的正东方120m处，
即BC=120m，
∵AB2+BC2=1602+1202=2002=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．
（2）解：由题意知BC⊥CD，CD=50m，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=❑√BC2+CD2=❑√1202+502=130(m)，
∴AB+BD=160+130=290(m)，
而AC+CD=200+50=250(m)，
∵290>250，
∴AB+BD>AC+CD，
∴小亮跑的路线更短．
题型24：勾股定理逆定理的实际应用
【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，
现计划在空地上种植草皮，经测量，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．
(1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
(2)若从点B修一条小路到CD边，求小路的最短长度．【答案】(1)7200元
60
(2) m
13
【思路点拨】本题主要运用勾股定理及其逆定理求解，解决问题的关键在于熟练掌握勾股定理解直角三角
形，勾股定理的逆定理判定直角三角形．
（1）连接BD，在Rt△ABD中，根据勾股定理得到BD的长为5，根据勾股定理的逆定理得到△CBD为直
角三角形，∠DBC=90°，根据四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，即可求解；
1 1
（2）在Rt△DBC中，根据三角形面积的两种不同表示方法列出等式，即 BD⋅BC= CD⋅BE，进而
2 2
求出BE的长度．
【规范解答】（1）解：连接BD，在Rt△ABD中，
BD2=AD2+AB2=32+42=52
，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴△CBD是直角三角形，∠DBC=90°，
∴S =S +S
四边形ABCD △BAD △DBC
1 1
= DA⋅AB+ BD⋅BC
2 2
1 1
= ×4×3+ ×5×12
2 2
=36(m2)．
∴需花费36×200=7200（元）．
（2）解：如图，过点B作BE⊥DC，垂足为E，1 1
∴在Rt△DBC中， DB⋅BC= BE⋅DC，
2 2
1 1 5×12 60
即 ×5×12= ×BE×13，即BE= = m．
2 2 13 13
60
∴小路的最短长度为 m．
13
【变式训练】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实
践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地ABCD．如图，AB=20m，BC=25m，
CD=12m，AD=9m，∠D=90°，求该四边形土地ABCD的面积．
【答案】该四边形土地ABCD的面积为204m2
【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理．
根据勾股定理得到AC=15，进而可得△ABC是直角三角形，根据四边形ABCD的面积=△ACD的面积
+△ABC的面积计算即可．
【规范解答】解：连接AC，
∵∠D=90° AD=9m CD=12m
， ， ，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=❑√92+122=15，
∵AB=20m，BC=25m，152+202=252
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=△ACD的面积+△ABC的面积
1 1
= ⋅AD⋅CD+ ⋅AB⋅AC
2 2
1 1
= ×9×12+ ×15×20
2 2
=204
∴该四边形土地ABCD的面积为204m2．1．（2024·江西九江·中考真题）如图所示，已知
AB=CB=10,AE=CD,DE=8,∠B=60°,∠A=∠C=90°，那么五边形ABCDE的面积是（ ）
A．28❑√2 B．28❑√3 C．25❑√3 D．25❑√2
【答案】B
【思路点拨】连接BE,CE，延长BC,ED交于点G，延长BA,DE于点F，作BH⊥DE于点H，证明
△ABE≌△CBD，得到EB=BD,∠ABE=∠DBC，三线合一得到∠EBH=∠DBH，进而得到BH平分
∠ABC，证明△HBF≌△HBG，进而得到BF=BG，推出△BFG为等边三角形，利用分割法求出五边形
ABCDE的面积即可．
【规范解答】解：连接BE,CE，延长BC,ED交于点G，延长BA,DE于点F，作BH⊥DE于点H，
∵AB=CB,∠BAE=∠DCB=90°,AE=CD,
∴△ABE≌△CBD，
∴EB=BD,∠ABE=∠DBC，
∵BH⊥DE，
∴∠HBE=∠DBH，∠FHB=∠GHB=90°，
∴∠FBH=∠GBH，
∵BH=BH，
∴△HBF≌△HBG，
∴BF=BG，
∵AB=BC，∴AF=CG，
∵∠ABC=60°，
∴△BFG为等边三角形，
∴∠F=∠G=60°，BF=FG，
在Rt△EAF中，∠F=60°，
∴∠AEF=30°，
∴EF=2AF,AE=❑√3AF，
同理：DG=2CG,CD=❑√3CG，
设AF=CG=x，则：EF=DG=2x,AE=CD=❑√3x，
∴BF=AB+AF=10+x，FG=EF+DE+DG=8+4x，
∴10+x=8+4x，
2
∴x= ，
3
2 2 2 32
∴AF=CG= ,AE=CD= ❑√3,FG=BF=10+ = ，
3 3 3 3
在Rt△BHF中，∠F=60°，
∴∠FBH=30°，
1 16 16❑√3
∴FH= BF= ,BH=❑√3FH= ，
2 3 3
∴五边形ABCDE的面积=S −S −S
△BFG △AEF △CDG
1 32 16❑√3 1 2 2❑√3 1 2 2❑√3
= × × − × × − × ×
2 3 3 2 3 3 2 3 3
=28❑√3；
故选：B．
2．（2024·湖北荆州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，已知AB=13，BC=12，CD=4，AD=3，
∠D=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．16❑√5 B．36 C．72 D．32❑√5
【答案】B
【思路点拨】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出AC的长，再利用逆定理求出∠ACB=90°，即可通过面积公式求解．
【规范解答】解：∵∠D=90°，CD=4，AD=3，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√32+42=5，
∵AB=13，BC=12，
∴AB2=169，BC2=144，AC2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1 1 1
∴S =S +S = AD×CD+ AC×BC= ×3×4+ ×12×5=6+30=36，
四边形ABCD △ACD △ABC 2 2 2 2
故选：B．
3．（2024·四川南充·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，∠BCD=120°，
AC平分∠BCD，BC=2，则BD的长为 ．
【答案】❑√7
【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．先证明△BAC是等边
三角形，在Rt△ACD中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得AD=❑√3，再在Rt△ABD中利用勾股定
理求解即可．
【规范解答】解：∵∠BCD=120°，AC平分∠BCD，
1
∴∠BCA=∠DCA= ∠BCD=60°，
2
∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA=60°，
∴△BAC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，
在Rt△ACD中，∠DCA=60°，AC=2，
∴∠CAD=30°，1
∴CD= AC=1，AD=❑√22−12=❑√3，
2
在Rt△ABD中，BD=❑√AB2+AD2=❑√22+(❑√3) 2=❑√7，
故答案为：❑√7．
4．（2024·广东揭阳·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交
BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AC=3❑√2，BC=9，则
DF等于 ．
9
【答案】
4
【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、勾股定理．
根据垂直平分线性质，得到∠CGF=90°，再根据三角形的内角和定理，得出∠CFG=45°，再根据角之
间数量关系，得出∠CFG=∠C，再根据等角对等边，得出CG=FG，再根据垂直平分线的性质，得出
1 3❑√2 3❑√2
CG=AG= AC= ，进而得出FG=CG= ，再根据勾股定理，得出CF=3，设DF=x，则
2 2 2
BD=6−x，再根据垂直平分线的性质，得出AD=6−x，再根据三角形的内角和定理，得出
∠AFC=90°，再根据勾股定理，列方程求解即可得到答案．
【规范解答】解：∵FG是AC的垂直平分线，
∴FG⊥AC，
∴∠CGF=90°，
∴∠CFG=180°−∠C−∠CGF=180°−45°−90°=45°，
∴∠CFG=∠C，
∴CG=FG，
又∵FG是AC的垂直平分线，AC=3❑√2，
1 3❑√2
∴CG=AG= AC= ，
2 2
3❑√2
∴FG=CG= ，
2在Rt△CFG中，
CF=❑√FG2+CG2=❑
√ (3❑√2) 2
+
(3❑√2) 2
=3，
2 2
设DF=x，则BD=BC−DF−CF=9−x−3=6−x，
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AD=6−x，
∵FG是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠C=45°，
∴∠AFC=90°，
∴AF⊥DC，
∴在Rt△ADF中，
∵AD2=DF2+AF2，
∴(6−x) 2=x2+32，
9
解得：x= ，
4
9
∴DF= ．
4
9
故答案为： ．
4
5．（2024·河南洛阳·中考真题）（1）在如图中画出边长为❑√5、2❑√5、5的三角形；
（2）该三角形最长边上的高为________．
【答案】（1）见解析（2）2
【思路点拨】本题考查了网格作图，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，面积法求三角形的高，是解
题的关键．
（1）写出AB，根据勾股定理写出AC，BC，即得；（2）根据勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形，再根据直角三角形面积的两种表示办法求解．
【规范解答】解：（1）如图，AB=5，AB=❑√12+22=❑√5，BC=❑√22+42=2❑√5，△ABC即为所求作．
（2）由图知，该三角形最长边上的高为AD=2．理由：
∵AC2+BC2=(❑√5) 2+(2❑√5) 2=25=52=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
1 1
∴S = AB⋅CD= AC⋅BC，
△ABC 2 2
∴5CD=❑√5×2❑√5，
∴AD=2．
故答案为：2．
基础夯实
1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，则它的高AD的长为
（ ）
A．2 B．2❑√2 C．2❑√3 D．4【答案】C
【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形三线合一定理及勾股定理．先根据等边三角形的
性质得出AB=BC=AC=4，再由AD⊥BC得到AD是△ABC的中垂线，即等边三角形的三线合一，得
1
出BD= BC=2，最后利用勾股定理得出AD的值．
2
【规范解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，
又∵AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中垂线，
1
∴BD=DC= BC=2，
2
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=❑√AB2−BD2=❑√42−22=2❑√3．
故选：C．
2．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是
16，10，则正方形C的面积是（ ）
A．26 B．❑√26 C．16 D．4
【答案】A
【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键．
根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形C的面
积．
【规范解答】解：假设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，
由勾股定理可得a2+b2=c2，
由于正方形A的面积为a2，正方形B的面积为b2，正方形C的面积为c2，
故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和，
即为16+10=26，
故选A，3．（24-25八年级下·贵州·月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全
等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为k=6，较短直角边长
为a=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个
风车的外围（实线）周长是 ．
【答案】76
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出AB=BC=k=6，AD=a=5，∠BAD=90°，根
据勾股定理求出CD=❑√AD2+AC2=❑√52+122=13，再求出这个风车的外围（实线）周长即可．
【规范解答】解：根据题意得：AB=BC=k=6，AD=a=5，∠BAD=90°，
∴AC=AB+BC=6+6=12，
∴根据勾股定理得：CD=❑√AD2+AC2=❑√52+122=13，
∴这个风车的外围（实线）周长是：4×(13+6)=4×19=76．
故答案为：76．
4．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以C为圆心，以BC的
1
长为半径作弧交BA于点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射
2
线CF交BA于点E，若BC=6，AC=8，则CE= ．24
【答案】
5
【思路点拨】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．
由作图过程可知，CE⊥AB.由勾股定理得AB=❑√BC2+AC2=10，根据
1 1 1 1
S = AC⋅BC= AB⋅CE，可得 ×8×6= ×10×CE，进而可得答案．
△ABC 2 2 2 2
【规范解答】解：由作图过程可知，CE⊥AB．
由勾股定理得，AB=❑√BC2+AC2=❑√62+82=10．
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CE，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×8×6= ×10×CE，
2 2
24
∴CE= ．
5
24
故答案为： ．
5
5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，同学们想测量旗杆的高度h（米），他们发现系在旗杆顶
端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解
决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在
地面上离旗杆底部4米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D
处（BD=BC）．(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
(2)已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？
【答案】(1)旗杆的高度为7.5米
(2)此时绳结离地面1.5米
【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；
（2）由题可知，BD=BC=11.25米，DE=6.75米．在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程BE2+6.752 =
11.252，求出BE=9，进而求解即可．
【规范解答】（1）解：旗杆的高度为h米，则绳子的长度为(h+1)米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：h2+42=(h+1) 2，
解得：h=7.5，
答：旗杆的高度为7.5米：
（2）解：由题可知，BD=BC=7.5米，DE=4.5米，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+4.52=7.52，
解得：BE=6，
∴EC=BC−BE=7.5−6=1.5（米），
答：此时，绳结离地面1.5米高．
培优拔高
6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A(1,0),C(1,2❑√3)，
将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（ ）A．(−3,❑√3) B．(−❑√3,3) C．(−❑√3,2) D．(−2,❑√3)
【答案】A
【思路点拨】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解
题关键．
过点B作AC的垂线，通过点A，C的坐标确定AC与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B
的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可．
【规范解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∵A(1,0)，C(1,2❑√3)，
∴AC⊥x轴，
∴BD∥x轴，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴AB=AC=BC=2❑√3，
又BD⊥AC，
1
∴AD=CD= AC=❑√3，D(1,❑√3)，
2
∴BD=❑√AB2−AD2=3，
1−3=−2，
∴B(−2,❑√3)，
∴在△ABC向左平移1个单位长度后，点B的坐标为(−3,❑√3)，
故选：A．
7．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，AD是△ABC的高，BD=2CD=6，∠DAC=30°，则AB=
( )A．6❑√2 B．6❑√3 C．24 D．3❑√7
【答案】D
【思路点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，根据含30度角的直角三角形的性质得出
AC=6，勾股定理可得AD=3❑√3，在Rt△ADB中，再根据勾股定理即可求解．
【规范解答】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3,BD=6，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠DAC=30°，
∴AC=2DC=6，
在Rt△ADC中，AD=❑√AC2−DC2=❑√62−32=3❑√3
在Rt△ADB中，AB=❑√AD2+BD2=❑√(3❑√3) 2+62=3❑√7，
故选：D．
8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为(2❑√2,0)、(0,❑√10)，以点A为
圆心，AB长为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【答案】(−❑√2,0)
【思路点拨】本题考查了图形与坐标，勾股定理，利用点A，B坐标、求得AB的长度，进而求出OC的长
度即可求解．【规范解答】解：∵A(2❑√2,0)，B(0,❑√10)
∴OA=2❑√2，OB=❑√10，
∴AB=❑√(2❑√2) 2+(❑√10) 2=3❑√2，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴AC=AB=3❑√2，
∴OC=AC−AO=3❑√2−2❑√2=❑√2，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为(−❑√2,0)，
故答案为：(−❑√2,0)．
9．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴
(1 )
上．顶点B的坐标为(3,3)，点C的坐标为 ，0 ，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为
2
．
❑√37
【答案】
2
【思路点拨】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，根据勾股定理求出CD，
即可得出答案．
【规范解答】解：作A关于OB的对称点D，∵B(3,3)
，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴AD⊥OB，OA=AB，
1
∴ ∠DAO= ∠OAB=45°，
2
则△AOE为等腰直角三角形，
∵A关于OB的对称点为D，
∴△OED也为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
点D在y轴上， 且OD=3，
连接CD交OB于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
1
∵OD=AB=3，OC= ，
2
∴在Rt△DOC中，由勾股定理得：DC=❑
√
32+
(1) 2
=
❑√37
，
2 2
❑√37
即PA+PC的最小值是 ．
2
❑√37
故答案为： ．
2
10．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你
计算的方法是：S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p
a+b+c
表示周长之半，即p= ．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以
2
这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题．
(1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为5m,12m,13m时，判断这块实践基地的形状，并说明理由；(2)在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求△ABC的面积；
【答案】(1)直角三角形
(2)6❑√6
【思路点拨】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的
公式，代入相应值．
（1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状；
（2）利用海伦公式计算三角形面积．
【规范解答】（1）解：实践基地是直角三角形；
理由：∵三边长分别为5m,12m,13m，
52=25,122=144,132=169，25+144=169，
∴52+122=132，
∴该三角形是直角三角形．
（2）解：∵AB=5，BC=6，CA=7，
5+6+7
∴p= =9，
2
∴S=❑√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=6❑√6，
∴△ABC的面积是6❑√6．
