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专题 24.4 弧长和扇形面积
目录
弧长的计算..................................................................................................................................................1
弧长的应用..................................................................................................................................................3
扇形面积......................................................................................................................................................6
求圆心角度数...........................................................................................................................................13
求侧面积或全面积.................................................................................................................................15
求母线或高...............................................................................................................................................17
综合运用....................................................................................................................................................19
弧长的计算
n nπR
×2πR=
360 180
弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。L=
【例1】一条弧所对的圆心角是 144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为
（ ）
1 2 3 2
A． B． C． D．
3 5 4 3
【解答】解：设这条弧所在圆的半径为r，
144πr
则这条弧长为： ，这条弧所在圆的周长为2 r，
180
π
144πr 2
：2 r= ．
180 5
π
故选：B．
4
【变式训练1】已知扇形的弧长是 ，圆心角120°，则这个扇形的半径是 2 ．
3
π
nπr
【解答】解：根据弧长的公式l= ，
180
4 120πr
得到： = ，
3 180
π
解得r＝2，
故答案为：2
【变式训练2】如图，C是 O劣弧AB上一点，OA＝2，∠ACB＝120°．则劣弧AB的长度
⊙为（ ）
1 2 4 8
A． B． C． D．
3 3 3 3
π π π π
【解答】解：
如图，作圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵A、D、B、C四点共圆，∠ACB＝120°，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝60°．
∴∠AOB＝2∠D＝120°．
120π×2 4π
∴劣弧AB的长度为： =
180 3
故选：C．
【变式训练3】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转
2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当αB′D⊥AB时，^BB'的长是（
）α
2√3 4√3 8√3 10√3
A． B． C． D．
3 3 9 9
π π π π
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，1
∴AD＝DB= AB′．
2
∴∠AB′D＝30°，
∴ ＝30°，
∵αAC＝4，
√3
∴AD＝AC•cos30°＝4× =2√3，
2
∴AB=2AD=4√3，
nπr 60×π×4√3 4√3
∴^BB'的长度l= = = ．
180 180 3
π
故选：B．
弧长的应用
【例2】某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆
外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2√3m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
5π 8π 10π 5π
A． m B． m C． m D．（ +2）m
3 3 3 3
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2√3m，∠ADC＝90°，
AD 2√3
∴tan∠DCA= = =√3，AC=√CD2+AD2=4（m），
CD 2
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
300π×2 10π
∴改建后门洞的圆弧长是： = （m），
180 3
故选：C．
【变式训练1】如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳
索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ）
10π 5π 5π
A．5 cm B． cm C． cm D． cm
3 3 6
π
150π×2 5π
【解答】解：根据题意得：l= = （cm），
180 3
5π
则重物上升了 cm，
3
故选：C．
【变式训练2】小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图
2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，
∠ ADC ＝ ∠ BCD ＝ 120° ， 则 这 块 宣 传 版 面 的 周 长 为 （ ）7 7
A．（ +2）m B．（ +2）m
15 30
π π
7 6 7 14
C．（ π+ ）m D．（ π+ ）m
15 5 30 5
【解答】解：如图，延长AD、交BC的延长线于点E，
∵∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，
∴∠E＝60°，
∴DE＝DC＝0.8m，
∴AE＝AD+DE＝0.6+0.8＝1.4（m），
60×1.4π 1.4π
∴l = = ，
^AB 180 3
∴ 这 块 宣 传 版 面 的 周 长 为 ： AD+DC+BC +l = 0.6+0.8+0.6
^AB
1.4π 6+1.4π 7
+ = =( π+2)（m）．
3 3 15
故选：A．
【变式训练3】如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧 OA和OB的夹角为120°，
OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（ ）cm．A．6 +12 B．36 +12 C．18 +12 D．12 +12
【解答π】解：∵OA的长为12πcm，贴纸部分的宽ACπ为6cm， π
∴OC＝OA﹣AC＝6cm，
又OA和OB的夹角为120°，
120π×6
∴l = = 4 （cm），
C^D 180
π
120π×12
l = =8 （cm），
^AB 180
π
∴贴纸部分的周长为4 +8 +2×6＝（12 +12）cm．
故选：D． π π π
扇形面积
n nπR2 nπR R 1
×πR2 = × = lR
360 360 180 2 2
扇形的面积用S表示S= S=
【例3】如果用70厘米的铅丝做成一个半径为20厘米的扇形，那么这个扇形的面积等于
300 平方厘米．
【解答】解：∵l+20×2＝70，
∴l＝30（cm），
nπr
∴ = 30，
180
∴n r＝5400，
nπ×π202
，
360
5400×20
= ，
360＝300（平方厘米）；
答：这个扇形的面积是300平方厘米．
故答案为：300
【变式训练1】把一个圆的面积按3：5剪成两个扇形，已知大扇形的面积比小扇形多104
平方厘米，大扇形的面积是（ ）平方厘米．
A．416 B．260 C．156 D．208
【解答】解：∵把一个圆的面积按3：5剪成两个扇形，
∴设大扇形的面积为5x平方厘米，小扇形的面积为3x平方厘米，
根据题意得，5x﹣3x＝104，
解得x＝52，
∴5x＝260，
故大扇形的面积是260平方厘米，
故选：B．
【变式训练2】一个扇形的弧长是10 cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．30 cm2 B．60 cm2 π C．120 cm2 D．180 cm2
【解答π】解：根据题意可得，π π π
设扇形的半径为rcm，
nπr
则l= ，
180
150×π×r
即10 = ，
180
π
解得：r＝12，
1 1
∴S= rl= ×12×10π=60 （cm2）．
2 2
π
故选：B．
【变式训练3】一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该
矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A．（840+6 ）m2 B．（840+9 ）m2 C．840m2 D．876m2
【解答】解：π如图， π该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32
＝（840+9 ）m2 π
故选：B．π
【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=√3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交
CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
π 3π 2π 3π
A． B． C． D．
3 5 3 4
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC=√3，
CB √3
∴cos∠CBE= = ，
BE 2
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
60⋅π⋅22 2π
∴S扇形BAE =
360
=
3
，
故选：C．
【变式训练1】如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果
OC∥DB，图中阴影部分的面⊙积是2 ，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
π√3 2√3
A． π B． π C．√3π D．2√3π
3 3
【解答】解：连接OD，BC．
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OC∥DB，
∴S△OBD ＝S△CBD ，
60⋅π⋅OC2
∴图中阴影部分的面积= =2 ，
360
π
∴OC＝2√3或﹣2√3（舍去），
60π⋅2√3 2√3
∴^BC的长= = ，
180 3
π
故选：B．
【变式训练2】如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的
面积是（ ）A．9 B．6 C．3 D．12
【解答】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
1 1
∴S =S =S −S = ×6×6− ×6×3=9，
阴影 △ABE △ABC △BCE 2 2
故选：A．
【变式训练3】如图，点 O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点 A，D 在半圆上，且
AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点 D 作 DC⊥BE 于点 C，则阴影部分的面积是
（ ）
64π 64π 64π−8√5 32π
A． −8√3 B． C． D． −8√3
3 3 3 3
【解答】解：连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝8，∠AOB＝60°，
∴ O的半径为8，∠AOE＝120°，
∵⊙AD∥OB，
∴∠OAD＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝∠AOD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵DC⊥BE于点C，
√3 1
∴CD= OD＝4√3，OC= OD＝4，
2 2
∴BC＝8+4＝12，
∴S阴影 ＝S△AOB +S扇形OAE ﹣S△BCD
1 120π×82 1
= ×8×4√3+ − ×12×4√3
2 360 2
64π
= −8√3，
3
故选：A．
【例5】如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2
（1）求OE和CD的长⊙；
（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？【解答】解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，
∴∠OCE＝30°，
又∵OC＝2，
1
∴OE= OC＝1，
2
∴CE=√4−1=√3．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE．
∴CD=2CE=2√3．
60π×22 2×√3 2
（2）S
1
＝S扇形OAC ﹣S
Δ&OAC
=
360
−
2
=
3
π−√3．
120π×22 2×√3 4π
S
2
＝S扇形OBC ﹣S
Δ&OBC
=
360
−
2
=
3
−√3．
【变式训练1】如图，已知AB是 O的直径，点C，D在 O上，∠D＝60°且AB＝6，过
O点作OE⊥AC，垂足为E． ⊙ ⊙
（1）填空：∠CAB＝ 3 0 度；
（2）求OE的长；
（3）若OE的延长线交 O于点F，求弦AF，AC和弧FC围成的图形（阴影部分）的
面积S． ⊙
【解答】解：（1）AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
∴∠CAB＝30°，
故答案为：30；（2）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝6，
1
∴BC= AB＝3，
2
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
1 3
∴OE= BC= ；
2 2
（3）连接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°，
1 1
∴OE= OA= OE＝EF，
2 2
∵∠OEC＝∠FEA，
∴△COE≌△AFE（SAS），
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
60π×32 3
S扇形FOC =
360
=
2
．
π
3
即可得阴影部分的面积为 ．
2
π
求圆心角度数
【例6】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的
底面圆周长为20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）度．
π πA．120° B．135° C．150° D．160°
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，
1
则 ×20 ×l＝240 ，
2
π π
解得l＝24，
设这个扇形的圆心角的度数是n°，
n×π×24
根据题意得20 = ，
180
π
解得n＝150，
即这个扇形的圆心角的度数是150°．
故选：C．
【变式训练1】圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2 ×1＝2 ，
设圆心角的度数是n度． π π
nπ×3
则 = 2 ，
180
π
解得：n＝120
故选：C．
【变式训练2】如图，圆锥体的高ℎ =2√2cm，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展
开图的圆心角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°【解答】解：根据题意，圆锥的母线长为√(2√2) 2+12=3（cm），
设该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数为n°，
n×π×3
所以2 ×1= ，
180
π
解得n＝120，
即该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是120°．
故选：C．
【变式训练3】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，
则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．108° B．120° C．144° D．150°
【解答】解：设这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为n°，
n×π×10
根据题意得2 ×3= ，
180
π
解得n＝108，
即这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为108°．
故选：A．
求侧面积或全面积
圆锥的侧面展开图是扇形。r 为底面圆的半径，a 为母线长。扇形的圆心角 α=
r
×3600
a
S侧=πar S全=πar＋πr2
【例7】若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 1 0 ．（结果保
留 ） π
π【解答】解：根据圆锥的侧面积公式： rl＝ ×2×5＝10 ，
故答案为：10 ． π π π
【变式训练1】若π一个圆锥的母线长为5cm，它的半径为3cm，则这个圆锥的全面积为24 cm2
π【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6 cm，
1 π
侧面面积= ×6 ×5＝15 （cm2）；
2
π π
底面积为＝9 （cm2）；
全面积为：1π5 +9 ＝24 （cm2）．
故答案为24 ．π π π
【变式训练2】π已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是
15 ．
π 1
【解答】解：圆锥的侧面展开图面积= ×2 ×3×5＝15 （cm2）．
2
π π
故答案为：15 ．
【变式训练3】已π知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．60 B．65 C．90 D．120
π π π π
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形的半径为：√52+122=13，其弧长为：2× ×5＝10 ，
π π
1
∴圆锥侧面展开图的面积为： ×10π×13= 65 ．
2
π
故选：B．
【例8】如图，圆锥底面圆的半径 AB＝4，母线长 AC＝12，则这个圆锥的侧面积为
（ ）
A．16 B．24 C．48 D．96
【解答π】解：弧AA′的长，π就是圆锥的底面周长，π即2 ×4＝8 ， π
π π1
所以扇形的面积为 ×8 ×12＝48 ，
2
π π
即圆锥的侧面积为48 ，
故选：C． π
【变式训练1】如图所示，圆锥的底面半径为1，高为√3，则圆锥的表面积为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
π π π π
【解答】解：根据题意，圆锥的母线长为√12+(√3) 2=2，
1
所以圆锥的表面积＝ ×12+ ×2 ×1×2＝3 ．
2
π π π
故选：C．
【变式训练2】如图，圆锥底面圆半径为 7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（
）
175π 175π
A． cm2 B． cm2 C．175 cm2 D．350 cm2
3 2
π π
【解答】解：在Rt△AOC中，AC=√72+242=25（cm），
1
所以圆锥的侧面展开图的面积= ×2 ×7×25＝175 （cm2）．
2
π π故选：C．
求母线或高
【例9】在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径 15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一
个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径
是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
120π×15
【解答】解：半径为15cm、圆心角为120°的扇形弧长是： =10 cm，
180
π
设圆锥的底面半径是rcm，
则2 r＝10 ，
解得π：r＝5π
故选：C．
【变式训练1】如图，将圆锥沿一条母线剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半
径r＝2，扇形的圆心角 ＝120°，则该圆锥母线l的长为（ ）
θ
A．8 B．6 C．4 D．3
120π⋅l
【解答】解：根据题意得2 ×2= ，
180
π
解得，l＝6，
即该圆锥母线l的长为6
故选：B．
【变式训练2】如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）
A．4√2cm B．2√2cm C．2√3cm D．√3cm
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，
120π×6
根据题意得2 r= ，
180
π
解得r＝2
所以这个圆锥形的高=√62−22=4√2（cm）．
故选：A．
【变式训练3】如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的
扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）
A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
(360−144)×π×15
根据题意得2 r=
180
π
解得r＝9，
所以圆锥的高=√152−92=12（cm）．
故选：B．
【变式训练4】如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别
裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（ ）
A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1
【解答】解：设此弧所在圆的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，
90π(AD−2r)
则 =2 r，
180
π
AD
解得r= ，
6
AD
则AD：AB＝AD：（AD− ）＝3：2
3
故选：A．
综合运用
【例10】如图，在 O中，AB=4√3，AD是 O的直径，AD⊥BC于F，∠A＝30°．
（1）求图中阴影⊙部分的面积； ⊙
（2）若用阴影扇形OBC围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
【解答】解：∵AD⊥BC于F，∠A＝30°，
∴∠BOD＝60°，∠OBF＝30°，∠BOC＝120°，
∵AB＝4√3，
∴BF＝2√3，
BF 2√3
= = =
∴OB cos∠OBF √3 4，
2
120π×42 16
∴S扇形 = = ；
360 3
π（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2 r，
120π×4 π
∴2 r= ，
180
π
4
∴r= ．
3
4
∴这个锥底面圆的半径为 ．
3
【变式训练1】如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格格点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平
面直角坐标系；
②用直尺画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接
AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C （ 6 ， 2 ） 、D （ 2 ， 0 ） ；② D的半径＝ 2√5 （结果
保留根号）； ⊙
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【解答】解：（1）①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长
为单位长，建立平面直角坐标系，如下图，②画出AB，BC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心D．
（2）①利用坐标系可知点（6，2），D（2，0）．
故答案为：（6，2），D（2，0）；
②∵A（0，4），D（2，0），
∴OA＝4，OD＝2，
∴ D的半径DA=√OA2+OD2=√42+22=2√5．
⊙
故答案为：2√5．
③过点C作CE⊥x轴于点E，
∵C（6，2），
∴OE＝6，CE＝2
∴DE＝OE﹣OD＝4
∴OA＝DE＝4，OD＝CE＝2
在△OAD和△EDC中，
{
OA=DE
∠AOD=∠DEC=90°，
OD=EC
∴△OAD≌△EDC（SAS）．
∴∠ODA＝∠ECD．
∵∠ECD+∠EDC＝90°，
∴∠ODA+∠CDE＝90°．
∴∠ADC＝90°．
90π×2√5
∴^AC的长度为 =√5π，
180
设圆锥的底面半径为r，则：
2 r=√5 ．
π π√5
解得：r= ．
2
√5
答：圆锥的底面半径为 ．
2一．选择题（共8小题）
1．如图，点 、 、 是半径为8的 上的三点．如果 ，那么 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 、 ．
，
，
，
的长是： ．
故选： ．
2．如图，边长为 的正方形 的中心与半径为 的 的圆心重合， ， 分
别是 ， 的延长线与 的交点，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．【解答】解：延长 ， 交 于 ， ，连接 ，过点 作 于 ．
在 中， ，
，
，
，
则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积
，
故选： ．
3．如图，在平行四边形 中， ，以 为直径的 恰好经过点 ，交 于
点 ，当点 为 的中点时，下列结论错误的是
A． 平分 B． C． D． 的长为
【解答】解： ． 点 为 的中点，
，
，
平分 ，故 不符合题意；
． 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
和 是等边三角形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
和 是等边三角形，
，
，
，
故 符合题意；
．由 可知， ，
故 不符合题意；
． 的长为： ，
故 不符合题意．
故选： ．4．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的
展直长度，即 的长为
A． B． C． D．
【解答】解： 的长为 ．
故选： ．
5．如图，矩形 的边 ， ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点
，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ，
则 ，
在 中， 、 ，， ，
则阴影部分的面积
，
故选： ．
6．如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ， ，若直径 ，
，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 直径 ，
，
，
，
故选： ．
7．已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是
A．24 B．48 C． D．
【解答】解：它的侧面展开图的面积 ．
故选： ．
8．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转
“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”
是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是 ，高是 ；圆柱体底面半径是 ，液体高是 ．计时结束后如图（2）所
示，求此时“沙漏”中液体的高度为
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
圆锥的圆锥体底面半径是 ，高是 ，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，即 ，
由已知可得：液体的体积为 ，圆锥的体积为 ，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为 ，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度 为 ，则 ，
，
，解得 ，
计时结束后，“沙漏”中液体的高度为 ，
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为 ，则扇形的弧长为 ．
【解答】解：扇形的弧长 ，
故答案为： ．
10．如图，在扇形 中， ， 平分 交 于点 ，点 为半径
上一动点．若 ，则阴影部分周长的最小值为 ．
【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 、
．
此时 最小，即： ，
由题意得， ，
，
，
的长 ，
阴影部分周长的最小值为 ．
故答案为： ．11．如图， 是 的弦， ，点 是 上的一个动点，且 ，若点
， 分别是 ， 的中点，则 的半径是 2 ，图中阴影部分面积的最大值是
．
【解答】解：连接 、 、 ，如图，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故 的半径是2，
点 、 分别是 、 的中点，
， ，
，
，
当 的面积最大时， 的面积最大，
、 、 在一条直线时， 的面积最大，
的面积最大值为： ，
的面积最大值为： ，
，
此时 ，
故答案为：2， ．
12．如图所示，矩形纸片 中， ，把它分割成正方形纸片 和矩形纸
片 后，分别裁出扇形 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则
圆锥的表面积为 ．（结果保留【解答】解：设圆锥的底面半径为 ，则扇形 的半径为 ，
由题意得，
，
解得 ，
即圆锥的底面半径为 ， ，
圆锥的底面积为 ，侧面积为 ，
圆锥的表面积为 ，
故答案为： ．
三．解答题（共3小题）
13．如图， ， ， ， 是 上的四个点， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【解答】解：（1） ，
由圆周角定理得： ， ，
；
（2）连结 ， ，过点 作 于点 ，，
．
于点 ， ，
，
，
中， ，
，
的长 ．
14．如图，已知 中， ，将斜边 绕点 顺时针方向旋转至 ，使
，过点 作 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求弧 的长．
【解答】（1）证明： ， ，
．
，
．
将斜边 绕点 顺时针方向旋转至 ，
．在 和 中，
；
（2） ，
．
， ，
，
，
，
，
，
弧 的长为 ．
15．如图，已知扇形 的圆心角为 ，半径 为 ．求扇形 的弧长和面积．
【解答】解：扇形 的弧长 ；
扇形 的扇形面积 ．
