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专题24.4 弧长和扇形的面积（知识解读）
【学习目标】
1. 理解弧长和扇形米娜及公式，并会计算弧长和扇形的面积
2. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培
养学生的探索能力；
3. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切
联系。
【知识点梳理】
考点1 扇形的弧长和面积计算
A
扇形：（1）弧长公式： ；
O S l
B
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半
径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个
量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道
其中的两个量就可以求出第三个量.考点2 扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图 D
A D1
=
母线长
底面圆周长
B C1
C
（2）圆柱的体积：
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） =
O
R
（2）圆锥的体积：
C
A r B
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【典例分析】
【考点1 弧长的计算】
【例1】（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-π1】（2022•香洲区一π模）如图，圆形挂钟分π针针尖到圆心的距离π为 10cm，经过
20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021•云南）如图，等边△ABC的三个顶点都在 O上，AD是 O的直径．
⊙ ⊙若OA＝3，则劣弧BD的长是（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-3】（2021•广安）如π图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从π A地走到B地
有观赏路（劣弧 AB）和便民路（线段 AB）．已知 A、B是圆上的点，O为圆心，
∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米．
A．6 ﹣6 B．6 ﹣9 C．12 ﹣9 D．12 ﹣18
π π π π
【例2】（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30， ＝40，则 ＝
．
【变式2-1】（2021秋•奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧 OA
和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（
）cm．
A．6 +12 B．36 +12 C．18 +12 D．12 +12
π π π π【变式2-2】（2021秋•花都区期末）如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为
半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若 AB＝2，则此莱洛三角形的周长为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【变式2π-3】（2021•河南）如π图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点A，B，D
均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上，∠BAC＝22.5°，则 的长为 ．
【例3】（2020•枣庄）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A
顺时针旋转90°后，得到△ABC ，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
1 1
A．5 cm B． cm C． cm D．5 cm
【变式3-1】（2020•乌兰察布）π如图，一块含有30°角π的直角三角板ABC，π在水平桌面上
绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC＝15cm，那么顶点A从开始到结
束所经过的路径长为（ ）A．10 cm B．30 cm C．15 cm D．20 cm
【变式3-π2】（2020•禹会区一模π）如图，一块等边三角π形的木板，边长为 1π，现将木板沿
水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
【变式3-3】（2020•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1个单位的正方形，
△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△ABC ；
1 1 1
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△ABC ，并求点A旋转到A 所经过的路
2 2 2 2
线长．
【考点2 扇形面积的计算】
【例4】（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 ．
（结果保留 ）
【变式4-1】（π2021•嘉峪关）如图，从一块直径为 4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
90°的扇形，则此扇形的面积为 dm2．【变式4-2】（2021•重庆）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C
为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则
图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
π
【变式4-3】（2021•凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在
同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
【考点3 与圆柱、圆锥有关的计算】
【例5】（2020•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围
成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【变式5-1】（2020•海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，
则此圆锥的底面半径为（ ）A． cm B． cm C．3cm D． cm
【变式5-2】（2021•山西）如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、
OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）
A．4 cm B． cm C．2 cm D．2 cm
【变式5-3】（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图
（扇形）的弧长为 ．（用含 的代数式表示），圆心角为 度．
π
【变式5-4】（2021•扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，
该果罐侧面积为 cm2．专题24.4 弧长和扇形的面积（知识解读）
【学习目标】
4. 理解弧长和扇形米娜及公式，并会计算弧长和扇形的面积
5. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培
养学生的探索能力；
6. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切
联系。
A
【知识点梳理】
O S l
考点1 扇形的弧长和面积计算
B
扇形：（1）弧长公式： ；（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半
径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个
量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道
其中的两个量就可以求出第三个量.
考点2 扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图 D
A D1
=
母线长
底面圆周长
B C1
C
（3）圆柱的体积：
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） =
O
R
C
A r B（2）圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【典例分析】
【考点1 弧长的计算】
【例1】（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案π】B π π π
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为 ＝ ．
故选：B． π
【变式1-1】（2022•香洲区一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为 10cm，经过
20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：l＝ ＝ ＝ （cm）．
故选：B． π
【变式1-2】（2021•云南）如图，等边△ABC的三个顶点都在 O上，AD是 O的直径．
若OA＝3，则劣弧BD的长是（ ） ⊙ ⊙A． B． C． D．2
【答案】B π π
【解答】解：连接OB、BD，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵半径OA＝3，
∴劣弧BD的长为 ＝ ，
故选：B． π
【变式1-3】（2021•广安）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地
有观赏路（劣弧 AB）和便民路（线段 AB）．已知 A、B是圆上的点，O为圆心，
∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米．A．6 ﹣6 B．6 ﹣9 C．12 ﹣9 D．12 ﹣18
π π π π
【答案】D
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC＝BC，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝ （180°﹣∠AOB）＝30°，
在Rt△AOC中，OC＝ OA＝9米，
AC＝ ＝ 米，
∴AB＝2AC＝ 米，
【例2】（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30， ＝40，则 ＝
．
【答案】１００
【解答】解：设∠AOB＝n°．由题意 ＝40，
∴n ＝360，
π
∴ ＝ ＝100，
故答案为：100．
【变式2-1】（2021秋•奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧 OA
和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（
）cm．
A．6 +12 B．36 +12 C．18 +12 D．12 +12
【答案π】D π π π
【解答】解：∵OA的长为12cm，贴纸部分的宽AC为6cm，
∴OC＝OA﹣AC＝6cm，
又OA和OB的夹角为120°，
∴ ＝ ＝4 ，
π
＝ ＝8 ，
∴贴纸部分的周长为4π+8 +2×6＝12 +12．
故选：D． π π π
【变式2-2】（2021秋•花都区期末）如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为
半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若 AB＝2，则此莱洛三角形的周长为
（ ）A．2 B．4 C．6 D．
【答案π】A π
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴ 的长为： ＝ ，
π
∴“莱洛三角形”的周长＝ ×3＝2 ．
故选：A． π π
【变式2-3】（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点A，B，D
均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上，∠BAC＝22.5°，则 的长为 ．
【答案】
【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，∴ 的长＝ ＝ ．
故答案为： ．
【例3】（2020•枣庄）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A
顺时针旋转90°后，得到△ABC ，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
1 1
A．5 cm B． cm C． cm D．5 cm
【答案】C π π π
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5，
l ＝ ＝ ＝ cm，
AB
π
故点B所经过的路程为 cm．
故选：C． π
【变式3-1】（2020•乌兰察布）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上
绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC＝15cm，那么顶点A从开始到结
束所经过的路径长为（ ）
A．10 cm B．30 cm C．15 cm D．20 cm
【答案π】D π π π
【解答】解： ＝20 cm，
故选：D． π
【变式3-2】（2020•禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿
水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．【答案】
【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长
即第一段＝ ，第二段＝ ．
故B点从开始至结束所走过的路径长度＝ + ＝ ．
【变式3-3】（2020•营口）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1个单位的正方形，
△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△ABC ；
1 1 1
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△ABC ，并求点A旋转到A 所经过的路
2 2 2 2
线长．
【答案】（1）略 （2）
【解答】解：（1）画出△A B C ；
1 1 1
（2）画出△A B C
2 2 2
连接OA，OA ， ，
2
点A旋转到A 所经过的路线长为 ．
2
【考点2 扇形面积的计算】
【例4】（2020•福建）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 ．（结果保留 ）
【答案】 4 π
π
【解答】解：S扇形 ＝ ＝4 ，
π
故答案为：4 ．
【变式4-1】（2π021•嘉峪关）如图，从一块直径为 4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
90°的扇形，则此扇形的面积为 dm2．
【答案】 2
【解答】解π：连接AC，
∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝2 dm，
∴阴影部分的面积是 ＝2 （dm2）．
π
故答案为：2 ．
【变式4-2】（2π021•重庆）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C
为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则
图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
π【答案】
【解答】解π：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD,
∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°，
∴图中阴影部分的面积为：2× ＝ ，
π
故答案为： ．
【变式4-3】（20π21•凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在
同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】 4
【解答】解π：∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，
∴BC＝2，AC＝2 ，∠A′BA＝120°，∠CBC′＝120°，
∴阴影部分面积＝（S△A′BC′+S扇形BAA ′）﹣S扇形BCC′ ﹣S△ABC ＝ ×（42﹣22）＝
4 cm2．
故π答案为：4 ．
【考点3 与圆
π
柱、圆锥有关的计算】
【例5】（2020•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围
成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【解答】解：弧长： ＝4 （cm），
π
圆锥底面圆的半径：r＝ ＝2（cm）．
故选：C．
【变式5-1】（2020•海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，
则此圆锥的底面半径为（ ）
B． cm B． cm C．3cm D． cm
【答案】A
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2 r＝ ，
π
r＝ cm．
故选：A．
【变式5-2】（2021•山西）如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、
OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）
A．4 cm B． cm C．2 cm D．2 cm
【答案】A
【解答】解：由圆心角为120°、半径长为6cm，可知扇形的弧长为 ＝4 cm，
即圆锥的底面圆周长为4 cm，π
则底面圆半径为2cm， π
已知OA＝6cm，
由勾股定理得圆锥的高是4 cm．
故选：A．
【变式5-3】（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图
（扇形）的弧长为 ．（用含 的代数式表示），圆心角为 度．
【答案】12 ，216 π
【解答】解π：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝ ＝6，
∴2 r＝2 ×6＝12 ，
π π π
根据题意得2 ×6＝ ，
解得n＝216，π
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：12 ，216．
π
【变式5-4】（2021•扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，
该果罐侧面积为 cm2．
【答案】 100
【解答】解：π由题意得圆柱的底面直径为10cm，高为10cm，
∴侧面积＝10 ×10＝100 (cm2)．
故答案为：10π0 ． π
π
