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专题24 多乘多与图形面积
1．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a＋2b），宽为
（3a＋b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）张．
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】根据整式的乘法法则：（a＋2b）（3a＋b）＝3a2＋7ab＋2b2，可知，需要面积为ab的卡
片7张．
【详解】解：∵（a＋2b）（3a＋b）＝3a2＋7ab＋2b2，
∵一张C类卡片的面积为ab，
∴需要C类卡片7张．
故选：C．
【点睛】本题考查整式的乘法，理解用图形面积表示多项式与多项式的乘法运算是解题的关键．
2．如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．这个大正方形边长为a＋b
＋c，用 可求得其面积．同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积
之和；已知a＋b＋c＝8， ，则ab＋bc＋ac的值是（ ）
A．34 B．23 C．20 D．19【答案】D
【分析】根据题设提到的大正方形的面积的两种计算方法可得一个关于 的等式，再将已知等
式的值代入计算即可得．
【详解】解：由正方形的面积公式得：这个大正方形的面积为 ，
这个大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和，
这个大正方形的面积为 ，
，
，
，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，根据图形面积的两种计算方法建立数学等式是
解题关键．
3．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A．a（b－x）＝ab－ax B．b（a－x）＝ab－bx
C．（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx D．（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2
【答案】D
【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，
若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【详解】解：图1中，阴影部分＝长（a－x）宽（b－x）的长方形面积，
∴阴影部分的面积＝（a－x）（b－x），
图2中，阴影部分＝大长方形面积－长a宽x长方形面积－长b宽x长方形面积＋边长x的正方形
面积，
∴阴影部分的面积＝ab－ax－bx＋x2，
∴（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2．
故选：D．【点睛】点评：本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性
质得出式子，考查学生观察图形的能力．正确观察图形是解题的关键．
4．挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：如图是
一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以
得到： （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，从而列式求解．
【详解】解：如图，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查整式的混合运算，准确识图，通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利
用它们之间的面积关系列出等式是解题关键．
5．“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公
式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据
图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【答案】A
【分析】根据大长方形的面积（长为 、宽为 ）等于1个边长为 的小正方形的面积、4
个长方形的面积（长为 、宽为 ）、3个边长为 的小正方形的面积之和即可得出答案．
【详解】解：由图可知， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，读懂题意，理解几个图形的面积之间的联系是解题
关键．
6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：①（2a+b）
（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中
正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据不同方法表示出长方形的面积，进而逐项分析即可．
【详解】根据长方形的面积可表示长为 ，宽为 的长方形，则面积为 故①
正确；
将长方形表示成2个宽为 ，长为 ，1个长为 ，宽为 的长方形，则面积为
，故②正确；
将长方形表示成为长为 和宽分别为 的两个长方形，其面积为 ，故③
正确
将长方形表示成6个小长方形，则面积为2am+2an+bm+bn，故④正确．
故选D
【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积关系，掌握多项式的乘法是解题的关键．
7．用如图的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为（a+b）的矩形，需要B类卡
片 _____张．
【答案】3
【分析】先求出长为2a+b，宽为a+b的矩形面积，然后对照A、B、C三种卡片的面积，进行组合．
【详解】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为 ，
A图形面积为 ，
B图形面积为ab，
C图形面积为 ，
则可知需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查多项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．如图，大正方形ABCD的边长为 ，小正方形CEFG的边长为 ，则阴影部分的面积是_____ ；【答案】
【分析】阴影部分的面积等于△DGF的面积加上△GFB的面积，两个三角形的高分别为a-b和b，
同低，且为b，即阴影部分的面积可求．
【详解】由图可知，DG=a-b=GC，GF=b，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查正方形的性质，三角形的面积，解题关键在于掌握面积计算公式．
9．如图（图中长度单位：m）阴影部分的面积是_____m2（用含 的式子表示），面积表达式是
_____次三项式．
【答案】 二
【分析】由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去小的长方形的面积可得第一空的答案；再
结合多项式的项与次数可得第二空的答案.
【详解】解：阴影部分的面积
有三项，最高次项是
所以 是二次三项式，
故答案为： ，二【点睛】本题考查的是图形面积与多项式的乘法运算之间的关系，多项式的次数与项的概念，理
解多项式的乘法运算与图形面积之间的关系是解本题的关键.
10．如图，现有正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干张，如果要拼一个长为 ，
宽为 的大长方形，那么需要 类卡片的张数是___________；
【答案】11
【分析】按照长方形面积公式计算所拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可得解．
【详解】解：∵（a＋3b）（3a＋2b）＝3a2＋11ab＋6b2，
∵一张C类卡片的面积为ab，
∴需要C类卡片11张．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，属于基础知识的考查，比较简单．
11．通过计算几何图形的面积可以得到一些恒等式，根据如图的长方形面积写出的恒等式为
______．
【答案】
【分析】由题意知，大长方形的面积等于2a乘以（a＋b），面积也等于四个小图形的面积之和，
从而建立两种算法的等量关系．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．
12．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①2（a+b）
（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2mn+bm+bn，你认为其
中正确的有______
【答案】②③④
【分析】根据图形中各个部分的面积得出答案即可．
【详解】解：表示该长方形面积的多项式有：
纵向三个大长方形面积之和：②2a（m+n）+b（m+n）；
横向两个大长方形面积之和：③m（2a+b）+n（2a+b）；
六块小长方形面积之和：④2am+2mn+bm+bn；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式和单项式乘以单项式，能正确根据图
形列出算式是解此题的关键．
三、解答题
13．如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿
地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与
宽都为b米和 米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．
(1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．
(2)若a＝6，b＝6，计算草坪的造价．【答案】(1) 平方米
(2)19440元
【分析】（1）根据已知条件，用大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面
积即可求解．
（2）把a=6，b=6及草坪的造价为每平米30元代入代数式即可求解．
（1）
解：根据题意得：阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方
形的面积，
∴草坪（阴影）面积为：
平方米；
（2）
解：草坪的造价为：
元．
【点睛】本题考查了面积的计算及代数式的求值，解题关键先求出代数式并化简，最后将已知条
件代入即可得出答案．
14．小明计划用三种拼图将长为 米，宽为 米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中
A和B两种拼图为正方形，C为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助小明计算
一下：
(1)分别需要A，B和C三种拼图多少块？
(2)若A，B和C三种拼图的单价分别为5元，3元，2元，且购买任意一种拼图的数量超过100块
时，这种拼图的价格按照八折优惠，求小明的总花费．
【答案】(1)需要A，B和C三种拼图分别为：15块，300块，135块
(2)小明的总花费为1011元【分析】（1）根据题意求出（5a＋20b）（3a＋15b）即可得出答案；
（2）根据（1）中的A，B和C三种拼图块数乘以对应的单价即可求出答案．
（1）
解：由题意得：
（5a＋20b）（3a＋15b）
＝15a2＋75ab＋60ab＋300b2
＝15a2＋135ab＋300b2
∵SA＝a2，SB＝ b2，SC＝ab，
∴分别需要A，B和C三种拼图15块，300块，135块．
（2）
解：15×5＋300×3×0.8＋135×2×0.8＝75＋720＋216＝1011（元），
答：小明的总花费为1011元．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法，有理数的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则，是解
题的关键．
15．如图，在长为3a+2，宽为2b-1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片
(1)求剩余部分面积．
(2)求出当a＝3，b＝2时的面积．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）首先利用大长方形的面积减去小长方形的面积列出整式，然后化简，即可得出结果；
（2）根据（1）中算出的结论，把a＝3，b＝2代入并计算，即可得出结论．
（1）
解：剩余部分的面积为：．
（2）
解：当 时，
原式
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积、代数式求值，解本题的关键在正确列出阴影
部分面积的代数式．
16．如图，将一个边长为 的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真
观察图形．解答下列问题：
(1)根据图中条件．试通过两种方法求出该图形的总面积，并用公式的形式将两种关系表达出来；
(2)当图中的 满足 ， ．求 的值．
【答案】(1)
(2) 的值为9
【分析】（1）用两种方法计算四边形的面积即可得出相应等式；
（2）利用（1）中结论得出 ，根据题意即可得出结果．
（1）
解：∵ ，
，
∴ ．
（2）
∵ ， ，∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，即 的值为9．
【点睛】题目主要考查完全平方公式的应用及变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
17．（1）已知三个连续的奇数，若中间那个为n，求这三个奇数的积．
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）分别表示出另外两个奇数，再相乘即可．
（2）阴影部分面积可看作是大长方形的面积减去两个空白部分的面积，据此可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：
（2）解：
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则，组合图形的面积，熟练找出，阴影部分有哪几部
分的和或差得到的解答本题的关键．
18．如图，请用两种不同的方法求阴影部分的面积．
【答案】4a2+2ab+3b2．
【分析】方法1：阴影部分的面积=大长方形的面积-中间空白部分的小方形的面积；
方法2：阴影部分的面积=三个小方形的面积和．
【详解】解：方法1：阴影部分的面积=(a+3b+a)(2a+b)-2a•3b
=(2a+3b)(2a+b)-6ab
=4a2+2ab+6ab+3b2-6ab
=4a2+2ab+3b2；
方法2：
阴影部分的面积=2•2a•a+b(a+3b+a)
=4a2+b(2a+3b)
=4a2+2ab+3b2．
【点睛】本题考查了整式乘法的应用，用于培养学生的观察图形的能力和计算能力．
19．某学校教学楼前有一块长为 米，宽为 米的长方形空地要铺地砖，如图所示，
空白的A、B两正方形区域是草坪，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为 米．请你求出要
铺地砖的面积是多少？
【答案】要铺地砖的面积是（22a2+16ab+2b2）平方米
【分析】根据题意列出算式，再利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：（6a+2b）（4a+2b）-2（a+b）2
=24a2+20ab+4b2-2a2-4ab-2b2
=（22a2+16ab+2b2）平方米，答：要铺地砖的面积是（22a2+16ab+2b2）平方米．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，根据题意正确列出算式是解决问题的关键．
20．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得
等式：（a+2b）（a+b）＝a2﹣3ab+2b2．
(1)由图2，可得等式： ．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，求a2+b2+c2的值；
(3)计算（2a+b）（a+3b）＝ ．
利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证上面的等式（要求图中有长
度和面积的标识）
【答案】(1) ；
(2)88；
(3) ，作图见解析
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）先计算多项式乘以多项式，然后根据等式，作出相应图形即可．
（1）
解： ；
故答案为： ；
（2）
a+b+c＝12，ab+bc+ac＝28，；
（3）
（2a+b）（a+3b）= ，
故答案为：
作图如下：
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
