文档文本内容
2.4 函数基本性质中抽象函数应用
7 大考点汇总
考点01 抽象函数求定义域
考点02 抽象函数求解析式
考点03 抽象函数的奇偶性和单调性证明
考点04 抽象函数的值域
考点05 抽象函数的周期性求函数值
考点06 抽象函数的对称性求函数值
考点07 抽象函数奇偶性、单调性、周期性、对称性综合
题型专练
考点01 抽象函数求定义域
1．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为__________.
【答案】
【分析】由
的范围求出
的范围，从而得到函数
的定义域，由
的定义域得到
的范围，解
出
中的
的范围，从而得到函数
的定义域.
【详解】由
，得
，则函数
的定义域为
，
由
，得
，则函数
的定义域为
.
故答案为：
.
2．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
的取值范围可求解出
的定义域，再根据
的取值范围可求解出
的定义域.
【详解】由
，得
，则函数
的定义域为
，
由
，得
，所以
的定义域为
．
故选：A.
3．已知函数
的定义域为
，则
的定义域为__________.
【答案】
【分析】由抽象函数的定义域求法求函数定义域.
【详解】由题设
，可得
，则
的定义域为
.
故答案为：
4．求抽象函数的定义域.
(1)已知函数
，求函数
的定义域；
(2)已知函数
的定义域为
，求
的定义域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数解析式可知
，可得出函数
的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，
即可求出函数
的定义域；
（2）根据题意，可知
，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数
的定义域，从而得出
的定义域．
【详解】（1）解：由
，
得
，解得：
，
∴函数
的定义域为
；
（2）解：∵函数
的定义域为
，
∴
，则
，
即函数
的定义域为
，
由
，得
，
∴
的定义域为
．
考点02 抽象函数求解析式
5．定义在
上的函数
满足
且
是一个增函数，请写出满足条件的一个函
数
______.（写出一个即可）
【答案】
（只需符合
即可）.
【分析】令
，可得
，推导出函数
为奇函数，然后验证
满足题设条件，即可得出结果.
【详解】因为定义在
上的函数
满足
，
则
，
令
，可得
，
令
可得
，
由题意可得
，
令
，则
，则函数
为奇函数，
函数
为增函数，则函数
为增函数，
可取
，
则
，满足要求，
故
满足题意.
故答案为：
（只需符合
即可）.
6．设定义域为R 的函数
满足：
，
都有
且
（a 为常数），
则函数
________．
【答案】
【分析】运用赋值法可求解.
【详解】由
①，
在①中，令
可得
②，
在②中，令
，则
③，
由②可得，
④，
由①可得，
⑤，
由②可得，
⑥，
则由③④⑤⑥可得，
，即
，
因
，则
.
故答案为：
7．已知函数
的定义域为
，且满足
，
，若
，则函数
的
解析式为_________.
【答案】
【分析】根据
，令
，得
，依次可得
，
，
，累加可得函数解析式.
【详解】函数
的定义域为
，且满足
，
取
，得
，所以
，
，
，
，
以上各式相加得
．
故答案为：
.
8．设函数
对任意
都满足
，试求出
．
【答案】
【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可.
【详解】令
代入条件得出
，∴
．
令
代入条件得出
，
∴
．
再令
，则有
，
而用
代入条件中得
， ①
①中与条件相加得
．
∵
，
．
∴
，
于是
．
令
，有
，
∴
，∴
或
．
当
时，
，∴
．
∵
，∴
，
∴
，即
为所求．
考点03 抽象函数的奇偶性和单调性
9．定义在非零实数集上的函数
对任意非零实数
，
满足：
，且当
时
.
(1)求
及
的值；
(2)判断
的奇偶性并证明；
(3)解不等式：
.
【答案】(1)
，
；
(2)函数
是偶函数，证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）令
可得
，令
可得
；
（2）令
，结合偶函数的定义即可证明；
（3）先用定义证明函数
在
上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为
，解不
等式即可得到答案.
【详解】（1）在
中，令
，可得
，解得
.
令
，可得
，解得
.
（2）函数
是偶函数，理由如下：
的定义域是
，
，
，
令
，可得
，所以函数
是偶函数.
（3）任意
时，
，由题意得：
，
所以
在
上是增函数，
可化为
，即
，
又由（2）知
是偶函数，所以
可化为
，
又
在
上是增函数，所以
，且
，
解得：
且
，
所以不等式的解集为
.
10．定义在
上的函数
是单调函数，满足
，且
，（
，
）．
(1)求
，
；
(2)判断
的奇偶性；
(3)若对于任意
，都有
成立，求实数
的取值范围
【答案】(1)0，2
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）令
可求出
，令
再继续分解
，结合
可求出
的值；
（2）令
，对
变形可得答案；
（3）先利用奇偶性把不等式转化为
，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为
不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可.
【详解】（1）取
，得
，即
，
，
，
又因为
，得
，可得
.
（2）取
，得
，移项得
，
函数
是奇函数.
（3）
是奇函数，且
在
上恒成立，
在
上恒成立，
因为函数
是单调函数且
；
在
上是增函数，
在
上恒成立，
在
上恒成立，
令
.
由于
，
，
，
，即实数k 的取值范围为
.
11．已知
是定义在
上的函数，且满足
，又当
时，
．
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：
在区间
上单调递减；
(3)若
，解不等式
．
【答案】(1)
为奇函数，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求得
，再令
，得到
，即可证得
为奇函数；
（2）由（1）得到
，令
且
，根据题意，证得
，即可得证；
（3）由（2）求得
，根据题意，把不等式转化为
，得到不等式
，求解即
得.
【详解】（1）函数
为奇函数，理由如下：
因函数
的定义域为
，关于原点对称，
令
，则
，可得
．
令
，则
，即
，
用
代换
，可得
，所以
为奇函数．
（2）由（1）知
，则
，即
，
令
，且
，则
且
，
可得
，
因为当
时，
，所以
，即
，
所以函数
在
上单调递减，所以函数
在区间
上单调递减．
（3）由（2）知
，可得
，
由题设
，可得
，又
，故原不等式可化为
，
由（2）函数
在
上单调递减，可得
，解得
，
故不等式
的解集为
．
12．已知函数
的定义域为R，并且满足下列条件：对任意
，都有
，
，当
时，
.
(1)求
；
(2)证明：
为奇函数；
(3)解不等式
.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）由题意赋值
得
，再赋值
和
即可求解
.
（2）赋值
结合奇函数定义即可证明.
（3）先由函数单调性的定义证明函数
在R 上单调递减，再结合
即可将不等式等价转化为
，解该不等式即可得解.
【详解】（1）令
，则
，
，
令
，
，则
，
，
，
.
（2）
函数
的定义域为
，则定义域关于原点对称，
对任意
，都有
，
由（1）知，
.
令
，则
，即
，
是奇函数.
（3）任取
，且
，所以
，则由题意得
，
所以
，
，
，
在
上为减函数.
因为
，
，解得
，
的解集为
.
考点04 抽象函数的值域
13．（多选）已知函数
对任意
，总有
，当
时，
，若
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
在
上的最小值为-6
【答案】BCD
【分析】令
，得到
，再令
，求得
，令
，求得
，
可判定A 错误；令
，结合奇偶性的定义，可判定B 正确；令
，得到
，
递推得到
，
，
进而推得
，可判断C 正确；根据单调性的定义，证得
在
上为减函数，得到
在
上的最小值为
，结合递推关系，求得
的值，可判定D 正确.
【详解】对于A，令
，可得
，可得
，
令
，可得
，即
，
因为
，令
，可得
，所以
，
令
，可得
，
所以
，所以A 错误；
对于B，令
，则
，
因为
，所以
，
所以函数
为奇函数，即
为奇函数，所以B 正确；
对于C，令
，可得
，即
（*），
由
，可得
，
将（*）代入上式，整理得
（**），
又由
，可得
，
将（**）代入上式，整理得
，所以C 正确；
对于D，设
且
，则
，
因为当
时，
，所以
，
又由
，
则
，即
，
所以函数
在
上为减函数，所以
在
上的最小值为
，
则
，
因为
，所以
，所以D 正确.
故选：BCD.
14．（多选）已知定义域为
的函数
满足：对任意
，有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在
使得
，则
的最小正周期为
C．
为偶函数
D．
的值域为
【答案】AC
【分析】选项A 赋值
求解；选项B 赋值
，利用周期函数的定义推导；选项C 赋值
，根据
偶函数的定义推导；选项D 取函数
验证.
【详解】选 项 A，令
，则有
，
又因为
，所以
；
选 项 B，令
，则有
，
因为
，从而
，则
，
所以
，
故
是
的一个周期，但不一定是最小正周期；
选 项 C，令
，则有
，
所以
，故
为偶函数；
选 项 D，取
，满足抽象方程
，
但是其值域为
，不符题意.
故选：AC.
15．已知函数
的值域为
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定
的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域.
【详解】函数
是
的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故
的值域为
.
由
，对
的取值范围各减2，得
，即
.
故选：B
16．已知函数
的定义域和值域均为
，则函数
的定义域和值域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】C
【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断.
【详解】函数
的定义域为
，即
，所以
，
因此函数
的定义域为
；
由函数
的值域为
，得函数
的值域为
，
即
，则
，故函数
的值域为
．
故选：C．
17．（多选）若函数
的定义域值域分别为
､
，函数
，则
（ ）
A．
的定义域为
B．
的定义域为
C．
的值域为
D．
的值域为
【答案】BD
【分析】根据
的范围可求
的范围，则
的定义域可知；根据
的范围可知
的值域.
【详解】由
，得
，则
的定义域为
，
由
，得
，则
的值域为
，
故选：BD.
18．已知
是定义在
上且不恒为
的连续函数，若
，
，则
（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
的周期为
D．
的值域为
【答案】D
【分析】对于A，B，C 利用赋值法即可判断，对于D，令
和
，再结合函数的对称性即可判断.
【详解】令
得
，因为
不恒为
，所以
，所以A 错误；
令
得
，得
，则
为偶函数，所以B 错误；
令
得
，
则
，
则
，得周期为
，所以C 错误；
令
得
，
，即
，
令
得
，即关于
中心对称
，即
，
所以
，所以D 正确.
故选：D.
考点05 抽象函数的周期性求函数值
19．已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】C
【分析】分析可知函数
的一个周期为4，结合周期性运算求解即可.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，且
，
由题意知
，即
，可得
，
可知函数
的一个周期为4，
又因为当
时，
，且
所以
.
故选：C.
20．已知定义在
上的奇函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】推导出函数
是周期为
的周期函数，结合函数
的周期性和奇函数的性质可求得
的值.
【详解】因为定义在
上的奇函数
满足
，
所以
，所以
，即
，
所以
是周期为
的周期函数，且
，
，
所以
．
故选：C．
21．已知函数
满足对于任意的实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据
可求
的周期，根据函数周期性即可求值.
【详解】由
得
，
所以函数
的周期
，
所以
．
故选：B.
22．（多选）已知函数
是定义域为
的奇函数，
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
是周期为
的周期函数
D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解.
【详解】因为函数
是定义域为
的奇函数，
，且
，
，
对于A 选项，因为
，则
，A 错；
对于B 选项，由
可得
，
整理可得
，
当
时，则有
，即
，
当
时，
，也满足
，
所以，函数
的图象关于点
对称，B 对；
对于C 选项，因为
是定义域为
的奇函数，
且
，所以，函数
是周期为
的周期函数，C 对；
对于D 选项，因为函数
是定义域为
的奇函数，
则
，
，
，
，
，所以，
，
因为
，则
，D 对.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数
的图象关于直线
和
对称，则函数
的周期为
；
（2）若函数
的图象关于点
和点
对称，则函数
的周期为
；
（3）若函数
的图象关于直线
和点
对称，则函数
的周期为
.
考点06 抽象函数的对称性求函数值
23．已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
．当
时，
，则
__________________．
【答案】
/
【分析】先根据函数的对称性和已知等式推导函数周期，再利用周期性、对称性将所求函数值转化到已知解
析式的区间
内计算.
【详解】由函数
的图象关于直线
对称，可得对任意
，
，
替换得
①，
由已知
，整理得：
②，
联立①②得
，
替换得
，
进一步推导得：
， 即
是周期为的周期函数.
故
.
24．设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，
是奇函数，
是偶函数，那么
，
，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解.
【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，
是奇函数，
是偶函数，
那么
，
，
又函数
的定义域为
，
所以，令
，得
，
即
，
令
，得
即
，所以，
，
又
，所以，
，
令
，得
，所以
，
令
，得
，即
由
可得
，故函数
周期为4,
，故选项D 正确，
对于选项A，构造函数
,
，周期为4，但
，
选项A 不一定成立，故A 错误；
对于选项B，同样构造函数
，
，
选项B 不一定成立，故B 错误；
对于选项C，
，结合选项A 可知，不一定成立，故C 错误.
25．设
为定义在
上的奇函数，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据奇函数性质和已知条件推出函数的周期，再利用周期性和奇函数性质求出
的值，最后
求出
的值.
【详解】因为
为定义在
上的奇函数，所以
，且
，
又
，即
，则
关于
对称，
所以
，所以
，则
，
所以
，即
的周期为
，
所以
，
所以
.
26．已知函数
的图象关于点
中心对称，也关于点
中心对称，则
的中位数为________．
【答案】
/
【分析】由对称性可得
，
，计算可得
为首
项为0，公差为1 的等差数列，再结合中位数定义即可得解.
【详解】由
的图象关于点
中心对称，也关于点
中心对称，
得
，
，
两式相减得
，所以
，
由
时，由
，得
；
由
时，由
，得
；
又由
，结合
，
，
可归纳得
，即
为首项为0，公差为1 的等差数列，
所以
，且此等差数列为递增数列，
所以
的中位数为：
.
考点07 抽象函数奇偶性、单调性、周期性、对称性综合
27．已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解.
【详解】由函数
是定义在
上的偶函数，得
，即函数
的图象关于直线
对称，
由函数
在
上单调递增，得函数
在
上单调递减，
且
，则当
或
时，
；当
时，
，
不等式
等价于
或
，
即
或
，解得
或
，
所以
的解集为
.
28．（多选）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
，当
时，
，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上单调递增
【答案】ABD
【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得
判断C 选项，由函数在
的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在
上单调性，判断D 选项.
【详解】∵函数
是定义在R 上的奇函数，
∴
且
，A 选项正确；
∵
，
，B 选项正确；
∵
，
∴当
时，
，C 选项错误；
∵
，
∴
，即
，
∴函数
关于点
中心对称，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，∴
，
又∵函数
关于点
中心对称，
∴
在
上单调递增，D 选项正确.
故选：ABD.
29．（多选）已知函数
的定义域为R，
为偶函数，
为奇函数，且
在
上单调
递增，则下列正确的有（ ）
A．
B．
为函数
图象的一条对称轴
C．
D．函数
在
上单调递减
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据
为奇函数，得到
关于
中心对称，
；B 选项，根据
为
偶函数，得到
关于
轴对称，B 正确；C 选项，分析得到
的一个周期为4，故
，C
错误；D 选项，先得到
在
上单调递增，又
关于
轴对称，故函数
在
上单调递减.
【详解】A 选项，
为奇函数，故
，故
关于
中心对称，
故
，A 正确；
B 选项，
为偶函数，故
，故
关于
轴对称，B 正确；
C 选项，由A 知，
，故
，
即
，
又
，故
，
所以
，故
，
故
的一个周期为4，故
，C 错误；
D 选项，
在
上单调递增，
关于
中心对称，
故
在
上单调递增，
又
，故
在
上单调递增，
又
关于
轴对称，故函数
在
上单调递减，D 正确.
故选：ABD
30．（多选）函数
是定义在
上的奇函数，满足
在区间
上单调
递减，且
，则（ ）
A．
B．
C．
关于直线
对称
D．
在
上单调递增
【答案】AD
【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用
和奇函数定义可得函
数
的图象关于
对称，结合函数单调性可判断D；求出
和
的值进行比较可判断C；利用
周期性可判断B.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
故
，
所以
，所以
，
所以，6 是函数
的一个周期.
对于A，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，所以
，正确；
对于C，因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
的图象不关于直线
对称，错误；
对于B，因为
，
，
所以
，错误.
对于D，因为
，
因为6 是
的周期，所以
，故
所以函数
的图象关于
对称，又
在区间
上单调递减，
所以
在区间
上单调递增，正确；
故选：AD
31．已知
是定义在
上的奇函数，函数
的图象关于点
对称，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】先根据
的对称性得出
，结合奇偶性得出4 是
的一个周期，再结合周期性
可得
，即可得结果.
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，
则
，即
，
当
时，则
，
且
，可知
对任意
恒成立，
又因为
是定义在
上的奇函数，则
，
，
可得
，即
，
则
，得
，可知4 是
的一个周期，
，
，
所以
，
所以
，
又因为
，即
，可得
，
所以
．
32．定义在
上的函数
满足：
，且
，当
时，
，则
的最大值与最小值的差为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【分析】根据已知推得
是周期为8 的周期函数，结合对称性求得
，利用导数研究函数的区间单调
性，应用周期性、对称性求最值，即可得.
【详解】因为定义在
上的函数
满足：
，所以
的图象关于直线
对称，
，所以
的图象关于点
对称，
所以
，
，
所以
，则
，
所以
，则
，
故
是周期为8 的周期函数，
的定义域为
，
所以对称中心
在
的图象上，可得
，所以
，
当
时，
，则
，
当
或
时，
；当
时，
．
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，极大值
，极小值
，
因为
，
，所以
，
，
因为
的图象关于点
对称，所以
时，
，
．
当
时，
，
．
由于
的图象关于直线
对称，故
时，
，
．
因为
是周期为8 的周期函数，故当
时，
，
．
因此
的最大值与最小值的差为
．
33．若函数
的定义域为
，且满足
为偶函数，
为奇函数，
，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由偶函数与奇函数性质可推导出
为周期函数并可得到周期，再利用
代入计算即
可得.
【详解】由
为偶函数可得
，即
由
为奇函数可得
，
即
，
即有
，则
，
则
，故
，
即有
，故
为周期函数且
，
由
，则
，
即
，则
.
34．（多选）已知函数
，
的定义域为
，
为偶函数且
，
，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由
为偶函数，得
.
对
作变量代换
，得
，因此，
.
将
代入上式，得
，
结合
，得
，
进而，
，即
的最小正周期为；
由
，可得
的最小正周期也为.
对于选项A：由
，令
，得
，故A 错误.
对于选项B：由
，令
，得
，故B 正确.
对于选项C：由
，令
，得
，故C 正确.
对于选项D：由
周期为，得
，故D 正确.
35．已知
定义域为
，且
为偶函数，
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】推导出函数
是周期为
的周期函数，可得出
，由题干条件求出
的值，结
合
可得出
的值，即可得出答案.
【详解】因为函数
定义域为
，且
为偶函数，则
，
所以
，即
①，
又因为
，则
，即
②，
由①②可得
，可得
，
所以
，即
，
所以
，
所以函数
是周期为
的周期函数，
所以
，
当
时，
，则
，
在等式
中，令
可得
，故
，
因此
.
36．已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，
则
________．
【答案】
【分析】根据题意，求得
的周期为4，且
，当
时，
，得到
，结合
，即可求解．
【详解】因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，
因为函数
的图象关于点
对称，所以
，
所以
，可得
，
令
，可得
，即
，
所以
，即
，
所以函数
的周期为4，
由
，可得
，即
，
又因为当
时，
，所以
，
所以
．
