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2.4 函数的对称性
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴
对称.
(2)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x ＝
a ;若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中
心为( a ,0)
.
2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a 对称;
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点( a ,0)
对称.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y 轴
对称;
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x 轴
对称;
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称.
常用的结论
对称性的四个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a 对称.
(2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
特别地,当a＝b 时,即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时,则y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b,则y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b＝0 时,即f(a＋x)
＋f(a－x)＝0 或f(x)＋f(2a－x)＝0 时,则y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称.
考点一 判断或证明函数的对称性
考点二 由对称性求函数的解析式
考点三 由对称性研究单调性
考点四 由函数对称性求函数值或参数
考点一 判断或证明函数的对称性
1．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）（多选）定义在
上的函数
满足
为偶函数，且
，
则下列说法中正确的有（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于
成中心对称
D．
2．（2026·吉林延边·三模）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)证明：函数
的图象是中心对称图形；
3．（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数
，则（ ）
A．
B．
C．
存在对称轴D．
存在对称中心
4．（25-26 高二下·江苏苏州·月考）已知函数
.
(1)若
为中心对称图形，求a 的值以及对称中心坐标；
(2)当
时，
，求a 的取值范围.
5．（25-26 高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．存在
，使得曲线
关于某点对称
B．存在
，使得曲线
关于某直线对称
C．存在
，使得曲线
关于某点对称
D．存在
，使得曲线
关于某直线对称
考点二 由对称性求函数的解析式
6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式；
(2)当
时，求
的最大值；
7．（25-26 高三上·安徽·期中）已知函数
满足
．
(1)证明：
；
(2)判断
的单调性，并写出推理过程；
(3)若函数
的图象与函数
的图象关于点
对称，求
的解析式．
8．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
，与函数
关于原点对称
(1)求函数
的解析式
(2)已知
，求
的最大值及
取最大值时
的值．
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式.
10．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
与
的图象关于点
对称，则
______．
考点三 由对称性研究单调性
11．（2026·重庆·一模）已知函数
，若关于
的不等式
成立，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高二下·湖南郴州·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三上·广东惠州·月考）（多选）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上单调递增
14．（25-26 高三上·广东·阶段检测）已知函数
的定义域为
，图象关于
对称，且
，对于任意
的
，都有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（25-26 高三上·安徽阜阳·期中）已知函数
，使得
成立的
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，且
，都有
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 由函数对称性求函数值或参数
17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．2
C．0
D．1
18．（2026·山东·二模）已知函数
的图象关于点
对称，则
_______________．
19．（25-26 高二下·浙江·期中）已知函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
20．（2026·湖北·一模）已知函数
为奇函数，且
为偶函数，当
时，有
，则
（ ）
A．2025
B．
C．
D．
21．（25-26 高二下·广西来宾·月考）若函数
的图像关于点
中心对称，则有序数对
为
________.
22．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
的图象关于坐标原点对称，则
的值
为（ ）
A．20
B．50
C．70
D．90
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）若函数
的定义域为
，则“函数
的图象关于点
中心对称”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（25-26 高三下·北京·阶段检测）设函数
，下列说法正确的是（ ）
A．存在实数
，使得曲线
为轴对称图形；
B．存在实数
，使得曲线
为中心对称图形；
C．存在实数
，使得曲线
为轴对称图形；
D．存在实数
，使得曲线
为中心对称图形.
3．（2026·北京东城·二模）已知函数
与
的图象关于
轴对称，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
4．（2026·广东广州·二模）若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
5．（2026·河北唐山·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上单调递增
C．
的最小正周期是
D．
的一条对称轴为
6．（25-26 高一下·贵州遵义·月考）（多选）已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
为奇函数
C．
的一条对称轴为
D．
的一个对称中心为
7．（2026·陕西榆林·三模）已知直线
经过函数
的图象的对称中心，则
的最小值为__________.
8．（2026·河南商丘·模拟预测）若函数
，其中
，则曲线
的对称中心的坐标为______.
9．（2026·河北张家口·一模）已知函数
满足
，当
时，
，则不等式
的解集为______．
10．（2025 高三·全国·竞赛）设实数
满足：函数
图象的对称中心为
，则
________.
11．（25-26 高二下·广东广州·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
12．（2026·四川泸州·模拟预测）已知
，函数
.
(1)当
时，函数
为减函数，求实数
的最小值;
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
13．（25-26 高一下·河南·月考）已知函数
．
(1)当
时，用定义法证明：
是增函数；
(2)当
时，曲线
与曲线
的图象关于直线
1 对称，求
的值．
