文档内容
第 9 讲 函数的对称性
知识点目录
【知识点1】判断函数的对称性....................................................1
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式..........................................5
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用....................................8
【知识点4】利用对称性解不等式或方程...........................................13
基础知识
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴 对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 x ＝ a ；若f(x＋a)是奇函数，则函数
f(x)图象的对称中心为 (a ,0 )．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 (a ,0 )对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 y 轴 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 x 轴 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
知识点1
知识点
【知识点1】判断函数的对称性
第1页 共19页1.轴对称：
验证 是否对某常数a恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 （整理后各项系数为0）．
2.中心对称：
验证 是否对某常数a,b恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足 （整理后各项系数为0）．
技巧：
二次函数 必关于 对称．
三次函数 必关于其拐点 中心对称．
典型例题
例1：
【例1】（2025•四川模拟）已知函数 ，则函数 的图象
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
【答案】
【分析】由函数的奇偶性可得 为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果．
【解答】解：因为 ，则 为奇函数，
函数 的图象可由 的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称．
故选： ．
第2页 共19页【例2】（2024春•潮阳区期中）定义在 上的函数 满足 ．若 的图象
关于直线 对称，则下列选项中一定成立的是
A． B． C． （4） D． （6）
【答案】
【分析】根据 ，令 ，可求得 （2），再根据函数的对称性可得 （6）
及 ，再令 ，可求得 ，即可得出答案．
【解答】解：因为函数 满足 ，
所以 （2） （2） ，所以 （2） ，
又 的图象关于直线 对称，
所以 （6） （2） ，且 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
无法求出 ， （4）．
故选： ．
【例 3】（2025•苏州三模）已知函数 ，定义域为 的函数 满足
，若函数 与 的图象有四个交点，分别为 ， ， ， ， ，
第3页 共19页， ， ，则
A．0 B．4 C．8 D．12
【答案】
【分析】先判断函数 与 的图象都关于 对称，然后结合对称性即可求解．
【解答】解：因为 ，
显然 为奇函数，图象关于原点对称，
故 的图象关于 对称，
因为 ，则 的图象也关于 对称，
则 与 的交点也关于 对称，
若函数 与 的图象有四个交点，分别为 ， ， ， ， ， ， ， ，
则 ．
故选： ．
【例4】（2024秋•衢州期末）已知函数 的图象关于点 中心对称的充要条件是函
数 为奇函数，则函数 图象的对称中心是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】令 ，然后判断 的奇偶性，进而可求 的对称性．
【解答】解：令
第4页 共19页则 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，
所以 的图象关于 对称．
故选： ．
【例5】（2024•泸州模拟）已知函数 满足 ，若函数 与
图象的交点横坐标分别为 ， ， ， ，则
A． B． C． D．0
【答案】
【分析】依题意可得 ，即可得到函数的图象关于 对称，再根据对称性计
算可得结论．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以函数的图象关于 对称，
又函数 关于 对称，
则 与 的交点应为偶数个，且关于 对称，
所以 ．
故选： ．
第5页 共19页知识点2
知识点
【知识点2】利用对称性求函数值或解析式
1.利用对称性建立等式：
若关于 对称，则 ，代入已知点求未知值．
若关于 对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．
2.对称变换法：
若 关于 对称，则 （g为偶函数）．
若 关于 对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）．
典型例题
例1：
【例6】（2025•梅河口市二模）已知函数 为 上的奇函数，若函数 与
的图象关于点 对称，则 （4）
A．1 B．0 C． D．
【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性及奇函数的性质进行转化即可求解．
【解答】解：已知函数 是 上的奇函数，即 ，且 ．
函数 与 的图像关于点 对称，
根据对称的定义，对于 上的任意一点 ，对应的 上的点为 ，
因此，当 时，有 ，
第6页 共19页令 ，则 ，代入得 ，
代入 ，得 （4） ，
因此 （4） ．
故选： ．
【例7】（2024秋•温州期末）已知函数 ．
（1）求 （1）的值；
（2）求函数 的定义域；
（3）证明：曲线 是中心对称图形．
【答案】（1）0；
（2） ， ， ；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据对数函数的性质即可求解；
（2）根据对数函数的定义域即可求解；
（3）结合（1），（2）即可求解；
【解答】解：（1） ；
（2）令 ，则 ，即 ，得 或 ，
所以函数 的定义域是 ， ， ；
（3）证明如下：由函数 的定义域，结合第（1）问 （1） 知，
若曲线 是中心对称图形，对称中心一定是 ，
又 ，
第7页 共19页故曲线 关于点 中心对称．
【例 8】（2024 秋•谷城县期中）已知定义在 上的函数 ，对 ，都有
，若函数 的图象关于直线 对称，则
A． B． C．2 D．1
【答案】
【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可．
【解答】解：因为对 ，都有 ，
所以 ，即 是以4为周期的周期函数，
因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，
即 ，所以 是偶函数，
所以 （1） ，
由 ，令 ，可得 （1） ，解得 （1） ，
所以 ．
故选： ．
【例9】（2024秋•鼓楼区期中）函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条
件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．已知函数 ，则
（1）
第8页 共19页A．0 B．2024 C．4051 D．8102
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数 的对称中心，再利用对称性求出函数值的和．
【解答】解：依题意， ，
则 ，
显然 ，即函数 是奇函数，
因此函数 的对称中心为 ，即 ，
所以 （1）
．
故选： ．
【例 10】（2024 秋•淮阴区月考）若偶函数 满足 ，且当 时，
，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分析可知 的一个周期为2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解．
【解答】解：因为 ，则 ，
又因为 为偶函数，则 ，
可得 ，可知 的一个周期为2，
因为 ，且 ，
第9页 共19页可得 ，且 ，
所以 ．
故选： ．
知识点3
知识点
【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用
1.对称性与周期性的关系：
若函数有两条对称轴 和 （ ），则周期 ．
若函数有一个对称中心 和一条对称轴 （ ），则周期 ．
若函数有两个对称中心 和 （ ），则周期 ．
2.奇偶性与对称性的结合：
奇函数+关于 对称 周期 ．
偶函数+关于 对称 周期 ．
典型例题
例1：
【例 11】（2025•黑龙江模拟）函数 的定义域为 ，且对任意的实数 ，都有
，且 ，则下列说法错误的是
A． 为偶函数 B． 为周期函数且周期为12
第10页 共19页C． （4） D．
【答案】
【分析】用 代替 ，可得 ，可判断 ；用 替换 ，结合偶函数的
性质可得 正确；用 替换 ，结合偶函数的性质可得 正确；由函数的周期性可得 错
误．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 （2） ，所以 （2） ，
又 （4） （2），所以 （4） （2） ，所以 选项正确；
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 为偶函数，所以 选项正确；
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
故 是以12为周期的周期函数，所以 选项正确；
（6） ，
所以 （6） （4） （4） （2） ；
第11页 共19页（8） （2） ， （4） ， ，
所以 ，所以 选项错误．
故选： ．
【例12】（2025•李沧区模拟）已知函数 是 上的奇函数，且 ，当 ，
时， ，则
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】
【分析】根据题意可得 ， ，从而可得 ，进而可得
的周期为4，再利用函数的周期性，即可求解．
【解答】解：因为 是 上的奇函数，
所以 ，且 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 的周期为4，
由 ，可得 ，
所以 （1） （3） （2） （4） ，
所以 （1） （2） （3） （4） ，
第12页 共19页又 （1） ，
所以根据周期性可得 （1） （2） （3） （4）
．
故选： ．
【例13】（2025•鹤山区二模）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，且
为偶函数，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用奇偶函数得到周期为8，且 ，即可求得结果．
【解答】解：函数 的定义域为 ，
为奇函数，
，
①；
令 ，得到 ；
为偶函数，
，
②；结合①②得到： ，
， ，
第13页 共19页，所以函数的周期为8，
（7） ．
故选： ．
【例 14】（2025 春•大祥区期中）已知 的图像关于点 对称，对 ，都有
成立，且当 时， ，则 等于
A． B．2 C．0 D．
【答案】
【分析】根据函数的对称性，周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解： 的图像关于点 对称，
的图像关于点 对称，
，
， ， 的周期为4，
（1） ．
故选： ．
【例 15】（2025 春•青羊区期中）已知函数 的定义域是 ，满足 ，
，函数 的导函数 在 上总有意义，则 （5）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】
【分析】求导后，根据抽象函数的对称性，即可求解．
【解答】解：因为 ， ，
第14页 共19页所以 ， ，
所以 （1） （1），所以 （1） ，
由 ， ，
可得 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 （5） （1） ．
故选： ．
知识点4
知识点
【知识点4】利用对称性解不等式或方程
1.利用对称性化简表达式：
若 关于 对称，令 ，将不等式转化为关于t的偶函数形式，利用单调性求解．
若 关于 对称，令t=x-a，将表达式转化为关于t的奇函数形式，结合中心对称性质
分析.
2.对称性与单调性结合：
对称轴 / 中心两侧的单调性相反（如偶函数在x>a单调递增，则 单调递减），利用对
称性将不等式两边转化到同一单调区间求解．
典型例题
例1：
第15页 共19页【例16】（2024•博望区学业考试）已知函数 为定义在 上的函数，对任意的 ，均
有 成立，且 在 ， 上单调递减，若 ，则不等式 的解
集为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数 为定义在 上的函数，对任意的 ，均有 成立，
所以 的图象关于 对称，
因为 在 ， 上单调递减， ，
所以 在 上单调递增， （5）
则不等式 可得 ，
解得 ．
故选： ．
【例17】（2024秋•蔡甸区月考）已知函数 为定义在 上的函数，对任意的 ，均有
成立，且 在 ， 上单调递减，若 ，则不等式 的解集
为 ， ．
【答案】 ， ．
【分析】依题意，由函数的对称性与单调性的性质以及 分析可求得： 的解，
第16页 共19页进而可得 的解集．
【解答】解： 对任意的 ，均有 成立，
的图象关于直线 对称，又 ，
（5） ，
又 在 ， 上单调递减，
在 ， 上单调递增，
当 时， ，
，解得 ，
不等式 的解集为 ， ．
故答案为： ， ．
【例 18】（2024 秋•沙坪坝区期末）已知函数 ，则使得不等式
成立的实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【分析】先判断函数的对称性以及单调性，结合函数的对称性将不等式进行转化求解即可
【解答】解： ，则 关于 对称，且当 时， 为
增函数，
由 ，等价 ，
第17页 共19页平方得 ，解得
故选： ．
【例19】（2023秋•垫江县月考）已知函数 ．
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）解关于 的不等式 ．
【答案】（1）2；
（2）答案见解析．
【分析】（1）利用图象平移变化可得 的对称轴为 ，然后由二次函数性质可解；
（2）根据相应二次函数开口方向和两根大小关系分类讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意，因为 为偶函数，则 的图象关于 对称，
所以 ，解得 ，
此时 ， 满足题意，
所以， 的值为2．
（2） ．
因为 ，所以方程 的两根为 和1，
当 时， ，不等式解集为 ；
当 时， ，不等式解集为 ；
当 时， ，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ．
第18页 共19页【例20】（2024秋•耒阳市月考）已知偶函数 与奇函数 的定义域都是 ， ，它们
在 ， 上的图象如图所示，则使关于 的不等式 成立的 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【分析】分 ， 和 ， 两种情形，结合函数奇偶性的特点，即可得
解．
【解答】解：因为不等式 ，
所以当 ， 时，有 ， ， ；
当 ， 时，有 或 ， ， ，
综上， ， ， ．
故选： ．
第19页 共19页
