文档文本内容
§2.4 函数的对称性
课标要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公
式解决问题．
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于____________对称，偶函数关于________对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为________；若f(x＋a)是奇函数，则函数
f(x)图象的对称中心为________．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于________对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于________对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于________对称．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．( )
(2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
(3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．( )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( )
2．函数f(x)＝的图象的对称中心为( )
A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1)
3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成
立，则( )
A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
4．(2023·南昌检测)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过
点________．
题型一 轴对称问题例1 (1)(2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数 f(x＋1)为偶函数，当－
1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f 等于( )
A. B．－ C. D．－
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式
f(－x2)>f(－1)的解集为_____________________________________．
思维升华 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x⇔＝对称．
跟踪训练1 (1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，
f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(－1)<f(1)
D．f(－1)<f(2)<f(1)
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)
图象的交点为(x，y)，(x，y)，…，(x ，y )，则所有交点的横坐标之和为( )
1 1 2 2 m m
A．0 B．m C．2m D．4m
题型二 中心对称问题
例2 (1)(多选)下列说法中，正确的是( )
A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称
B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称
C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)
D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2
(2)(2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2,0)对称，且当
x∈[0,1]时，f(x)＝，则f(2 024)等于( )
A. B. C. D．0
跟踪训练2 (1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋
1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
题型三 两个函数图象的对称
例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
跟踪训练3 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ex－1 B．y＝e1－x
C．y＝e2－x D．y＝ln x
