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§2.4 函数的对称性
课标要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公
式解决问题．
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于 y 轴 对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 x ＝ a ；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图
象的对称中心为 ( a ,0) ．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 ( a ,0) 对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 y 轴 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 x 轴 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．( √ )
(2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
(3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．( × )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．( √ )
2．函数f(x)＝的图象的对称中心为( )
A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1)
答案 B
解析 因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的
图象关于点(0,0)对称，
所以f(x)＝1＋的图象关于点(0,1)对称．
3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成
立，则( )
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
答案 A解析 因为f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(3)＝f(1)，
由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，
所以f(－1)f(－1)的解集为________．
答案 (－1,1)
解析 ∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．
又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，
∴－x2>－1，即x2<1，∴－12－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，
所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 C
解析 ∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，
又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b
＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，
∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，
∴解得
题型三 两个函数图象的对称
例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
答案 A
解析 设P(x，y)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
0 0
则y＝f(x＋2)＝f(4－(2－x))，
0 0 0
所以点Q(2－x，y)在函数y＝f(4－x)的图象上，
0 0
而点P(x，y)与点Q(2－x，y)关于直线x＝1对称，
0 0 0 0
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
思维升华 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
跟踪训练3 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ex－1 B．y＝e1－x
C．y＝e2－x D．y＝ln x
答案 C
解析 与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
课时精练
一、单项选择题
1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．y＝ B．y＝lg|x|
C．y＝tan x D．y＝x3
答案 A解析 y＝的图象关于y＝x、坐标原点(0,0)分别成轴对称和中心对称，故A正确；
y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误；
y＝tan x关于点(k∈Z)成中心对称，但无对称轴，故C错误；
y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)成中心对称，但无对称轴，故D错误．
2．(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称
答案 C
解析 令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x，
∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，
∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称．
3．(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于点(1,0)对称
C．关于直线x＝0对称
D．关于原点对称
答案 A
解析 由已知可得，f(2－x)＝22－x＋＝＋4·＝＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，
故A项正确；
因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误；
f(－x)＝2－x＋＝4·2x＋，则f(－x)≠f(x)，故C项错误；
因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误．
4．(2023·赣州联考)已知函数f(x)在上单调递增，满足对任意x∈R，都有f ＝f ，若f(x)在区
间(a,2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D．(－∞，2]
答案 C
解析 由f ＝f ，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，
因为函数f(x)在上单调递增，
所以函数f(x)在上单调递减，
因为f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，
则解得1f(4)＝0，故选项D错误．
三、填空题
9．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函
数，f(x)＝________.
答案 cos πx(形如acos πx＋b或a＋b或a＋b或a＋b等)
解析 因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，
所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1，
故可取函数f(x)＝cos πx.
10．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________.
答案 2
解析 因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，
将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，
所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
11．(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝
log x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________．
2
答案
解析 ∵y＝f(x＋3)是偶函数，
∴f(x)的图象关于直线x＝3对称．
∵当x≥3时，f(x)＝log x，
2
∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，
∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，
解得x<－3或x>.12．(2023·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y
＝的图象交于点(x，y)，(x，y)，…，(x，y)，则(x＋y)的值为________．
1 1 2 2 n n i i
答案 n
解析 ∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
则f(2－x)＋f(x)＝0，
∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，
∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的，
∴函数y＝的图象关于点(1,0)对称，
∴函数f(x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1,0)对称，
∴(x＋y)＝＋＝2×＋0×＝n.
i i i i
四、解答题
13．(2023·邢台检测)已知函数f(x)＝log |x－2|＋x2－4x.
2
(1)判断并证明函数f(x)的对称性；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)f(x)的图象关于直线x＝2对称．
证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
因为f(2－x)＝log |x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log |x|＋x2－4，
2 2
f(2＋x)＝log |x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log |x|＋x2－4，
2 2
所以f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)设y＝log |x－2|，y＝x2－4x，
1 2 2
当x>2时，y＝log |x－2|＝log (x－2)单调递增，y＝x2－4x也单调递增，
1 2 2 2
故f(x)＝log |x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增．
2
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．
14．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝
f(x)为偶函数”的一个推广结论．
解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
15．设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＝f(x＋4)
D．f(x＋6)为奇函数
答案 D
解析 因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)
＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－
f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数．
16．(多选)(2024·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)
＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是( )
A．g(2)＝1
B．g(0)＝1
C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0)
D．g(－1)＋g(2)<2
答案 BCD
解析 ∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，
将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，
∵g(x)＝f(x)＋1，
∴g(0)＝f(0)＋1，
∴g(0)＝1，故B选项正确；
∵y＝f(x－2)为减函数，
∴f(x)为减函数，
∴g(x)＝f(x)＋1为减函数，
又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误；
∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数，
∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C选项正确；g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2，
∵f(1)>f(2)，
∴g(－1)＋g(2)<2，故D选项正确．
