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2.3 函数的奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,
都有－x∈D,且f ( －
x ) ＝
f ( x ) ,那么函数f(x)就叫
做偶函数
关于y 轴
对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,
都有－x∈D,且f ( －
x ) ＝－
f ( x ) ,那么函数f(x)就
叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都有x＋
T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
常用的结论
1.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0 处有定义,则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单
调性.
3.函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝
1
f ( x),则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－
1
f ( x),则T＝2a(a>0).
考点一 函数奇偶性的判断
考点二 利用奇偶性求解析式
考点三 利用奇偶性求参
考点四 利用单调性与奇偶性解不等式
考点五 由周期性求函数的解析式
考点六 由函数的周期性求函数值
考点一 函数奇偶性的判断
1．（25-26 高三上·江西上饶·期中）（多选）下列函数是以
为周期的偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高二下·湖北·期中）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
．
4．（25-26 高三·全国·一轮复习）判断下列各函数是否具有奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
；
(5)
(6)
考点二 利用奇偶性求解析式
5．（25-26 高三上·安徽安庆·月考）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
____.
6．（25-26 高三下·河南新乡·月考）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·河北张家口·月考）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）已知
为
上的偶函数，
为
上的奇函数，且
，其
中
．
(1)求函数
和
的解析式；
9．（24-25 高二下·天津·月考）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)判断当
时函数
的单调性，并证明；
(3)解不等式
．
考点三 利用奇偶性求参
10．（山东威海市2026 届高三第二模拟考试数学试卷）已知函数
为偶函数，则
________．
11．（2026·湖北·模拟预测）若
为奇函数，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
或1
12．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·山西吕梁·三模）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
14．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．-2
B．0
C．-3
D．-1
考点四 利用单调性与奇偶性解不等式
15．（25-26 高三上·湖南长沙·期中）已知
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高二下·山东济宁·期中）已知函数
，若
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026 届高三下学期5 月学情自测数学试卷）已知函数
是定义域为
的
偶函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 由周期性求函数的解析式
20．（2026·上海静安·二模）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
，则
当
时，
______．
21．（25-26 高三上·甘肃·期中）定义在
上的函数
，满足
，若当
时，
，则当
时，
______.
22．（25-26 高三上·甘肃兰州·月考）已知函数
．
(1)若
是以2 为周期的奇函数，且当
时，有
，求函数
的解析式．
(2)若
，求
的取值范围；
23．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）设
是定义在
上的函数，对任意
，均有
，当
时，
，则当
，
时，
______．
考点六 由函数的周期性求函数值
24．（25-26 高三上·广西来宾·阶段检测）已知奇函数
的周期为8，则（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知
，
．当
时，
，则
______．
26．（2026·安徽芜湖·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则
__________.
27．（2026·江西·三模）设
是定义在
上的奇函数，
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
28．（25-26 高三下·江西·阶段检测）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
1．（25-26 高三下·天津·阶段检测）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·北京·期中）下列函数中，在
上递增的偶函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河北·三模）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．
4．（25-26 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数
，若满足
恒成立，则实
数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·河南·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
（m 为常数），
则
（ ）
A．4
B．7
C．
D．8
6．（25-26 高三上·山西·阶段检测）已知函数
为偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高二下·浙江·期中）已知
是定义在
上且周期为
的偶函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·福建南平·二模）已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
9．（2026·河北邯郸·二模）（多选）已知函数
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的值域为
D．
的解集为
10．（25-26 高三下·河北沧州·月考）（多选）已知定义在
上的偶函数
满足当
时，
，
则（ ）
A．曲线
过定点
B．若
，则
C．若
，则
有且仅有4 个零点
D．若
，则
11．（25-26 高三上·江西景德镇·期末）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
是奇函数
B．若
，则
的图象关于点
对称
C．若
，则
的值域为
D．若
，则不等式
的解集为
12．（25-26 高三下·云南楚雄·月考）已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
____________．
13．（25-26 高三上·河南·开学考试）已知函数
满足
，当
时，
，且
，则当
时，不等式
的解集为__________.
14．（2026·吉林长春·二模）已知函数
，若
，则
的取值范围是___________．
15．（25-26 高二下·浙江温州·期中）已知函数
，则使不等式
成立的实数
的取值范围是__________.
16．（25-26 高三上·安徽安庆·月考）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
______．
17．（25-26 高三上·贵州毕节·月考）设函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)求
的解析式；
(3)若函数
，求函数
的最小值.
18．（25-26 高二下·浙江宁波·期中）已知函数
.
(1)用定义证明函数
在
上是增函数；
(2)解不等式
.
