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2.3 函数的奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,
都有－x∈D,且f ( －
x ) ＝
f ( x ) ,那么函数f(x)就叫
做偶函数
关于y 轴
对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,
都有－x∈D,且f ( －
x ) ＝－
f ( x ) ,那么函数f(x)就
叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都有x＋
T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
常用的结论
1.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0 处有定义,则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单
调性.
3.函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝
1
f ( x),则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－
1
f ( x),则T＝2a(a>0).
考点一 函数奇偶性的判断
考点二 利用奇偶性求解析式
考点三 利用奇偶性求参
考点四 利用单调性与奇偶性解不等式
考点五 由周期性求函数的解析式
考点六 由函数的周期性求函数值
考点一 函数奇偶性的判断
1．（25-26 高三上·江西上饶·期中）（多选）下列函数是以
为周期的偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，先推出其奇偶性，再举反例推出其周期不是
即可判断；对于B，先推出其奇偶性，再结合
的最小正周期即可推出
的最小正周期，进而即可判断；对于C，D，先推出其奇偶性，推出其周
期即可判断．
【详解】对于A，由
的定义域为
，关于原点对称，
令
，则
，所以
为偶函数，
又
，
，
所以
，故函数
的周期不是
，故A 错误；
对于B，由
的定义域为
，关于原点对称，
令
，由
，所以
为偶函数，
又函数
的最小正周期为
，
且函数
的图象是将函数
的
轴下方图象翻折到
轴上方，
故周期变成函数
的周期的一半，故
的最小正周期为
，即以
为周期，故B 正确；
对于C，由
的定义域为
，关于原点对称，
令
，由
，所以
为偶函数，
又函数
的最小正周期为
，即以
为周期，故C 正确；
对于D，由
的定义域为
，关于原点对称，
令
，由
，所以
为偶函数，
又函数
的最小正周期为
，
则
，故
的最小正周期为
，即以
为周期，故D 正确．
故选：BCD．
2．（25-26 高二下·湖北·期中）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义判断出函数
为偶函数，排除B 选项，再通过对
变形设
，求导得出
单
调性，进而分析
时
的情况，排除C，D 选项.
【详解】∵
，且定义域为
，
∴
为偶函数，故排除B 选项，又因为
，
，则
恒成立，
∴
在
上单调递增，当
时，
，
∴当
时，
，且
单调递增，故排除选项C、D.
3．（25-26 高三上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
【分析】（1）由函数奇偶性的判定方法和步骤计算分析即可；
（2）先由诱导公式化简函数解析式，再由函数奇偶性的判定方法和步骤计算分析即可.
【详解】（1）函数定义域为
关于原点对称，且
，
∴函数
是奇函数．
（2）函数定义域为
关于原点对称，又
，
，
∴函数
是偶函数．
4．（25-26 高三·全国·一轮复习）判断下列各函数是否具有奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
；
(5)
(6)
【答案】(1)奇函数
(2)非奇非偶函数
(3)非奇非偶函数
(4)奇函数
(5)即是奇函数也是偶函数
(6)非奇非偶函数
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）
的定义域为
，它关于原点对称．
，故
为奇函数；
（2）
的定义域为
不关于原点对称，
故
既不是奇函数也不是偶函数；
（3）因为
，所以
，即函数
的定义域为
，
不关于原点对称，故
既不是奇函数也不是偶函数；
（4）由
，得
，且
，
所以
的定义域为
，关于原点对称，
所以
．又
，
所以
是奇函数；
（5）对于函数
，因为
，所以
，
其定义域为
，关于原点对称．因为对定义域内的每一个
，
都有
，所以
，
，
所以
既是奇函数又是偶函数；
（6）因为
，所以
，所以
的定义域为
，
不关于原点对称，所以
既不是奇函数也不是偶函数．
故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函
数
考点二 利用奇偶性求解析式
5．（25-26 高三上·安徽安庆·月考）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
____.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性计算即可.
【详解】
.
6．（25-26 高三下·河南新乡·月考）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质
,计算可得.
【详解】由题意，当
时，
，
，
又函数
是定义在R 上的奇函数，所以
.
7．（25-26 高三上·河北张家口·月考）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可.
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，
当
时，则
，
所以
.
故选：C.
8．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）已知
为
上的偶函数，
为
上的奇函数，且
，其
中
．
(1)求函数
和
的解析式；
【答案】(1)
，
【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，求出两函数解析式；
【详解】（1）由题意知
，则
，
因为
为
上的偶函数，
为
上的奇函数，
所以
，联立
，
解得
，
．
9．（24-25 高二下·天津·月考）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)判断当
时函数
的单调性，并证明；
(3)解不等式
．
【答案】(1)
(2)递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质和
建立等量关系即可得解；
（2）利用定义法判定单调性；
（3）根据奇偶性和单调性求解不等式.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
又
所以
，所以
，
显然
，
是奇函数，
综上
（2）
在
上单调递增；
证明：任取
，且
，
所以
，
则
，
所以
，所以
在
上单调递增；
（3）由题可知
在
上单调递增且为奇函数，
由
得
，
所以
，解得
或
，
所以不等式的解集为
考点三 利用奇偶性求参
10．（山东威海市2026 届高三第二模拟考试数学试卷）已知函数
为偶函数，则
________．
【答案】1
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数
，再验证该参数下
．
【详解】因为函数有意义，则
．
若
，则
，此时定义域为
，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故
．
当
时，临界点为
和
，定义域为
或
．
因为
为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即
，解得
．
当
时，定义域为
．
对任意
，有
.
所以
．
11．（2026·湖北·模拟预测）若
为奇函数，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
或1
【答案】C
【详解】
，
，
为奇函数，
，
，
，
，
，
对于任意的
恒成立，
，
，故选项C 正确.
12．（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以由
在
上恒成立，可得
在
上恒成立.
若
，即
，则
在
上单调递增，则
，得
.
若
，即
，则
，化简得
，得
.
若
，即
，则
在
上单调递减，则
，得
.
综上所述，a 的取值范围为
.
13．（2026·山西吕梁·三模）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合奇函数的定义求解即可.
【详解】
因为
是奇函数，
所以
所以
验证：当
时，
,满足奇函数的定义.
14．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．-2
B．0
C．-3
D．-1
【答案】C
【分析】由奇函数的定义求解
【详解】若
，则
，
所以
，
所以
，
，
.
考点四 利用单调性与奇偶性解不等式
15．（25-26 高三上·湖南长沙·期中）已知
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得.
【详解】由已知
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
则函数
在
上单调递增，
又
，所以
，
即当
时，
，当
或
时，
，
所以不等式
的解集为
.
16．（25-26 高二下·山东济宁·期中）已知函数
，若
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知函数
为奇函数，且在定义域
内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】因为函数
的定义域为
，
且
，可知函数
为奇函数，
又因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
可知函数
在定义域
内单调递增，
若
，则
，
可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
17．（2026·贵州贵阳·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且对任意
，总有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由条件判断
在
上单调递减，结合偶函数的性质可得
在
上单调递增，从而
，利用函数单调性得
，求解该不等式即得.
【详解】因对任意
，总有
，可知
在
上单调递减，
又因
是定义在
上的偶函数，故
在
上单调递增，
故
，
两边取平方得
，即
，解得
或
，
故不等式
的解集为
.
18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式.
【详解】由已知得
，当
时，
，
所以
，当
时，同理有
，可知
是奇函数．
又当
时，
，所以
在
上单调递增，
从而可得
在
上单调递增．
不等式
即
，
所以有
，解得
．
19．（湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026 届高三下学期5 月学情自测数学试卷）已知函数
是定义域为
的
偶函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
与
在
上单调递增，所以
在
上单调递增．
又因函数
是定义域为
的偶函数，且
，
所以由
或
，
所以原不等式的解集为
．
考点五 由周期性求函数的解析式
20．（2026·上海静安·二模）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
，则
当
时，
______．
【答案】
【详解】当
时，
，
，
又
定义在R 上的偶函数，且最小正周期为2，
，
．
21．（25-26 高三上·甘肃·期中）定义在
上的函数
，满足
，若当
时，
，则当
时，
______.
【答案】
【分析】当
时，则
，根据条件及
时的解析式，代入计算，即可得答案.
【详解】当
时，则
，
因为
，所以
，
又当
时，
，
所以
.
故答案为：
.
22．（25-26 高三上·甘肃兰州·月考）已知函数
．
(1)若
是以2 为周期的奇函数，且当
时，有
，求函数
的解析式．
(2)若
，求
的取值范围；
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由
，得
，利用周期性与奇偶性可得
，代入即得答案；
（2）求出
的解析式以及定义域，再根据对数函数的单调性解不等式即可求解.
【详解】（1）设
，则
，
，
由周期性得：
，
再由奇函数性质得：
，
当
时，有
，且
，
所以
，
.
（2）代入
得：
，
即
，
即
，
得：
，
解得：
.
23．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）设
是定义在
上的函数，对任意
，均有
，当
时，
，则当
，
时，
______．
【答案】
【分析】由题可得
的周期为4，求出
时的
的解析式，利用函数周期性求得答案.
【详解】由
，得
，
所以
，即函数
是周期为4 的周期函数.
当
时，
，
，又
，
所以
，
当
，
时，则
，
，
又
，
.
故答案为：
.
考点六 由函数的周期性求函数值
24．（25-26 高三上·广西来宾·阶段检测）已知奇函数
的周期为8，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数周期性和奇偶性即可求解.
【详解】因为
的周期为8，所以
，
又
为奇函数，所以
，则
，
所以
.
无法确定.
25．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知
，
．当
时，
，则
______．
【答案】
【分析】根据周期性，将
转化成在
内的值，代入解析式进行计算．
【详解】因为
，用
替换
，可得：
，故周期为6，
因为
，
故
，
因为当
时，
，故
；
故
．
26．（2026·安徽芜湖·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则
__________.
【答案】0
【分析】由题设可得
，
，
，进而得到
，进而代值求解即
可.
【详解】由
是定义在
上的奇函数，得
，
由
为偶函数，得
，
则
，即
，
则
，
由
，可得
，即
.
27．（2026·江西·三模）设
是定义在
上的奇函数，
，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据题意得
，则利用周期性和奇函数性质求值.
【详解】由于
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
则
.
28．（25-26 高三下·江西·阶段检测）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
【答案】C
【分析】首先根据偶函数的定义结合已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可.
【详解】因为
是定义在
上的偶函数，所以
.又因为
，
所以
，所以
，所以
的周期为
.
因为
时，
，所以
1．（25-26 高三下·天津·阶段检测）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
取值情况判断B；由
时函数值情况判断C；由
的值判断D；分析函数性质判断A.
【详解】对于B，函数
的定义域为R，而给定图象对应函数中
，B 不是；
对于C，函数
，当
时，
，此时图象在
下方，C 不是；
对于D，函数
，
，其图象过点
，D 不是；
对于A，函数
，定义域为
，
，函数
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时，
；当
时，
，A 可能是.
2．（25-26 高三上·北京·期中）下列函数中，在
上递增的偶函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A：
为奇函数，故A 错误；
对于B：
为奇函数，故B 错误；
对于C：
为偶函数，但是函数在
上单调递减，故C 错误；
对于D：
为偶函数，且
上单调递增，故D 正确.
3．（2026·河北·三模）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】已知
是奇函数，根据奇函数定义有
，
当
时，
，则
，
所以
.
4．（25-26 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数
，若满足
恒成立，则实
数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性与单调性转化不等式
【详解】由题，
，因为
，
所以
，即
在R 上单调递增，
，
所以
为奇函数，
不等式
可转化为
，
所以
.
5．（2026·河南·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
（m 为常数），
则
（ ）
A．4
B．7
C．
D．8
【答案】C
【详解】由已知得
，则
，
所以当
时，
，
所以
，故
．
6．（25-26 高三上·山西·阶段检测）已知函数
为偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，故
．
7．（25-26 高二下·浙江·期中）已知
是定义在
上且周期为
的偶函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵
是定义在
上且周期为
的函数，∴
.
∵
是偶函数，∴
.
∵ 当
时，
，∴
，即
.
8．（2026·福建南平·二模）已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据函数
的周期性和奇偶性即可求解.
【详解】已知
是定义在
上且周期为
的奇函数，所以有
，
令
，得
，
由于
是奇函数，有
，所以
，即
，解得
，
当
时，
，由于
，所以
，
因此
，故B 正确.
9．（2026·河北邯郸·二模）（多选）已知函数
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的值域为
D．
的解集为
【答案】ACD
【分析】利用奇函数定义求出
判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解
集判断D.
【详解】A 选项，因为
为奇函数，且定义域为
，所以
，代入解得：
，
验证：当
时，
，
，即
，所以A 选项正确；
B 选项，由A 选项解析得：
，即
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，所以B 选项错误；
C 选项，令
，则
，
，因为
，所以
，
，
，则：
，
的值域为
，所以C 选项正确；
D 选项，因为
，所以
，又因为
是奇函数，所以
，
原不等式变形为：
，由B 选项解析得：
在
上单调递增，
所以需满足
，解得：
，所以D 选项正确.
10．（25-26 高三下·河北沧州·月考）（多选）已知定义在
上的偶函数
满足当
时，
，
则（ ）
A．曲线
过定点
B．若
，则
C．若
，则
有且仅有4 个零点
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】由于
，故其所过点必含变量
，根据对称性，分析可判断A 的正误；根据偶函数的定义及条件，可
得
的解析式，整理变形，可判断B 的正误；当
时，求出
的零点，分析各段
的正负，结合偶函
数的性质，分析可判断C 的正误；根据
的单调性及对数的运算性质，分析比较，即可判断D 的正误.
【详解】对于A，注意到
，故其所过点必含变量
，对称性可得
同理，故A 错误；
对于B，
时，
，
时
，
故
，故B 正确；
对于C，当
时，
，令
，解得
或
，
注意到当
时，
，当
时，
，
当
时，由于指数函数增长速度远高于多项式函数，故
，
于是
有且仅有2 个正零点，
由奇偶性知
有且仅有4 个零点，故C 正确；
对于D，当
时，
，显然其在
时单调递增，
且
，
所以
，
于是
，故D 正确.
11．（25-26 高三上·江西景德镇·期末）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
是奇函数
B．若
，则
的图象关于点
对称
C．若
，则
的值域为
D．若
，则不等式
的解集为
【答案】AD
【分析】对于函数的奇偶性，需要判断
的关系；对于函数的对称性，可通过分析函数的性质来判断；
对于函数的值域，可根据函数的单调性来求解；对于不等式的求解，可利用函数的性质进行转化；
【详解】对于A，当
时，
的定义域为
，
因为
，所以
是奇函数，A 正确；
对于B，当
时，
，其定义域为
，
，
因为
，所以函数关于点
对称，B 错误；
对于C，当
时，
的定义域为
，因为
，所以
，
则
，那么
，所以
，即
的值域为
，C 错误；
对于D，当
时，
，其定义域为
，由B 可知
，
不等式
可化为
，
即
，对
求导可得
，
所以
在
上单调递减.因为
，所以
，解得
，
即不等式的解集为
，D 正确；
故选：AD.
12．（25-26 高三下·云南楚雄·月考）已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
____________．
【答案】
【分析】根据奇偶性和周期性求解即可.
【详解】因为
，所以
，
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
4），故
是周期为4 的周期函数，
所以
，
又因为
，所以
．
13．（25-26 高三上·河南·开学考试）已知函数
满足
，当
时，
，且
，则当
时，不等式
的解集为__________.
【答案】
【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求
和
的解析式，再解不等式.
【详解】由
知，函数
是周期函数，周期为4，
，得
，
所以当
时，
，
设
，
,
则
，得
，即
，
当
，
，
则
，得
，即
，
综上可知不等式
的解集为
.
故答案为：
14．（2026·吉林长春·二模）已知函数
，若
，则
的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先判断函数
的奇偶性，再判断函数
的单调性，利用函数性质求
的范围即可.
【详解】已知函数
，则
，
是奇函数，
是增函数，
是增函数，
是增函数，
因为
，
，即
，
是单调递增函数，
，解得
．
所以
的取值范围是
.
15．（25-26 高二下·浙江温州·期中）已知函数
，则使不等式
成立的实数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由函数解析式知函数的图象关于直线
对称，易得函数在
上是减函数，在
上为增函数，
利用对称性和单调性解不等式即可.
【详解】函数
定义域为
，
，
，
关于直线
对称，
当
时，函数
在
上递增，
在
上递增，
所以
在
上递减，
又
关于
对称，所以
在
上递增.
由
得
，即
，
等价于
，解得
.
16．（25-26 高三上·安徽安庆·月考）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
______．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求函数值．
【详解】
．
17．（25-26 高三上·贵州毕节·月考）设函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)求
的解析式；
(3)若函数
，求函数
的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数的定义求解；
（2）利用偶函数的定义求函数解析式；
（3）分情况讨论对称轴与区间
的位置关系求最值.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的偶函数，
且当
时，
，
则
；
（2）设
，则
，所以
，
因为函数
是定义在
上的偶函数，
所以
，则
时，
，
所以
；
（3）当
时，
，
所以
，对称轴为
，
当
时，
；
当
时，即
时，
；
当
时，即
时，
；
综上所述，
.
18．（25-26 高二下·浙江宁波·期中）已知函数
.
(1)用定义证明函数
在
上是增函数；
(2)解不等式
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用作差法证明函数在
上单调递增；
（2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集.
【详解】（1）任取
，设
，
，
又
，
，所以
，
故
，即
，
函数
在
上是增函数.
（2）因为
，所以
为偶函数，
则由
，可得
，
即
，即
，解得
.
