文档文本内容
2.5 函数的图像
5 大考点汇总
考点01 函数图像的识别
考点02 画出具体函数图象
考点03 根据函数图象选择解析式
考点04 函数图象的变换
考点05 函数图象的应用
题型专练
考点01 函数图像的识别
1．函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设
，
的定义域关于原点对称，
，
所以
是偶函数，图象关于
轴对称，所以D 选项错误.
当
时，
，所以BC 选项错误.
综上所述，A 选项正确.
2．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过求函数的零点以及分析函数在特定区间的正负性，逐项判断即可求解.
【详解】令
，即
，
因为
恒成立，所以
，解得
或
；
所以函数
的图象与
轴有两个交点，分别为
和
，
观察选项：A 选项图象与
轴只有一个交点，排除；
C 选项图象在
处与
轴有交点，排除；
对于D 选项，当
时，
，
，
由指数函数与幂函数的增长速度可知
，即图象在
轴负半轴应无限趋近于
轴，
而D 选项图象在
时
，排除D,
当
时，
，且
，所以
，图象在
轴上方，且在
轴负半轴
应无限趋近于
轴；
当
时，
，所以
，图象在
轴下方，
当
时，
，所以
，图象在
轴上方； B 选项符合上述所有特征.
3．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【详解】
，
，则
，即定义域为
，
设
，则
，
故
为偶函数，图象关于
轴对称，排除BC，
当
时，
，
，
，
，排除A，
所以选项D 正确.
4．数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断定义域、奇函数，排除B，C，再讨论得出
时
恒正，排除D，故选A.
【详解】定义域
，
，
则
为奇函数，图像关于原点对称，排除B，C，
当
时，
，
，
当
时，由于
的增长速度比对数函数
的增长速度快，且均为正，
则
，
，排除D.
故选：A.
5．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断.
【详解】函数
的定义域为
，
因为
，所以函数为偶函数，
所以函数
的图像关于
轴对称，排除BD；
又当
时，
，则
，排除C，选项A 符合要求.
故选：A.
6．函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用奇偶性的定义法判断
的奇偶性，再判断当
时，
，排除选项BCD，即可求解.
【详解】由题意知
的定义域为
，
由于
，
故
是奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项BD，
又当
时，
，故
，故排除选项C，故A 正确.
故选：A
考点02 画出具体函数图象
7．已知函数
，求其值域、对称中心、单调区间，画出简图．
【答案】值域为
，对称中心为
，
单调递增区间为
，无递减区间；
简图为：
【分析】分析函数，得到函数值域和对称中心，定义法判断出函数单调性，结合特征画出图象
【详解】由
，
解得
或
，故其值域为
，
分母
，得
，得竖直渐近线
．
由结论得两条水平渐近线
，
，故
，
所以
为函数图象的对称中心．
当
时，令
，
，
因为
在R 上单调递增，且
，故
，
，
则
，
又
，故
，即
，
故
在
上单调递增，
因函数的图象关于点
中心对称，故得
在
上单调递增，
所以单调递增区间为
，无递减区间；
取特定点，
，
，即可画出函数的简图.
8．已知函数
，求其值域、对称中心、单调区间，画出简图．
【答案】值域为
.
对称中心为
.
上单调递减.
【详解】因为
，且
，所以函数
单调递减.
并且
时
，
时，
，所以值域为
.
令分母为
，无解，说明竖直渐近线不存在．由结论得两条水平渐近线
，
．
由对称中心点
得对称中心
．
取
，
，确定图像位置.
9．已知函数
.
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)请在图中画出函数
的大致图象；
(3)求出方程
的解的个数.
【答案】(1)
单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，极小值为0，极大值为
；
(2)图像见解析.
(3)答案见详解
【分析】（1）求出函数的导函数，根据符号判断函数的单调性，并求解极值.
（2）根据（1）的单调性以及极值点画出大致图像即可.
（3）根据（2）的图像，讨论
的取值，分析方程的解的个数.
【详解】（1）函数
定义域为
，
.
由于
恒成立，令
，解得
或
.
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因此极大值
，极小值
.
（2）
（3）结合函数图像分类讨论：
当
时，解的个数为
.
当
或
时，解的个数为；
当
时，解的个数为3.
当
时，解的个数为
.
10．已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
．
(1)画出函数
的图象，并求出
的解析式；
(2)当
时，求
的值；
(3)
，讨论
的根的个数情况．
【答案】(1)
的图象见解析；
(2)
(3)当
时，
的根的个数为0；
当
时，
的根的个数为2；
当
时，
的根的个数为4；
当
时，
的根的个数为3；
当
时，
的根的个数为2．
【分析】（1）先画出函数
在
时的图象，再根据偶函数关于
轴对称即可画出函数
在
时
的图象；再利用偶函数的定义，可以求出当
时，
的解析式，进而写出
在
上的解析式；
（2）分
和
两种情况讨论，再解一元二次方程即可得到答案；
（3）根据
的根的个数，等价求函数
的图象与直线
的交点个数，再结合（1）分类讨
论即可．
【详解】（1）当
时，
，即
是二次函数，其顶点为
，过点
，
，
，
又函数
是定义在
上的偶函数，即函数
关于
轴对称，
所以
图象如下：
又函数
是定义在
上的偶函数，则
，
当
时，
，
则当
时，
，即
，
所以
的解析式为
．
（2）当
时，
，即
，解得
（舍去），或
；
当
时，
，即
，解得
（舍去），或
，
所以
．
（3）由
的根的个数，等价求函数
的图象与直线
的交点个数．
结合（1）可知，
当
时，直线
在函数
图象的下方，故无交点，即
的根的个数为0；
当
时，直线
与函数
图象有2 个切点，即
的根的个数为2；
当
时，直线
在函数
图象有4 个交点，即
的根的个数为4；
当
时，直线
在函数
图象有3 个交点，即
的根的个数为3；
当
时，直线
在函数
图象有2 个交点，即
的根的个数为2．
11．已知函数
(1)求函数
的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数
的大致图像；
(3)讨论关于x 的方程
的实根个数．
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)
(3)当
时，方程
有唯一的实数根；
当
时，方程
有两个不同的实数根；
当
时，方程
无实数根.
【分析】（1）求导得
，分析单调性，得极小值
，无极大值；
（2）结合单调性、零点
和极限趋势，画出函数图像；
（3）将方程根的个数转化为函数
与
的交点个数，结合图像分情况讨论.
【详解】（1）因为函数
定义域为
，
，又
恒成立，
当
时，
；当
时，
；
所以，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大值.
（2）当
时，
，
，此时
，
再结合（1）中分析，可得
图象如下：
（3）方程
的根的个数等价于函数
与
的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当
时，
与
有且仅有一个交点；
当
时，
与
有两个不同交点；
当
时，
与
有且仅有一个交点；
当
时，
与
无交点；
综上所述：当
时，方程
有唯一的实数根；
当
时，方程
有两个不同的实数根；
当
时，方程
无实数根.
12．给定函数
．
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)画出函数
的大致图象；
(3)求出方程
解的个数．
【答案】(1)函数
的单调递增区间为
；单调递减区间为
；函数
的极小值为
，无
极大值.
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.
（3）利用数形结合法即可求解.
【详解】（1）由
，定义域为
，可得
，
令
，得
，解得
；
令
，得
，解得
；
令
，得
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
；单调递减区间为
，
所以
为极小值点，所以函数
的极小值为
，无极大值.
（2）函数的大致图象如图所示：
（3）方程
解的个数等价于
与
的交点个数.
由（2）可知当
时，方程
的解为
个；
当
时，方程
的解为1 个；
当
时，方程
的解为2 个.
考点03 根据函数图象选择解析式
13．已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能为：（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解
【详解】由图可知，
关于原点中心对称，且不是
上的单调函数；
对于B，
是偶函数，不符合，排除B；
对于C，
的定义域不含
，不符合，排除C；
对于D，由复合函数的单调性知
是
单调递增函数，排除D；
所以A 正确.
14．函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
取值情况判断B；由
时函数值情况判断C；由
的值判断D；分析函数性质判断A.
【详解】对于B，函数
的定义域为R，而给定图象对应函数中
，B 不是；
对于C，函数
，当
时，
，此时图象在
下方，C 不是；
对于D，函数
，
，其图象过点
，D 不是；
对于A，函数
，定义域为
，
，函数
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时，
；当
时，
，A 可能是.
15．已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
可排除BD，根据函数值的符号可排除A.
【详解】由图可得
，而B 中函数满足
，D 中函数满足
，故排除BD，
对于A 函数：当
时，
，而
，故
，
故当
时，
，故排除A，
故选：C.
16．已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由定义域排除D，由函数在
时函数值正负排除B，由函数的奇偶性排除C，即得正确选项．
【详解】
有
，而由函数
的部分图象得出定义域内有0，不合题意排除D 选项；
函数
的部分图象关于y 轴对称是偶函数，而
,不合题意排除B 选项；
当
时，
，
，
由图可知
有正有负，不合题意 排除C 选项；
故选：A.
17．已知函数
的图像如图所示，则
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题使用排除法，通过赋值法可排除
，
项，通过对指数函数与幂函数增长速度的比较，可以排
除
项，从而得出正确选项.
【详解】对于
，
，与题图不符，故
错误；
对于
，当
时，因为指数函数
的增长速度远大于幂函数
的增长速度，所以
，与题图不符，故
错误；
对于
，
，与题图不符，故
错误；
通过排除法，所以
正确.
故选：
.
18．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，
心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图
是由此抽象出来的一个“心
形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在
轴上方的图象对应的函数解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.
【详解】A 选项：
，故A 错误；
B 选项：记
，则
，故
为奇函数，
不符合题意，故B 错误；
C 选项：记
，则
，
故
为偶函数，
当
时，
，
此函数在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，故C 正确；
D 选项：记
，则
，
故
既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D 错误.
故选：C.
考点04 函数图象的变换
19．函数
的图象如图所示，那么函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的图象可由
先关于
轴对称，再向右平移两个单位得到，
结合各选项，可知只有C 选项的图象符合．
20．（多选）已知图甲中的图象对应的函数
，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据函数
，
与函数
的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得．
【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，
对于A：
的图象是保持
在
轴右侧的图象并将右侧图象沿着
轴翻折，而乙图中在
轴右
侧的图象发生改变，故A 不合题意；
对于B：
的图象是保持
在
轴上方的图象并将下方的图象沿着
轴翻折,而乙图中在
原点附近的图象均在
轴下方，故B 不合题意；
对于C：当
时，
，即乙图中在
轴右侧的图象可由甲图中在
轴左侧的图象翻折得
到，
又
为偶函数，图象应关于
轴对称，故C 符合题意；
对于D：
可由
关于
轴翻折得到，根据A 项分析,可知D 符合题意.
21．为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上的所有的点（ ）
A．保持y 不变，横坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移1 个单位长度
B．保持y 不变，横坐标伸长为原来的2 倍，再向右平移1 个单位长度
C．保持y 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1 个单位长度
D．保持y 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1 个单位长度
【答案】A
【详解】把函数
的图象的所有的点保持
不变，横坐标伸长为原来的2 倍得到函数
的图象，
向左平移1 个单位长度得到函数
的图象.
22．已知函数
为奇函数，且在
上单调递增，在
上单调递减，若
的图象是一条连续的曲
线，则
（ ）
A．在
上单调递增
B．在
上单调递增
C．在
上单调递减
D．在
上单调递减
【答案】B
【分析】先根据奇函数的对称性求得函数
的单调区间，再结合函数图象平移求解即可.
【详解】因为
为奇函数，且在
上单调递增，在
上单调递减，
的图象是一条连续的曲线，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
的图象是由
的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到的，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
23．已知函数
（
且
），将函数
的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原
来的3 倍，得到函数
的图象，再将
的图象向右平移1 个单位长度，所得图象恰好与函数
的图
象重合，则
的值是（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得
，
则再将
的图象向右平移1 个单位长度后所得图象为函数
的图象，
由题可知函数
图象恰好与函数
的图象重合，
所以
，即
，
又
且
，所以
.
24．已知函数
（
且
），若将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，纵坐
标不变，得到函数
的图象，再将函数
的图象向下平移2 个单位长度，所得图象与
的图象重合，
则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象的变换规则，得到变换后的函数表达式，再结合图象重合的条件建立等式求解
.
【详解】由题意可得
，
再将函数
的图象向下平移2 个单位长度，所得图象与
的图象重合，
则
，
即
，
所以
，
又因为
，
所以
.
故选：C.
考点05 函数图象的应用
25．函数
的图象如图所示，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图像关于
对称，可得
，结合图像即可求解.
【详解】由题可得
，由于图像关于
对称，所以
，
，
得
，
，
所以不等式
，即
的解集为
.
26．（多选）已知函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
为奇函数
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
的值域为
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；通过举反例排除B；根据复合函数的单调性可判断C；
通过函数的变化趋势可判断D.
【详解】由图象知
定义域为
，是偶函数，在
上单调递增，在
上单调递减；
定义域为
，是奇函数，在
上单调递增，在
上单调递增；
对于A，
定义域为
，
又因为
，所以
是奇函数，故A 正确；
对于B，令
，则
，
，但
，
，
，故B 错误；
对于C，
，
由图象知
，
因为
在
上单调递增，所以
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
即
在
上单调递减，故C 正确；
对于D，记
与
轴交于点
，与
轴交于点
，
由图可知，当
从
趋近于
时，
的函数值从0 趋近于
，
的函数值从一个定值趋近于
，
所以
的值从0 趋近于
，
即
的值可以取到
，
又
为奇函数，
所以
的值域为
，故D 正确.
27．若函数
满足
，且
时，
，已知函数
，则函数
在区间
内的零点个数为_____.
【答案】
【分析】结合函数周期性和解析式可作出
与
在
上的图象，根据图象交点个数可得所
求函数零点个数.
【详解】
，
是周期为
的周期函数；
当
时，
；当
时，
；
，
又
，
，
，
可作出
与
在
上的图象如下图所示，
由图可知：
与
在
上有
个交点，
函数
在区间
内的零点个数为
.
28．若函数
有且只有一个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为函数
，
图象与直线
有且只有一个交点，然后利用
导数知识研究
性质，画出大致图象，据此可得答案.
【详解】
定义域为
，则
有且只有一个零点，
等价于方程
在
有且只有一个根，
即函数
，
图象与直线
有且只有一个交点.
，
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
则
在
时取得极大值
，
又
时，
，
，
；
时，
，
，
远远大于
，
.
据此可得
大致图象如下：
则由图可得为使函数
，
图象与直线
有且只有一个交点，
29．（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，递增区间是
B．
是偶函数，递减区间是
C．
是奇函数，递减区间是
D．
是奇函数，递增区间是
【答案】CD
【详解】将函数
去掉绝对值得
，
画出函数
的图象，如图，观察图象可知，
函数
的图象关于原点对称，
故函数
为奇函数，且在
上单调递减，在
上单调递增，故CD 正确．
30．（多选）已知函数
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
有3 个零点
B．函数
在
上单调递减
C．函数
的零点之积为
D．方程
最多有3 个实数根
【答案】AC
【分析】求解方程的根，即可得零点，进而可判断AC，根据函数的图像即可求解BD.
【详解】
时，令
，即
，则
，
当
时，令
，即
，得
或
，故
有3 个零点，A 正确，
当
时，
为开口向下的二次函数，且对称轴为
，此时
在
单
调递减，当
时，
，此时
在
单调递减，但
，因此
在
上不是单调递减，B 错误，
由于
有3 个零点，分别为
或
或
，结合
，故
有3 个零点，分别为
，故
的零点之积为
，C 正确，
作出
的大致图像如下，当
时，此时
有四个交点，故
有四个实数根，由于
，故
也有四个实数根，D 错误.
