文档文本内容
2.9 幂函数
11 大考点汇总
考点01 幂函数的判定以及求参数
考点02 幕函数图象的判断及应用
考点03 幂函数图象过定点问题
考点04 判断幂函数的单调性
考点05 幂函数相关的复合函数的单调性
考点06 利用幂函数的单调性求参数
考点07 由幂函数的单调性解不等式
考点08 由幂函数的单调性比较大小
考点09 幂函数的奇偶性的应用
考点10 根据幕函数值域求参数或范围
考点11 幂函数综合应用
题型专练
考点01 幂函数的判定以及求参数
1．下列函数中，既是幂函数，又在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解.
【详解】
，
均不是幂函数，
在
上单调递增，
是幂函数，且在
上单调递减．
故答案为：B.
2．已知幂函数
在
上单调递增，则实数
_____．
【答案】6
【详解】由题意得，
，解得，
.
3．若幂函数
的定义域为
，则实数
______．
【答案】3
【详解】解：由题意得
，解得
或
，
当
时，
，
此时定义域不为
，故舍去；
当
时，
，满足题意．
4．已知幂函数
，则
（ ）
A．8
B．2
C．4
D．
【答案】A
【详解】由幂函数的定义，知
，解得
，所以
，则
.
5．已知幂函数
的图象过点
，则
的值是（ ）
A．64
B．
C．
D．2
【答案】D
【详解】由题意得，
，则
，则
.
6．（多选）已知点
在幂函数
的图象上，则函数
是（ ）
A．定义域内的减函数
B．奇函数
C．偶函数
D．
上的减函数
【答案】BD
【分析】根据幂函数的定义得出
，再结合点的坐标得出
解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇
偶性即可求解．
【详解】由题意
，解得
，则
，
将点
，即
代入，得
，即
，
定义域为
，有
，
故
为奇函数，故B 正确，C 错误；
又
，所以
在
和
上为减函数，故A 错误，D 正确．
考点02 幕函数图象的判断及应用
7．若幂函数
，
与
在第一象限内的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得.
【详解】当
时，
在
上单调递增，
且
时，当
增大时，图象越来越平缓，所以
；
当
时，
在
上单调递减，
不妨令
，根据题图可得
，所以
；
综上可得
.
8．在同一坐标系内，函数
和
的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时：
直线
：斜率
，
轴截距
，故直线过一、三、四象限.
幂函数
：若
，在
递增且“上凸”，无此选项.
若
，
是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C.
若
，在
递增且“下凸”，无此选项.
当
时：
直线
：斜率
，
轴截距
，故直线过一、二、四象限，无此选项.
幂函数
：在
递减，对应选项A、D，但A 中直线截距为负，D 中直线截距为负，均与
矛盾.
综上，只有选项C 符合条件.
9．已知
，幂函数
的大致图象如图所示，则
_________．
【答案】
【详解】由图象知，
时，
在第一象限单调递减，故排除
，
图象关于
轴对称，故函数是偶函数，
时，
，定义域为
，满足
，是偶函数；
时，
，定义域为
，满足
，是奇函数；
．
10．函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可.
【详解】函数
是幂函数，定义域为R，
又
，所以
为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AD；
由
，得函数
在
上单调递增，排除C；
且当
时，函数
的图象在
下方，选项B 符合要求.
故选：B
考点03 幂函数图象过定点问题
11．已知集合
，任取
，则函数
的图像过点
的概率为____________.
【答案】
【分析】先统计集合A 的元素总个数，再逐一判断每个元素作为幂指数时幂函数是否过点
，统计符合
条件的元素个数后用古典概型公式计算概率.
【详解】验证当
取不同值时函数
是否满足
，
当
时，
，满足条件；
当
时，
，不满足；
当
时，
的定义域为
，
不在定义域内，不满足；
当
时，
，满足条件；
当
时，
，不满足。
计算概率：符合条件的
共2 个，由古典概型公式得所求概率
.
12．函数
的图象过定点______.
【答案】
【详解】由
，解得
，代入函数
，可得
，
所以函数图象恒过定点
.
13．已知函数
（
为常数）的图象恒过定点
，则
___________．
【答案】3
【分析】根据幂函数过定点
得
的图象过定点
，进而得
【详解】令
，则
，故
的图象过定点
，
故
，
．
故答案为：3．
14．已知
为幂函数，则函数
的图象经过的定点坐标为_____．
【答案】(1,2)
【分析】根据幂函数的性质确定
所过定点，即可确定
所过定点．
【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有
，
所以
，即
的图象经过定点(1,2)，
故答案为：
．
考点04 判断幂函数的单调性
15．下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对A，根据幂函数性质知
在
上单调递增，故A 正确；
对B，
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，故B 错误；
对C，
，根据指数函数性质知其在
上单调递减，故C 错误；
对D，因为
可化为
，函数
在
上单调递减，则
在
上单调递减.
16．已知
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】记命题
，命题
.
幂函数
在
上单调递增，
，所以
，
指数函数
在
上单调递增，当
时，必有
，即
，
所以
；
指数函数
在
上单调递增，
，所以
，
幂函数
在
上单调递增，当
时，必有
，即
，
所以
；
所以
是
的充要条件.
17．下列函数中在区间
上是严格减函数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：
，在
上单调递增，不符合.
对于B：
是底数在
内的指数函数，所以在
上严格递减，从而在
上也严格递减．符合.
对于C：
在
上单调递增，不符合.
对于D：
在
上单调递增，又
，故不符合.
18．在下列函数中，既是偶函数又在区间
内单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接根据偶函数的定义及简单幂函数的性质判断可得.
【详解】对于A，设
，函数的定义域为
，关于原点对称，
由
可知函数
是偶函数，
因
，所以函数
在区间
内单调递减，故A 不合题意；
对于B，因为函数
的定义域为
，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B 不合
题意；
对于C，
，函数的定义域为
，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C 不合题意；
对于D，
，函数的定义域为
，关于原点对称，
由
可知函数
是偶函数，
又因为
，所以函数
在区间
内单调递增，故D 符合题意.
考点05 幂函数相关的复合函数的单调性
19．函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数
，
令
，解得
，所以函数的定义域为
，
又
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：C
20．函数
，
的值域为__________.
【答案】
【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域.
【详解】可知
和
在
上都单调递增，
则
在
上都单调递增，
所以函数在
上的最小值为
，最大值为
，则函数值域为
.
故答案为：
.
21．已知
，函数
在
上单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的单调性，分段考虑单调性，再考虑分段点的函数值大小即得.
【详解】对于
，
，若
，由幂函数性质易得函数
在
上单调递增，
当
时，因函数
在
上单调递减，故
在
上单调递增，
时，总有
在
上单调递增.
对于
，因函数
在
上单调递减，
由题意需使
在
上单调递减，即
．
依题意，需使
，解得
，
故实数a 的取值范围是
．
故选：C．
22．函数
的单调递减区间为__________.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案.
【详解】由题意
，
令
，可得
，解得
，
因为
为开口向下，对称轴为
的抛物线，
所以
的减区间为
，
因为
在
上单调递增，
由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得
的减区间为
.
故答案为：
23．函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，可得
的定义域，利用复合函数的单调性可求得
的单调递减区间.
【详解】由
，可得
，解得
或
，
所以函数
的定义域为
，
又
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在
上单调递增，
所以由复合函数的单调性可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递减区间为
.
故选：A.
24．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与幂函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案.
【详解】由函数
，则
，整理可得
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
令
，
，由
，则
，
易知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在
上单调递减，
所以函数
的单调增区间为
.
故选：C.
考点06 利用幂函数的单调性求参数
25．已知幂函数
在
上单调递减，若正数a，b 满足
，则
的最
小值为（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
【答案】D
【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数
的值，再利用“乘1 法”结合基本不等式求
的最小
值.
【详解】因为
为幂函数，所以
，解得
或
．
因为
在
上单调递减，所以
，则
，
所以
，则
，且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，所以
的最小值为4．
26．已知幂函数
在
上单调递减，则实数m 的值为（ ）
A．0 或1
B．
或1
C．1
D．0
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解．
【详解】由于
为幂函数，所以
，解得
或
，
又函数
在
上单调递减，
所以
，即
故当
时
符合条件．
27．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件可判断函数
是
的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可.
【详解】依题意，函数
的定义域为
；
因为
，所以函数
是奇函数；
因为
，所以
；
根据解析式及幂函数的单调性知函数
在
上单调递增；
所以
，解得
；故实数
的取值范围是
；
故选：A.
28．已知函数
，满足
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解
得即可.
【详解】函数
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，
当
时
，因为
，
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，又
为连续函数，
所以
在
上单调递增，
不等式
，即
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C
29．已知函数
在区间
上的最大值为
，则
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式求得最值，列式求解即可.
【详解】因为
，
当
时，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，故
，解得
，
故选：C
30．已知函数
在区间
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a 的取值范围.
【详解】由题意得，二次函数
对称轴为直线
，幂函数
在
为增函数，
∵函数
区间
上单调递减，
∴
，解得
，
∴a 的取值范围是
.
故选：D.
考点07 由幂函数的单调性解不等式
31．已知幂函数
的图象经过点
，且
，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求得函数的解析式，然后求解实数
的取值范围即可.
【详解】设幂函数的解析式为
，由题意可得：
，
即幂函数的解析式为：
，
则
即：
，
得：
，求解不等式组可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
32．设
是幂函数，若
，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为
是幂函数，所以
，解得
，所以
．
易知
是增函数.
因为
，所以
，解得
．
故答案为：
.
33．已知幂函数
在
上单调递减．
(1)求
的解析式；
(2)若命题：
，
为假命题，求实数
的取值范围；
(3)求不等式
的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性来确定
的值，进而得到
的解析式；
（2）先根据命题的真假性得到其否定命题为真命题，再通过换元法将问题转化为求函数的最值问题；
（3）根据幂函数的解析式列出不等式，然后求解不等式.
【详解】（1）因为
是幂函数，所以
，解得
或
；
当
时，
，在
上单调递减，符合题意；
当
时，
，在
上单调递增，不符合题意，舍去；
所以，
的解析式为
；
（2）因为命题“
”为假命题，所以其否定“
”为真命题；
由（1）知
，则
，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立；
设
，
在
上单调递增；
则
，因为
在
上恒成立，所以
，即实数
的取值范围是
；
（3）由
，不等式
即为
，
由“数轴标根法”求得不等式的解集为：
.
34．已知幂函数
为奇函数，且在
上单调递减，则满足不等式
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由幂函数
在
上是单调递减函数，得到
，解得
的值，
对
的值进行讨论结合
为奇函数得到
，
转化为
，从此不
等式的形式可得到幂函数
，其定义域为
，且在
上为单调递增函数，则
转化为
，计算此不等式组得到
的范围.
【详解】
幂函数
在
上是单调递减函数，
，
，
，
，
当
时，
，
，
故
是偶函数，不符合题意；
当
时，
，
，
故
是奇函数，符合题意；
综上可知，
，
转化为
，
的定义域为
，且在
上为单调递增函数，
转化为
，
，
.
故选：D.
35．已知幂函数
在
上是严格减函数，其中
．
(1)求
的值；
(2)求关于
的不等式
的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求出
值.
（2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可.
【详解】（1）由已知可得
，
即
，
解得
或
当
，则
在
上严格减，符合条件，
当
，则
在
上严格增，不符合条件，
综上所述，
．
（2）由（1）及不等式，有
，
可得
，
解得
或
．
故所求解集为
．
36．已知幂函数
是奇函数，则满足不等式
的实数
的取值范围为
________．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求得
，根据函数的性质解不等式即可．
【详解】因为
是幂函数，所以
，
解得
或
，
当
时，
是奇函数，符合题意；
当
时，
是偶函数，不符合题意；
所以
，
，因为
在
上单调递增，
，所以
，解得
，
即实数
的取值范围为
，
故答案为：
.
考点08 由幂函数的单调性比较大小
37．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】借助幂函数与对数函数单调性判断即可得.
【详解】因为幂函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
又因为对数函数
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
.
38．已知
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数单调性判断
的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可.
【详解】指数函数
，底数
，因此
是
上的减函数,
原不等式可改写为：
,
根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：
.
指数函数
，底数
，因此
是减函数，
因为
，所以
.
幂函数
，指数
，因此
在
上是增函数.
因为
，所以
所以
39．设
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【答案】B
【详解】
，
由幂函数
在
上单调递增，得
，即
；由指数
函数
在
上是单调递减，得
，即
；
.
40．若
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，由
，当
为负数时，式子无意义，不成立；
对于B，当
为负数时，式子无意义，不成立；
对于C，因为函数
在
上为增函数，则
；
对于D，当
为负数时，式子无意义，不成立.
41．已知
，且
，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，通过对数和幂函数将
用
表示，再比较大小.
【详解】设
，因为
，所以
.
所以
，
，
.
因为
，所以
，
，故
；
而
，所以
，
，
因为函数
在
时单调递减，且
，所以
，即
.
综上，
.
42．设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
为减函数，函数
为增函数，
所以
，所以
.
考点09 幂函数的奇偶性的应用
43．已知
，幂函数
的图象关于
轴对称，且与
轴和
轴无交点，则
的值是___________
【答案】
或
【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可.
【详解】因为幂函数
的图象关于
轴对称，
所以该幂函数是偶函数，设
，
则有
，
所以有
为偶数，
幂函数
的图象与
轴和
轴无交点，
所以
，
因为
，
所以当
时，
为偶数，
当
时，
不是偶数，
当
时，
为偶数，
综上所述：
的值是
或
.
故答案为：
或
44．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得
在
上单调递增，并将所求不等式化为
，利
用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果.
【详解】
的定义域为
，
，
为定义在
上的奇函数；
由幂函数性质知：
在
上单调递增；
由
得：
，
，解得：
，
不等式
的解集为
.
故选：D.
45．若幂函数
是奇函数，则
___________.
【答案】2
【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解
【详解】由题可知
，即
，解得
或
．
当
时，
，其定义域为
，
，此时
为奇函数；
当
时，
，其定义域为
，
，此时
为偶函数；
综上，
.
故答案为：
46．已知函数
是幂函数，对任意的
且
，满足
，
若
，
，则
的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】B
【详解】根据幂函数的定义和单调性求
的值，分析函数
的奇偶性，根据
为奇函数可得结果．
【分析】∵函数
是幂函数，
，解得
或
，
或
，
∵对任意的
且
，满足
，
在
上为增函数，则
，
，
为
上单调递增的奇函数，
，
，
，故
．
故选：B
47．（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）若
，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；
（2）
【分析】由幂函数的性质即可计算求解；
【详解】（1）因为
为R 上的增函数，
所以若
，则
，
所以满足题意的实数
的取值范围为
.
（2）因为函数
为
上的增函数，且定义域为R，
且
，即
为偶函数，
所以函数
为
上的减函数，
所以若
，则
或
.
所以满足题意的实数
的取值范围为
.
48．已知幂函数
在
上递减，则不等式
的解集为________.
【答案】
【分析】根据幂函数定义可构造方程求得
的值，结合单调性可确定
的最终结果；根据奇偶性定义可得
的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果.
【详解】
为幂函数，
，解得：
或
；
当
时，
在
上单调递增，不合题意；
当
时，
在
上单调递减，符合题意；
综上所述：
；
的定义域为
，
，
为定义在
上的偶函数，故
，
，
由
且
，
解得：
或
，
的解集为
.
故答案为：
.
考点10 根据幕函数值域求参数或范围
49．若“
，
”是假命题，则a 的最大值是________．
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定为真命题可得“
”，再分离参数即可得到答案.
【详解】因为“
”为假命题，
所以它的否定“
”为真命题，
所以
对
恒成立，
当
时，
，
即
，所以
.
即实数
的最大值为
.
故答案为：
50．已知幂函数
的图象关于
轴对称．
(1)求
的值；
(2)设
，若对任意的
，总存在
，使
成立，求实数
的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可；
（2）将问题化为
的值域为函数
的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可.
【详解】（1）由幂函数定义，知
，解得
或
，
当
时，
的图象不关于
轴对称，舍去，
当
时，
的图象关于
轴对称，符合题意，因此
．
（2）由上易知
，
由于对任意的
，总存在
，使
成立，
设函数
在
上的值域为集合
，函数
在
的值域为集合
，
所以
，
易知当
时，
的值域
，则集合
，
当
时，
的值域为
，则集合
，
又
，得
，解得
.
51．已知函数
．
(1)求
在
上的值域；
(2)解不等式
；
(3)若关于
的方程
在
上有解，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）换元后，利用二次函数的单调性即可得解；
（2）令
则原不等式化为
，求出的范围再求
的范围；
（3）换元后求出
的值域即为
的范围.
【详解】（1）令
,则
，所以
，
，
在区间
上单调递增，所以
，
所以
在
上的值域为
；
（2）令
则
化为
，化简得
，
解得
，即
，解得
，所以原不等式的解集为
.
（3）令
因为
，所以
，则
，
令
，
在
单调递减，
在
单调递增，所以
时
取得最小值
，
又
时，
，
时，
，所以
时
取得最大值
，
所以
，所以
的取值范围是
.
52．函数
的最大值是_________.
【答案】
/0.25
【分析】求出定义域，令
，结合幂函数和二次函数性质求解.
【详解】
，解得
.定义域为
.
,
令
.则
.
，在
单调递增，在
单调递减.
则
，
，则
.
故答案为：
.
考点11 幂函数综合应用
53．已知幂函数
在
上单调递增，
(1)求函数
的解析式；
(2)如果函数
在区间
上是增函数，求
的取值范围；
(3)求关于x 的不等式
的解集（其中
）.
【答案】(1)
(2)
(3)当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
【分析】（1）由幂函数的定义求解即可；
（2）由（1）知
，再结合二次函数的性质即可求解；
（3）因式分解可得
，再分
、
、
三种情况讨论，分别求出不等式的解
集.
【详解】（1）由题意可得
，解得
或
，
又因为
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
.
（2）由（1）知
，
又因为函数
在区间
上是增函数，
所以
，解得
或
，即
的取值范围为
.
（3）不等式转化为
，则
.
当
时，解得
或
，即不等式的解集为
；
当
时，解得
，即不等式的解集为
；
当
时，解得
或
，即不等式的解集为
.
综上所述：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
54．已知幂函数
的图象过点
，函数
，函数
．
(1)求实数
的值及函数
的函数解析式；
(2)用单调性的定义证明：
在
上单调递增；
(3)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用幂函数的定义求出
并验证，进而求出
值.
（2）由（1）求出
，再利用增函数的定义推理论证.
（3）先求出
，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数
的取值范围；方法
二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解.
【详解】（1）由幂函数的定义可知
，解得
，
当
时，
，
，
又
的图象不过点
，显然不满足题意；
当
时，
，将点
代入
得
．
综上所述，
，且
．
（2）由（1）可知
，
，
任取
，不妨设
，
则
，
因为
，所以
，
则
，
所以
，则
，
所以
，
则
，即
，
故
在
上单调递增．
（3）法一：由题可知
，
不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
，不等式化为：
，
又∵
，∴
，整理得
在
恒成立，
令
，则
，
，
当且仅当
时取等号，
∴
，
综上，
的取值范围是
．
法二：由题可知
，
不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
，不等式化为：
，
记
，则
恒成立．
抛物线开口向上，且对称轴：
，
①
，此时
在
上单调递增，
恒成立，
故
满足条件
②
，
此时
．
解不等式
，即
，解得
，
∴
，
③
，此时
在
上单调递减，
，
解得
，故此情况无解，
综上所述，
的取值范围是
．
55．已知幂函数
的图象过点
，且函数
.
(1)求幂函数
的解析式；
(2)判断并证明函数
在
上的单调性；
(3)若
，使得不等式
有解，求实数
取值范围.
【答案】(1)
(2)
在
上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意设幂函数为
，将
代入即可求得幂函数
的解析式；
（2）设
，比较
与
的大小，结合函数单调性即可证明
在
上的单调性；
（3）由（2）知
在
上单调递增，可解得
在
上的值域，设
，根据题意有
，分析二次函数
的单调区间即可求其最小值，即
的取值范围.
【详解】（1）设幂函数为
，其图象过点
，
，解得
，
故幂函数的解析式为
；
（2）由（1）知
，故
，
任取
，
则
.
因为
，则有
，
，且
，
.
所以
，即
.
故
在
上单调递增；
（3）由（2）知
在
上单调递增，
所以
，即
令
，则不等式
有解等价于
在
上有解，
即
，
.
令
，
，
易得
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
则有
，即
.
综上，实数
的取值范围是
.
56．已知幂函数
为偶函数.
(1)求
的解析式；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若对任意
，都存在
，使得
成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用幂函数的概念，结合奇偶性即可求解；
（2）把不等式转化为一元二次不等式来求解即可；
（3）利用
的任意性，求出
的最大值为4，利用
的存在性，求出
，从而可求解
参数范围.
【详解】（1）由
为幂函数，得
，解得
或
，
当
时，
为偶函数，符合题意：
当
时，
为奇函数，舍去.
综上：
.
（2）
或
，
所以
的取值范围为
.
（3）因为对
，都存在
，使得
都成立，
，其中
，
函数
在
上单调递增，所以
在
时取到最大值为4.
即
，
因为存在
，使得
成立
，
又因为
是关于
的在
单调递增函数，
或
，
故实数的取值范围为
.
