文档文本内容
2.8 对数函数
14 大考点汇总
考点01 对数的化简、求值
考点02 对数函数的判定以及求参数
考点03 对数型函数图象过定点问题
考点04 根据对数型函数图象求参数的范围
考点05 判断对数函数的单调性
考点06 求对数型复合函数的单调性
考点07 利用对数(型)的单调性求参数
考点08 由对数函数的单调性解不等式
考点09 比较对数式的大小
考点10 求对数型函数的最值
考点11 根据对数函数的最值求参数
考点12 根据对数函数的值域或最值求参数(定义域)
考点13 对数函数综合应用
考点14 反函数
题型专练
考点01 对数的化简、求值
1．（1）
（2）
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）
；
（2）
.
2．计算下列各式的值.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即可.
（2）利用对数的运算性质及换底公式计算即可.
【详解】（1）
（2）
3．（1）化简：
；
（2）求值：
．
【答案】
；
【详解】（1）
.
（2）
.
4．（1）计算：
.
【答案】（1）
【分析】（1）利用指数幂运算性质、对数运算法则及换底公式，对原式逐项化简后再合并求值即可.
【详解】（1）解：原式
，
，
.
5．（1）计算：
.
【答案】（1）
【详解】（1）
.
6．（1）计算：
；
【答案】（1）
；
【分析】（1）运用指数幂公式和对数运算公式，即可求解；
【详解】（1）原式
．
考点02 对数函数的判定以及求参数
7．已知函数
是对数函数，则
__________．
【答案】
【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出
，再结合指数、对数的关系化简求解．
【详解】已知函数
是对数函数，则
，且
，
，
解方程
得
，
，且
，
，
，故
，
．
故答案为：
．
8．已知函数
，若图象过点
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】B
【分析】将点
代入
，求出a 的值，得到
的解析式，即可求出
的值.
【详解】由题可得
，所以
，即
，所以
.
所以
，所以
.
故选：B.
9．已知对数函数
过点
，则
的解析式为___________，
在
的最大值是
___________．
【答案】
【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值.
【详解】可设对数函数
，由对数函数
过点
，
可得：
，
所以对数函数
，
由于
因为
，根据对数函数
是增函数，所以
的最大值是
故答案为：
；.
10．若函数
是以
为自变量的对数函数，则实数
________．
【答案】3
【分析】由题意可得
，且
，且
，从而可求出
的值.
【详解】因为函数
是以
为自变量的对数函数，
所以
，解得
.
故答案为：3
考点03 对数型函数图象过定点问题
11．函数
（
，且
）的图象恒过定点
，若点
在
上，其中
，
则
的最小值为______．
【答案】
【分析】根据对数函数的性质求出
，进而得到
，根据
结合基本不等
式即可求出答案.
【详解】函数
（
，且
）的图象恒过定点
，
因为点
在
上，所以
，即
，
因为
，
所以
，
当且仅当
时，即
，
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
12．已知函数
且
的图象过定点
，且点
在指数函数
图象上，则
___________.
【答案】
【分析】先求出点
，设指数函数为
且
，根据条件求出指数函数的解析式，然后利用
对数性质运算即可.
【详解】由函数
且
，
令
时，
，
所以
，
设指数函数为
且
，
因为点
在指数函数
图象上，
所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：
.
13．函数
，且
恒过点
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【分析】根据给定条件，结合对数函数图象恒过的点列式求解.
【详解】由函数
的图象恒过点
，得
，解得
，
所以
.
故选：A
14．函数
的图象经过的定点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数函数
恒过定点
这一性质，令函数
的真数为1，求出此时的
值，并求出
取此值时的函数值，即可得函数
的图象经过的定点坐标.
【详解】因为对数函数
恒过定点
，
所以对于函数
，令
，解得
，
当
时，
，
所以函数
的图象经过的定点坐标为
.
故选：C
考点04 根据对数型函数图象求参数的范围
15．已知函数
（
且
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】由函数图像知，
在定义域内单调递减，所以
，
根据图像可知函数
的图像是把
的图像向左平移小于1 个单位得到的，
所以
，解得
.
16．已知函数
，若正实数
互不相等，且
，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得
的范围，据此可求
的取值范围.
【详解】
的图象如图所示：
不妨设
，则
且
，
其中
，
故
即
，
故
，
故答案为：
.
17．函数
与
的大致图象如图所示，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】由对数函数图象确定
，再结合幂函数奇偶性即可判断.
【详解】由图象结合对数函数的性质可知
，则D 不符合题意；
又函数
为奇函数，定义域为
, B 符合题意．
又
的定义域都是
不符合，
故选：B．
18．已知函数
，若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得
，作出图像分析
时，有
，化简
，从而得到答案.
【详解】由题可得：
，作出
的图像如下：
由
，且
，则
，
，即
，解得：
，
所以
由
，则
，
所以
，故当
，即
时，
取最小值
为
.
故选：B
19．已知函数
为常数，其中
的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.
【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以
；
因为图象与
轴的交点在
轴上方，所以
，所以
.
故选：D
20．已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围为____.
【答案】
【分析】根据指数函数、对数函数图象与性质画出函数图象，通过平移直线
找到当
与
有
三个交点时的
的范围即可.
【详解】作出
的函数图象如图所示:
画出函数
的图象,
由图象可知当
时，
有1 零点，
当
时，
有3 个零点，
当
或
时，
有2 个零点.
故答案为：
.
考点05 判断对数函数的单调性
21．函数
的单调递减区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断
在
和
上的
单调性.
【详解】解：由题意可得
，
因为当
，则对数函数
在
上单调递减，
所以当
时，
单调性与对数函数的一致，则
单调递减区间为
；
当
时，
的单调性与对数函数相反，即
在
上单调递增，
综上，函数
的单调递减区间为
.
22．（多选）下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】逐一判断各选项对应函数在其定义域内的单调性，即可判断选项正误.
【详解】对于A，当
时，函数
在R 上单调递增，因
，则函数
在R 上单调递增，故A 正
确；
对于B，当
时，函数
在
上单调递增，因
，则
在
上单调递增，
故B 正确；
对于C，当
时，函数
在
上单调递增，因
，则
在
上单调递增，又
为
奇函数，
则
在R 上单调递增，故C 正确；
对于D，函数
在R 上单调递减，故D 错误.
23．若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以
，解得
．
24．对于实数
，“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别验证“充分性”和“必要性”，结合对数函数的定义域与单调性分析.
【详解】若
，取
，
，此时
无意义，不满足
.
因此“
”不能推出“
”，充分性不成立.
若
，因
在
上单调递增，故
且
、
.
因此“
”可以推出“
”，必要性成立.
综上所述，“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
考点06 求对数型复合函数的单调性
25．函数
的单调增区间是_____．
【答案】
【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间.
【详解】由
，得
或
，
所以函数
的定义域为
.
又
在定义域内单调递增，且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调增区间是
.
26．（1）
在
上的单调递减区间为________；
（2）
的单调递减区间为__________.
【答案】
和
【详解】（1）因为
，
令
，解得
，
则
的单调递减区间为
，
令
，
，则
，
所以
在
上的单调递减区间为
和
.
（2）令
，解得
，
可知
的定义域为
，
因为
在定义域内单调递增，且
在
内单调递增，
在
内单调递减，
可得
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以函数
的单调递减区间为
.
27．函数
的图像如图所示，则函数
的单调递减区间是_______.
【答案】
【分析】根据题意，由函数
的图像和对数函数
的性质，结合复合函数单调性的判定方
法，即可求解.
【详解】由函数
的图像，可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，可得
在
上单调递增，
要使得函数
单调递减，则满足
或
，
因为
，解得
或
，所以函数
的单调递减区间
.
28．函数
的单调递减区间为__________.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，然后换元，求出内层函数的单调区间，再利用复合函数“同增异减”的性质，
可求得答案
【详解】函数
，所以定义域为
，解得
或
，
令
，则
，在定义域内为增函数
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数
的单调递减区间为
.
故答案为：
.
考点07 利用对数(型)的单调性求参数
29．若函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是____________.
【答案】
【分析】令
，利用复合函数的单调性得到
在区间
上单调递减求解即得.
【详解】令
，
因为
在
上递增，且函数
在区间
上单调递减，
由复合函数的单调性知：
在区间
上单调递减，
又因为
在区间
上递减，
所以
，
所以
的取值范围是
.
30．“函数
在区间
上单调递增”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】二次函数
的对称轴为
，
函数
在区间
上单调递增，则
，解得
，
由
可得
，但是由
得不到
，
所以函数
在区间
上单调递增是
的必要不充分条件.
31．若函数
在区间
上是单调函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递增，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数
在区间
上是单调函数，所以
，且
，
所以
．
32．函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数
，再结合真数在区间
上恒正，得到
，最终
即可得到
的取值范围.
【详解】根据题意，对于函数
，
令
，则
，
又由
且
，则
为减函数，
若函数
在
上是减函数，
必有
，解可得
，
即
的取值范围为
.
33．已知函数
在区间
上单调递增，则参数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分段函数单调性，结合对数型复合函数及二次函数单调性列式求解.
【详解】函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增，而
在
上单调递增，
则函数
在
上单调递增，且
，
于是
且
，解得
，
所以参数
的取值范围是
.
故选：D
34．函数
，若
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组即可求解.
【详解】因为
在
上单调递减，
所以
，解得
.
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B.
考点08 由对数函数的单调性解不等式
35．已知
是奇函数，则不等式
的解集是______.
【答案】
【分析】先根据奇函数的性质求出
的值，再判断函数
的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解
不等式.
【详解】
的定义域为
，因为
为奇函数，所以
，故
，即
.
代入可得
,其定义域为
，关于原点对称，
且
，为奇函数.
所以
符合题意，
又
均在
上单调递增，
故
在
上单调递增，由
，
得
又
为奇函数，即
，
所以
，
所以
，解得
或
，
故
或
，故原不等式的解集为
36．若
，则
的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数
在
上单调递减，
由
得，
，解得
.
所以
的取值范围是
.
37．设函数
，若
且
，则
的取值范围为__________．
【答案】
【详解】
的图象如下图所示
由图象可知，当
时，
单调递减，所以
，此时
，
当
时，
，
，
，即
，化简可得
，解得
，
综上所述，因为
，所以
的取值范围为
.
38．已知函数
，则不等式
的解集为______.
【答案】
【详解】 令
，不等式转化为
，
，
当
时，
，
解得
，
当
时，
显然不成立，
所以
，
即
.
39．已知函数
，则
的解集为______．
【答案】
【分析】求出
的定义域，利用对数不等式可得：
即可求解。
【详解】由函数
，可得
，
解得：
，所以函数
的定义域为
，
而
，
则
，
，得
，故解集为
．
40．已知
.
(1)若
，求的值；
(2)当
时
恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当
时无解; 当
时
【分析】（1）由
直接代入结合对数函数单调性解得
.
（2）通过对底数
分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围
确定的取值
【详解】（1）已知
，
.
由
，代入得：
.
因为
，所以
，即
， 得
，解得
.
（2）由
得
.
当
时,
单调递增, 不等式等价于
, 且真数
.
即
, 且
对
恒成立.
由
得
.
结合
得
.
故
且
对
恒成立.
令
,
.
令
,由
,得
,且
.
于是
.
这是关于
的二次函数,开口向下,对称轴为
.
对称轴
在区间
的左侧,因此函数
在
上单调递减。
又
在
上单调递增,根据“同增异减”可得
在
上单调递减.
所以
,
.
故
又
对一切
恒成立.
则需大于
在
上最大值即
.
因为
与
不能同时成立. 故
时无解.
当
时,
单调递减，不等式等价于
, 且真数
.
即
, 且
对
恒成立.
由
得
或
. 结合
, 只需
恒成立.
故
对
恒成立. 由上述分析知
在
上最大值为
, 所
以
.
又需
对
恒成立, 即
, 右边最大值为
, 所以
,结合
得
.
综上所述,
的取值范围是
.
考点09 比较对数式的大小
41．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
所以
42．三个数
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出
，再利用对数的运算
性质计算求出
的大小关系，从而判断
的大小顺序．
【详解】已知
，构造函数
，
求导得
，
当
时，
，故
，函数单调递增；
当
时，
，故
，函数单调递减；
在
处取得极大值，即为最大值，
，即
，
，故
，
．
43．设
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，即
，
所以
的大小关系为
.
44．已知函数
，若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断.
【详解】函数
，
因为
是减函数，
是增函数，所以
是减函数，
又因为
，所以
，故
，即
.
考点10 求对数型函数的最值
45．已知函数
（
，且
），若函数
在区间
上的最大值与最小值之差为1．
(1)求函数
解析式；
(2)当
，求函数
的最值，并求出取得最值时对应的x 的值；
【答案】(1)
(2)当
时，函数
有最小值
，当
时，函数
有最大值0
【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出最值求解即可.
（2）求解
，
，令
求解即可.
【详解】（1）当
时，函数
单调递增，
函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，
，
由题意可得：
，
此时区间为
；当
时，此时
，显然区间
不成立，
综上所述：
，即
；
（2）
，
令
，因为
，所以
，
所以
，
所以
，
，
，
，
所以当
时，函数
有最小值
，当
时，函数
有最大值0.
46．（多选）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增
D．
没有最小值
【答案】AC
【分析】先化简
判断奇偶性，再分析内层函数单调性结合对数函数单调性判断
的单调区间与
最值．
【详解】
为偶函数，A 正确，B 错误；
作出
的图象如图所示，可知
在
上单调递减，在
上单调递增；
由图象可知函数存在最小值0，C 正确，D 错误．
故选：AC．
47．已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解.
【详解】
的定义域为
，
当
时，
，
，所以
当
时，
，
,所以
.
所以
.
.
48．函数
的最大值为_____.
【答案】
/
【分析】将函数展开化简为关于
的二次函数，即
，结合二次函数性质求结论.
【详解】
当
，即
时，
取得最大值
.
故答案为：
.
考点11 根据对数函数的最值求参数
49．若函数
在区间
上的最大值与最小值之差为1，则
的值为______.
【答案】
或
【分析】由
是单调函数可确定最值取在区间端点，列绝对值方程求解.
【详解】因为
是单调函数，所以
是单调函数，其最大值和最小值分别取在区间的两个端点处，
所以
，即
，
所以
或
，解得
或
，
故答案为：
或
50．已知函数
若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，求出函数
在
上的最大值，即可得出实数
的取值范围.
【详解】令
，
当
时，
，则
，
此时函数
在
上单调递增，故当
时，
；
当
时，即当
时，
，
因为函数
、
在
上均为增函数，此时函数
在
上单调递增，
故当
时，
；
当
时，
，则
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
所以函数
在
上为增函数，
故当
时，
.
综上所述，当
时，
，
因为不等式
对
恒成立，故
.
即实数
的取值范围是
51．设函数
，若对
定义域内的任意
，
恒成立，则
的最小值为
______．
【答案】
/0.2
【分析】由
结合对数的运算性质可得
，将
代入
，再利用二次函数的性质求
解即可.
【详解】由题意可知：
的定义域为
，
令
，解得
；令
，解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
当
时，
，故
，所以
，
所以
，即有
，故
，
令
，由二次函数的性质得：
，故
的最小值为
.
52．已知函数
.
(1)若函数
的图象经过点
.
①求实数
的值；
②设
，若关于
的方程
在
上有解，求实数
的取值范围；
(2)是否存在实数
，使得
存在最小值，且最小值小于
？若存在，求实数
的取值范围；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)①
；②
(2)存在，
【分析】（1）①将点
代入函数求出
；
②先根据
得到关于
的方程，再利用分离参数法得到
，结合函数的单调性求出
的
取值范围；
（2）先对函数
进行化简，再根据对数函数的性质分析其最小值情况，进而确定
的取值范围.
【详解】（1）①因为函数
的图象经过点
，
所以
，
所以
由
为单调递增函数，解得
；
②
，
因为
，所以
，即
，
整理得
.
因为当
时，函数
单调递减，所以
，
所以使方程
在
上有解的实数
的取值范围是
；
（2）由题意得
，
当
时，令
，解得
，所以
的定义域为
，
令
，则
为增函数，所以函数
是增函数，
所以
在
上单调递增，无最小值；
当
时，
在
上单调递增，无最小值；
当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，
即
的最小值为
，又因为函数
是增函数，
所以
，
解得
.
综上，存在实数
使得
存在最小值，且最小值小于
，
此时实数
的取值范围为
.
53．已知函数
存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
,要使函数
存在最小值，
则
在
上有大于0 的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】令
，则
,
令
,
所以函数
存在最小值，
则
在
上有大于0 的最小值,
由二次函数的图像与性质可得：
，
解得：
,
所以实数的取值范围是
故选：A
54．已知函数
，其中
．
(1)求函数
的定义域A；
(2)若函数
的最小值为1，求a 的值；
(3)若存在
，使得不等式
成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数的真数大于0，列出不等式求解即可；
（2）由二次函数的最值求出
的最大值，再由对数函数的单调性求出最小值列方程求解
即可；
（3）换元后，分离参数，利用基本不等式求出最大值即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
，
由
可知
，
所以不等式的解为
，
故函数
的定义域
.
（2）令
，
当
时，
，
又
为减函数，
所以
，可得
，
即
，解得
或
（舍去）.
（3）令
，则由指数函数的单调性知
为增函数，
当
时，
，
不等式
可化为
，即
，
即存在
，使得不等式
成立，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
故
.
考点12 根据对数函数的值域或最值求参数(定义域)
55．已知函数
且
在
上的值域为
，则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
在
上具有相同的单调性，
所以
在
上单调，要满足题意，则
在
上单调递增，
所以
，解得
，故选C.
56．设
且
，函数f（x）＝
的定义域为R．若
的值域为
，则a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数.
【详解】若
，则
的取值范围是
．
当
时，
，分两种情形讨论：
若
，则
在
单调递增，相应
的取值范围是
，
因此要使
的值域是
，应当有
，两端都取a 为底可得
，解得
．
当
，则
在
单调递减，相应
的取值范围是
，此时无法满足
的值
域是
，故舍去．
综上可得
．
57．已知对数函数
在
上的最大值和最小值的和为1．
(1)求
的解析式．
(2)已知函数
．
（i）若
的定义域为
，求
的取值范围；
（ii）若
的值域是
，求
的值．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据对数函数的定义假设函数解析式，结合其单调性和待定系数法求解
即可.
（2）（i）将
的定义域为
，转化为求解
在
上恒成立，对
分类讨论求解；
（ii）整体换元，将问题转化为求解
的值域内的最大值，再结合二次函数最值求解
即可.
【详解】（1）设
（
且
），
因为
是单调函数，所以
在
上的最大值和最小值的和为
，
则
，解得
，所以
.
（2）由题意得
，
（i）由
的定义域为
，可知
在
上恒成立，
当
时，
，符合题意；
当
时，
，解得
，
综上所述
的取值范围是
；
（ii）令
，由
的值域是
，
可得取得
内任意实数，则的最大值是16.
由
，
得
，且
，则
.
58．（多选）下列选项中说法正确的有（ ）
A．已知命题P：
，
，则
为
，
B．函数
的值域为
C．函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D．若函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是
【答案】AB
【详解】A.命题P：
，
，则
为
，
，故A 正确；
B.设
，
，所以
，所以函数
的值域为
，故B 正确；
C.由复合函数的定义域可知，
，得
，所以函数
的定义域为
，故C 错误；
D.当
时，
的值域为
，当
时，若函数
的值域为R，则
，
，
综上可知，
的取值范围是
，故D 错误.
59．已知函数
的值域为R，关于a 的不等式
恒成立，则实
数k 的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据对数型函数的值域为R，确定真数部分的取值范围，进而求出a 的取值范围，然后将关于a 的
不等式进行变形，通过换元法转化为关于新变量的不等式，最后根据不等式恒成立求出实数k 的取值范围.
【详解】函数
的值域为R，
所以
的值域要包含所有正实数，
当
时，
，则
为一次函数，
当x 取得合适值时，能取遍所有正实数，满足题意，
当
时，
是二次函数，
则
，解得
或
，
综上，a 的取值范围是
，
令
（
），则
，可化为
，
即
对
恒成立，
设
，其对称轴为
，
当
，即
时，
，解得
；
当
，即
时，
，解得
，与
矛盾，舍去.
综上，实数k 的取值范围为
.
故答案为：
.
60．已知函数
且
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，分析可知函数
的值域包含
，利用导数分析该函数的单调性与极值，
可知
，即可解出实数
的取值范围.
【详解】令
，因为函数
的值域为
，故函数
的值域包含
，
求导得
，又因为
且
，由
可得
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：D.
考点13 对数函数综合应用
61．已知函数
，
.
(1)当实数
时，判断函数
的单调性；（不需要证明）
(2)若函数
在
为增函数，求实数t 的取值范围；
(3)若函数
为偶函数，且对于任意
，
，都有
成立，求实数a 的取值
范围.
【答案】(1)
上的增函数
(2)
(3)
【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断；
（2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得
，即
，参变分离可得
对
恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；
（3）由函数
为偶函数，得到
，即可求出的值，从而得到
的解析式，再利用基
本不等式得到
，依题意，可得
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立，①由
有意义，求得
；②由
，得
，即可得到
对任意
恒成立，从而求出
，从而求出参数
的取值范
围；
【详解】（1）当实数
时，
因为
都是
上的增函数，
所以函数
为
上的增函数；
（2）设
，且
，
则
∵函数
在
上为增函数，
∴
恒成立
又∵
，∴
，
∴
恒成立，即
对
恒成立
当
时，
的取值范围为
，
故
，即实数取值范围为
.
（3）∵
为偶函数，∴
对任意
都成立，
又
∵上式对任意
都成立，
∴
，∴
，
∴
，当且仅当
时等号成立，
∴
的最小值为0，
∴由题意，可得
对任意
恒成立，
∴
对任意
恒成立
①由
有意义，得
在
恒成立，
得
在
恒成立，
又
在
上的值域为
，故
.
又
有意义，有
，
所以
.
②由
，得
，得
，
得
，得
，得
，
∴
对任意
恒成立，
又∵
在
的最大值为
，
∴
，
由①②得，实数
的取值范围为
.
62．已知函数
，且
．
(1)证明：
是奇函数；
(2)判断
的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
在
上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）首先求出
的值，即可求出函数解析式，再根据奇偶性的定义证明即可；
（2）根据单调性的定义证明即可；
（3）依题意可得任意
，不等式
恒成立，令
，
，判断
的单调性，即可得解.
【详解】（1）因为
，且
，
即
，所以
，解得
，
，
由
解得
，
的定义域为
，
对于任意
，都有
，且
，
是奇函数.
（2）
在
上单调递减.
证明：设
，则
，
，
，
，
，
在
上单调递减.
（3）对任意
，不等式
恒成立，
即任意
，不等式
恒成立，
令
，
，
因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
，
实数
的取值范围为
.
63．设函数
．
(1)当
时，求
的值域；
(2)当
时，
的最小值为3，求m 的值；
(3)当
时，函数
的图象恒在直线
的下方，求b 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据指数函数性质确定
的取值范围，再结合对数函数单调性求解
的值域.
（2）先判断函数
的单调性，得出其在给定区间上的最小值点，再根据最小值为3 求出
的值.
（3）将函数图象位置关系转化为不等式恒成立问题，通过换元法将函数转化为关于新变量的函数，求该函
数的最大值，进一步求解
的取值范围.
【详解】（1）因为当
时，
，
因为
．所以
，
所以
，
所以
的值域为
.
（2）因为函数
在区间
上单调递增，
所以函数
在区间
上单调递增，
所以函数
在区间
上单调递增，
因为
，
的最小值为
，所以只需
，即
，
所以
在区间
上的最小值为
，
又因为当
时，
的最小值为3，
所以
．故
.
（3）当
时，函数
，的定义域为
，
因为函数
的图象恒在直线
的下方，
所以
在
恒成立，
即
在
恒成立，
即
在
恒成立，
令
，则
，
则
，即
，
，
令
，
，
由二次函数性质可知，当
时，
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
.
64．已知函数
．
(1)求函数
的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）；
(2)函数
，若对
，都
，使得
成立，求实数
的
取值范围；
(3)函数
，若对
，都存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)定义域为
，增函数；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）令
解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性；
（2）求出函数
在
上的值域，求出函数
在
上的值域，根据题意可得出两个函数值
域的包含关系，可得出关于实数
的不等式组，即可解得实数
的取值范围；
（3）求出函数
在
上的值域，可得出
，
，令
，可得
，利用基本不等式求出
的最小值，即可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）令
，即
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
由
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以函数
在其定义域上为增函数.
（2）
，
当
时，令
，
，
当
，
取得最小值
，当
，
取得最大值
，
则当
，
，
由（1）知函数
在
上单调递增，且
，
，
故函数
在
上的值域为
，则
，
对
，都
，使得
成立，
则
，所以，
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
（3）因为
在
上单调递增，由（2）可知，函数
在
上的值域为
，
因为函数
，
若对
，都存在
，使得
成立，则
，
即
，
，
令
，则
，可得
，
，当且仅当
时，等号成立，
所以，
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
考点14 反函数
65．已知函数
（
且
）的图像过点
，其反函数的图像过点
，求a，b 的值．
【答案】
，
【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解.
【详解】因为
的图像过点
，所以
．①
又因为
的反函数图像过点
，所以点
在原函数
的图像上．
所以
．②
联立①②得
，
．
66．若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】B
【分析】根据两个函数图象关于直线
对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为
的解析式，最后根据题意得到关于
的方程，求解
.
【详解】因为两个函数图象关于直线
对称，
所以
是
的反函数，
对
整理得：
，
，
交换
可得反函数：
，
又因为
，所以
，
化简可得：
，即
，
两边取以3 为底的对数，则
.
67．定义在
上的函数
的反函数为
，若
为奇函数，则
的
解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，
的解就是求原函数
的值，根据分段函数的解析式，
结合奇偶性求出
，从而可得结果.
【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，
的解就是求原函数
的值，
又
，且
为奇函数，
，
，即为
的解.
68．已知实数
满足
，
，则
__________.
【答案】
【分析】由
与
的交点关于
对称，结合
，
，从而有
与
关于
对称得到
且
，即可求.
【详解】由
关于
对称，又
与
垂直，
所以
与
的交点关于
对称，
结合题设有
，
，且
，
所以
是
与
的交点；
是
与
的交点，
所以
与
关于
对称，则
且
，
所以
.
69．已知函数
的零点为
、函数
的零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数零点的定义及零点存在性定理，结合反函数的性质及不等式性质逐项判断即可.
【详解】由
，
得
，
，则
，
，
因此
分别是直线
与函数
、
的图象交点
的横坐标，
在同一坐标系中作出函数
，
的图象及直线
，如图，
函数
与
互为反函数，它们的图象关于直线
对称，
直线
也关于直线
对称，则点
关于直线
对称，
即
，则
，CD 错误；
函数
在R 上都是增函数，则函数
在
上是增函数，
又
，
，则
，
因此
，B 错误，A 正确.
70．设函数
且
，若其反函数的图象过点
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可.
【详解】因为函数
的反函数的图象过点
，
所以函数
的图象过点
，
所以有
.
故选：B
