专题2.3 函数单调性
2.3.1 常见函数的单调性
知识点梳理
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间D⊆A．
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说
f(x)在区间D 上是增函数．
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说
f(x)在区间D 上是增函数．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在
区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
2.常见函数的单调性
（1）一次函数：y=kx+ b (k≠0且k,b为常数)，定义域为x∈R.
①当k>0 时，函数在x R
∈
为增函数；
②当k<0 时，函数在x R
∈
减函数.
（2）反比例函数：y=k
x (k≠0),定义域为(−∞，0)∪(0，+∞).
①当k>0 时，函数在(−∞，0)，(0，+∞)为减函数；
②当k<0 时，函数在(−∞，0)，(0，+∞)为增函数.
（3）二次函数y=a x
2+ bx+c (a≠0且a,b,c为常数)，定义域为x∈R.
①当a>0 时，函数在(−∞，−b
2a )为减函数，函数在(−b
2a ，+∞)为增函数；
②当a<0 时，函数在(−∞，−b
2a )为增函数，函数在(−b
2a ，+∞)为减函数.
（4）指数函数：y=a
x (a>0且a≠1)，定义域为x∈R.
①当0<a<1 时，函数在x R
∈
为减函数；②当a>1 时，函数在x∈R为增函数.
（5）对数函数：y=logax (a>0且a≠1)，定义域为x∈(0，+∞).
①当0<a<1 时，函数在x∈(0，+∞)为减函数；
②当a>1 时，函数在x∈(0，+∞)为增函数.
（6）幂函数：y=x
a，当a>0 时，定义为R；当a<0 时，定义域为
(−∞，0)∪(0，+∞).
①当a>0 时，函数在(0，+∞)为增函数；
②当a<0 时，函数在(0，+∞)为减函数.
（7）对勾函数：y=ax+ b
x
，定义域为(−∞，0)∪(0，+∞).
①当a>0,b>0时，函数在(
∞,
−
−
❑√
b
a)和[
❑√
b
a ,+∞)上单调递增；在(−❑√
b
a ,0)和
(0,❑√
b
a)上单调递减；
②当a<0,b<0时，函数在(−❑√
b
a ,0)和(0,❑√
b
a)上单调递增；在(
∞,
−
−
❑√
b
a)和
[
❑√
b
a ,+∞)上单调递减.
3.复合函数的单调性：复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，
外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增
（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
4.判断函数单调性常用的结论：
①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；
②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)
函数；
③若f(x)>0 且f(x)为增函数，则函数❑√f(x)为增函数，1
f(x) 为减函数；
④若f(x)>0 且f(x)为减函数，则函数❑√f(x)为减函数，1
f(x) 为增函数．
典型例题
例1.给定函数: ①y=x
1
2; ②y=log1
2
(x+1); ③y=|x
1|
−
; ④y=2
x+1,其中在区间(0,1)上单
调递减的函数序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
解：① y=x
1
2 (x≥0)为幂函数，且x的指数α=1
2 >0，在[0,+∞)上为增函数，故①不
可选;
②y=log1
2
(x+1) (x> 1)
−
为对数型函数，且底数a =1
2 ∈(0,1)，在( 1,+∞)
−
上为
减函数，故②可选;
③y=|x
1|
−
，在( ∞,1)
−
上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，故③可选;
④y=2
x+1为指数型函数，底数a =2>1在( ∞,+∞)
−
上为增函数，故④不可选;
综上所述，可选的序号为②③.故选：B.
例2.已知函数f ( x)=lo g2(2−x
2)．求f（x）的单调增区间.
解：由f ( x)=lo g2(2−x
2)，得2﹣x2＞0，解得x∈(−❑√2，❑√2)，
又∵y＝log2x 在（0，+∞）单调递增，y＝2﹣x2在(−❑√2，0)单调递增，
在(0，❑√2)单调递减，∴f ( x)=lo g2(2−x
2)的单调增区间为(−❑√2，0).
例3.设函数f(x),g(x)都是D上的单调函数, 有如下四个命题, 正确的是( )
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增, 则f(x)−g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增,g(x)单调递减, 则f(x)−g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减,g(x)单调递增, 则f(x)−g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减,g(x)单调递减, 则f(x)−g(x)单调递减.
A.
①③ B.
①④ C.
②③ D. ②④
解：对于命题①，令f(x)=x,g(x)=2x，均为增函数，而f(x)−g(x)=−x为减函
数，①错误；
对于命题②
，设x2>x1，则f(x2)>f(x1),g(x2)<g(x1)，∴−g(x2)>−g(x1)，
∴f(x2)−g(x2)>f(x1)−g(x1)，
故f(x)−g(x)单调递增，命题②正确；
对于命题③，设x2>x1，则f(x2)<f(x1),g(x2)>g(x1)，∴−g(x2)<−g(x1)，
∴f(x2)−g(x2)<f(x1)−g(x1)，
故f(x)−g(x)单调递减，命题③正确.
对于命题④，令f(x)=−x,g(x)= 2
−x，均为减函数，而f(x)−g(x)=x为增函数，
故④错误.
故选：C.
例4.
“
”
已知双勾函数f(x)=x+a
x (a>0,a 为常数).
（1）证明:函数f(x)在(0,❑√a]上是减函数,在[❑√a,+∞)上是增函数;
（2）已知g(x)=4x
2
12
−
x
3
−
2x+1
,x∈[0,1],利用(1)的结论, 求函数g(x)的单调区间和
值域.
解
:
(1)
证
明
:
设
0<x1<x2<❑√a,
则
f(x1)−f(x2)=(x1+a
x1)−(x2+a
x2)=(x1−x2)(
x1x2−a
x1x2
)
,
又由0<x1<x2<❑√a,
则(x1−x2)<0, (x1x2−a)<0,
则f(x1)−f(x2)>0,即函数f(x)在(0,❑√a]上是减函数,
再设❑√a<x3<x4
,则f(x3)−f(x4)=(x3+a
x3)−(x4+a
x4)=(x3−x4)(
x3x4−a
x3x4
)
,
又由❑√a<x3<x4, 则(x3−x4)<0, (x3x4−a)>0, 则f(x3)−f(x4)<0, 即函数f(x)在
[❑√a,+∞)上是增函数,
故函数f(x)在(0,❑√a]上是减函数, 在[❑√a,+∞)上是增函数.
（2）根据题意,设t=2x+1, x∈[0,1],则t∈[1,3];
则x=t
1
−
2
,g(x)=4x
2
12
−
x
3
−
2x+1
=(t
1
−)
2
6(
−
t
1) 3
−
−
t
=t+4
t
8,
−
y=t+4
t
8
−,在(0,2)上为减函数,在(2,4)上为增函数,又由t=2x+1在(0,1)上为增函数,
当t=2x+1=2时, x=1
2
;则g(x)=4x
2
12
−
x
3
−
2x+1
在(0,1
2 )上为减函数,在(1
2 ,1)上为增函
数;
g(0)= 3
−, g(1)=−11
3
; 其最小值g(1
2 )= 4
−, 最大值g(0)= 3
−, 则g(x)的值域为
[
4
−
.
随堂演练
1.函数f(x)=1−1
x
1
−
( )
A.在( 1,+∞)
−
上单调递增 B.在(1,+∞)上单调递增
C.在( 1,+∞)
−
上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减
解：f(x)图像可由y=−1
x
图像沿x轴向右平移一个单位长度，
再向上平移一个单位长度得到，如图所示.故选：B.
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)= ln
−
x B.f(x)=1
2
x C.f(x)=−1
x
D.f(x)=3
|x
1|
−
解：对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，所以
f(x)= ln
−
x在(0,+∞)上单调递减，故A 错误;
对于B, 因为y=2
x在(0,+∞)上单调递增，y=1
x
在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)=1
2
x
在(0,+∞)上单调递减, 故B 错误;
对于C ，因为y=1
x
在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，所以
f(x)=−1
x
在(0,+∞)上单调递增，故C 正确;
对于D, 因为f(
1
2)=3|
1
2
1
−)=3|−1
2)=3
1
2 = ❑√3
，f(1)=3
|1 1|
−=3
0=1
，f(2)=3
|2 1|
−=3
1=3
，
显然f(x)=3
|x
1|
−在(0,+∞)上不单调，D 错误.故选：C.
3.函数f(x)=log1
2
(x
2
4)
−
的单调递增区间是( )
A.(0,+∞) B.( ∞,0)
−
C.(2,+∞) D.(
∞
−
解：函数f(x)=log1
2
(x
2
4)
−
的定义域为(
∞
−
，由于外层函数为减函
数，
由复合函数的单调性可知，只要求u(x)=x
2
4
−的单调递减区间，
结合函数f(x)=log1
2
(x
2
4)
−
的定义域，得f(x)=log1
2
(x
2
4)
−
单调递增区间为
(
∞
−
.故选：D.
4.函数y=2
sinx的单调增区间是( )
A.[2kπ−π
2
,2kπ+π
2 ) (k∈Z) B.[2kπ+π
2
,2kπ+3π
2 ) (k∈Z)
C.[2kπ−π,2kπ) (k∈Z) D.[2kπ,2kπ+π) (k∈Z)
解：由于y=2
x在R上递增，根据复合函数单调性同增异减，可知，函数y=2
sinx在区间
[2kπ−π
2 ,2kπ+π
2 )(k∈Z)上递增. 故选 A.
5.函数f(x)=ln(x
2
2
−x
8
−)的单调递增区间是( )
A.(
∞
−
B.( ∞,1)
−
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
解：由x
2
2
−x
8>0
−
得：x∈(−
,令t=x
2
2
−x
8
−, 则y=lnt,
∴x∈(−
时,t=x
2
2
−x
8
−为减函数;x∈(4,+∞)时,t=x
2
2
−x
8
−为增函数;
y=lnt为增函数,故函数f(x)=ln(x
2
2
−x
8)
−
的单调递增区间是(4,+∞),故选：D.
6.函数f ( x)= log5(2 x +1)的单调增区间是 .
解：由函数f ( x)= log5(2 x +1)，则2 x +1>0，
即x>−1
2
，故定义域为(−1
2 ,+∞)
，令t =2 x +1，为增函数，且y = log5t也是增函数，
所以函数f ( x)= log5(2 x +1)的单调增区间是(−1
2 ,+∞)
.故答案为：(−1
2 ,+∞)
.
7.函数f(x)=lgx
2的单调递减区间是 .
解：因为函数定义域为( ∞,0)∪(0,+∞)
−
，所以当x∈( ∞,0)
−
，u=x
2单调减，函数
f(x)=lgx
2单调减，当x∈(0,+∞)，u=x
2 单调增，函数f(x)=lgx
2单调增，故函数
f(x)=lgx
2的单调递减区间是( ∞,0)
−
.
8.设a>0,a≠1,函数f(x)=loga(x
2
2
−x+3)有最小值,则不等式loga(x
1)>0
−
的解集为
.
解：函数的定义域是R,设函数y=loga u, u=x
2
2
−x+3.
因此函数u=x
2
2
−x+3
仅有最小值,且函数f(x)=loga(x
2
2
−x+3)有最小值.
因此函数y=loga u是增函数,因此a>1.由loga(x
1)>0
−
, 可得 x
1>1
−
, 因此 x>2.
即不等式的解集是{x|x>2}.
9.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a = .
解：由题可知要使函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞)，则−a
2 =3，解得
a = 6
−.
2.3.2 已知函数的单调性求参数的取值范围
知识点梳理
已知函数表达式中含有参数 a（或其他字母），并且已知它在某个区间上具有某种单
调性（递增/递减，严格或非严格），要求所有可能的参数取值集合.
一般解题过程：单调性条件→对任意符合条件的自变量大小关系，函数值的大小关系
必须恒成立→转化为关于参数的不等式（组）→解这个不等式（组）得到参数范围.
典型例题
例1.已知函数f(x)=lg(x
2
4
−x
5)
−
在(a,+∞)上单调递增, 则a的取值范围是( )
A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (5,+∞) D. [5,+∞)
解：由x
2
4
−x
5>0
−
得x>5或x< 1
−，所以f(x)的定义域为(
∞
−
，
因为y=x
2
4
−x
5
−在(5,+∞)上单调递增，所以f(x)=lg(x
2
4
−x
5)
−
在(5,+∞)上单
调递增
所以a≥5，故选：D.
例2.如果函数f(x)=1
2 (m
2)
−
x
2+(n
8)
−
x+1(m ≥0,n≥0)在区间[1
2 ,2]上单调递减,
则mn的最大值为( )
A. 16 B. 18 C. 25 D. 81
2
解：m ≠2时，抛物线的对称轴为x=−n
8
−
m
2
−
. 据题意：当m >2时，−n
8
−
m
2
−≥2即
2m +n≤12.
∴❑√2m ⋅n≤2m +n
2
≤6.∴mn≤18.
由2m =n
且2m +n=12
得m =3,n=6.
当m <2
时，抛物线开口向下，据题意得，
−n
8
−
m
2
−
≤1
2
即
m +2n≤18.∴❑√2n⋅m ≤2n+ m
2
≤9.
∴mn≤81
2
. 由2n= m且m +2n=18 得m =9>2，故应舍去.要使得mn取得最大值，
应有m +2n=18 (m <2,n>8). 所以mn=(18 2
−n)n<(18 2×8)×8=16
−
，所以最大值为
18.故选：B.
随堂演练
1.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是
________．
（2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a 的值为
________．
解：（1）f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4]．
（2）f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4.
2.已知函数f(x)=
❑√3−ax
a
1
−
(a≠1).
（1）若a>1,则f(x)的定义域是 .
（2）若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
解：(1) 因为f(x)=
❑√3−ax
a
1
−
, a>1,所以3−ax≥0,即ax≤3, 故x≤3
a
, 所以f(x)的定义
域为( ∞,
−
3
a ).
(2) 当a
1>0
−
,即a>1时,要使f(x)在区间(0,1]上是减函数,需要y=3−ax在(0,1]上是减
函数,
同时y=3−ax≥0恒成立,即ymin≥0,
因为a>1>0,即−a<0,所以y=3−ax在(0,1]上是减函数显然成立, 此时ymin=3−a,则
3−a≥0,
得a≤3, 故1<a≤3;
当a
1<0
−
,即a<1时,要使f(x)在区间(0,1]上是减函数,需要y=3−ax在(0,1]上是增函
数,
同时y=3−ax≥0恒成立,所以−a>0，即a<0，此时y=3−ax≥0显然成立.综上：a<0或
1<a≤3，即a∈( ∞,0)∪[1,3]
−
.
3. 若函数f(x)=a
x(a>0,a≠1)在[ 1,2]
−
上的最大值为4, 最小值为m, 且函数
g(x)=(1 4
−
m )❑√x在[0,+∞)
上是增函数,则a = .
解：当a>1时,有a
2=4, a
1
−= m,此时a =2,m =1
2
,此时g(x)=−❑√x为减函数,不合题意.
若0<a<1,则a
1
−=4, a
2= m,故a =1
4
, m =1
16
,检验知符合题意.
4.若定义在区间( 1,0)
−
内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是(
)
A. (0,1
2) B. (0,1
2) C. (
1
2 ,+∞) D. (0,+∞)
解：由题意x+1∈(0,1)，
当0<2a<1，即0<a<1
2
时，在x+1∈(0,1)上f(x)=log2a(x+1)>0，满足要求；
当2a>1，即a>1
2
时，在x+1∈(0,1)上f(x)=log2a(x+1)<0，不满足要求。
综上，0<a<1
2
. 故选: A.
5.若函数f(x)=−x
2+2ax与g(x)=a
x+1
在区间[1,2]上都是减函数, 则a的取值范围(
)
A. ( 1,0)∪(0,1)
−
B. ( 1,0)∪(0,1]
−
C. (0,1) D.
[0,1]
解：对于f(x)=−x
2+2ax,开口向下,对称轴为x=a,
若函数在区间[1,2]上都是减函数,则区间[1,2]在对称轴的右侧,所以可得:a≤1.
对于g(x)=a
x+1
,其相当于将y=a
x
的图象向左平移1 个单位,
得到如下函数图象:
此时我们可以判断, 当a>0时,则函数y=a
x
在第一象限为单调递减,而g(x)=a
x+1
在
( 1,+∞)
−
单调递减,故a的取值范围是(0,1]. 故选: D.
6.若函数f(x)=loga(2x
2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,1
2)内恒有f(x)>0,则f(x)的单
调递增区间是( )
A.(
∞,
−
−
1
4) B.(−1
4 ,+∞) C.(
∞,
−
−
1
2) D.(0,+∞)
解：由题意得：因为x∈(0,1
2)，则2x
2+x∈(0,1)，
函数f(x)=loga(2x
2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,1
2)内恒有f(x)>0，所以a∈(0,1)
，
由复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间(0,+∞)，对复合函数的形式进行判断，
可得到函数的单调递增区间为(
∞,
−
−
1
2)
，故选C.
7.设函数f(x)=2
x(x−a )在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是( )
A.(
∞
−
B.[ 2,0)
−
C.(0,2] D.[2,+∞)
解：函数y=2
x在R上单调递增，而函数f(x)=2
x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，
则有函数y=x(x−a)=(x−a
2 )
2
−a
2
4 在区间(0,1)上单调递减，因此a
2 ≥1，解得a≥2
，
所以a的取值范围是[2,+∞)．故选：D.
8.若函数f(x)=loga(x
3−ax)(a>0且a≠1)在区间(−1
2 ,0)内单调递增, 则a的取值范
围是( )
A.[
1
4 ,1) B.[
3
4 ,1) C.(
9
4 ,+∞) D.(1,9
4)
解：函数f(x)=loga(x
3−ax)(a>0,a≠1)在区间(−1
2 ,0)内有意义, 则
(−1
2)
3
+1
2 a≥0,∴a≥1
4
，
设t=x
3−ax
,则y=logat,t
′=3x
2−a.
( 1 ) 当a>1时,y=logat是增函数，要使函数f(x)=loga(x
3−ax)(a>0,a≠1) 在区间
(−1
2 ,0)
内单调递增, 需使t=x
3−ax在区间(−1
2 ,0)内内单调递增, 则需使t
′=3x
2−a≥0,
对任意x∈(−1
2 ,0)恒成立,即a≤3x
2对任意x∈(−1
2 ,0)恒成立.
因为x∈(−1
2 ,0) 时, 0<3x
2<3
4
所以a<0
与a>1
4
矛盾,此时不成立.
（2）当0<a<1时, y=logat是减函数,要使函数f(x)=loga(x
3−ax)(a>0,a≠1)在区
间(−1
2 ,0) 内单调递增, 需使t=x
3−ax在区间(−1
2 ,0)内单调递减, 则需使
t
′=3x
2−a≤0
对任意x∈(−1
2 ,0)恒成立,
即a≥3x
2对任意x∈(−1
2 ,0)恒成立,因为x∈(−1
2 ,0)时, 0<3x
2<3
4
,所以a≥3
4
，
又a<1,所以3
4 ≤a<1.综上：a的取值范围是3
4 ≤a<1.
