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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 15 练 导数与函数的单调性（精练）
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
【详解】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
3．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
；
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
【详解】(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
4．（2021·全国·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
5．（2021·全国·统考高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
【详解】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】由 ，可解得结果.
【详解】 ,
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 .
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，则（ ）
A． 为偶函数，且在 上单调递增
B． 为偶函数，且在 上单调递减
C． 为奇函数，且在 上单调递增
D． 为奇函数，且在 上单调递减
【答案】A
【分析】先用定义法判断函数的奇偶性，再求导得到函数的单调性，进而选出答案.
【详解】函数 定义域为R，
且 ，所以 为偶函数，故排除选项C，D；
又当 时， ，则 在 上单调递增，故选项A正确，
选项B错误，
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示，则其导函数 的
图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；
【详解】解：由 的图象可知，当 时函数单调递增，则 ，故排除C、D；
当 时 先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于 ，再大于 ，最后小于 ，
故排除B；
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可.
【详解】由 ，
因为函数 在区间 内单调递增，
所以有 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，所以由 ，
因为 ，所以 ，于是有 ，
故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上单调递增，则实数k的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数 在区间 上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得 的取值范围.
【详解】由题意得，
在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
又函数 在 上单调递增，得 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 存在单调递减区间，则实数b的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先计算出 ,由 存在单调递减区间知 在 上有解即可得出结果.
【详解】函数 的定义域为 ，且其导数为 ．由 存
在单调递减区间知 在 上有解，即 有解．因为函数 的定义域为 ，
所以 ．要使 有解，只需要 的最小值小于 ，所以 ，即 ，所以实数 的取值范围是 ．
故选:B．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对 ， ，都有
成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将题意转化为对 ， ，都有 ，构造函数
得到 在 为减函数，从而得到 ， 恒成立，再利用导
数求出最小值即可得到答案.
【详解】因为对 ， ，都有 成立，
所以对 ， ，都有 .
设 ，则 在 为减函数.
，
等价于 ， 恒成立，
即 ， 恒成立.
设 ， ，
所以 ， ， 为减函数，
， ， 为增函数，所以 ，所以 ，即 .
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）若 为奇函数，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据奇函数的性质求出 ，再利用导数求出函数的单调性，最后即可求解不等式.
【详解】因为 为奇函数，则 ，解得 .则
即 .，而 .则 ，可得 ， ，即 在定义
域内单调递减.那么 根据单调性可得 ，即 .
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为 ， ， ，所以构造函数 ，
因为 ，由 有： ，
由 有： ，所以 在 上单调递减，
因为 ， ， ,
因为 ，所以 ，故A，B，D错误.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）对任意的 ，当 时， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式等价变形，构造函数 ，再借助函数单调性、最值求解作答.
【详解】依题意， ，令 ， ，
则对任意的 ，当 时， ，即有函数 在 上单调递减，
因此， ， ，而 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
二、多选题
11．（2023·北京朝阳·高三专题练习）游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．
数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状
称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数 ，其中
，则下列关于悬链线函数 的性质判断中，正确的有（ ）.
A． 为偶函数B． 为奇函数
C． 的最小值为a
D． 的单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合导数的性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】函数 的定义域为R，且 ， 为偶函数，故A正确，B错误；
∵ ， ，∴ ，
当且仅当 时取等号，即 时取等号，故C正确；
，
当 时，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，由偶函数的性质可知， 在 上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
12．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知 ,若 ,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】将式子 化为 ,即可得选项A的正误;构造 ,求导求单调性,即可得 ,再根据 的单调性,即可得选项B的正误;根据 , ,再用基本不等式即
可判断选项C正误;根据 ,可得 ,即可判断选项D正误.
【详解】解:由题知, ,
所以 ,即 ,
则选项A正确;
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增;
由选项A 结论: ,
得 ,所以 ,
即 ,因为 单调递减,
所以 ,故选项B错误;
由选项B中结论 ,
所以
,
所以 ,故选项C正确;
因为 ,
所以 ,
则选项D正确.故选:ACD.
13．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知函数 ，则（ ）
A． 恒成立 B． 是 上的增函数
C． 在 取得极小值 D． 只有一个零点
【答案】BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性可知B正确；利用导数求出函数的极小值可知C正确；当 时，
，可知A错误；求出函数的零点，可知D正确．
【详解】因为 ，该函数的定义域为 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以 ，故B正确，C正确；
当 时， ，此时 ，A错误；
由 ，可得 ，解得 ，D正确．
故选：BCD
三、填空题
14．（2023春·宁夏吴忠·高三统考开学考试）设函数 ，若函数 的图象在点 处
的切线方程为 ，则函数 的单调增区间为__________．
【答案】【分析】根据导数的几何意义，求出 的值，然后根据导数与单调性的关系，令 ，即可求解.
【详解】解：因为 ，所以 ，
又因为函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
所以函数 的单调增区间为 .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）若正实数 满足 则 ________
【答案】
【分析】利用换元令 ，整理可得 ，构建函数 ，求导，利用导数判断其单调
性，进而分析求解.
【详解】令 ，则
∴ ，则
构建 ，则 当 时恒成立
∴ 在 上单调递增
∵ ，则 ，即
∴
故答案为： .16．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数 ， ，若
在 上恒成立，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意参变分离可得 在 上恒成立，构造新函数，求导求单调性，求出最值，
即可得 的取值范围.
【详解】解：因为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
取 ，所以 ，
因为 ，所以 ，而 ，即 ，
所以在 上， ， 单调递增，所以 ，
因为 在 上恒成立，所以 .
故答案为：
17．（2023·安徽宣城·统考二模）已知函数 ，则不等式 的解集是________．
【答案】
【分析】令 ，判断 的奇偶性与单调性，则问题转化为 ，即 ，即可得
到自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为 ，令 ，
则 ，
则函数 为偶函数，又 ，
当 时， ， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ，
由 可得 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，即不等式的解集是 .故答案为：
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
【答案】当 在 上单调递增；
当 在 上单调递增，在 上单调递减.
【分析】先求导，然后分 和 讨论即可.
【详解】 的定义域为 ， .
当 ，则x∈ 时， ，故 在 单调递增.
当a＜0，则x∈ 时， ；x∈ 时，
故 在 单调递增，在 单调递减.
综上所述, 当 在 上单调递增；
当 在 上单调递增，在 上单调递减.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (a∈R且a≠0)，讨论函数 的单调性．
【答案】答案见解析【分析】由题设知 定义域为(0,＋∞)、 ，讨论参数 判断 的符号，即可确定 的
单调性.
【详解】函数 的定义域为(0,＋∞)，且 .
①当 时， ，即 在(0,＋∞)上单调递增．
②当 时，令 ，解得x＝ (负值舍去)，
当 时， ，即 在 上单调递减；当 时， ，即 在
上单调递增．
综上，当 时， 在(0,＋∞)上递增；当 时， 在 上递减，在 上递增．
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调区间；
【答案】答案见解析
【分析】先确定定义域，再求导，并把导数化成商的形式，决定导数符号的是二次三项式，且二次项的系
数含有参数，是否为零不确定，先按二次项系数为零和不为零讨论，在不为零的情况下，再讨论二次项系
数大于零和二次项系数小于零，而在二次项系数大于零的前提下，导函数的零点大小关系不确定还需分类
讨论
【详解】解： 定义域为 ，
所以（1）当 时， ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）当 时， 有两根分别为 ，
①当 时
（i）令 ，解得 ，
当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（ii）令 ，解得 ，
当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
（iii）当 时 ，
所以 在 上单调递增；
②当 时，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减的区间是
当 ， 的单调递增区间是 ， 上单调递增，单调递减的区间是当 ， 的单调递增区间是 ， 上单调递增，单调递减的区间是
当 时， 的单调递增区间是 ，无减区间
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为函数 的导函数，
讨论 的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】根据给定的函数，求出其导数 ，再分m值情况讨论 正负作答.
【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时， 时， ， 时， ，因此 在 上单调递减，在
上单调递增；
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ， 成立， 在 上单调递增；
当 时，当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以，当 时，函数 的递减区间为 ，递增区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ；
当 时，函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 .3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数），讨论
的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】根据给定的函数，求出其导数 ，再分a值情况讨论 正负作答.
【详解】函数 的定义域为R，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 得， ， ，
若 ，即 时， 恒成立，即 在R上单调递增，
若 ，即 时，由 得： 或 ，由 得： ，
因此 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
若 ，即 时，由 得： 或 ，由 得： ，
因此 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．当 时，讨论函数 的单调性；【答案】答案见解析
【分析】先求出 的定义域以及 ，再分 ， 两种情况解不等式 和
即可得函数 的单调性.
【详解】解：易知 的定义域为 ，
由 可得且 ，
由 可得 或 ，
（1）当 时， 恒成立，此时 恒成立，
所以 在 上是增函数；
（2）当 时，由 得 ，
记 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上是增函数，在 上是减函数.
综上所述，当 时， 在 上是增函数；
当 时， 在 和 上是增函数，在
上是减函数.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法
（1）确定函数 的定义域；求导函数 ，由 （或 ）解出相应的 的范围，对应
的区间为 的增区间（或减区间）；（2）确定函数 的定义域；求导函数 ，解方程 ，利用 的根将函数的定义域分
为若干个子区间，在这些子区间上讨论 的正负，由符号确定 在子区间上的单调性.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论函数 的单调性．
【答案】答案见解析.
【分析】求出函数的导数，讨论 的取值范围，判断导数正负，从而确定函数的单调性.
【详解】因为 ，所以 ，
而 （当且仅当 时取等号），
当 时， ，此时 的增区间为 ，
当 时，令 ，
则 ，
令 ，则 或 ， 时，则 ，
综上：当 时， 的增区间为 ；
当 时， 的增区间为 和 ，减区间为 .
二、单选题
6．（2023·四川宜宾·统考三模）已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将原问题转化为恒成立的问题，然后求解实数a的取值范围即可.【详解】由题意可得： ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
二次函数 开口向下，对称轴为 ，则函数在区间 上单调递减，
当 时， ，则该函数区间 上的值域为 ，
综上可知：实数 的取值范围是 .
故选：A
7．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ．若对任意
有 ， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造 ，确定函数单调递增，计算 ， ，转化得到 ，
根据单调性得到答案.
【详解】设 ，则 恒成立，故函数在 上单调递增.
，则 ，即 ，
故 .
，即 ，即 ，故 ，解得 .
故选：D
8．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，确定 在 上单调递增， ，得到 ，根据 得
到 ，得到 ，得到答案.
【详解】设 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
，故 ，即 ；
，故 ，故 ，故 ，故 ；
综上所述： .
故选：A
9．（2023·全国·校联考三模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对 变形得 ，构造函数
， ，分别求导确定函数单调性，根据单调性
比较函数值大小即可得答案.
【详解】 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增.
所以 ，即 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递增.所以 ，即 .
又当 时， ，所以当 时， .
所以当 时， ，即 .
故选：B.
10．（2023·四川内江·统考三模）若关于x的不等式 有且只有一个整数解，则正实数a的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】原不等式可化简为 ，设 ， ，作出函数 的图象，由
图象可知函数 的图象应介于直线 与直线 之间（可以为直线 ，进而求得答案．
【详解】原不等式可化简为 ，设 ， ，
由 得， ，令 可得 ，
时， ， 时， ，
易知函数 在 单调递减，在 单调递增，且 ，
作出 的图象如下图所示，而函数 恒过点 ，要使关于 的不等式 有且只有一个整数解，则函数
的图象应介于直线 与直线 之间（可以为直线 ），
又 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
三、填空题
11．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数 在区间 上存在单调递减区间，
则实数 的取值范围是________ ．
【答案】
【分析】先求 的导函数，再将函数 在区间 上存在单调递减区间转化为
在区间 上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解
实数 的范围．
【详解】 ，则 ，函数 在区间 上存在减区间，
只需 在区间 上有解，
又 ，则 ，所以 在区间 上有解，
所以 ， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 在区间 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：通过求 的导函数，再将题中条件转化为一元二次不等式（含参）在某区间上的
有解问题，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性是解答此题的关键．
12．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在 上可导函数 ，对于任意的实数x都有
成立，且当 时，都有 成立，若 ，则实数
m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】构造函数 ，讨论奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性解不等
式.
【详解】令 ，
则易得 ，即 为偶函数，
当 时，有 ，
即函数 在 上单调递减，故在 上单调递增，
由
得 ，
即 ，
由 为偶函数得 ，
又在 上单调递增，所以 ，
故答案为： ．
13．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）若函数 在 上单调递增，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】求出函数的导数，结合题意可知 在 上恒成立，即
在 上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
故 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
由 ，得 ，
当 或 时， ，当 时 ，
作出函数 的大致图象如图：故 为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为 ，
故 ，
经验证，当 时， 在 上恒成立,仅在 时取等号，适合题意，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 讨论 的单调性；
【答案】见详解
【分析】根据导数的形式是二次函数的形式，将二次函数图像与 轴交点的个数为分类讨论的依据，进行
分类讨论得到导数的正负，从而得到函数 的单调性.
【详解】由 ，
求导得 ，
易知 恒成立，故看 的正负，即由判别式 进行判断，
①当 时，即 ， ，则 在 上单调递增；
②当 时，即 或 ，
令 时，解得 或 ，当 时， ，
则 在 上单调递减；
当 或 ， ，
则 在 和 上单调递增；
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 或 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求函数 的单调区间；
【答案】 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
【分析】求导后，再对导函数求导，根据导数的符号可得结果.
【详解】当 时，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
，即 ，
又当 时， 恒成立， 即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
综上所述：当 时， ， 为减函数﹔当 时， ， 为增函数.
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ,讨论 的单调性;
【答案】答案见解析.
【分析】判断 定义域并求导,化简为两个因式乘积的形式,分别对 , , , 四种
情况进行讨论,求出单调性即可.
【详解】解:由题知 的定义域为R,
所以 ,
当 时, ,
所以 ,
令 ,解得 ;
令 ,解得 ,
所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 ,
当 时,令 ,
解得: 或 ,
①当 时,即 ,
,所以 在 上单增.
②当 时,即 ,
由 解得: ;
由 解得: ,
所以 的单调增区间为 ,
的单调减区间为 .
③当 时,即 ,
由 解得: ;
由 解得: ,
所以 的单调增区间为 ,
的单调减区间为 .
综上: 当 时, 的单调增区间为 ,单调减区间为 ;
当 时, 的单调增区间为 ,
的单调减区间为 ;
当 时, 在 上单增;
当 时, 的单调增区间为 ,
的单调减区间为 .
二、单选题4．（2023·河北·统考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据所给数的结构特征，设函数 ，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大
小，可得答案.
【详解】设函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
因为 ，故 ，即 ，
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导
数判断单调性，进而比较大小.
5．（2023·湖北·校联考三模）已知函数 图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析 的单调性，可得对称点分别位于 与 的图象上，从而得到
，进而利用同构法，构造函数 得到 ，再构造函数，由此得解.
【详解】因为 ，
所以当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
又 的图象上存在关于y轴对称的两点，
所以这两个对称点分别位于 与 的图象上；
设 在 的图象上，则 在函数 的图象上，且 ，
故有 ，即 ，
进而 ；
设 ，则 ，
又 恒成立，故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，则 ，于是 ．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将 转化为
，从而构造了函数 ，由此得解.
6．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 在 上恒成立，构建 ，结合定点 分析运算.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得 在 上恒成立，
构建 ，则 ，
注意到 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
若 ，因为 ，则 ，
可得 ；
若 ，因为 ，则 ，
可得 ；
综上所述：当 时， 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，符合题意；
故实数m的取值范围为 .故选：D.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
三、多选题
7．（2023·广东广州·统考模拟预测）函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数 在 上为减函数，则
B．若函数 的对称中心为 ，则
C．当 时，若 有三个根 ，且 ，则
D．当 时，若过点 可作曲线 的三条切线，则
【答案】ACD
【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到 ，B错误，求导得到函数的单
调区间，确定 ， ，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到
，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A： ， ，函数在 上为减函数，则 ，解得 ，正确；
对选项B：函数 的对称中心为 ，则 ， ，错误；
对选项C： ， ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
， ， ，故 ， ，
要证 ，即 ，
整理得到 ， ，不等式成立，正确；
对选项D：设切点为 ，则 ， ，
则切线方程为 ，
将 代入上式，整理得 ，方程有三个不同解，
设 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；极小值 ，极大值 ，故 ，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生
的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键.
四、填空题
8．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 有且仅有两个零点 ，且
，则 _______.
【答案】
【分析】由函数零点的意义等价变形等式，构造函数并求出零点，转化为新函数的零点问题作答.
【详解】函数 的定义域为 ，由 ，得 ，
即 ，令 ，则 ，
，即函数 为增函数，而 ，于是 有唯一解，即有 ，
因此 的两个解为 ，此时 ， ，
即 ， ，显然 ，则有 ，解得 ，
所以 ．
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及函数零点求参数问题，利用函数零点的意义等价变形等式，构造函数，利用导数
探求新函数零点问题解决.
9．（2023·山东济南·统考三模）已知函数 ， ，当实数 满足
时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为______.【答案】
【分析】同构，对函数多次求导，研究函数的单调性，根据 求得 ，从而把不等式恒成立问
题转化为 在 上恒成立，构造函数，利用导数求出函数最值即可求解.
【详解】 ，
令 ，易知函数 在 上单调递增，
则 ，有 ，记 ，则 ，
时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以函数 单调递增，且 ，
由题意 ，所以 ，所以 ，
不等式 恒成立即 恒成立，
所以 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
记 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，故 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
