文档内容
第 02 讲 导数与函数的单调性
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：函数的单调性与导数的关系.....................................................................................................................4
知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤.............................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像............................................................................................6
题型二：求单调区间....................................................................................................................................................9
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围..............................................................................11
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围..........................................................................................13
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围..................................................................16
题型六：不含参数单调性讨论..................................................................................................................................19
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析......................................................................................................21
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析..................................................................................................22
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析..................................................................................23
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析..............................................................................28
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析..........................................................................................32
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性..............................................................................................................35
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................38
05课本典例·高考素材........................................................................................................................40
06易错分析·答题模板........................................................................................................................45
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻.....................................................................45
答题模板：利用导数判断函数的单调性..................................................................................................................46考点要求 考题统计 考情分析
2023年乙卷（文）第20题，12
高考对函数单调性的考查相对稳
分
定，考查内容、频率、题型、难度均变
2023 年乙卷（理）第 16 题，5
（1）函数的单调区间 化不大．高考在本节内容上无论试题怎
分
（2）单调性与导数的关 样变化，我们只要把握好导数作为研究
2023年II卷第6题，5分
系 函数的有力工具这一点，将函数的单调
2022年甲卷第12题，5分
性本质问题利用图像直观明了地展示出
2022年I卷第7题，5分
来，其余的就是具体问题的转化了．
2021年浙江卷第7题，5分
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．知识点1：函数的单调性与导数的关系
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；
如果 ，则 为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递减．
【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数 的图象如图所示， 为函数 的导
函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知，在区间 上 ，
在区间 上 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；
（3）求出导数 的零点；
（4）用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间上的正负，由此得
出函数 在定义域内的单调性；
（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导
往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正
负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.
【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知 ，则 的单调增区间为 ．
【答案】 /
【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 ，所以 的单调增区间为 .
故答案为：
解题方法总结
1、使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均
为正（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在 上， ，
当 时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数．
2、若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立．因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增．当
时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则 （ 不
恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分
不必要条件．于是有如下结论：
单调递增； 单调递增 ；
单调递减； 单调递减 ．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【典例1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，在同
一直角坐标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 可得
对于 ，当 时，在第一象限上 递减，对应 图象在第四象限且递增，故
A项符合；
对于 在第一象限上 与 的图象在 上都单调递增，故 且 ，则 .
又由 可得 ，即 与 的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符
合，B, D项均符合.
故选：C.
【典例1-2】（2024·广东广州·一模）已知函数 的图像如图所示，则其导函数 的图像可能
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，当 时， 单调递减， ，由此排除BD选项.
当 时，从左向右， 是递增、递减、递增，
对应导数的符号为 ，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
【方法技巧】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数 （导函数
等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数 （导函数等于0，
只在离散点成立，其余点满足 ）．
【变式1-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知函数 的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 的图象可知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，则当 时 ， 时 ， 时 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
【变式1-2】（2024·北京海淀·一模）函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示， .设
是 的导函数，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，且 为偶函数，故 ，
由导数性质结合图象可得当 时， ，
当 时， ，当 时，即 ，
则由 ，有 ，解得 ，
亦可得 ，或 ，或 ，或 ，
由 可得 或 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 或 （舍去，不在定义域内），
由 ，可得 ，
综上所述，关于x的不等式 的解集为 .
故选：D.题型二：求单调区间
【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
，则当 时， 的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】当 时， ,
由 ，解得 ，所以 在区间 上单调递增，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以函数 图象关于原点对称，
所以 在区间 上单调递增.
故答案为： .
【典例2-2】函数 的严格递减区间是 .
【答案】 .
【解析】函数 的定义域为 ，
，
令 ，则 且 ，即 的严格递减区间为 .
故答案为： .
【方法技巧】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求 的定义域
（2）求出 ．
（3）令 ，求出其全部根，把全部的根在 轴上标出．
（4）在定义域内，令 ，解出 的取值范围，得函数的增区间；令 ，解出 的取值范
围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔
开．
【变式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数 的导函数为 ，若当 时 ，且.则 的单调增区间为 .
【答案】
【解析】因为 时 ，则 ，
又 ，则 ，即 ，
所以 ，
令 ，即 ，即 ，
又 ，则 ，解得 ，
令 ，即 ，即 ，
即 ，解得 ，
所以 在 单调递增，
又 为奇函数，
当 时， 在 单调递增，
所以 的单调增区间为 .
故答案为：
【变式2-2】（2024·广西·模拟预测）函数 的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
，
由 得 或 （因为 ，故舍去），
所以 在区间 上单调递增．
故答案为：
【变式2-3】函数 在 上的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由题意知， .即 ， ，因为 ，所以 ，
所以在 中， ，
所以 在 上的单调递减区间为 .
故答案为：
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
【典例3-1】已知函数 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，令 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
故 ，所以 的取值范围是 .
故选：D.
【典例3-2】已知函数 在 ， 上为增函数，在（1，2）上为减函数，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
∵ 在 ， 上为增函数； 上为减函数,
∴ 两根分别位于 和 中，得 ，即 ，解得 .
故选：B
【方法技巧】
已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解．
【变式3-1】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 在区间 上单调递减，
所以 ，即 ，则 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，故 .
故选：A.
【变式3-2】（2024·高三·广东汕头·期中）设 ，若函数 在 递增，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 递增，
所以 在 上恒成立，
则 ，即 在 上恒成立，
由函数 单调递增得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 即 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：B
【变式3-3】（2024·陕西西安·三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ，
则 ，
所以 在 上递增，又 ，
所以 .
所以 的取值范围是 .
故选：B
【变式3-4】（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数 的减区间为 ，则
.
【答案】3
【解析】由题意可得， ，解集为 ，则 .
故答案为：3
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
【典例4-1】（2024·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数m的取值范
围为（ ）
A． B．C． D．m>1
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，得 ，
因为 在区间 上不单调，
所以 ，解得：
故选：B.
【典例4-2】已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，故 在 上有零点，令 ，令 ，
得 ，令 ，
则 ，由 ，得 ， 单调递增，又由 ，得 ，
故 ，所以， 的取值范围
故选：A
【方法技巧】
已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
【变式4-1】函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数 ，则 ，
记 ，
∵ 在 上不单调，
当 时不满足；
当 时， 对称轴为 ， ，
∴ 或 ，
故选：C．
【变式4-2】函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，因 在 上不单调，
故导函数 在 上必有变号零点.
令 ，得 ，再令 ，则 ，
由 ，得 即 在 上单调递增，所以 ，
故只需 ，即 ，
对于A， 是 的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件，
而其他选项中， 的范围都不是 的真子集，故都不正确.
故选:A．
【变式4-3】若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数k
【答案】B
【解析】由题意得， 在区间 上至少有一个实数根，
又 的根为 ，且 在 或 两侧异号，
而区间 的区间长度为2，故只有2或-2在区间 内，
∴ 或 ，
∴ 或 ，故A，C，D错误.故选：B.
【变式4-4】函数 在R上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，而 ，
要使 在R上不单调，则 .
故选：D
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
【典例5-1】已知函数 在 上有增区间，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】等价于存在 使得 成立，即 成立，即得解.由题得 ，
因为函数 在 上有增区间，
所以存在 使得 成立，
即 成立，
因为 时， ，
所以 .
故答案为：
【典例5-2】若函数 在 存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 ，等价于 在 有解，即 在 有解，
即 在 有解，所以 ，
令 ，则 ，即 在 上是增函数，
∴ ，所以 .
故答案为： .
【方法技巧】
已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
【变式5-1】若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，
由题意知， 在 上有实数解，
即 有实数解，
当 时，显然满足，
当 时，只需
综上所述
故答案为：
【变式5-2】若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，由题意 有解，即
有解，令 , ,
时，该函数单调递增；
时,该函数单调递增，
所以，当 取得最大值 ,
所以 ．
【变式5-3】（2024·高三·湖北襄阳·期末）函数 的导函数为 ，若在 的定义域内存在一个区
间 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，则称区间 为函数 的一个“渐缓增区
间”．若对于函数 ，区间 是其一个渐缓增区间，那么实数 的取值范围是 ．
【答案】【解析】对于函数 ，
，令 ，
则 ，因为 在区间 上单调递减，
所以 恒成立，即 恒成立，又 ，
所以 ，
又 在区间 上单调递增，
所以 恒成立，
所以 ，解得 ，
综合得 .
故答案为： .
【变式5-4】若函数 在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，则 ，
函数 在区间 上存在减区间，只需 在区间 上有解，
即 在区间 上有解，
又 ，则 ，
所以 在区间 上有解，
所以 ， ，令 ， ，
则 ，令 ，则 在区间 恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，所以 ，所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型六：不含参数单调性讨论
【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函数 .若 ，讨论 的
单调性；
【解析】函数 的定义域为 ，
当 时， ，所以 ，
设 ，因为 、 都在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 时， 单调递减；
时， 单调递增.
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
【典例6-2】（2024·高三·天津·开学考试）已知函数 ．当 时，求
的单调区间；
【解析】当 时，若 ，则 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
【方法技巧】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数
的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．
【变式6-1】已知函数 ．
判断 的单调性，并说明理由；【解析】
令 ，
在 上递增， ， ，
在 上单调递增.
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ，若 ，求 的单调区间.
【解析】若 ，则 的定义域为 ，
且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
当 时，讨论函数 的单调性．
【解析】当 时，可得 ，其中 ，则 ，
设 ，则 ，
令 ，可得 恒成立，
所以 为 上的增函数，且 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增．
【变式6-4】函数 .当 时，求函数 的单调性；
【解析】当 时， ，定义域为 ，
，记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析
【典例7-1】已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【解析】由题意可知 的定义域为 ，且 ，
当 时， 恒成立，
所以 的单调递减区间是 ，无单调递增区间.
当 时，令 解得 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
综上所述：当 时， 的单调递减区间是 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
【典例7-2】已知函数 .讨论函数 的单调性；
【解析】（1）函数 的定义域是 ，
因 ，
①若 ，则 在 上单调递增；
②若 ，则当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
【方法技巧】
导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，
讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
【变式7-1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 ，其中 .讨论 的单调性；
【解析】因为 ，易知其定义域为 ， ，
当 时， 在 上恒成立，
当 时，由 ，得到 ，
所以，当 时， ， 时， ，
综上所述，当 时， 的单调增区间为 ，无减区间，
当 时， 的单调增区间为 ，减区间 .
【变式7-2】设函数 ．讨论 的单调性；
【解析】 的定义域为 ， ，
若 ，则 ， 在 上单调递增．
若 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析
【典例8-1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 ， 为 的导数,讨论 的单
调性；
【解析】由题知 ，
令 ，则 ，
当 时， 在区间 单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.【典例8-2】（2024·海南海口·二模）已知函数 .讨论 的单调性；
【解析】 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
【方法技巧】
导函数的形式为含参准一次函数，首先对 定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，
结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
【变式8-1】已知函数 .讨论 的单调性；
【解析】
函数 的定义域为 ， ．
令 ，解得 ，
则有当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
【变式8-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .讨论 的单调性;
【解析】 ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调
递减；
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析
【典例9-1】已知函数 ．讨论 的单调性；
【解析】函数 的定义域为 ，
则 ，
①当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，在 上单调递减，在 上单调递增，
②当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
③当 时， 恒成立，
在 上单调递增，
④当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
【典例9-2】已知函数 .讨论函数 的单调性；
【解析】（1）因为 的定义域为 ，
又 ，
当 时，在 上 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 （舍去）， ；
当 ， ， 在 上单调递减；
， ， 在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
【方法技巧】
若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义
域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式9-1】已知函数 ，讨论函数 的单调性；
【解析】由题知， ， ，
①当 时， ，
则 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 的增区间是 ，减区间是 ；
②当 时， ，
当 和 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 的增区间是 和 ，减区间是 ；
③当 时， ，故 的单调递增区间是 ；
④当 时， ，在 和 上， 单调递增；
在 上， 单调递减；
故 的增区间是 和 ，减区间是 ，
综上，当 时， 的增区间是 ，减区间是 ；
当 时， 的增区间是 和 ，减区间是 ；
当 时， 的增区间是 ，
当 时， 的增区间是 和 ，减区间是 ．
【变式9-2】已知函数 （ ， 为自然对数的底数）.讨论函数
的单调性；
【解析】 的定义域为 ，
，当 时， ，令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，令 得 （舍去），或 ，
令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，令 得 或 ，
若 时， ，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
若 时， ，此时 恒成立，
故 在 上单调递增，
若 时， ，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
【变式9-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性．【解析】（1）由题意知，当 时， ，
则 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ．
（2） 的定义域为 ，且 ，
当 时，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增；
当 时，则有：
若 ，则 ，令 ，则 单调递增；
令 ，则 或 单调递减；
若 ，则 ，令 ，则 单调递增；
令 ，则 或 单调递减；
若 ，则 单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减．
【变式9-4】已知函数 ， ．求函数 的单调区间.
【解析】函数 的定义域为 ．由题意得 ,
当 时, ，则 在区间 内单调递增；
当 时，由 ，得 或 （舍去）,
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减．
所以当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析
【典例10-1】已知函数 ．讨论 的单调性
【解析】 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增．
当 时，令 ，则 ．
若 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
若 ，即 时，方程 的根为 ，
当 时， 或 ， 在 和 上单调递
增；
当 时， ， 在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和
上单调递增，
在 上单调递减．
【典例10-2】已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【解析】 的定义域为 ， ．
当 时， ，故 在 单调递增；
当 时， ，故 在 单调递减；当 时，令 ，解得 ．
由于 在 上单调递减，
故当 时， ，故 在 单调递增；
当 时， ，故 在 单调递减．
【方法技巧】
若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨
论.
【变式10-1】讨论函数 ， 的单调性
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，
当 时， ，令 ，解得 ，
所以 时， ，所以 在 上单调递减，
时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，
令 ， ，
当 时，令 ，则 ， ，
所以方程有 、 两个根， 解得 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 不在定义域内，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；时，当 时，即 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 ，即 时，方程有 、 两个根，
解得 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
，又因为 ， ，
所以当 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
综上所述： 时， 在 是单调递减，在 单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增
时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增；
时， 在 单调递减.
【变式10-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知函数 ．讨论 的单调性．
【解析】 ，
（i）当 时， ，由 ，得 ；由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
（ⅱ）当 时， 的判别式 ，
若 ，①当 时， ， 在 上恒成立， 在 上单调递增；②当 时， ，方程 的二根 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，①当 时， ， 在 上恒成立， 在 上单调递减；
②当 时， ，方程 的二根 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上
单调递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递减，在 上
单调递增.
【变式10-3】设函数 ,求 的单调区间.
【解析】 ， ，
若 ，则 ， 则 恒成立，此时 在 上单调递增.
当 或 ,由 解得 ，
当 时，列表如下：当 时，列表如下：
综上, 当 时, 在 递减，在 递增，在
递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 递增，在 递减，在
递增.
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析
【典例11-1】已知函数 ,其中 .求 的单调区间．
【解析】 ,
令 ，即解不等式: ,
① 当 时,解得: ,
故 的单调区间为：② 当 时, ,所以解得: ,
故 的单调区间为：
③ ,则 ,常值函数不具备单调性.
④ 时,解得: 或 ,
故 的单调区间为：
综上，当 时, 在 递减，在 递增，在 递减;
当 时, 在 递减，在 递增，在 递增，在 递减；
当 时,则 ,常值函数不具备单调性;
当 时, 在 递增，在 递减，在 递减，在 递增.
【典例11-2】已知函数 .讨论 的单调性；
【解析】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
若 ，则 ，且当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上递增，在 上递减；
若 ，令 ，解得 ，若 ，即 ，则 恒成立，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上递减，在 上递增；
若 ，即 ，则当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上递增，在 上递减；
若 ，即 ，则 在 上恒成立，函数 在 上递增；
若 ，即 ，则当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 ；
当 时， 的递增区间为 和 ，递减区间为 ；
当 时， 的递增区间为 ，无递减区间；
当 时， 的递增区间为 和 ，递减区间为 ；
当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 .
【方法技巧】
若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再
划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式11-1】已知函数 ， .若 ，讨论函数 的单调性；
【解析】
.
①当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
在 上单调递减，在 上单调递增.
②当 时，令 ，解得 或 ，
当 即 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 即 时， 在 上单调递增，
当 即 时， 在 单调递增，在 上单调递减，在 上单调递
增，
综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减，在 上单调递增.
【变式11-2】已知函数 ． 时，讨论 的单调性．
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
令 可得， 或 ，
若 时，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
若 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
若 ， ，且当且仅当 时取等号，
所以 在 上单调递增，
综上，当 时，函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 ，
当 ，函数 的递增区间为 ， ，递减区间为 ，
若 时，函数 的单调递增区间为 ，没有递减区间，
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性
【典例12-1】已知函数 （ ，且 ）求函数 的单调区间；【解析】 定义域为 ， （ ，且 ），
则 .
当 时， ， ，
若 ，则 ， ，得 ，于是 ，
若 ，则 ， ，得 ，于是 ，
∴当 时 ， 即 在 上单调递增；
当 时， ， ，
若 ，则 ， ，得 ，于是 ，
若 ，则 ， ，得 ，于是 ，
∴当 时 ，即 在 上单调递减；
综上， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【典例12-2】已知函数 ， .
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)求函数 在 上的单调性；
【解析】（1）由题意知 的定义域为R.
①当 时，由 得 ，设 ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；当 时， ，故 在 上
单调递增，
所以 ，因此 .
②当 时，若 ，因为 ，不合题意.所以 ，此时 恒成立.
③当 时， ，此时 .
综上可得，a的取值范围是 .
（2）设 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上恒成立. 所以 .
又由（1）知 ，所以当 时， ，
所以 在 上单调递增.
【方法技巧】
分段讨论导函数的正负.
【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .判断函数 的单调性.
【解析】因为 ，定义域为 ，
，
令 ，因为 ，则 ，
可得 在 上单调递减，所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
【变式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函数 ， ．讨论函数 在
上的单调性．
【解析】 ，
，
当 时 ，此时 在 内单调递增；
当 时， ，
此时 在 内单调递增；
当 时，令 ，
，
在 上为减函数．
又 ，
在 上存在唯一零点 ，使得 ，
∴当 时 ， 递增；
当 时 ， 递减．
综上：当 时，此时 在 内单调递增；当 时，当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减，其中 为方程 的根．
【变式12-3】设函数 ，其中 ，讨论 的单调性.
【解析】由
① 时，由 ，令 ，解得 ，
所以 时， 时， ，
则 在 单调递增，在 单调递减；
② 时，由 ，
（i） 时，因为 ，则 在 单调递增，
（ii） 时， ，解得 或 ，
所以 时， 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 单调递减；
（iii） 时，由 ，
所以 时， 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 单调递减；
综上： 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ；
时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值
为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【解析】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，若函数 在 上单调递增，
则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，
由于 ，故当 时， ，不合题意.
综上可知：实数 得取值范围是 .1．判断下列函数的单调性：
（1） ；
（2）
【解析】（1） ,
令 ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减.
（2） ，
令 ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减.
2．证明函数 在区间 上单调递减．
【解析】因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减．
3．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： ， ，
【解析】∵ 等价于 ，
∴可令 ，则 ，在 上 ，
∴ 在 上单调递增，即 ，
∴ 在 上恒成立，则 ， 得证.
4．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数 的图象，当， ， ， 时， 的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数 图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间
吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
【解析】（1） 时， 有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在
极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图
所示：题设中的函数 的图象， 有 ： 在 上单调递减，上单调递增， 上单调递减.
（2）1、当 时 ，
当 时， ，则 ，即 单调递增；
当 时， ，若 ，则 ， ，
∴ 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 时， ，
单调递增；
当 时， ，则 ，即 单调递减；
当 时， ，若 ，则 ， ，
∴ 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增； 时， ，
单调递减；
2、当 时， ，对称轴为 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
3、当 、 时， ：当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
4、当 、 、 时， ： 无单调性.
5．求函数 的单调区间．
【解析】函数 的定义域为R， 时， ，
由 得 ，由 得 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 .
6．作函数 的大致图象．
【解析】 ，定义域为 则 ，所以当 或
时 ，当 或 时 ，即函数在 和 上单调递增，在 和
单调递减，当 时， ， ， ，所以 ，又 ，，所以函数 的大致图象如下所示：
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻
易错分析： 一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在这个区间上恒大
（小）于等于0，且导函数在这个区间的任意子区间上都不恒为 0．一定要注意导函数在某区间上恒大
（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
【易错题1】若函数 在区间 上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 ，
所以 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立；
即 在 上恒成立；
即 在 上恒成立；
所以 ，
故选：C
【易错题2】“当 时，函数 在区间 上不是单调函数”为真命题的 的一个取值是
．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）【解析】∵ ，∴ ，
函数 在区间 上不是单调函数，
∴ 在区间 上有解,∵ ，∴ ,
∴ ,
故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）.
答题模板：利用导数判断函数的单调性
1、模板解决思路
利用导数判断函数单调性的重点在于准确判断导数的符号，当函数 含参数时，则根据参数取值
范围进行分类讨论．
2、模板解决步骤
第一步：求 的定义域
第二步：求出 ．
第三步：令 ，求出其全部根，把全部的根在 轴上标出．
第四步：在定义域内，令 ，解出 的取值范围，得函数的增区间；令 ，解出 的取
值范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或
“，”隔开．
【典例1】已知函数 ．讨论函数的单调性；
【解析】易知 定义域为 ，令 得 或
，
①当 ，即 时，令 得 或 ，令 得 ；
故 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
②当 ，即 时， 恒成立，故 在 上单调递增；
③当 ，即 时，令 得 或 ，
令 得 ， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上，当 时， 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，
在 ， 上单调递增.【典例2】已知函数 ，求 的单调区间.
【解析】函数 的定义域为 ，
求导得 ，
由 可得 或 ，
①当 时，由 可得 ，由 可得 ，
②当 时， 在 上恒成立，
③当 时，由 可得 ，由 可得 .
故当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，无递减区间；
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
