专题2.3 函数单调性
2.3.1 常见函数的单调性
知识点梳理
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间D⊆A．
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说
f(x)在区间D 上是增函数．
如果对于D 内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说
f(x)在区间D 上是增函数．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在
区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
2.常见函数的单调性
（1）一次函数：y=kx+ b (k≠0且k,b为常数)，定义域为x∈R.
①当k>0 时，函数在x R
∈
为增函数；
②当k<0 时，函数在x R
∈
减函数.
（2）反比例函数：y=k
x (k≠0),定义域为(−∞，0)∪(0，+∞).
①当k>0 时，函数在(−∞，0)，(0，+∞)为减函数；
②当k<0 时，函数在(−∞，0)，(0，+∞)为增函数.
（3）二次函数y=a x
2+ bx+c (a≠0且a,b,c为常数)，定义域为x∈R.
①当a>0 时，函数在(−∞，−b
2a )为减函数，函数在(−b
2a ，+∞)为增函数；
②当a<0 时，函数在(−∞，−b
2a )为增函数，函数在(−b
2a ，+∞)为减函数.
（4）指数函数：y=a
x (a>0且a≠1)，定义域为x∈R.
①当0<a<1 时，函数在x R
∈
为减函数；②当a>1 时，函数在x∈R为增函数.
（5）对数函数：y=logax (a>0且a≠1)，定义域为x∈(0，+∞).
①当0<a<1 时，函数在x∈(0，+∞)为减函数；
②当a>1 时，函数在x∈(0，+∞)为增函数.
（6）幂函数：y=x
a，当a>0 时，定义为R；当a<0 时，定义域为
(−∞，0)∪(0，+∞).
①当a>0 时，函数在(0，+∞)为增函数；
②当a<0 时，函数在(0，+∞)为减函数.
（7）对勾函数：y=ax+ b
x
，定义域为(−∞，0)∪(0，+∞).
①当a>0,b>0时，函数在(
∞,
−
−
❑√
b
a)和[
❑√
b
a ,+∞)上单调递增；在(−❑√
b
a ,0)和
(0,❑√
b
a)上单调递减；
②当a<0,b<0时，函数在(−❑√
b
a ,0)和(0,❑√
b
a)上单调递增；在(
∞,
−
−
❑√
b
a)和
[
❑√
b
a ,+∞)上单调递减.
3.复合函数的单调性：复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，
外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增
（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
4.判断函数单调性常用的结论：
①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；
②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)
函数；
③若f(x)>0 且f(x)为增函数，则函数❑√f(x)为增函数，1
f(x) 为减函数；
④若f(x)>0 且f(x)为减函数，则函数❑√f(x)为减函数，1
f(x) 为增函数．
典型例题
例1.给定函数: ①y=x
1
2; ②y=log1
2
(x+1); ③y=|x
1|
−
; ④y=2
x+1,其中在区间(0,1)上单
调递减的函数序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
例2.已知函数f ( x)=lo g2(2−x
2)．求f（x）的单调增区间.
例3.设函数f(x),g(x)都是D上的单调函数, 有如下四个命题, 正确的是( )
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增, 则f(x)−g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增,g(x)单调递减, 则f(x)−g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减,g(x)单调递增, 则f(x)−g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减,g(x)单调递减, 则f(x)−g(x)单调递减.
A.
①③ B.
①④ C.
②③ D. ②④
例4.
“
”
已知双勾函数f(x)=x+a
x (a>0,a 为常数).
（1）证明:函数f(x)在(0,❑√a]上是减函数,在[❑√a,+∞)上是增函数;
（2）已知g(x)=4x
2
12
−
x
3
−
2x+1
,x∈[0,1],利用(1)的结论, 求函数g(x)的单调区间和
值域.
随堂演练
1.函数f(x)=1−1
x
1
−
( )
A.在( 1,+∞)
−
上单调递增 B.在(1,+∞)上单调递增
C.在( 1,+∞)
−
上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)= ln
−
x B.f(x)=1
2
x C.f(x)=−1
x
D.f(x)=3
|x
1|
−
3.函数f(x)=log1
2
(x
2
4)
−
的单调递增区间是( )
A.(0,+∞) B.( ∞,0)
−
C.(2,+∞) D.(
∞
−
4.函数y=2
sinx的单调增区间是( )
A.[2kπ−π
2
,2kπ+π
2 ) (k∈Z) B.[2kπ+π
2
,2kπ+3π
2 ) (k∈Z)
C.[2kπ−π,2kπ) (k∈Z) D.[2kπ,2kπ+π) (k∈Z)
5.函数f(x)=ln(x
2
2
−x
8
−)的单调递增区间是( )
A.(
∞
−
B.( ∞,1)
−
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
6.函数f ( x)= log5(2 x +1)的单调增区间是 .
7.函数f(x)=lgx
2的单调递减区间是 .
8.设a>0,a≠1,函数f(x)=loga(x
2
2
−x+3)有最小值,则不等式loga(x
1)>0
−
的解集为
.
9.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a = .
2.3.2 已知函数的单调性求参数的取值范围
知识点梳理
已知函数表达式中含有参数 a（或其他字母），并且已知它在某个区间上具有某种单
调性（递增/递减，严格或非严格），要求所有可能的参数取值集合.
一般解题过程：单调性条件→对任意符合条件的自变量大小关系，函数值的大小关系
必须恒成立→转化为关于参数的不等式（组）→解这个不等式（组）得到参数范围.
典型例题
例1.已知函数f(x)=lg(x
2
4
−x
5)
−
在(a,+∞)上单调递增, 则a的取值范围是( )
A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (5,+∞) D. [5,+∞)
例2.如果函数f(x)=1
2 (m
2)
−
x
2+(n
8)
−
x+1( m ≥0,n≥0)在区间[1
2 ,2]上单调递减,
则mn的最大值为( )
A. 16 B. 18 C. 25 D. 81
2
随堂演练
1.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是
________．
（2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a 的值为
________．
2.已知函数f(x)=
❑√3−ax
a
1
−
(a≠1).
（1）若a>1,则f(x)的定义域是 .
（2）若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
3. 若函数f(x)=a
x(a>0,a≠1)在[ 1,2]
−
上的最大值为4, 最小值为m, 且函数
g(x)=(1 4
−
m )❑√x在[0,+∞)
上是增函数,则a = .
4.若定义在区间( 1,0)
−
内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是(
)
A. (0,1
2) B. (0,1
2) C. (
1
2 ,+∞) D. (0,+∞)
5.若函数f(x)=−x
2+2ax与g(x)=a
x+1
在区间[1,2]上都是减函数, 则a的取值范围(
)
A. ( 1,0)∪(0,1)
−
B. ( 1,0)∪(0,1]
−
C. (0,1) D.
[0,1]
6.若函数f(x)=loga(2x
2+x)(a>0,a≠1)在区间(0,1
2)内恒有f(x)>0,则f(x)的单
调递增区间是( )
A.(
∞,
−
−
1
4) B.(−1
4 ,+∞) C.(
∞,
−
−
1
2) D.(0,+∞)
7.设函数f(x)=2
x(x−a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是( )
A.(
∞
−
B.[ 2,0)
−
C.(0,2] D.[2,+∞)
8.若函数f(x)=loga(x
3−ax)(a>0且a≠1)在区间(−1
2 ,0)内单调递增, 则a的取值范
围是( )
A.[
1
4 ,1) B.[
3
4 ,1) C.(
9
4 ,+∞) D.(1,9
4)
