文档文本内容
2.6 函数性质的综合应用
考点一 函数的奇偶性与单调性
考点二 函数的对称性与周期性
考点三 函数性质的综合应用
考点一 函数的奇偶性与单调性
1．（25-26 高三上·安徽合肥·月考）已知奇函数
在
上是增函数且当
时
，
．若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】可判断函数
为偶函数，再利用导数可证明
在
为增函数，利用指数函数和对数函数的单
调性可得
，从而可得三个函数值之间的大小关系.
【详解】因为
，故
为偶函数，
当
时，因为
（不恒为零），
故
在
为增函数，
又
，
因为
，所以
，
故选：C.
【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另
外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.
2．（24-25 高三上·北京·期中）已知奇函数
在
上是增函数，
．若
，
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先判断
的奇偶性与在
上的单调性，根据奇偶性与单调性判断即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增，
则
定义域为
，
，
又
，所以
是偶函数，
又
在
上是增函数，所以当
时
，
设
，则
，所以
，即
，
所以
在
上是增函数，
所以
，又
，
所以
，即
．
故选：C.
3．（2025 高三上·江苏·专题练习）若定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，则满足
的
的取值范围是______
【答案】
【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，再分
讨论即可．
【详解】因为函数
为
上的奇函数，所以
，
又因为奇函数
在
上单调递减，且
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以由
可得：
①当
时，有
或
，
解得：
，
②当
时，有
或
，
解得：
，
③当
时，
满足题意，
综上得：
或
，
所以满足
的
的取值范围是
，
故答案为：
.
4．（2026·陕西榆林·三模）（多选）已知函数
，
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据复合函数的单调性及奇偶性判断即可.
【详解】由题意知
，
当
时，易得函数
在
上单调递增，
又
，
所以
为奇函数，所以
在
上单调递增．
又
是定义在
上的偶函数，所以
.
因为
，所以
是奇函数，故A 正确；
因为
，所以
是偶函数．故B 正确；
因为
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
所以
．所以
，故C 错误；
因为
，
所以
，故D 正确．
5．（24-25 高三上·浙江杭州·期末）（多选）已知
是定义在
上的奇函数，
是定义在
上的偶函数，且
，
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用函数的奇偶性判断
、
的区间单调性及函数值的大小，结合单调性比较函数值的大小关系.
【详解】由
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增，
则
在
上单调递增，
，故
在R 上单调递增，
所以
，则
，A 对；
由
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增，
则
在
上单调递减，则
，
综上，
、
，B 错，C 对；
若
时，
大小不定，D 错.
故选：AC
6．（24-25 高三上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知
是定义在R 上的偶函数，
是定义在R 上的奇函数，
且
在
上单调递增，
在
单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据奇偶函数的性质可得
与
的单调性，利用单调性逐项判断即可.
【详解】根据题意，由奇偶函数的性质可得，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在R 上单调递减，
则
，
，
对于A，由题意只能得到
，并不能确定
的正负号，所以无法判断
与
的大小，
故A 错误；
对于B，由题意只能得到
，并不能确定
的正负号，所以无法判断
与
的大小，
故B 错误；
对于C，因为
，
在R 上单调递减，所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
在R 上单调递减，所以
，故D 正确.
故选：CD.
考点二 函数的对称性与周期性
7．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）已知
是定义域为
的奇函数,满足
若
,则
.
A．2
B．0
C．
D．4
【答案】B
【分析】根据已知条件，判断函数
是周期为
的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值.
【详解】由于
，所以函数
图像关于直线
对称，由于函数
为奇函数故函数关于原
点
对称，故函数
是周期为
的周期函数.由
，
，得
，
，
，
所以
，
所以
.
故选B.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性，属于基础题.
8．（25-26 高三·辽宁丹东·月考）已知
是定义域为R 的奇函数，满足
．
（1）证明：
；
（2）若
，求式子
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【分析】（1）根据
，结合已知条件，即可求证；
（2）根据（1）中所求函数的周期，求得
；借助周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：根据题意，
是定义域为R 的奇函数，则
，
又由
满足
，
则
，则有
，
故可得：
，即证.
（2）由（1）的结论，
，故
是周期为
的函数.
又由
是定义域为R 的奇函数，则
，
则
，
则
，
则有
.
【点睛】本题考查函数周期的求解和证明，以及利用函数周期性求函数值，属综合中档题.
9．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由
为偶函数，可得
，计算可判断C；根据原函数与导函数的图像的关系确定
为奇函数,再根据函数
为偶函数,得到
,两者结合即可得出
，
判断BD，利用赋值法判断A.
【详解】对于
，因为
为偶函数，所以
，
即
①，所以
，所以
关于
对称，
则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，
所以
关于
对称，由①求导，和
，
得
，
所以
，所以
关于
对称，
因为其定义域为
，所以
，结合
关于
对称，
从而周期
，所以
，
，故B 正确，D 正确；
若函数
满足题设条件，则函数
（
为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，故A
错误，
故选：BCD．
10．（25-26 高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是________.
①
；②
；③
；④
.
【答案】②③
【分析】将题干转化为抽象函数的性质，根据原函数与导函数图象间的关系可得解.
【详解】因为
，
均为偶函数，
所以
，即
，
，
所以
，
，则
，故③正确；
函数
，
的图象分别关于直线
，
对称，
又
，且函数
可导，由函数
图象关于直线
对称，所以其单调性在
处改变，导数值为
零，所以
，
，所以
关于点
对称，又
图象关于
对称，所以
的周
期为
，所以
，
所以
，所以
，故②正确，④错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（
为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，故①
错误；
故答案为：②③.
11．（24-25 高三上·广东清远·期末）（多选）已知函数
是定义在
上的偶函数，若
满足
，且
在
上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
D．
在
上单调递增
【答案】BC
【分析】由
，确定函数图像关于
对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可；
【详解】对于A，由
，得
的图象关于
对称，又因为定义域为
，所以
，
故A 不正确；
对于B，因为
是偶函数，
，
，所以
的一个周期为
8，故B 正确；
对于C，由于周期性和奇偶性，
，故C 正确；
对于D，因为
是偶函数且
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，
又
的图象关于
对称，所以
在
上单调递减，
由于周期为8，
在
上的单调性与
上的单调性相同，所以
在
上单调递减，故D 不正确．
故选：BC．
12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，
是偶函数，且对任意的
，
，当
时，都有
，则以下
判断正确的是（ ）
A．若
，则
B．函数
的最小正周期是4
C．函数
在
上单调递增
D．直线
是
图象的对称轴
【答案】ACD
【分析】由题设可得
，函数
关于
对称，且
、
在
上单调递减，
再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性，进而判断各选项即可.
【详解】由
，得
，所以函数
为奇函数，
由
是偶函数，得函数
关于
对称，
则直线
是
图象的对称轴，故D 正确；
且
，则
，
所以
，则
，
所以函数
的周期为8，故B 错误；
对于A，由
，若
，则
，故A 正确；
对任意的
，
，当
时，都有
，
即
，所以
在
上递减，
结合奇函数知，函数在
上递减，即函数
上函数递减，
由于函数
关于
对称，
所以函数
在
上单调递增，故C 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题设得到
，函数
关于
对称，且
、
在
上单调递减，进而判断各选项即可.
考点三 函数性质的综合应用
13．（24-25 高三上·四川达州·期中）（多选）已知函数
，
，给出以下结论，其中正确的结论是
（ ）
A．若定义在
上的函数
在
是增函数，在
也是增函数，则
在
为增函数
B．若
为
上的奇函数，且在
内是增函数，
，则
的解集为
C．若
为
上的奇函数，则
是
上的偶函数
D．
，都有函数
在
上是单调函数
【答案】BD
【详解】A 选项，可举出反例；B 选项，根据题意得到
在
上为增函数，且
，
，分
，
，
，
，结合函数单调性得到解集；C 选项，根据函数奇偶性定义判断出答案；D 选项，
分
，
，
，结合对称轴和开口方向，由基本不等式得到对称轴的位置，得到函数的单调性，得到答
案.
【分析】A 选项，例如
，满足在
是增函数，在
也是增函数，
但
在
不是增函数，A 错误；
B 选项，若
为
上的奇函数，且在
内是增函数，
，
则
在
上为增函数，且
，
，
当
时，
，故
，
当
时，
，故
，
当
时，
，不合题意，舍去，
当
时，
，故
，
此时
与
取交集为空集，
综上，
的解集为
，B 正确；
C 选项，若
为
上的奇函数，则
的定义域为R，
且
，故
为偶函数，C 错误；
D 选项，当
时，
，在
上是单调递增函数，
当
时，
的对称轴为
，
当
时，
，此时
在
上单调递增，
当
时，
，此时
在
上单调递增，
综上，
，都有函数
在
上是单调函数，D 正确.
故选：BD
14．（25-26 高三上·浙江·期末）（多选）定义在
上的函数
满足：
①对任意
，都有
；
②
的图象关于直线
对称；
③
，
.
则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据对称性可得
的图象关于
对称，直线
对称，且以4 为周期的周期函数，即可根据函数
图象的平移，结合奇偶性的定义求解.
【详解】令
，得
，即
，
可得
，故函数
的图象关于
对称．
又因为
的图象关于直线
对称，故
，
所以
的图象关于直线
对称，
则
，可知
是以4 为周期的周期函数．
对于选项A：因为
的图象是将
的图象向左平移2 个单位，
故
的图象关于
轴对称，则
，
即
，所以
是偶函数
，故A 正确；
对于选项B：
的图象是将
的图象向左平移1 个单位，
故
的图象关于原点对称，
是奇函数，故B 正确；
对于选项C：由
，得
；
由
，得
，
所以
，故C 正确；
对于选项D：由题意得
，
，
，
则
，所以
，故D 错误．
故选：ABC．
15．（2025·江西九江·一模）定义在
上的函数
满足：①对任意
，都有
；②
的图象关于直线
对称：③
则下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对称性可得
的图象关于
对称，直线
对称，且以以4 为周期的周期函数，即可根据函
数图象的平移，结合奇偶性的定义求解.
【详解】令
，得
，即
，故函数
的图象关于
对称．
又
的图象关于直线
对称，故
，
的图象关于直线
对称．
，
是以4 为周期的周期函数．
对于A，
的图象是将
的图象向左平移2 个单位，故
的图象关于
轴对称，
是偶函数，
故A 错误；
对于B，
的图象是将
的图象向左平移1 个单位，故
的图象关于原点对称，
是奇函数，
故B 错误；
对于C，由
，得
；由
，得
，
，故C 正确；
对于D，依题意，得
，
，
，故D 错误．
故选：C．
16．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）定义在
上的函数
满足：
，且
是偶函数，
则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件可得
为奇函数，结合奇函数性质及图象变换判断A，结合偶函数性质及图象变换判断
B，根据对称性证明结论判断C，根据周期性，并通过求
求结论判断D.
【详解】
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，
所以
的图象关于点
对称，故A 错误；
因为
是偶函数，
所以函数
的图象关于
轴对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，故B 正确；
因为
，
代入
中，
得到
，进而
，
因此
，故C 正确；
由
可得，函数
为周期函数，
为函数的一个周期，
可得，
，
，
由
可得，
，
所以
，
所以
，故D 正确．
故选：A．
1．（25-26 高二上·河北·月考）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性和
排除错误选项即可.
【详解】由
得
，函数
的定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；
又
，所以
，排除C.
2．（江苏南通市2026 届高三下学期二模数学试题）已知函数
是定义在
上的偶函数，若
在区间
上单调递增，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
在
上的单调性，结合函数的单调性与奇偶性逐项判断即可.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，且
在区间
上单调递增，
则函数
在
上为减函数，
对于A 选项，
，A 错；
对于B 选项，
，无法判定其符号，B 错；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
3．（25-26 高三上·安徽宣城·期末）已知
是定义在
上的奇函数，且
在
上单调递减，
，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可.
【详解】由题意可知， 当
时，
，
在
上单调递减，则
的解集为
；
当
时，
是定义在
上的奇函数，则
，
在
上单调递减，则
的解集
为
；
所以，
的解集是
的解集是
．
因为不等式
等价于不等式组
或
所以不等式
的解集是
．
故选：D.
4．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期末）已知函数
，若正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，根据函数单调性可得
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由
，可知定义域为
，
又
，
即
，
则
，
所以
，
，
因为
在定义域内单调递增，
所以
在定义域内单调递减，故
在定义域内单调递增，
因为
在定义域内单调递增，
在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知，
在定义域内单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
因为
，正实数
，
满足
，
，
若
，则
，不满足
，
所以
，故
，即
，所以
，
则
，
当且仅当
时，取等号，
即
的最小值为
，
故选：D
5．（25-26 高三上·河南·月考）已知函数
，若
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的图像与性质，结合基本不等式，即可求得最值.
【详解】由题知，
的定义域为
，
分别令
，如图，两函数均在
内单调递增，
因为当
时，
，当
时，
，
当
时，
，所以要使
恒成立，
则
与
的符号相同，
所以
，即
，
所以
(当且仅当
时，等号成立)，
所以
的最小值为
.
故选：D
6．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则
（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据函数奇偶性以及表达式
，可得
，则
的图象关于点
对称，故A 错误；化简
可得
，故B 正确；又
，可得
，故C 正确；利用赋值法可求得
，故D 错误.
【详解】对于A，由题意
，
，且
，
又
，即
①，
用
替换
中的
，得
②，
由①+②得
，所以
的图象关于点
对称，故A 错误；
对于B，由
，可得
，即
，
所以
，
所以
是以8 为周期的周期函数，故B 正确；
对于C，由①可得
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
为偶函数，所以
，
令
，则有
，
令
，则有
，
令
，则有
，
，
令
，则有
，
所以
，故D 错误.
故选：BC.
7．（24-25 高三上·湖南常德·期末）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上单调递增
C．若
，则
的最小值为3
D．若
恒成立，则
的最大值为6
【答案】ABD
【分析】根据偶函数的定义即可判断选项A；根据单调性的定义即可判断选项B；根据函数的奇偶性及单调性，即
可判断选项C；分离参数后结合基本不等式即可求解，进而判断选项D.
【详解】因为函数
的定义域为
，且
，所以
为偶函数，故A 正确；
设
，则
，
因为
，所以
.因为
，
，所以
，因此
，
所以
，故
在
上单调递增，故B 正确；
因为
为偶函数，且在
上单调递增，所以
，
两边同时平方，整理得
，故
，故
无最小值，故C 错误；
由于
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
故
可整理为
，
令
，则
，故
在
上恒成立.
因为
，当且仅当
时取等，故
，即
的最大值为6.故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性、奇偶性、利用函数的单调性和奇偶性解函数函数不等式以及函
数不等式恒成立问题.
（1）定义法证明函数的奇偶性时，需要先说明函数的定义域关于原点对称；
（2）定义法证明函数的单调性的步骤：假设、作差、变形、判断符号、得出结论.
（3）不等式恒成立问题通常可参变分离求最值.
8．（25-26 高三上·江苏徐州·期中）（多选）下列函数
中，满足对任意
，有
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由题意
，可得函数
在区间
上单调递减即可，根据函数性质可判断各选项.
【详解】对任意
，有
，则函数在区间
上为减函数，
对于A，
，由二次函数的图象与性质可知函数在区间
上为减函数，故A 正确；
对于B，
，根据幂函数的性质，函数在区间
上为增函数，故B 错误；
对于C，
，函数在区间
上为减函数，故C 正确；
对于D，
，当
时，
递增，所以函数在区间
上不是单调函数，故D 错误．
故选：AC
9．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数满足：①
；②
；③函数
在
上
单调递减．写出一个同时具有以上性质①②③的函数：________．（答案不唯一）
【答案】
【分析】先从给定的两个等式分别推导出函数图象的对称中心和对称轴，结合三角函数的性质求出周期和初相，
再根据单调性确定具体表达式.
【详解】对于①，若
，则
的图象关于点
对称，
对于②，若
，则
的图象关于直线
对称，
设
，则
，
，
所以
．
又
的图象关于直线
对称，
且函数
在
上单调递减，
则
，
，
得
，
．
所以可令
（答案不唯一）．
10．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①
；②
，
且.
有
；③
且
有
；④
.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随
即可解.
【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在
上单调递减；
条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在
上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征，
在所学过的函数模型中，一次函数
与幂函数
符合，结合①②③，
不符合；
在
中，取
为负偶数即可.
11．（25-26 高三上·浙江·期中）奇函数
是定义在
的减函数，若
，则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【分析】由函数奇偶性和单调性将不等式等价转换成
即可求解.
【详解】函数
是奇函数且是定义在
的单调递减函数，
所以
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
12．（24-25 高三上·河南商丘·期末）已知函数
，若实数
，
满足
，则
的最大值为________.
【答案】
【分析】构造函数
，计算可得
为奇函数且在
上单调递增，则由
可得
，再借助基本不等式计算即可得解.
【详解】令
，所以
，
又
定义域为
，所以
为奇函数，又
，
都在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
所以
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
13．（24-25 高三·全国·二轮复习）定义在
上的非常数函数
满足①
；②
为奇函数．请写出符合上述条件的一个函数解析式：
__________．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】对于开放性填空题，根据条件
，可选择一个三角函数型的解析式即
可.
【详解】根据题意，不妨取
，已知其定义域为
．
满足①；
且
，故
为奇函数，满足②．
故答案为：
（答案不唯一）．
14．（24-25 高三上·上海·期末）不等式
的解集为________
【答案】
【分析】令
，分析该函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为
，结合函数
的单调性可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】令
，则该函数的定义域为
，
因为
，即函数
为偶函数，
当
时，
，
因为函数
、
在
上均为增函数，
故函数
在
上为增函数，且
，
由
可得
，即
，
所以，
，解得
或
，
因此，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
15．（24-25 高三上·宁夏银川·期末）设
是定义在
上的偶函数，且对任意的
、
，有
，
，则
的解集为__________.
【答案】
【分析】分析函数
的单调性，可得出
，分
、
两种情况解原不等式，即可得
出所求不等式的解集.
【详解】对任意的
、
，有
，
不妨设
，则
，
所以函数
在
上为增函数，
又因为函数
是定义在
上的偶函数，
则该函数在
上为减函数，且
，
所以
，
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，解得
.
综上所述，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
16．（24-25 高三上·天津·月考）已知函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递减，若实数
满
足
，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【分析】分析可知函数
在
上单调递增，且
，由已知条件可得出
，结合
函数
的单调性和奇偶性可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递减，
则函数
在
上单调递增，且
，
因为
，由
，
可得
，即
，
即
，所以，
，即
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
