北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§2.2 函数的基本性质
— 五年高考 —
考点1 函数的单调性与最值
1.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为 ( )
A. f(x)=-x B. f(x)=(2) x
3
C. f(x)=x2 D. f(x)=√3 x
答案 D
2.(2020新高考Ⅱ,7,5分)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是 (
)
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
答案 D
3.(2020课标Ⅱ理,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( )
A.是偶函数,且在(1 )单调递增
,+∞
2
B.是奇函数,且在( 1 1)单调递减
- ,
2 2
C.是偶函数,且在( 1)单调递增
-∞,-
2
D.是奇函数,且在( 1)单调递减
-∞,-
2
答案 D
4.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=| 4 |+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取
x+ -a
x
值范围是 .
1 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 ( 9]
-∞,
2
以下为教师用书专用(1—7)
1.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
1 g 1
A.y= x2 B.y=2-x C.y=lo 1
2
x D.y=
x
答案 A 本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查
的核心素养是直观想象.
1 1
A选项, >0,所以幂函数y= 在(0,+∞)上单调递增.
2
x2
B选项,指数函数y=2-x=(1) x 在(0,+∞)上单调递减.
2
1 g
C选项,因为0< <1,所以对数函数y=lo 1x在(0,+∞)上单调递减.
2 2
1
D选项,反比例函数y= 在(0,+∞)上单调递减.
x
解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.
2.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( )
1
A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x
1-x
1 1 1
答案 D 选项A中,y= = 的图象是将y=- 的图象向右平移1个单位得到的,
1-x -(x-1) x
1
故y= 在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为
1-x
减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,
故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.
评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.
1
3.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围
1+x2
是 ( )
2 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
A.(1 ) B.( 1)∪(1,+∞)
,1 -∞,
3 3
C.( 1 1) D.( 1)∪(1 )
- , -∞,- ,+∞
3 3 3 3
1 1 2x
答案 A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)- ,∴f '(x)= + >0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,
1+x2 1+x (1+x2)2
∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),
1
∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得 <x<1,故选A.
3
4.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R. ( )
A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b
答案 B 依题意得f(a)≥2a,
若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,
又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.
x
5.(2016北京文,10,5分)函数f(x)= (x≥2)的最大值为 .
x-1
答案 2
-1
解析 解法一:∵f '(x)= ,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立,
(x-1)2
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
x x-1+1 1
解法二:∵f(x)= = =1+ ,
x-1 x-1 x-1
1 1
∴f(x)的图象是将y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y= 在[2,+∞)上
x x
单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
1
解法三:由题意可得 f(x)=1+ .
x-1
1
∵x≥2,∴x-1≥1,∴0< ≤1,
x-1
3 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
1 x
∴1<1+ ≤2,即1< ≤2.
x-1 x-1
故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.
评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
{ x2, x≤1,
6.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)= 则f(f(-2))= , f(x)的最小
6
x+ -6, x>1,
x
值是 .
1
答案 - ;2√6-6
2
6 1
解析 f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+ -6=- .
4 2
当x≤1时, f(x)=x2≥0,
6
当x>1时,f(x)=x+ -6≥2√6-6,
x
当且仅当x=√6时,等号成立,
又2√6-6<0,所以f(x) =2√6-6.
min
7.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满
足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是 .
答案 (1 3)
,
2 2
解析 由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-√2), f(-√2)=f(√2),所以f(2|a-1|)>f(
1 1 3
√2),所以2|a-1|< ,解之得 <a< .
22
2 2
考点2 函数的奇偶性与周期性
1-x
1.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是( )
1+x
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
答案 B
4 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
2.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f( 1)=1,则f(5)=
-
3 3 3
( )
5 1 1 5
A.- B.- C. D.
3 3 3 3
答案 C
3.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0
的x的取值范围是 ( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
答案 D
4.(2017课标Ⅰ理,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1
的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
答案 D
5.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
答案 1
解题指导 利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.
6.(2020江苏,7,5分)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, f(x)= 2,则f(-8)的值是 .
x3
答案 -4
7.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln( -x)+1, f(a)=4,则f(-a)= .
√1+x2
答案 -2
8.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,
f(x)=6-x,则f(919)= .
答案 6
5 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
9.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上, f(x)=
πx
{cos ,0<x≤2,
2
则f(f(15))的值为 .
| 1|
x+ ,-2<x≤0,
2
√2
答案
2
以下为教师用书专用(1—9)
1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是 ( )
A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x
答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则
下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇
函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;
对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-
f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.
评析 本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,
准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是 ( )
A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
答案 B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.
评析 本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.
4.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当
x>1时, f( 1)=f( 1).则f(6)= ( )
x+ x-
2 2 2
6 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D 当x>1时,由f( 1)=f( 1)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),
x+ x-
2 2 2
f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.
5.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则
f(2)= .
答案 12
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
6.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= .
√a+x2
答案 1
解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ln( -x)=0,
√a+x2 √a+x2 √a+x2 √a+x2
∴ln[( )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
√a+x2
7.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .
答案 3
解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.
8.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1)2+sinx
的最大值为M,最小值为m,则M+m=
x2+1
.
答案 2
解析
f(x)=x2+1+2x+sinx=1+2x+sinx,令g(x)=2x+sinx,则g(x)为奇函数,有
x2+1 x2+1 x2+1
g(x) +g(x) =0,故M+m=2.
max min
7 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
9.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f
( 5)+ f(1)= .
-
2
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,
∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f( 5)=f( 1)
- -
2 2
=-f(1)=- 1=-2,∴f( 5)+f(1)=-2.
-
2
42
2
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 函数的单调性与最值
1.(2021百校大联考第6次联考,5)下列函数中,在区间(0,+∞)上为减函数的是( )
A.y=-sin x B.y=x2-2x+3
C.y=ln(x+1) D.y=2 02 - x
0 2
答案 D
2.(2020湖南长沙明德中学3月月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,
f(x)=x3+3x,则a=f( 3),b=f( 1 ),c=f( )的大小关系为 ( )
22
log
327
√2
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
答案 C
8 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
3.(2020河北邯郸空中课堂备考检测,12)设f(x)={ex+x+1,x≥0,
若对任意的x∈[m,m+1],不
e-x-x+1,x<0,
等式f(2-x)≥f(x+2m)恒成立,则m的最大值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B
4.(2021江苏七市第二次调研,14)能使“函数f(x)=x|x-1|在区间I上不是单调函数,且在区间I
上的函数值的集合为[0,2]”是真命题的一个区间I为 .
答案 [0,2](答案不唯一)
考点2 函数的奇偶性与周期性
1.(2020广东揭阳摸底,13)已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x≤0),则f(x)在(0,+∞)上 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先递增后递减 D.先递减后递增
答案 A
2.(2020福建龙岩质量检查)已知f(x)为奇函数,且当x≥0时, f(x)=ex-1,则f( 1)=( )
ln
2
1 1
A.- B.-1 C.1 D.
2 2
答案 B
{ 1,x为有理数,
3.(2021湖南六校4月联考,8)定义函数D(x)= 则下列命题中正确的是 (
-1,x为无理数,
)
A.D(x)不是周期函数
B.D(x)是奇函数
C.D(x)的图象存在对称轴
D.D(x)是周期函数,且有最小正周期
答案 C
sinx
4.(2021广东肇庆二模,3)已知函数f(x)= 为奇函数,则a=( )
(x+1)(x-a)
1 1
A.-1 B. C.- D.1
2 2
9 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 D
5.(2021山东烟台一模,7)已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时, f(x)=x3,则
( )
A. f(2 021)=0
B.2是f(x)的一个周期
C.当x∈(1,3)时, f(x)=(1-x)3
D. f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k∈Z)
答案 D
6.(2020福建高三毕业班质量检查)已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称,给
出下列关于f(x)的结论:
①f(x)是周期函数;
②f(x)满足f(x)=f(4-x);
③f(x)在(0,2)上单调递减;
πx
④f(x)=cos 是满足条件的一个函数.
2
其中正确结论的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B
7.(2021百校大联考第6次联考,13)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1+ax(a>0,
3
且a≠1),若f(-1)=- ,则a= .
2
1
答案
2
8.(2020福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试)定义在R上的函数f(x)为奇函数, f(1)=1,
又g(x)=f(x+2)也是奇函数,则f(2 021)= .
答案 1
B组 综合应用题组
时间 : 40 分钟 分值 : 50 分
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
10 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
1.(2020百校联盟普通高中教育教学质量监测)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是
( )
A.y=xsin x B.y=xln x
C.y=x·ex-1 D.y=xln( -x)
√x2+1
ex+1
答案 B
2.(2020福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试)已知函数g(x)=(x+1)ex-x+1,则下
ex+1
列说法错误的是 ( )
A.g(x)的定义域是R
B.g(x)是偶函数
C.g(x)在(0,+∞)上单调递减
D.g(x)的最小值为1
答案 C
3.(2021河北衡水中学全国第二次联考,8)已知奇函数f(x)的定义域为R,且满足f(2+x)=f(2-x),以
下关于函数f(x)的说法:
①f(x)满足f(8-x)+f(x)=0
②8为f(x)的一个周期
πx
③f(x)=sin 是满足条件的一个函数
4
④f(x)有无数个零点
其中正确说法的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 D
4.(2021海南天一大联考四模,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-y)=f(x)-f(y),且当x<0时,
f(x)>0,则关于x的不等式f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)(其中0<m<√2)的解集为 ( )
A.{ 2 } B.{ 2 }
x|m<x< x|x<m或x>
m m
11 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
C.{ 2 } D.{ 2 }
x| <x<m x|x>m或x<
m m
答案 A
5.(2021河北张家口一模,8)设f(x)是R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0)上是减函数,又f(-4)=0,则不等
f (x+4)-f (-x-4)
式 >0的解集是 ( )
x
A.(0,4) B.(-8,-4)
C.(-4,0)∪(0,4) D.(-8,-4)∪(0,4)
答案 B
6.(2021山东德州二模,8)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且满足
2
f(-1)=-2,则关于x的不等式f(x)< +sin πx的解集为 ( )
x
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)
答案 C
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
7.(2021广东珠海一模,12)已知函数f(x)=3|sin x|+4|cos x|,则 ( )
A.-π是函数f(x)的一个周期
kπ
B.直线x= (k∈Z)为函数f(x)图象的对称轴
2
C.函数f(x)的最大值是5
D. f(x)=4在[0,π]上有三个解
答案 ABC
8.(2020福建泉州毕业班适应性线上测试)已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(1+x)=f(1-x),若
f(1)=1,则 ( )
A.f(x)是周期函数
B.当n为偶数时, f(n)=0
C.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=16
D.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=8n2+8n+1
12 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 ABD
三、填空题(每小题5分,共10分)
{
|x+a|+|x-2|,x≥0,
9.(2021上海黄浦二模,12)已知a∈R,函数f(x)= 的最小值为2a,则
1
x2-ax+ a+1,x<0
2
由满足条件的a的值组成的集合是 .
答案 {-3-√13}
√ 1 √ 1
10.(2021上海普陀二模,11)设M(x,y)是直线x+y=3上的动点,若1≤x≤2,则 x+ - y+ 的最
y x
大值为 .
√6
答案 √3-
2
13 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)设函数f(x)=e1-|x|+2-x2 ,若f(ax)≥f(x2+1),则a的取值范围是 ( )
1+x2
A.(-∞,2] B.(-∞,√2]
C.[-2,2] D.[-√2,√2]
答案 C
2.(2021 5·3原创题)高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的
称号,他和阿基米德、牛顿并列为三大数学家,用其名字命名的函数高斯函数为:设x∈R,用[x]
表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如[7.2]=7,[-7.2]=-8.已知函数f(x)= 2x -1,
2x+1 2
设函数g(x)=[f(x)]+[f(-x)],则关于函数f(x)、g(x)的叙述正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)的值域为( 1)
0,
2
C.g(x)是奇函数 D.g(x)的值域为{-1,0}
答案 D
3.(2021 5·3原创题)已知单调函数y=f(x)满足f(3
-x
)=-f(
x+
1),{a
n
}是正项等差数列,(a
3
,2)、
2 2
1 4
(a,-2)在y=f(x)的图象上,则 + 的最小值为 ( )
9 a a
5 7
9 7
A. B. C.4 D.5
2 2
答案 A
4.(2021 5·3原创题)已知定义在R上的函数f(x),∀x∈R满足f(-x)+f(x)=0,且f(x+1)=-f(x-1),当
x∈(0,1]时, f(x)=x2-x,则有以下说法:①f(x)是奇函数,②f(x)的最大值是0,③f(1 )在区间[-1,0]上
x
2
不具有单调性,④f(2 022)=0,以上说法正确的是 (填序号).
14 / 15北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 ①④
5.(2021 5·3原创题)函数f(x)= 3 +ln( 1 )+1在区间[-3,0)∪(0,3]上的最大值和最
2x-1 √x2+1-x
小值分别为M、N,则M+N= .
答案 -1
2 021
6.(2021 5·3原创题)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=- ,当2≤x≤3时,
f (x)
1
f(x)=log ,则f(2 021)= .
3
x
答案 2 021
15 / 15
