[A4版]周洋鑫强化高数数三做题本_考研_数学_05.周洋鑫_25周洋鑫《强化（高数）》做题本_数三

目录 第一章 函数、极限与连续 ............................................................ 3 专题1-函数的基本性质及常见函数 ................................................ 3 专题2-无穷小量及其阶的比较问题 ................................................ 5 专题3-函数极限计算 ............................................................ 7 专题4-函数极限的定义与性质 ................................................... 16 专题5-数列极限定义与性质 ..................................................... 20 专题6-数列极限计算 ........................................................... 23 专题7-连续与间断 ............................................................. 30 第二章 一元函数微分学 ............................................................. 33 专题8-导数定义与微分定义 ..................................................... 33 专题9-导数与微分的计算 ....................................................... 38 专题10-导数的几何意义、相关变化率 ............................................ 44 专题11-函数的单调性、极值与最值 .............................................. 45 专题12-曲线的凹凸性与拐点 .................................................... 49 专题13-渐近线与曲率 .......................................................... 52 专题14-方程根与函数零点 ...................................................... 53 专题15-不等式证明 ............................................................ 55 第三章 一元函数积分学 ............................................................. 58 专题16-不定积分 .............................................................. 58 专题17-定积分定义、性质及计算 ................................................ 60 专题18-变限函数 .............................................................. 64 专题19-积分等式与积分不等式 .................................................. 66 专题20-反常积分 .............................................................. 71 专题21-定积分的几何应用 ...................................................... 73 第四章 常微分方程 ................................................................. 76 专题23-微分方程 .............................................................. 76 第五章 中值定理 ................................................................... 85 专题24-中值定理证明 .......................................................... 85 第 1 页，共123页目录 第六章 多元函数微分学 ............................................................. 92 专题25-二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性 ................................ 92 专题26-求多元函数偏导数或全微分 .............................................. 94 专题27-求多元函数的极值和最值 ................................................ 99 第七章 二重积分 .................................................................. 103 专题28-二重积分的定义、性质及计算 ........................................... 103 第八章 无穷级数(数一、三) ........................................................ 112 专题29-常数项级数 ........................................................... 112 专题30-幂级数 ............................................................... 115 第九章 经济学应用（数三专题） .................................................... 121 专题31-经济学应用（数学三） ................................................. 121 第 2 页，共123页周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 专题1-函数的基本性质及常见函数 题型1函数奇偶性的判定方法 P4 强化1设 第 3 页，共123页 f ( x ) 在 R 上有定义,且对于任意的 x , y 恒有 f (x+ y)= f (x)+ f (y),若 a  0 , a  1 ,则  1 − x1  a 1 x − 1 + 1 2  f ( x ) d x = _________ . 题型2函数与原函数间奇偶性、周期性的关系 P5 强化2设 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 的一个原函数,“ M  N ”表示“ M 的充分必要条件是 N ”,给 出结论 ① F ( x ) 是偶函数 f (x)是奇函数. ② F ( x ) 是奇函数  f ( x ) 是偶函数. ③ F ( x ) 是周期函数 f (x)是周期函数. ④ F ( x ) 是单调函数  f ( x ) 是单调函数. 正确个数为( ). A.1. B.2. C.3. D.4.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 P5 强化3设 f (x)连续,则下列函数中必为偶函数的是( ). A. 第 4 页，共123页  xs0 in t  ln ( t + 1 + t 2 ) d t . B.  x 0 e e t t − + 1 1  s in td t . C.  xt0  f ( t ) − f ( − t )  d t . D.  xt0  f ( t ) + f ( − t )  d t . P6 强化4对奇函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 上有连续导数, a 为任意常数,则( ). A.  x 0  c o s f ( t ) + f  ( t )  d t 必为奇函数. B.  x 0  c o s f ( t ) + f  ( t )  d t 必为偶函数. C.  x 0  s in f  ( t ) + f ( t )  d t 必为偶函数. D.  x a  s in f  ( t ) + f  ( t )  d t 必为奇函数. sinx x P6 强化5设函数 f (x)= sint3dt,g(x)= f (t)dt ,则( ). 0 0 A. f ( x ) 为奇函数,g(x)为奇函数. B. f ( x ) 为奇函数,g(x)为偶函数. C. f ( x ) 为偶函数, g ( x ) 为偶函数. D. f ( x ) 为偶函数, g ( x ) 为奇函数.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 专题2-无穷小量及其阶的比较问题 题型1无穷小比阶问题 P10 强化6当 第 5 页，共123页 x → 0 + 时,下列无穷小量中阶数最高的是( ). A.lncosx−3cosx+1. B. c o s x  1 − c o s x . C. x − ln ( 1 + x ) − 1 2 x s in x . D. x − ln ( 1 + s in x ) . P10 强化7把 x → 0 + 时的无穷小量 xc0 o s t 2 d t , x 0 2ta n t d t , 0 xs in t 3 d t    =  =  =  ,排列起来,使排在后面 的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是( ). A.,,. B.,,. C.,,. D.,,. P11 强化8(2020年真题)当 x → 0 + ,下列无穷小量中最高阶的是( ). A.  x 0 ( e 2t − 1 ) d t x ( ) . B. ln 1+ t3 dt. C. 0  sin 0 xs in t 2 d t 1−cosx . D. sin3tdt. 0公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型2乘法中泰勒展开阶数的确定方法 P11 强化9试确定常数 第 6 页，共123页 A , B , C 的值,使得 e x ( 1 + B x + C x 2 ) = 1 + A x + o ( x 3 ) ,其中 o ( x 3 ) 是当 x → 0 时比 x 3 高阶的无穷小. sinx P12 强化10(2021年真题)设函数 f (x)= 在 1+x2 x = 0 处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3,则( ). 7 7 A.a=1,b=0,c=− . B.a=1,b=0,c= . 6 6 7 7 C.a=−1,b=−1,c=− . D.a=−1,b=−1,c= . 6 6周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 专题3-函数极限计算 题型1七种未定式的极限计算 P16 强化11求极限 第 7 页，共123页 lim x → 0 ( 1 e − x ln c ( o 1 s + x ) ) x ln − ( x x + − 1 2 1 x + 2 x 2 ) . P16 强化12求极限 lim x → 0 ( 1 + x ) 2x − e 2 1 x + ln ( 1 + x )  .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 1−cosx cos2x3cos3x P17 强化13求极限lim . x→0 x2 P17 强化14求极限 第 8 页，共123页 lim x → 0 + ln ( 1 ( 1 + + s x in ) x ln ln x )( x − + 1 x 2 ) .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续   1 1 1  P18 强化15求极限 lim  x3+ x−tan  ex − 1+x6. x→+  2 x  P18 强化16求极限 第 9 页，共123页 lim x x 2 x 1 x ln ( e x x x )  → + + + − + .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 n a x+a x+ +a x x P19 强化17求极限lim 1 2 n  ,其中   x→0 n  第 10 页，共123页 a i  0 , i = 1 , 2 , 3 , , n . P19 强化18已知 f ( x ) 在 ( , )   − + 内可导,lim f(x)=e,且 x→ lim x x x c c x  →  + −  = limf (x)− f (x−1)则   x→ c = _________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 1  f (x)x2 P20 强化19设函数 f (x)在x=0的某去心邻域内有定义,且满足limcosx+  = x→0 x  第 11 页，共123页 e lim x ( x 1 x 2 ) 2 x  → + + ,求极限 lim x → 0 f ( x x 3 ) . P20 强化20求极限 lim x 2 a r c ta n x 1ln x   → +  −  .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 P21 强化21(经典题)求极限 第 12 页，共123页 lim x x 1x 1 1ln x  → +  −  . 题型2涉及变限函数的极限计算 P21 强化22求极限 lim x → 0 +  x xt 0   s 2 x s x in in ( x ( 2 x t − ) t d 2 t ) d t .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续   1   x  t2et −1−tdt   0      P22 强化23求极限 lim . x→+ x2ln  1+ 1   x x u2  du arctan(1+t)dt P22 强化24求极限lim 0 0 . x→0 x(1−cosx) 第 13 页，共123页周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型3已知极限求其中待定参数 P24 强化25已知 lim ex   x e−t2 dt+a  =b,求常数   x→+  0  第 14 页，共123页 a , b . 1+x 2arctanx−ln 1−x P24 强化26已知lim =c,且 x→0 xn c  0 ,求常数 n , c .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 ( ) P24 强化27已知 lim x2 +x+1−(ax+b) =0,求常数a,b. x→− 【刻意练习】设 第 15 页，共123页 lim x ( 3 x 3 1 a x b ) 0  → − + + = ,求常数 a , b . P25 强化28求 lim x → 0  ln ln   1 1 + + e e 2x 1x   − 2  x   ,其中  x  为取下整函数.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 专题4-函数极限的定义与性质 题型1函数极限定义的理解 P28 强化 29“对于任意的(0,1),存在0,当0 x−x 时,有 f (x)−3 ”是“ 0 第 16 页，共123页 lim x → x0 f ( x ) = 3 ” 的( ). A.充分必要条件. B.充分非必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分也非必要条件. P28 强化30设 lim f (x)存在,且函数满足 x→0+ f ( x ) 1 x 1 a r c ta x n x 1 1 x x lim x 0 f ( x )  = − − +  +  → + ,则 lim x → 0 + f ( x ) = ________ .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 P28 强化31设 第 17 页，共123页 lim x → 0  f ( x ta ) − n x 1 − x e ta s n in 2 x x  = 2 ,则lim f (x)=( ). x→0 A.0 B.1 C.2 D.4 题型2函数极限的局部保号性 P29 强化32设 f ( x ) = ln 1 0 x , g ( x ) = x , h ( x ) = e x1 0 ,则当 x 充分大时有( ). A. g ( x )  h ( x )  f ( x ) B. h ( x )  g ( x )  f ( x ) C. f ( x )  g ( x )  h ( x ) D. g ( x )  f ( x )  h ( x )周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型3函数的有界性 P30 强化33函数 第 18 页，共123页 f ( x ) = x ( x a r − c 1 ta ) n ( x x − 2 ) 在下列( )上有界. A. ( − 1 , 0 ) . B. ( 0 ,1 ) . C. (1 , 2 ) . D. ( 1 , 3 ) . ( x3−1 ) sinx 1 1 强化34已知函数 f (x)= ,g(x)= sin ,则在其定义域范围内( ). ( x2 +1 ) x x x A. f ( x ) 有界, g ( x ) 有界. B. f ( x ) 有界, g ( x ) 无界. C. f (x)无界, g ( x ) 有界. D. f (x)无界, g ( x ) 无界.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 P31 强化35以下四个命题中,正确的是( ). A.若 第 19 页，共123页 f  ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内连续,则 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界. B.若 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内连续,则 f (x)在 ( 0 ,1 ) 内有界. C.若 f  ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界,则 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界. D.若 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界,则 f  ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界. P31 强化36已知函数 f ( x ) xln 0 ( 1 x t 2 ) d t  =  + 在 ( 0 , )  + 上有界,则取值范围为( ). A. ( 0 , 3 ) . B. ( 0 , 3  . C. ( 1 , 3 ) . D. ( 1 , 3  .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 专题5-数列极限定义与性质 题型1数列极限的定义与性质 P33 强化37“对任意给定的(0,1),总存在正整数 第 20 页，共123页 N ,当 n  N 时,恒有 x n a 2  −  ”是“数列  x n  收敛于 a ”的( ). A.充分必要条件. B.充分非必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分也非必要条件. P33 强化38设  x n  x 是数列,则“lim n+1 =1”是“ n→ x n  x n  收敛”的( ). A.充分必要条件. B.充分非必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分也非必要条件.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 P34 强化39设x 是数列,且 n 第 21 页，共123页 lim n x 3 n lim n x 3 n 1 1   → = → + = ,则x 收敛的充分条件为( ). n A. x 3 n + 2 =  n 2 + 2 n 3  n . B. x 3 n + 2 = ( n 2 + 2 n − n 2 − 2 n ) . C. x 3 n + 2 = n  n n  ( n 2 − 1 ) . D. x 3 n + 2 = k n = 1 k ( k 1 + 1 ) . P34 强化40设实数数列  a n  ,给出以下四个命题: ①若 lim n a n A  → = ,则 lim n s in a n s in A  → = . ②若 lim n s in a n s in A  → = ,则 lim n a n A  → = . ③若 lim n a n A  → = ,则 lim n e a n e A  → = . ④若 lim n e a n e A  → = ,则 lim n a n A  → = . 其中真命题的个数是( ). A.1. B.2. C.3. D.4.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 P35 强化41(2022年真题)已知数列 第 22 页，共123页  x n  ,其中 2 x n 2   −   ,则( ). A.当 lim n c o s ( s in x n )  → 存在时, lim n x n  → 存在. B.当 lim n s in ( c o s x n )  → 存在时, lim n x n  → 存在. C.当 lim n c o s ( s in x n )  → 存在时, lim n s in x n  → 存在,但 lim n x n  → 不一定存在. D.当 lim n s in ( c o s x n )  → 存在时, lim n c o s x n  → 存在,但 lim n x n  → 不一定存在. P35 强化42(2024年真题)已知数列  a n  ( a n  0 ) ,若  a n  发散,则( ). A.  a n + 1 a n  发散. B.  a n − 1 a n  发散. C.  e a n + e 1 a n  发散. D.  e a n − e 1 a n  发散.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型2数列极限的性质 P36 强化43设数列 第 23 页，共123页 x n 与 y n 满足 lim n x n y n 0  → = ,则下列断言正确的是( ). A.若  x n  发散,则  y n  发散. B.若  x n  无界,则  y n  必有界. C.若  x n  有界,则  y n   1  必无穷小. D.若 无穷小,则 x n  y n  必为有界. 专题6-数列极限计算 题型1数列极限的通项已知,且为未定式极限 P37 强化44 求极限 lim n n 2 a r c ta n a n a r c ta n n a 1 , a 0  →  − +   .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型2n项和式数列极限 P38 强化45(基础题)求极限 第 24 页，共123页 lim n 1 n ln 1 1 n ln 1 2 n ln 1 n n  →   +  +  +  + +  +   . 1  1  2  2n P38 强化46求极限lim ln 1+ +ln 1+ + +ln 1+ .        n→n  n  n  n 周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续  1 2 n  P39 强化47(基础题)求极限lim + + +  . n→n2 +n+1 n2 +n+2 n2 +n+n P39 强化48求极限 第 25 页，共123页 lim n s in n n1 s in n 2 n1 2 s n in 1 n     →  + + + + + +  .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型3n项积式数列极限 P40 强化49求极限 第 26 页，共123页 lim n n 1 1 n 2 1 2 n 2 2 1 n n 2 2  →  +    +   +  . P40 强化50求极限 lim n n n n !  → = _________ .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型4利用夹逼准则求数列极限 P41 强化51(1)求 第 27 页，共123页 lim n n a n1 a n2 a nm  → + + + ,其中 a i  0 , i = 1 , 2 , , m . 1 1 (2)求lim nsin1+sin + +sin . n→ 2 n P42 强化52设周期为1的周期函数 f ( x ) = x −  x  (  x  表示不超过 x 的最大整数). (1)当nxn+1(n为正整数)时,证明: n 2   x 0 f ( t ) d t  n + 2 1 ; (2)求 lim x 1 x x 0 f ( t ) d t  → +  .周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 题型5利用单调有界必有极限求数列极限 P44 强化53(2018年压轴题)设数列 第 28 页，共123页  x n  满足:x 0,x ex n+1 =ex n −1(n=1,2, ).试证明 1 n  x n  收敛,并求 lim n x n  → . 1+2x P44 强化54设x =1,x = n (n=1,2 ),试证数列 1 n+1 1+x n  x n  极限存在,并求此极限.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 P45 强化55(1)证明:当x0时,ex 1+x; (2)已知正项数列 第 29 页，共123页  x n  满足: x n =  1 + 1 2   1 + 1 4   1 + 1 2 n  ,证明  x n  收敛. P45 强化56(2011年)(1)证明:对任意的正整数 n ,都有 n 1 + 1  ln  1 + 1 n   1 n 成立. 1 1 (2)设a =1+ + + −lnn(n=1,2, ),证明数列 n 2 n  a n  收敛.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 专题7-连续与间断 题型1函数连续的判定 P47 强化57设 第 30 页，共123页 f ( x ) =  1 − a s in 2 x 2 2 x − b x x  = 0 0 ,则在 x = 0 处连续，则 a + b = ________. 题型2函数间断点及曲线渐近线的求解 P48 强化58函数 f ( x ) = x ( x x + x 1 − ) 1 ln x 的可去间断点的个数为( ). A.0. B.1. C.2. D.3.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 x P48 强化59求极限lim sint sint−sinx ,记此极限为 f (x),求函数 f (x)的间断点并指出其类型.   t→xsinx 题型3涉及极限式函数的问题 P49 强化60函数 第 31 页，共123页 f ( x ) lim n 1 1 x x 2 n  = → + + 的间断点为________.周洋鑫高数 · 1.函数、极限与连续 ln ( en +xn) P49 强化61设函数 f (x)= lim (x0),则函数在定义域内( ). n→ n A.处处连续. B.有可去间断点. C.有跳跃间断点. D.有第二类间断点. P50 强化62设函数 第 32 页，共123页 f ( x ) lim n n x x e a r c ta n c x o s x e n x 1  = → + + − ,则 f ( x ) 在其定义域内( ). A.处处连续. B.有可去间断点. C.有跳跃间断点. D.有第二类间断点. 题型4连续函数的性质 P50 强化63设 f ( x ) 和 ( x )  在(−,+)上有定义, f ( x ) 为连续函数,且 f ( x ) 0 , ( x )   有间断点,则 ( ). A. ( f ( x ) )  必有间断点 B. ( x ) 2    必有间断点 C. f ( ( x ) ) (x)  必有间断点 D. 必有间断点 f (x)周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 第二章 一元函数微分学 专题8-导数定义与微分定义 题型1函利用导数定义求导数 P54强化64设 f (0)=0,则 第 33 页，共123页 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充分条件为( ). A. lim x → 0 f s ( in x x 2 2 ) 存在. B. lim x → 0 x f − ( x s 3 in ) x 存在. f (2x)− f (x) f ( x3) C.lim 存在. D.lim 存在. x→0 x x→01−cosx P55 强化65设函数 f ( x ) 在x=0处连续,下列命题中错误的是( ). A.若 lim x → 0 f ( x x ) 存在,则 f ( 0 ) = 0 f (x)+ f (−x) . B.若lim 存在,则 x→0 x f ( 0 ) = 0 . C.若 lim x → 0 f ( x x ) 存在,则 f  ( 0 ) 存在. D.若 lim x → 0 f ( x ) − x f ( − x ) 存在,则 f  ( 0 ) 存在.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学  1 xsin , x0 P55 强化66已知 f (x)= x ,其中为常数,则   0, x0 (1)若 f (x)在 第 34 页，共123页 x = 0 处可导,的取值范围为_______. (2)若 f(x)在 x = 0 处连续,的取值范围为_______. P56 强化67设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义,且 f ( x )  1 − c o s x ,则 f ( x ) 在 x = 0 处( ). A.极限不存在. B.极限存在,但不连续. C.连续的,但不可导. D.可导.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 题型2抽象函数极限计算问题 P57 强化68设 第 35 页，共123页 f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f ( 0 ) = 0 ,则 lim x → 0 x f ( s in x ) − x f 2 ( c o s x − 1 ) = ( ). A. 1 2 f  ( 0 ) . B. f  ( 0 ) . C. 3 2 f  ( 0 ) . D.2f(0). P57 强化69已知 f (x)具有二阶导数,且 f (0)= f(0)=0, f(0)=300,则 I = lim x → 0 f ( s s in 4 in 2 x x ) = ________ .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P57 强化70设函数 f (x)在x=0的邻域内有连续的导数, f (0)=0, f(0)0,计算极限 第 36 页，共123页 lim x → 0  x 0 x (  x x 0 − f ) t ( x f − ( t t ) ) d d t t . P58 强化71(改编)设函数 f (x)在x=0的邻域内有导数, f (0)=0, f(0)0,计算极限 lim x → 0  x 0 x (  x x 0 − f ) t ( x f − ( t t ) ) d d t t .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 x  (x−t) f (t)dt P58 强化72(再改编)设函数 f (x)在0的邻域内连续, f (0)0,试计算极限lim 0 . x→0 x x f (x−t)dt 0 题型3微分的定义与几何意义 P59 强化73设函数 第 37 页，共123页 y = f ( e sin x ) 可微, f  ( 1 ) = 4 ,当在 x = 0 处取得增量  x = 0 .0 1 ,相应的函数增量  y 的 线性主部的值为 2 a ,则常数 a = _______.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P59 强化74设函数 f (x)满足 f (x+x)− f (x)=2xf (x)x+o(x)(x→0),且 f (0)=2,则 f (1)= ________ . 专题9-导数与微分的计算 题型1求复合函数的导数与微分 P60 强化75设函数 第 38 页，共123页 f ( x ) =  ln 2 x − x , x 1 , x   1 , 1 . y = f ( f ( x ) ) ,则 d d y x x = e = ________ .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 题型2求一元隐函数的导数与微分 P61 强化76已知函数 第 39 页，共123页 y = f ( x ) 是由方程 y − x = e x (1 − y ) 确定的一元隐函数,则函数极限 lim x x f 1 x f 2 x  → +    −    = _______. P61 强化77已知函数 f (u)具有二阶导数,且 f  ( 0 ) = 1 ,函数 y = y ( x ) 由方程y−xey−1=1所确定,设 z = f ( ln y − s in x ) ,求 d d z x x = 0 , d d 2 x z 2 x = 0 .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 题型3求分段的导数与微分 P62 强化78(导数极限定理)证明:设 第 40 页，共123页 f ( x ) 在x 的去心邻域内可导,且在 0 x = x 0 处连续,若 lim f(x)= A x→x 0 (或),则 f(x )= lim f(x)= A(或). 0 x→x 0 ax2 +bsinx+c,x0 P63 强化79设 f (x)= ,试确定  ln(1+x),x0 a , b , c 使得 f (x)在 x = 0 处一阶导数连续,但二阶导 数不存在.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学  1 xcos ,x0 P63 强化80设函数 f (x)= x (0,0),若   0,x0 第 41 页，共123页 f  ( x ) 在 x = 0 处连续,则( ). A. 1   −  . B. 0 1    −  . C. 2   −  . D. 0 2    −  . 题型4求反函数的导数 P65 强化83设函数 f ( x ) =  x − 1 1 − e t d t ,则y= f (x)的反函数 x = f − 1 ( y ) 在y=0处的导数 d d x y y = 0 = _________ .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 题型5求高阶导数 P67 强化84函数 第 42 页，共123页 f ( x ) = 1 + 1 x 2 ,则 f(0)=_________ . P67 强化85设函数 f ( x ) = x 2 ln ( 1 + x ) ,则 f (n ) ( 0 ) = ________. ( n  3 ) P67 强化86设函数 f ( x ) = e 2 x ln ( 1 + x ) ,则 f  ( 0 ) = _________ .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 x P68 强化87设函数 f (x)=arctanx− ,且 f(0)=1,则a=________ . 1+ax2 P68 强化88已知函数 第 43 页，共123页 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续,且 f ( x ) = ( x + 1 ) 2 + 2  x 0 f ( t ) d t ,则当 n  2 时, f (n ) ( 0 ) = _______.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 专题10-导数的几何意义、相关变化率 题型1求曲线的切线和法线方程 P69 强化89已知 第 44 页，共123页 f ( x ) 是周期为5的连续函数,它在 x = 0 的某个领域内满足关系式 f ( 1 + s in x ) − 3 f (1−sinx)=8x+(x),其中(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且 f (x)在x=1处可导,求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 6 , f ( 6 ) ) 处的切线方程. P70 强化90设曲线 y = f ( x ) 与曲线y=x2 −x在点 (1 , 0 ) 处有公共切线,则数列极限 lim n n f n n 2  →  +  = _________ .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P70 强化91(数一数二) (1)曲线 第 45 页，共123页  x y = =  t 1 − t − u e 0 ( 2 ln 2 2 − d u 2 t , ) 上对应于 t = 1 的点处的切线方程为________ . (2)曲线L的极坐标方程是 y  = ,则 L   在点(r,)= ,  处的切线的直角坐标方程是_______. 2 2 专题11-函数的单调性、极值与最值 题型1函数单调性相关考点 P72 强化94设函数 f ( x ) 在 x = x 0 处可导,则下列命题中正确的是( ). A. f ( x ) 在 x = x 0 的邻域内也可导. B. f ( x ) 在 x = x 0 处连续,但无法确定 f ( x ) 在 x = x 0 的某去心邻域内连续. C.若 f  ( x 0 )  0 ,则 f (x)在x=x 的某邻域内单调递增. 0 D.若 f  ( x 0 )  0 ,则 f ( x ) 在x=x 的某去心邻域内 0 f ( x )  f ( x 0 ) .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P73 强化95求函数 第 46 页，共123页 f ( x ) =  x 1 2 ( x 2 − t ) e − 2t d t 的单调区间与极值. P73 强化96设 f (x)在  − 2 , 2  上可导,且 f  ( x )  f ( x )  0 ,则( ). A. f f (( − − 2 1 ))  1 . B. f f ( 0 ( − )) 1  e . C. f f ( ( 1 − ) 1 )  e 2 . D. f f ( 2 ( − )) 1  e 3 .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 题型2函数的极值 P74 强化97(极值的第三充分条件)设 第 47 页，共123页 f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = = f (n − 1 ) ( x 0 ) = 0 , f (n ) ( x 0 )  0 ,证明: (1)若 n 为偶数,当 f (n)(x )0时, 0 f ( x ) 在点 x 0 处取极小值;当 f (n ) ( x 0 )  0 时, f ( x ) 在点 x 0 处取极大值; (2)若n为奇数, f (x)在点 x 0 处取不取极值. P75 强化98(2019年)已知 f ( x ) =  x x 2 e x x , x +  1 , 0 x ,  0 , 求 f  ( x ) ,并求 f (x)的极值.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P75 强化99(2023年)已知可导函数y= y(x)满足aex +y2+y−ln(1+x)cosy+b=0,且 第 48 页，共123页 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 0 . (1)求a,b的值; (2)判断x=0是否为 y ( x ) 的极值点. P76 强化100设 f ( x ) =  x 2  2 + 0 s , in x 1 x =  0 , x  0 ,则( ). A. x = 0 不是 f (x)的驻点. B. x = 0 是 f ( x ) 的驻点,且是 f (x)的极大值点. C. x = 0 是 f ( x ) 的驻点,且是 f (x)的极小值点. D. f (x)在x=0的某左去心邻域内单调递减,在x=0的某右去心邻域内单调递增.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P76 强化101设函数 第 49 页，共123页 f ( x ) lnf (x+2)+cosx   在x=2的某邻域内连续,且满足lim =1,则 x→0 lncosx x = 2 为 f (x) 的( ). A.不可导点. B.可导点,但不是驻点 C.驻点,且为 f ( x ) 的极小值点. D.驻点,且为 f ( x ) 的极大值点. 专题12-曲线的凹凸性与拐点 题型1曲线的凹凸性 P78 强化102(2022年) f ( x ) 在x=x 处二阶可导,以下说法正确的是( ). 0 A.若在 x = x 0 的某个邻域内 f ( x ) 单调增,则 f  ( x 0 )  0 . B.若 f  ( x 0 )  0 ,则在 x = x 0 的某个邻域内 f ( x ) 单调增加. C.若在 x = x 0 的某个邻域内 f ( x ) 图像是凹的,则 f  ( x 0 )  0 . D.若 f  ( x 0 )  0 ,则在x=x 某个邻域内 0 f ( x ) 图像是凹的.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P78 强化103已知 f (x)在0,1内均有 f(x)0,且h(x)= f (0)+ f(0)x 第 50 页，共123页 g ( x ) = f ( 0 ) +  f ( 1 ) − f ( 0 )  x , ,则在区间上必有( ). A. g ( x )  f ( x )  h ( x ) . B. h ( x )  g ( x )  f ( x ) . C. g ( x )  h ( x )  f ( x ) . D. h ( x )  f ( x )  h ( x ) . 题型2曲线的拐点 P79 强化104(2023年)设函数 f ( x ) = ( x 2 + a ) e x .若 f ( x ) 没有极值点,但曲线 y = f ( x ) 有拐点,则 a 的取 值范围是( ). A.  0 ,1 ) . B. 1 , )  + . C. 1 , 2 ) . D.  2 , )  + .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P80 强化 105 设函数g(x)任意阶可导,函数 f (x)满足 f(x)+ f(x)g(x)+ f (x)x−ex +1=0且 f (0)=1, 第 51 页，共123页 f  ( 0 ) = 0 ,则 ( ) . A. f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值. B. f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值. C. ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点. D. f ( 0 ) 不是 f (x)的极值,( 0,f (0))也不是曲线 y = f ( x ) 的拐点. P80 强化106曲线 y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x − 3 ) 3 ( x − 4 ) 4 的拐点是 ( ) . A. (1 , 0 ) . B. ( 2 , 0 ) . C. ( 3 , 0 ) . D. ( 4 , 0 ) .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P81 强化107(2011年)设函数 第 52 页，共123页 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = 1 3 1 3 3 t 3 t + − t t + + 1 3 1 3 确定,求 y = y ( x ) 的极值和曲线 y = y ( x ) 的凹凸区间及拐点. 专题13-渐近线与曲率 题型1求曲线的渐近线 P82 强化108曲线 y = 1 x + ln ( 1 + e x ) ,渐近线的条数为 ( ) . A.0. B.1. C.2. D.3.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 专题14-方程根与函数零点 题型1方程根(或函数零点)存在性 P85 强化112证明方程 第 53 页，共123页 2 x − x 2 = 1 有且仅有三个零点. 题型2求方程根(或函数零点)的个数 P86 强化113设常数 k  0 ,函数 f ( x ) = ln x − x e + k 在 ( 0 , )  + 内零点个数为_______.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P86 强化114设当 第 54 页，共123页 x  0 时,方程 k x + 1 x 2 = 1 有且仅有一个解,求 k 的取值范围. 1 1 P87 强化115设方程 − =k在 ln(1+x) x ( 0 ,1 ) 内有实根,求参数 k 的范围.周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 专题15-不等式证明 题型1函数不等式的证明 P87 强化116证明 第 55 页，共123页 x ln 1 1 + − x x + c o s x  1 + 2 x 2 , ( − 1  x  1 ) . P88 强化117(2018年)已知常数kln2−1,证明 ( x − 1 ) ( x − ln 2 x + 2 k ln x − 1 )  0 .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 题型2参数不等式的证明 P88 强化118证明:当 第 56 页，共123页 0 a b     时, b s in b 2 c o s b b a s in a 2 c o s a a   + +  + + . P89 强化119证明:当0ab时, ln  b a   2 ( b b + − a a ) .周洋鑫高数 · 2.一元函数微分学 P89 强化120设函数 f (x)在(0,+)内二阶可导,且 f(x)0, f (0)=0,证明对于任意的x 0,x 0有 1 2 第 57 页，共123页 f ( x 1 + x 2 )  f ( x 1 ) + f ( x 2 ) .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 第三章 一元函数积分学 专题16-不定积分 题型1不定积分的基本概念 P93 强化121(基础题)设 第 58 页，共123页  f  ( e x ) d x = x e − x + e − x + C ,则 f ( x ) = ________ . P94 强化122设 f ( x ) 连续,且当x−1时 f ( x )   x 0 f ( t ) d t + 1  = 2 ( x 1 e + x x ) 2 ,求 f ( x ) .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 题型2不定积分(原函数)存在性与定积分存在性 P95 强化123设函数 第 59 页，共123页 f ( x ) =  a r c ta n x x 2 , x , = x 0  0 , g ( x ) =  a r c ta n x 2 x 2 , x , = x 0  0 则, 在 区 间  − 1 ,1  上( ). A. f ( x ) 的原函数存在,且可积. B. f ( x ) 的原函数不存在,但可积. C. f (x)的原函数不存在,但可积. D. f (x)的原函数存在,但不可积. 题型3求连续分段函数的不定积分 P95 强化124(2016年)已知函数 f ( x ) =  2 ln ( x x , − 1 ) , x x   1 1 , , 则 f ( x ) 的一个原函数是( ). A. F ( x ) =  ( x x ( − ln 1 x 2 ) − , 1 ) , x x   1 1 . . . B. F ( x ) =  ( x x ( − ln 1 x 2 ) + , 1 ) − 1 , x x   1 1 . . . C. F ( x ) =  ( x x ( − ln 1 x 2 ) + , 1 ) + 1 , x x   1 1 . . . D. F ( x ) =  ( x x ( − ln 1 x 2 ) − , 1 ) + 1 , x x   1 1 . .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 P96 强化125设 第 60 页，共123页 y ( x ) 是由方程 y 3 ( x + y ) = x 3 1 确定的隐函数,求不定积分 dx. y3 专题17-定积分定义、性质及计算 题型1定积分的几何意义 P97 强化126如图所示,连续函数 y = f ( x ) 在区间  − 3 , − 2  ,  2 , 3  上的图形分别是直径为1的上、下半圆 周,在区间  − 2 , 0  ,  0 , 2  上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设 F ( x ) =  x 0 f ( t ) d t ,则下列结论正确 的是( ). A. F ( 3 ) = − 3 4 F ( − 2 ) 5 . B.F(3)= F(2). C. 4 F ( − 3 ) = 3 4 F ( 2 ) . D. F ( − 3 ) = − 5 4 F ( − 2 ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 P98 强化127(2018 年)设函数 第 61 页，共123页 f ( x ) 在  0 ,1  1 上二阶可导,且 f (x)dx=0,则( ). 0 A.当 f  ( x )  0 1 时, f  0. B.当 2 f  ( x )  0 时, f  1 2   0 . C.当 f  ( x )  0 时, f  1 2   0 . D.当 f(x)0时, f  1 2   0 . 题型2定积分的计算 P100 强化128设函数 f ( x ) =  x 1 1 ln + t t d t ( x  0 ) ,则 f ( 2 ) + f  1 2  = ________ .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学  xex2 ,− 1 x 1 ,   2 2 2 P100 强化129设 f (x)= ,则 f (x−1)dx=________ . 1 1  −1,x , 2  2 P100 强化130设函数 f (x)在0,上存在连续的二阶导数,且 第 62 页，共123页 0 f ( x ) f ( x ) s in x d x 2 ,    +   = f ( 0 ) = 1 , 则 f ()=________ .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 2025 P101 强化131计算I = sin4x−sin6xdx. 0 P101 强化132计算 第 63 页，共123页 I =  1 − x1 ln ( 1 + e x ) d x .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 1 P101 强化133(2016年)设函数 f (x)= t2 −x2 dt(x0),求 0 第 64 页，共123页 f  ( x ) 并求 f ( x ) 的最小值. 专题18-变限函数 题型1被积分函数为变限函数的定积分计算 xln(1+t) 1 f (x) P102 强化134已知函数 f (x)= dt,计算 dx. 1 t 0 x周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 题型2变限函数的连续型与可导性 P103 强化 135(引例)设函数 第 65 页，共123页 f ( x ) =  e x − , x x , x   0 0 , , F ( x ) =  x − 1 f ( t ) d t ,问 F ( x ) 在 x = 0 处是否连续,是否可导. P103 强化136(2013年)已知 f ( x ) s in 2 x 0 x x 2    =      ,记 F ( x ) =  x 0 f ( t ) d t ,则( ). A. x  = 是F(x)的跳跃间断点 B. x  = 是F(x)的可去间断点 C. F ( x ) 在 x  = 处连续但不可导 D. F ( x ) 在 x  = 处可导周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 P104 强化137(2006年)设 第 66 页，共123页 f ( x ) 是奇函数,除 x = 0 外处处连续, x = 0 x 是其第一类间断点,则 f (t)dt是 0 ( ). A.连续的奇函数. B.连续的偶函数. C.在 x = 0 间断的奇函数. D.在 x = 0 间断的偶函数. 专题19-积分等式与积分不等式 题型1定积分的等式证明 P104 强化138已知 f ( x ) 为连续函数, (1)证明: 0 x f ( s in x ) d x 2 0 f ( s in x ) d x 2 0 f ( s in x ) d x       =  =  ;  (2)计算 xsin5xdx及 0 0 1 x s c in o x 2 s x d x   + .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 P105 强化139设 f (x)、g(x)在区间−a,a(a0)上连续,g(x)为偶函数,且 f (x)满足条件 第 67 页，共123页 f ( x ) + f ( − x ) = A ( A 为常数)。 a a (1)证明 f (x)g(x)dx= A g(x)dx; −a 0  (2)利用(1)的结论计算定积分2 sinxarctanexdx  − 2 题型2利用比较定理比较定积分大小 P105 强化140设 M 2 2 ( 1 1 x x )2 2 d x , N 2 2 1 e x x d x , K 2 2 ( 1 c o s x ) d x       =  − + + =  − + =  − + ,则( ). A.M N K . B.M K N . C.K M N . D.K N M .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 1 x 1ln(1+x) 1 2x P106 强化141已知I = dx,I = dx,I = dx,则 1 02(1+cosx) 2 0 1+cosx 3 01+sinx 第 68 页，共123页 ( ) . A. I 1  I 2  I 3 . B. I 2  I 1  I 3 . C. I 1  I 3  I 2 . D. I 3  I 2  I 1 . P106 强化142(1)比较 1 lnt ln(1+t) n dt与   0  1 t0 n ln t d t ( n = 1 , 2 , ) 的大小,说明理由; (2)记 u n =  1 0 ln t  ln ( 1 + t )  n d t ( n = 1 , 2 , ) ,求极限 lim n u n  → .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 题型3利用定积分的几何意义比较定积分 P107 强化143 第 69 页，共123页 I k k 0 e x 2 s in x d x ( k 1 , 2 , 3 )  =  = ,则 ( ) . A. I 1  I 2  I 3 . B. I 2  I 1  I 3 . C. I 2  I 3  I 1 . D. I 3  I 2  I 1 . 题型4积分不等式证明 P108 强化144设 f ( x ) 是区间  a , b  b a+b b 上连续递增函数,试证明 xf (x)dx  f (x)dx. a 2 a周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 P108 强化145证明:柯西施瓦茨不等式. 若 第 70 页，共123页 f ( x ) 与 g ( x ) 在  a , b  上可积,则   b a f ( x ) g ( x ) d x  2   b a f 2 ( x ) d x   b a g 2 ( x ) d x . P109 强化146设函数 f ( x ) , g ( x ) 的区间a,b上连续,且 f ( x ) 单调增加, 0  g ( x )  1 .证明: (1) 0   x a g ( t ) d t  x − a , x   a , b  , (2)  a a +  bga ( )t d t f ( x ) d x   b a f ( x ) g ( x ) d x .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 专题20-反常积分 题型1反常积分的计算 P110 强化147(2013年) 第 71 页，共123页 1 ( 1 ln x x ) 2 d x   + + = ________ . P111强化148计算积分  3212 x d x − x 2 .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 题型2反常积分的计算 P112 强化149设函数 第 72 页，共123页 f ( x ) ( x x ln 1 1 1 ) 1 x 1 , ,1 x e x . e ,   =  − + −    若 1 f ( x ) d x   + 收敛,则 ( ) . A.−2. B.2. C.−20. D.02. P112 强化150(2016年)若反常积分 0 x a ( 1 1 x ) b d x   + + 收敛,则 ( ) . A. a  1 且 b  1 . B. a  1 且 b  1 . C. a  1 且 a + b  1 . D. a  1 且 a + b  1 . P113 强化151(2022年)设 p 为常数,若反常积分  1 0 x p ( 1 ln − x x 1) − p d x 收敛,则 p 的取值范围是( ) A.(−1,1). B. ( − 1 , 2 ) . C.(−,1). D. ( , 2 )  − .周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 强化152下列广义积分发散的是( ). A. 第 73 页，共123页  1 − 1 s 1 in x d x B.  1 − 1 1 1 − x 2 d x C. + −x2 D. 0 2 x 1 ln 2 x d x   + 专题21-定积分的几何应用 题型1求平面图形的面积 P115 强化153(数一数二)设n是正整数,记 S n 为曲线y=e−xsinx(0xn)与x轴所围图形的面积.求 S ,并求limS . n n n→周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 题型2求旋转体体积 P117 强化154过点 第 74 页，共123页 ( 0 ,1 ) 作曲线 L : y = ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成.求区域 D 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. P117 强化155设平面图形 A 由 x 2 + y 2  2 x 与 y  x 所确定,求 (1)图形A绕直线 y 旋转一周所得旋转体的体积; (2)图形A绕直线 x = 2 旋转一周所得旋转体的体积.周洋鑫高数 · 3.一元函数积分学 P118 强化156设曲线y=3− x2 −1与x轴围成的封闭图形为D,求 (1)图形D绕直线 第 75 页，共123页 x 旋转一周所得旋转体的体积; (2)图形D绕直线 y = 3 旋转一周所得旋转体的体积.周洋鑫高数 · 4.常微分方程 第四章 常微分方程 专题23-微分方程 题型1求一阶微分方程 P126 强化163求下列方程的通解. dy dy (1)y2 +x2 =xy . (2) dx dx 第 76 页，共123页 y  + ta n x  y = s e c x . dy y 1 (3) = . (4)y= ,y(1)=0. dx x+ y4 (x+ y)2 dy 1 (5) = +1. dx x−y周洋鑫高数 · 4.常微分方程 题型2求高阶微分方程 P129 强化164(数一、二)求下列方程的解. (1) ( 1−x2) y−xy=0满足 第 77 页，共123页 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 1 的解; (2) y  = 1 + ( 2 y y ) 2 ( y   0 ) . P129 强化165设 A , B , C 为常数,则微分方程 y  − 2 y  + y = e x s in 2 x 有特解( ). A. e x ( A + B c o s 2 x + C s in 2 x ) . B. e x ( A x + B c o s 2 x + C s in 2 x ) . C. x e x ( A + B c o s 2 x + C s in 2 x ) . D.ex( Ax2+Bcos2x+Csin2x ) .周洋鑫高数 · 4.常微分方程 P130 强化166求微分方程y−3y+2y=2xex +sinx的通解. P130 强化167求下列方程的解. (1)y−y+ y−y=0 (2)y+3y−4y=0. 第 78 页，共123页周洋鑫高数 · 4.常微分方程 题型3边角考点:(数三)差分方程 P131 强化168(2017年)差分方程 第 79 页，共123页 y t+ 1 − 2 y t = 2 t 的通解为________. P131 强化169(2018年)差分方程  2 y x − y x = 5 的通解为________.周洋鑫高数 · 4.常微分方程 题型5线性微分方程反问题 P133 强化171设 第 80 页，共123页 y 1 = x e x + e 2 x , y 2 = x e x − e − x , y 3 = x e x + e 2 x − e − x 为某二阶常系数非齐次线性微分方程 的三个特解,求此微分方程通解及方程表达式. P133 强化172设 y = 1 2 e 2 x +  x − 1 3  e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y  + a y  + b y = c e x 的一个特解, 则( ). A. a = − 3 , b = 2 , c = − 1 . B. a = 3 , b = 2 , c = − 1 . C. a = − 3 , b = 2 , c = 1 . D. a = 3 , b = 2 , c = 1 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 4.常微分方程 P134 强化173(真题改编题)设 第 81 页，共123页 y = 1 2 e 2 x + x e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+by=cex的一 个特解,则该微分方程为______. P134 强化174(2016年)若 y 1 = ( 1 + x 2 ) 2 − 1 + x 2 , y 2 = ( 1 + x 2 ) 2 + 1 + x 2 是微分方程 y  + p ( x ) y = q ( x ) 的两个解,则 q ( x ) = _______.周洋鑫高数 · 4.常微分方程 P134 强化175具有特解y =e−x,y =2xe−x,y =3ex的3阶常系数齐次线性方程是( ). 1 2 3 A. 第 82 页，共123页 y  − y  − y  + y = 0 . B. y  + y  − y  − y = 0 . C.y−6y+11y−6y=0. D.y−2y−y+2y=0. 题型6微分方程的变换 P135 强化176用变量代换 x c o s t ( 0 t )  =   化简微分方程 ( 1−x2) y−xy+y=0,并求其满足 y x = 0 = 1 , y  x = 0 = 2 的特解.周洋鑫高数 · 4.常微分方程 题型7微分方程的综合题 P136 强化177设函数 第 83 页，共123页 f ( x ) 连续,且满足 f ( x ) = e − x +  x 0 ( t − x ) f ( t ) d t ,求函数 f ( x ) 的表达式. P136 强化178设 y ( x ) 是区间  0 , 3 2  内的可导函数,且 y ( 1 ) = 0 ,点 P 是曲线 L : y = y ( x ) 上的任意一点, L 在点 P 处的切线与y轴相交于点(0,Y ),法线与 P x 轴相交于点(X ,0),若X =Y ,求 P p P L 上点的坐标 ( x , y ) 满足的方程.周洋鑫高数 · 4.常微分方程 P137 强化179 f (x)在(−,+)内有定义,对于任意的x,y满足 f (x+y)=eyf (x)+exf (y),又 f (x)在 第 84 页，共123页 x = 0 处可导, f  ( 0 ) = e ,试求 f (x)的表达式. P137 强化180设函数 y ( x ) 满足方程 y  + 2 y  + k y = 0 ,其中 0  k  1 . + (1)证明:反常积分 y(x)dx收敛; 0 (2)若 y ( 0 ) = 1 , y  ( 0 ) = 1 ,求 0 y ( x ) d x   + 的值.周洋鑫高数 · 5.中值定理 第五章 中值定理 专题24-中值定理证明 题型1连续函数的性质 P141 强化181设 第 85 页，共123页 f ( x ) 在  a , b  上连续, x i   a , b  , k i  0 , i = 1 , 2 , , n .证明存在  a , b    ,使得 f ( ) k 1 f ( x 1 ) k k 1 2 f k ( 2 x 2 ) k n k n f ( x n ) .  = + + + + + + P142 [此题由于PDF模糊，公式可能存在问题]强化182设n为正整数,且F(x)= nx e−t3 dt+ e(n+1)x t2 dt.证明: 1 2 t4 +1 (1)对于给定的正整数 n , F ( x ) 有且仅有一个正的零点,记该零点为 a n ; (2)数列a 单调递减,且 n lim n a n 0  → = .周洋鑫高数 · 5.中值定理 题型2单中值问题——证明至少存在一个中值使得等式成立 P142 强化183设函数 第 86 页，共123页 f ( x ) 在闭区间  0 ,1  上连续,在开区间 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 1 ) = 0 ,求证至少存在一 点 ( 0 ,1 )   ,使得 ( 2 1 ) f ( ) f ( ) 0     + +  = . P143 强化184设奇函数 f ( x ) 在  − 1 ,1  上具有二阶导数,且 f ( 1 ) = 1 ,证明: (1)存在(0,1),使得 f()=1. (2)存在(−1,1),使得 f ( ) f ( ) 1    +  = .周洋鑫高数 · 5.中值定理 f (x) P143 强化185设函数 f (x)在区间0,1上具有2阶导数,且 f (1)0, lim 0.证明: x→0+ x (1)方程 第 87 页，共123页 f ( x ) = 0 在区间 ( 0 ,1 ) 内至少存在一个实根; (2)方程 f ( x ) f  ( x ) +  f  ( x )  2 = 0 在区间 ( 0 ,1 ) 内至少存在两个不同实根. P144 强化186设 y = f ( x ) 是区间  0 ,1  上的任一非负连续函数. (1)证明:存在 x 0  ( 0 ,1 ) 使得在区间  0 , x 0  上以 f ( x 0 ) 为高的矩形面积等于在区间  x 0 ,1  上以 y = f ( x ) 为 曲边的曲边梯形面积; (2)又设 f (x)在区间 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f  ( x )  − 2 f ( x x ) ,证明(1)中的 x 0 是唯一的.周洋鑫高数 · 5.中值定理 题型3双中值问题——证明存在两个中值点使得等式或不等式成立 P144 强化187已知函数 第 88 页，共123页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 .证明: (1)存在(0,1),使得 f ( ) 1   = − ; (2)存在两个不同的点,(0,1),使得 f() f()=1. P145 强化188已知函数 f ( x ) 在闭区间  0 ,1  上连续,在开区间 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 3 .证明: 存在 0 , 1 2 , 1 2 ,1         ,使得 f()+ f()=2+2.周洋鑫高数 · 5.中值定理 P145 强化189设函数 f (x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且 f (a)= f (b)=1.试证存在 ,(a,b),使 第 89 页，共123页 e f ( ) f ( ) 1    −  +   = . 题型4高阶导数问题 P146 强化190设函数 f ( x ) 在  0 , 2  上连续,在 ( 0 , 2 ) 内具有二阶导数,且 lim x 1 s ( f in x ) x 0 ,  4  3 25 4 f ( x ) d x = f ( 2 ) → = .证明:存在 ( 0 , 2 )   ,使得 f ( ) 0   = .周洋鑫高数 · 5.中值定理 1 P146 强化191设函数 f (x)在0,1上具有三阶连续导数,且 f (0)=1, f (1)=2, f  =0,证明:在开区 2 间 第 90 页，共123页 ( 0 ,1 ) 内至少存在一点,使 f()=24. P147 强化192设函数 f ( x ) 在  0 ,1  上具有二阶连续导数,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , m0  in x  1 f ( 1 ) = − 1 ,证明:在开 区间 ( 0 ,1 ) 内至少存在一点,使max f()8. 0x1公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 5.中值定理 P147 强化193设 f (x)在区间a,b上具有二阶导数,且 f(a)= f(b)=0,试证在(a,b)内至少存在一点 ,使 第 91 页，共123页 f ( ) 4 f ( b ( b ) a f ) ( 2 a )    − − .周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 第六章 多元函数微分学 专题25-二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性 题型1二元函数连续、可导、可微相关判定问题 P151 强化194设二元函数 第 92 页，共123页 f ( x , y ) =  1 0 − , x x e 2 2 ( x + + x 2 + y 2 y 2 y ) 2 = , 0 x 2 + y 2  0 ,在点 ( 0 , 0 ) 处,给出以下四条结论: f f ① f (x,y)连续; ② =−1, 不存在; x y (0,0) (0,0) ③   f x (0 ,0 ) = − 1 ,   f y (0 ,0 ) = 0 ; ④ d f (0 ,0 ) = − d x , 其中正确结论的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【刻意练习】设二元函数 f ( x , y ) =  ( x + x y 2 ) s + 0 in y (2 x y ) ( x x , 2 ) y +  y ( 2 0 = , 0 0 ) ,在点 ( 0 , 0 ) 处,给出以下四条结论: ① f ( x , y ) f f 连续; ② 不存在, 不存在; x y (0,0) (0,0) ③   f x (0 ,0 ) = 0 ,   f y (0 ,0 ) = 0 ; ④ d f (0 ,0 ) = 0 , 其中正确结论的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 f (x,y)−2x+ y−2 P153 强化195设连续函数z= f (x,y)满足lim =0,则dz =________ . x→0 x2 +(y−1)2 (0,1) y→1 P153 强化196二元函数 第 93 页，共123页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微的一个充分条件是 ( ) . A. lim f (x,y)− f (0,0)=0.   (x,y)→(0,0) f (x,0)− f (0,0)   B.lim =0,且 x→0 x lim y → 0  f ( 0 , y ) − y f ( 0 , 0 )  = 0 . C. ( x lim ) ,y → (0 ,0 )  f ( x , y x ) 2 − + f y ( 2 0 , 0 )  = 0 . D.lim  f (x,0)− f (0,0) =0,且  x x  x→0 lim y → 0  f y  ( 0 , y ) − f y  ( 0 , 0 )  = 0 .周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 专题26-求多元函数偏导数或全微分 题型1多元显函数的偏导数和全微分 P154 强化197设函数 第 94 页，共123页 z =  1 + x y  xy ,则 d z (1 ,1 ) = _______ . P154 强化198设函数 f ( t ) 连续,令 F ( x , y ) =  x 0 − y ( x − y − t ) f ( t ) d t ,则( ). A.   F x =   F y ,   2 x F 2 =   2 y F 2 . B.   F x =   F y ,   2 x F 2 = −   2 y F 2 . C.   F x = −   F y ,   2 x F 2 =   2 y F 2 . D.   F x = −   F y ,   2 x F 2 = −   2 y F 2 .周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 题型2多元复合函数的偏导数和全微分 P155 强化199(基础题)设 第 95 页，共123页 z = f  ln x + 1 y  ,其中函数 f ( u ) 可微,则 x   z x + y 2   z y = ________ . P156 强化200(基础题)设 f ( u , v ) 为二元可微函数, z = f  y x , x y  ,则 x   z x − y   z y = ________ .周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 P156 强化 201 设函数 f (u,v)具有连续的二阶偏导数,且 第 96 页，共123页   f u (1 ,1 ) = 2 ,   f v (1 ,1 ) = 3 , 2f 2f =2, =4. u2 uv (1,1) (1,1) 函数 g ( x ) 可导,且在 x = 1 处取得极值 g ( 1 ) = 1 ,若 z = f ( x y , y g ( x ) ) ,则   x 2  z y x y = = 1 1 = ________ . P157 强化202设函数 f ( u , v ) 具有连续二阶偏导数,且 f ( 1 ,1 ) = 2 , f =0, u (1,1)   f v (1 ,1 ) = 0   f u (2 ,2 ) = 1 ,   f u (2 ,2 ) = 1 , ,   f v (2 ,2 ) = 4 ,   2 u f 2 (2 ,2 ) = 6 ,   2 u f  v (1 ,1 ) = 1 .若 z = f ( x + y , f ( x , y ) ) ,则   x 2  z y x y = = 1 1 = ________ .周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 f f P157 强化203设函数z= f (u,v)在点(1,1)处可微,且 f (1,1)=1, =2, =3, u v (1,1) (1,1) 第 97 页，共123页 ( x ) f ( x , f ( x , x ) )  = ,则 d d x 3 ( x ) x 1  = = _______ . P158 强化204设函数 u = f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,且满足等式 4   2 x u 2 + 1 2 2  u  x  y + 5   2 y u 2 = 0 .确定 a , b 2u 的值,使等式在变换=x+ay,=x+by下化简为 =0. 周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 题型3二元隐函数的偏导数和全微分 P159 强化205设函数 第 98 页，共123页 f ( u , v ) 可微, z = z ( x , y ) 由方程 ( x + 1 ) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 确定,则 d z (0 ,1 ) = _________ . P160 强化206设 z = z ( x , y ) 是由方程 x 2 y 2 z ( x y z )  + − = + + 所确定的函数,其中具有2阶导数且 1    − 时,求 (1)dz. (2)记 u ( x , y ) = x 1 − y    z x −   z y  u ,求 . x周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 题型4偏导数或全微分的反问题 P160 强化207设函数 第 99 页，共123页 f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,且 f ( 0 , 0 ) = 0 ,且 ( x + x c o s x y ) d y d f ( x , y ) = ( y + y c o s x y + 1 ) d x + ,则 f ( x , y ) = ______. 专题27-求多元函数的极值和最值 题型1无条件极值 P161 强化208求函数 f (x,y)=x4 + y4 −(x+ y)2的极值.周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 P162 强化209已知函数z=z(x,y)由方程 ( x2+y2) z+lnz+2(x+y+1)=0确定,求z=z(x,y)的极值. P162 强化210已知函数 第 100 页，共123页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某个邻域内连续,且 lim x → y → 0 0 f ( ( x x 2 , y + ) y − 2 x 2 ) y = 1 ,则( ) A.点 ( 0 , 0 ) 不是 f (x,y)的极值点. B.点 ( 0 , 0 ) 是 f (x,y)的极大值点. C.点(0,0)是 f (x,y)的极小值点. D.根据所给条件无法判断点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 题型2有条件极值或最值 P163 强化211求函数 第 101 页，共123页 M = x y + 2 y z 在约束条件 x 2 + y 2 + z 2 = 1 0 下的最大值和最小值. P163 强化212已知曲线 C :  x x 2 + + y y + 2 − 3 z 2 = z 2 5 = 0 ,求曲线 C 距离 x O y 面最远的点和最近的点.周洋鑫高数 · 6.多元函数微分学 题型3连续函数的闭区域最值问题 P164 强化213求函数 第 102 页，共123页 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 − x 2 y 2 在区域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  0  上的最大值和最小 值.周洋鑫高数 · 7.二重积分 第七章 二重积分 专题28-二重积分的定义、性质及计算 题型1二重积分的概念与性质 P166 强化214设 第 103 页，共123页 J i = D i 3 x − y d x d y ( i = 1 , 2 , 3 ) ,其中D = (x,y∣)0x1,0 y1 , 1 D =  (x,y∣)0x1,0 y x  ,D = (x,y∣)0x1,x2  y1  ,则 2 3 ( ) . A. J 1  J 2  J 3 . B. J 3  J 1  J 2 . C. J 2  J 3  J 1 . D. J 2  J 1  J 3 . P167 强化215已知平面区域 D { ( x , y ) x y 2 }  = +  ,记 I 1 =  D x 2 + y 2 d x d y , I 2 =  D s in x 2 + y 2 d x d y , ( ) I = 1−cos x2 + y2 dxdy,则( ). 3 D A. I 3  I 2  I 1 . B. I 2  I 1  I 3 . C. I 1  I 2  I 3 . D. I 2  I 3  I 1 .周洋鑫高数 · 7.二重积分  t dx t−x ex2+y2 dy P167 强化216求极限 lim 0 0 . t→0+ t2 题型2二重积分的计算 x2 ( ) y2 P168 强化217I = + y2ln 1+ x2 + y2 + dxdy,其中区域 a2 b2  D 第 104 页，共123页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4  .周洋鑫高数 · 7.二重积分 P169 强化218设D= (x,y∣) x2 +y2 1,y0  ,连续函数 f (x,y)满足 第 105 页，共123页 f ( x , y ) = y 1 − x 2 + x  D f ( x , y ) d x d y ,求xf (x,y)dxdy. D P169 强化219计算二重积分  D e m ax  x 2 ,y 2 d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  .周洋鑫高数 · 7.二重积分 x2, x + y 1,  P170 强化220设二元函数 f (x,y)= 1 计算二重积分 , 1 x + y 2.  x2 + y2  第 106 页，共123页 D f ( x , y ) d    ,其中 D =  ( x , y ) x + y  2  . P170 强化221设区域D=  (x,y∣) x2 + y2  2,x0,y0  ,1+x2 + y2表示不超过   1 + x 2 + y 2 的最大整 数,计算二重积分  D x y  1 + x 2 + y 2  d x d y .周洋鑫高数 · 7.二重积分    P171 强化222已知平面区域D= (r,) 2r2(1+cos),−  ,计算二重积分xdxdy.  2 2 D   P171 强化223求I =r2sin 1−r2cos2drd,其中D= (r,∣)0rsec,0 .  4 D 第 107 页，共123页周洋鑫高数 · 7.二重积分 P172 强化224计算二重积分(x+ y)dxdy,其中D= (x,y∣) x2+y2 x+y+1  , D P172 强化225(数一、二)设平面区域 第 108 页，共123页 D 由曲线 x y t 1 s c in o t , s t ( 0 t 2 )   = = − −   与 x 轴围成,计算二重积分  D ( x + 2 y )d x d y .周洋鑫高数 · 7.二重积分 P173 强化226设函数 f (t)在0,+)上连续,且满足方程 f (t)=e4t2 +  f 1 x2 + y2  dxdy,求   2  x2+y24t2 第 109 页，共123页 f ( t ) . P173 强化227设 f (x)连续, D =  ( x , y ) x  a 2 , y  a 2  a ,证明: f (x− y)dxdy= ( a− x ) f (x)dx. −a D周洋鑫高数 · 7.二重积分 题型3二次积分的次序调换 P174 强化228设函数 第 110 页，共123页 f ( x , y ) 连续,则交换  1 − d1 x  x x + 2 1 + x f ( x , y ) d y 的积分次序为________. P174 强化229设函数 f ( x , y ) 连续,则累次积分 2 d x 1 sin x f ( x , y ) d y     等于( ) A. 1 d0 y arcsin y f ( x , y ) d x     + . B. 1 d0 y arcsin y f ( x , y ) d x     − . 1 +arcsiny C. dy f (x,y)dx. D.  0 2 1 d0 y 2 arcsin y f ( x , y ) d x     − .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 7.二重积分  3cos P175 强化230设函数 f (x,y)连续,2 d f (rcos,rsin)rdr在极坐标系下交换积分次序后为  − 0 4 _______. 第 111 页，共123页周洋鑫高数 · 8.无穷级数 第八章 无穷级数(数一、三) 专题29-常数项级数 题型1利用常数项级数定义法审敛 P180 强化231设 第 112 页，共123页  u n  是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( ). A. n 1 u nn   = . B. n 1 ( 1 ) n 1 u n   = − . C. n 1 1 u u n n 1   =  − +  . D. n 1 ( u 2n 1 u 2n )   = + − . 题型2利用常数项级数审敛法审敛 P181 强化232若级数 n 2 s in 1 n k ln 1 1 n   =  −  −   收敛,则 k = ( ) . A.1 B.2 C.-1 D.-2周洋鑫高数 · 8.无穷级数 P182 强化233下列级数中发散的是( ). A.  n . B.  1 ln  1+ 1  . C.  (−1)n +1 . D.  n! . 3n n  n lnn nn n=1 n=1 n=2 n=1 P182 强化234下列级数中发散的是( ). A. 第 113 页，共123页 n 1 ln 1 n ln s in 1 n   =  −  . B. n 1 c o s 1 n n 2   =   . C. n 2 n 2 s in 2 n    =  n!en . D. . nn n=1 P183 强化235级数 n 1 1 n n 1 1 s in ( n k )   =  − +  + ( k 为常数)是( ). A.绝对收敛. B.条件收敛. C.发散. D.收敛性与k有关.周洋鑫高数 · 8.无穷级数 P183 强化236设 第 114 页，共123页 u n  0 ( n = 1 , 2 , 3 , ) n ,且lim =1,则级数 n→u n n 1 ( 1 ) n 1 1 u n u 1 n 1 ( )   = − +  + +  A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.收敛性根据所给条件不能判定 P183 强化237设有两个数列  a n  , b n  ,若 lim n a n 0  → = ,则 ( ) A.当 n 1 b n   = 收敛时, n 1 a n b n   = 收敛 B.当 n 1 b n   = 发散时, n 1 a n b n   = 发散 C.当 n 1 b n   = 收敛时, n 1 a 2n b 2n   = 收敛 D.当 n 1 b n   = 发散时, n 1 a 2n b 2n   = 发散周洋鑫高数 · 8.无穷级数 专题30-幂级数 题型1幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 P185 强化238幂级数 第 115 页，共123页 n 1 e n (2 n 1 ) n x n   = − − 的收敛半径为______.  P186 强化239已知幂级数a (x+2)n在 n n=0 x = 0 处收敛,在 x = − 4 处发散,则幂级数 n 0 a n ( x 3 ) n   = − 的收敛 域为_______.周洋鑫高数 · 8.无穷级数 P186 强化240设幂级数 第 116 页，共123页 n 1 a n x n   = 与 n 1 b n x n   = 5 1 的收敛半径分别为 与 ,则幂级数 3 3 i 1 a b n n 2 2 x n   = 的收敛半径为 _______. P186 强化241若级数 n 1 a n   = 条件收敛,则x= 3与 x = 3 依次为幂级数 n 1 n a n ( x 1 ) n   = − 的 ( ) A.收敛点,收敛点. B.收敛点,发散点. C.发散点,收敛点. D.发散点,发散点.周洋鑫高数 · 8.无穷级数 题型2将函数展开成幂级数 P188 强化242将函数 第 117 页，共123页 f ( x ) = x 2 − 1 3 x − 4 展开成 x − 1 的幂级数,并指出其收敛区间. x P188 强化243将函数 f (x)=ln 在x=1处展成幂级数. 1+x P188 强化244将函数 f ( x ) = a r c ta n 1 1 + − x x 展为 x 的幂级数.周洋鑫高数 · 8.无穷级数 题型3幂级数求和 P190 强化245幂级数 第 118 页，共123页 n 1 ( 1 ) n 1 n x n 1   = − − − 在区间 ( − 1 ,1 ) 内的和函数 S ( x ) = _________ . P190 强化246求幂级数 n 0 ( n x 1 2 ) n ( 2 2 n 1 )   = + + + 的收敛域及和函数. xn+1 P191 强化247设u (x)=e−nx + (n=1,2, ),求级数 n n(n+1) n 1 u n ( x )   = 的收敛域及和函数.周洋鑫高数 · 8.无穷级数 题型4常数项级数求和 P191 强化248 第 119 页，共123页 n 0 ( 1 ) n ( 2 2 n n 3 1 ) !   = − + + = _________ . P192 强化249 n 1 ( n n 1 2 ) !   = + + = _________ .周洋鑫高数 · 8.无穷级数  强化250设a =4tannxdx, n 0 (1)求 第 120 页，共123页 n 1 1 n ( a n a n 2 )   = + + 的值; (2)试证:对任意的常数 0   ,级数 n 1 a n n    = 收敛.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 9.经济学应用 第九章 经济学应用（数三专题） 专题31-经济学应用（数学三） 题型1经济学应用 P195 强化251设某商品的需求函数为Q=40−2P( 第 121 页，共123页 P 为商品的价格),则商品的边际收益为______. P195 强化252设某商品的需求函数为 Q = 1 6 0 − 2 p ,其中Q,p分别表示需要量和价格,如果该商品需求 弹性的绝对值等于1,则商品的价格是________. P195 强化253设某产品的需求函数为 Q = Q ( P ) ,其对应价格 P 的弹性 p 0 .2  = ,则当需求量为10000 件时,价格增加1元会使产品收益增加________元.周洋鑫高数 · 9.经济学应用 P196 强化254为了实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设 第 122 页，共123页 Q 为该商品的需求量, p 为 价格,MC为边际成本,为需求弹性 ( 0 )   , (1)证明定价模型为 p 1 M C 1  = − ; (2)若该商品的成本函数为 C ( Q ) = 1 6 0 0 + Q 2 ,需求函数Q=40− p,试由(I)中的定价模型确定此商品的 价格.周洋鑫高数 · 9.经济学应用 P255 强化255假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两市场的需求函数分别是 第 123 页，共123页 p 1 = 1 8 − 2 Q 1 , p 2 = 1 2 − Q 2 ,其中 p 1 和 p 2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨), Q 1 和 Q 2 分 别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C = 2 Q + 5 ,其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量,即 Q = Q 1 + Q 2 . (1)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润; (2)如果该企业实行价格无差别策略,试确定两上市场上该产品的销售量和统一价格,使该企业获得最大 利润,并比较二者的总利润的大小.