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《数学》三色速记手册
第二章 数学分析
【考点一】极限的性质
一、数列极限的基本性质
性质1：唯一性
证明：用反证法{了解一下算了，不做过多要求}
性质2：有界性
定义：对数列xn，若存在正数M，使得一切正整数n，恒有 成立，则称数列xn有界，
否则，称为无界。
性质3：保号性、保序性、夹逼定理
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二、函数极限的基本性质
推论：夹逼定理
【考点二】求极限的方法
一、利用两个重要极限
第一个重要的极限：
第二个重要的极限：
二、等价无穷小替换
（一）无穷小量的定义
如果在x的某种趋向下，函数f（x）以零为极限，则称在 x的这种趋向下，函数f（x）是
无穷小量，简称无穷小。
（二）无穷小量的比较
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（三）等价无穷小替换定理
常用的等价无穷小有：
三、洛必达法则
四、利用夹逼法则
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定理2：如果数列xn，yn及zn满足下列条件
五、利用定义
【考点三】间断点的类型
定义：函数不连续的点称为间断点，若x0是函数的间断点，则必是下列三种情况之一
1、f（x）在x0点无定义，即f（x0）不存在。
第一类间断点（左右极限都存在）——可去间断点ⅰ
第一类间断点（左右极限都存在）——可去间断点ⅱ
第一类间断点（左右极限都存在）——跳跃间断点
左右极限存在但不相等
第二类间断点（左、右极限至少有一个不存在）
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——无穷间断点
第二类间断点——震荡间断点
f（x）在x=x0处无定义，且极限不存在（也不为∞）
【考点四】函数的连续性性质
一、最值定理
在闭区间[a，b]上连续的函数，一定能取得它的最大值和最小值。
说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。
二、介值定理
3、根的存在定理（零点定理）
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，那么，在开区间（a，b）
内至少存在一点ξ，使得
几何解释：连续曲线弧y=f（x的两个端点位于x轴的不同侧，则曲线弧与x轴至少有一个
交点。
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【考点五】导数公式
【考点六】导数的应用
一、函数单调性的判定
设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导
1、如果在（a，b）内f’（x）>0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；
2、如果在（a，b）内f’（x）<0，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少。
二、函数的极值
定义：设函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x 是（a，b）内的一个点，如果存在着点
0
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x 的一个领域，对于这领域内的任何点x，除了点x 外，f（x）f（x）均成立，就称f（x）是函数f（x）的一个极小值。
0 0 0
使函数取得极值的点称为极值点。
最值的求法
若函数f（x）在[a，b]上连续，除个别点外处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，
则f（x）在[a，b]上的最大值与最小值存在。
步骤：1、求驻点和不可导点；
2、求区间端点即驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪
个小哪个就是最小值。
【考点七】微分中值定理
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【考点八】不定积分定义
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