北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.4 对数与对数函数
基础篇 固本夯基
考点一 对数的概念及运算
1 2
1.(2022届湖湘教育三新探索协作体11月期中,4)设4a=3b=36,则 + =( )
a b
A.3 B.1 C.-1 D.-3
答案 B
lnb ln(3a+2b)
2.(2022届百师联盟9月联考)已知a>0,b>0,ln a= = ,则下列说法正确的是( )
2 3
A.b=2a B.3a+2b=b3
lnb lnb
C. ln(a+1) =log 2 3 D. e a =3
答案 C
3.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法
和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的
五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(
1√010≈1.259)(
)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C
4.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设alog4=2,则4-a= ( )
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 9 8 6
答案 B
5.(2022届校际联考,7)围棋起源于中国,春秋战国时期已有记载,隋唐时经朝鲜传入日本,后流传到欧美各国.
围棋蕴含着中华文化的丰富内涵,它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子
进行对弈,棋盘上有纵、横各19条线段形成361个交叉点,棋子走在交叉点上,双方交替行棋,落子后不能移
动,以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为P=3361,据资料显示,宇宙中可观测物质原子总数约为
P
Q=1080,则下列数中最接近数值 的是(参考数据:lg 3≈0.477)( )
Q
A.1089 B.1090 C.1091 D.1092
答案 D
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6.(2022届重庆育才中学适应性考试,5)为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前2世纪
首先提出了“星等”这个概念.星等的数值越小,星星就越亮,星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由
于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮
度来描述.两颗星的星等与亮度满足m-m=2.5(lg E-lg E),其中星等为m 的星的亮度为E(k=1,2).已知“心
1 2 2 1 k k
宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍(当|x|
较小时,10x≈1+2.3x+2.7x2)( )
A.1.27 B.1.26 C.1.23 D.1.22
答案 B
7.(2022届山东潍坊四检测,17)计算(log2+log2)·(log3+log3).
3 9 4 8
解析 原式=(
log 2+
1
log 2
)·(1
log 3+
1
log 3
)=3log
3
2·5log
2
3=5.
3 2 3 2 2 3 2 2 6 4
考点二 对数函数的图象与性质
1.(2022届T8联考,4)已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,g(x)为奇函数,且当x>0
时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)=( )
A.-5 B.-6 C.5 D.6
答案 C
lg3+lg5
2.(2022届湖北京山、安陆等百校联考,7)已知a=4log 2,b=log4,c= ,则( )
24 5
2lg5
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b
答案 A
3.(2022届山东烟台期中,3)设a=log2,b=log3,c=log 4,则( )
5 9 15
A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c
答案 D
4.(多选)(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,9)给出8个函数:①y=2x,②y=(1) x ,③y=log
2
x,④y=log
0.5
x,
2
⑤y=x2,⑥y= 1 ,⑦y=sin x,⑧y=tan x.下列说法正确的是( )
x2
A.定义域是R的函数共有6个
B.偶函数只有1个
C.图象都不经过第三象限的函数共有6个
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D.满足f(x+2π)=f(x)的函数只有2个
答案 BCD
5.(2019天津理,6,5分)已知a=log2,b=log 0.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )
5 0.5
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
1
g
6.(2018天津理,5,5分)已知a=log 2 e,b=ln 2,c=lo 1 3 ,则a,b,c的大小关系为( )
2
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
2
7.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log2,b=log3,c= ,则( )
3 5
3
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
8.(2018课标Ⅲ理,12,5分)设a=log 0.3,b=log0.3,则( )
0.2 2
A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b
答案 B
9.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+loga=4b+2logb,则( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
答案 B
1
10.(2021新高考Ⅱ,7,5分)若a=log2,b=log3,c= ,则( )
5 8
2
A.c<b<a B.b<c<a
C.a<c<b D.a<b<c
答案 C
11.(2022届广东南山蛇口育才中学月考,7)如图,直线x=m(m>1)依次与曲线y=logx、y=logx及x轴相交于
a b
点A、点B及点C,若B是线段AC的中点,则( )
A.1<b≤2a-1 B.b>2a-1
C.1<b≤2a D.b>2a
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答案 B
12.(多选)(2021江苏常州一模,12)已知正数x,y,z满足3x=4y=12z,则( )
1 2 1
A.6z<3x<4y B. + =
x y z
C.x+y>4z D.xy<4z2
答案 AC
13.(2021安徽一模,7)已知f(x)=e|ln x|,记a=f(1),b=f(2),c=f(2),则( )
3
A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
答案 C
14.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,15)写出一个同时具有下列四个性质的函数f(x)= .
①定义域为(0,+∞);②单调递增;③f(xx)+f(1)=f(x)+f(x);④f(1)>0.
1 2 1 2
答案 lg(2x)(答案不唯一,只要满足f(x)=klog(mx)(k>0,a>1,m>1)即可)
a
{
2x+1,x≤0,
15.(2021辽宁一模,13)已知函数f(x)= log x,x>0,则不等式f(x)>1的解集为 .
1
2
答案 ( 1)
-1,
2
综合篇 知能转换
考法一 比较指数式、对数式大小的方法
1.(2022届广东深圳七中月考,4)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(-1)=0,若a=f(-
2
log8),b=f(-log4),c=f( ),则a,b,c的大小关系是( )
3 2 23
A.c<a<b B.a<b<c
C.a<c<b D.c<b<a
答案 A
2.(2022届福建永安三中10月月考,2)若a=2.1-3,b= 1 ,c=log0.5,则( )
32 2
A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
答案 B
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3.(多选)(2022届山东日照校际联考,9)若0<a<b<c,则下列结论正确的是( )
A.ln a<ln b B.b2<a2
C. 1 < 1 D.(1) a <(1) b
c-a c-b 2 2
答案 AC
4.(2021湖北九师联盟质检,5)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则( )
A. f(20.6)<f(-log13)<f(-3)
3
B. f(-3)<f(20.6)<f(-log13)
3
C. f(-3)<f(-log13)<f(20.6)
3
D. f(20.6)<f(-3)<f(-log13)
3
答案 A
5.(2020全国统考)若a=(2) 2 ,b=log
2
3,c=log
4
6,则a,b,c的大小关系是( )
3
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<b<a D.b<c<a
答案 B
6.(2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a=log3,b=log5,c=log 8,则( )
5 8 13
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
7.(2017天津理,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log5.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的
2
大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
答案 C
8.(2022届重庆八中摸底,5)设a=60.6,b=0.66,c=log0.6,则a,b,c的大小关系是( )
6
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
答案 A
1 1
9.(2020福建泉州3月测试,14)已知a= ,b=(e2 ,c=loge,e为自然对数的底数,则a,b,c的大小关系为
π3 )6 π
.
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答案 a>b>c
考法二 对数型复合函数的单调性问题
1.(2022届广东深圳六校联考二,7)已知函数f(x)=log (x+ ),若a=0.6-0.5,b=log 0.6,c=log 5,则( )
0.5 √x2+1 0.5 0.6
A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a)
C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(a)<f(c)
答案 A
2.(2022届辽宁渤海大学附中月考,6)函数y=lg(8-x)+lg(x-a)在区间(2,4)上是增函数,则实数a的取值范围是(
)
A.[0,1] B.[-1,2] C.[0,2] D.[-1,1]
答案 C
3.(2017课标Ⅱ文,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
答案 D
g
4.(2022届华南师大琼中附中月考,7)函数f(x)=lo 1(x2-4x)的单调递增区间为( )
3
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,0) D.(4,+∞)
答案 C
5.(2017课标Ⅰ文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )
A. f(x)在(0,2)单调递增
B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
6.(多选)(2022届重庆八中摸底,11)设函数f(x)=x·ln x,则关于x的方程|f(x)|=m的实数根的个数可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 BCD
7.(2020广东揭阳摸底,6)已知函数f(x)=lo
g
(
x+
1),则下列判断:①f(x)的定义域为(0,+∞);②f(x)的值域为
1 x
2
[-1,+∞);③f(x)是奇函数;④f(x)在(0,1)上单调递增.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
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答案 C
8.(2021上海杨浦一模,9)方程1+logx=log(x2-3)的解为 .
2 2
答案 x=3
9.(2021上海崇明二模,7)设f(x)=lg x,若f(1-a)-f(a)>0,则实数a的取值范围是 .
答案 ( 1)
0,
2
10.(2022届辽宁葫芦岛协作校10月第一次考试,19)已知函数f(x)=log(x+a)的定义域为[1,9],且f(x)的图象经
2
过点(3,2).
(1)求函数g(x)=(1) x-2 -f(x)的最大值;
4
(2)求函数h(x)=f(x2)-f(x-1)的值域.
解析 (1)因为f(x)的图象经过点(3,2),所以f(3)=log(3+a)=2,则3+a=22,即a=1.
2
从而f(x)=log
2
(x+1).y=(1) x-2 在[1,9]上为减函数,y=-f(x)在[1,9]上为减函数,所以g(x)在[1,9]上是减函数,故
4
g(x) =g(1)=4-1=3.
max
(2)由{ 1≤x2≤9, 得2≤x≤3,则h(x)的定义域为[2,3].
1≤x-1≤9,
h(x)=f(x2)-f(x-1)=log 2 (x2+1)-log 2 x=log 2 x2+1=log 2( x+ 1),
x x
易证h(x)=log 2( x+ 1)在[2,3]上为增函数,且h(2)=log 2 5,h(3)=log 2 10,
x 2 3
所以h(x)的值域为[ 5 10].
log ,log
22 2 3
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