北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
基础篇 固本夯基
考点 数列的概念及表示
1.(2022届长沙雅礼中学月考,8)在无穷等差数列{a}中,记T=a-a+a-a+a-…+(-1)n+1a(n=1,2,…),则“存在
n n 1 2 3 4 5 n
m∈N*,使得T <T ”是“{a}为递增数列”的( )
m m+2 n
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2020河北邯郸线上检测,6)公元前4世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形
(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.下图为五角形数的前4个,则第10个五角形数为
( )
A.120 B.145 C.270 D.285
答案 B
4 1 1 1
3.(2020浙江丽水四校联考,7)数列{a}满足a= ,a
=a2
-a+1(n∈N*),则m= + +…+ 的整数部分
n 1 3 n+1 n n a a a
1 2 2 014
是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
4.(2022届湖北新高考协作体联考,15)已知数列{a}的首项a=2,其前n项和为S,若S =2S+1,则a=
n 1 n n+1 n 7
.
答案 96
5.(2021福建南平模拟,15)已知数列{a}的前n项和为S,a=1,S=n2a(n∈N*),则数列{a}的通项公式为
n n 1 n n n
.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2
答案 a=
n n(n+1)
6.(2022届河北唐山玉田一中开学考试)若数列{a}对任意正整数n,有a =aq(其中m∈N*,q为常数,q≠0且
n n+m n
q≠1),则称数列{a}是以m为周期,以q为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”{a}
n n
的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列{a}的前21项的和为 .
n
答案 1 090
7.(2022届广东开学质量检测)将图(1)的正三角形的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三
角形,然后去掉底边,得到图(2);将图(2)的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后
去掉底边,得到图(3);依此类推,将图(n)的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后
去掉底边,得到图(n+1).上述作图过程不断地进行下去,得到的曲线就是美丽的雪花曲线.若图(1)中正三角形
的边长为1,则图(n)的周长为 ,图(n)的面积为 .
答案 3×(4) n-1 ;2√3-3√3×(4) n-1
3 5 20 9
8.(2022届湖南天壹名校联盟摸底考试)已知数列{a}满足aa =22n,a=1.
n n n+1 1
(1)求a ;
2n
(2)求满足a+a+…+a <2 022的最大的正整数n的值.
1 2 2n
解析 (1)因为a n a n+1 =22n,a 1 =1,所以a 1 a 2 =22,a 2 =4,又a n+1 a n+2 =22n+2,所以
a
n+1
a
n+2=
a n+2=22n+2
=4,
a a a 22n
n n+1 n
所以{a}的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列,偶数项是以4为首项,4为公比的等比数列,所以a=
n n
{2n-1,n为奇数,所以a
=22n.
2n
2n,n为偶数,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1-4n 4(1-4n ) 5(4n-1) 5(4x-1)
(2)令S =a+a+…+a ,所以S = + = ,易知f(x)= 在定义域上单调递增,
2n 1 2 2n 2n 1-4 1-4 3 3
且f(4)=425, f(5)=1 705, f(6)=6 825,因为a+a+…+a <2 022,所以n<6,又因为n为正整数,所以n的最大值
1 2 2n
为5.
综合篇 知能转换
考法一 利用S 与a 的关系求通项公式
n n
1.(2022届全国联考,7)已知数列{a}的前n项和为S,则“S=3n+1”是“数列{a}是常数列”的( )
n n n n
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
2.(2021新高考联盟模拟,6)设数列{a}的前n项和为S,若a=1,S =2S+1,则S=( )
n n 1 n+1 n 7
A.63 B.127 C.128 D.256
答案 B
3.(2021上海金山一模,6)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+3)=f(x), f(1)=-3,数列{a}满足
n
S=2a+n(其中S 为{a}的前n项和),则f(a)+f(a)=( )
n n n n 5 6
A.-3 B.-2 C.3 D.2
答案 C
4.(2022届新高考联盟月考,18)已知数列{a}的前n项和为S,且a=1,S -1=2S+n.
n n 1 n+1 n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
{ 2n }
(2)求数列 的前n项和T.
n
a a
n n+1
解析 (1)因为S -1=2S+n,所以S +(n+3)=2[S+(n+2)],所以数列{S+(n+2)}是以4为首项,2为公比的等比
n+1 n n+1 n n
数列,
所以S+(n+2)=2n+1,所以S=2n+1-n-2,
n n
当n≥2时,a=S-S =2n+1-n-2-(2n-n-1)=2n-1,
n n n-1
当n=1时也成立,所以a=2n-1(n∈N*).
n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2) 2n = 2n = 1 - 1 ,
a a (2n-1)(2n+1-1) 2n-1 2n+1-1
n n+1
所以数列 { 2n } 的前n项和T n =( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+…+( 1 - 1 )=1-
a a 2-1 22-1 22-1 23-1 2n-1 2n+1-1
n n+1
1
.
2n+1-1
5.(2022届新高考联盟月考,17)已知数列{a}的前n项和为S,满足S+a=1.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
a
(2)记b n = n ,求数列{b n }的前n项和T n .
(a +1)(a +1)
n n+1
1
解析 (1)由S+a=1及S=a 得a= ,
1 1 1 1 1
2
由S
n
+a
n
=1,S
n+1
+a
n+1
=1作差得2a
n+1
-a
n
=0,所以 a n+1=1,所以{a
n
}是以1为首项,1为公比的等比数列,则有a
n
=
a 2 2 2
n
1
.
2n
(2)由题意得b n = a n = 2n+1 =2( 1 - 1 ),
(a +1)(a +1) (2n+1)(2n+1+1) 2n+1 2n+1+1
n n+1
所以T n = ∑ n b k = ∑ n 2( 1 - 1 )=2- 2 .
2k+1 2k+1+1 3 2n+1+1
k=1 k=1
6.(2022届重庆八中入学测试)已知数列{a}的前n项和为S,满足S=2a-1.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
2n-1
(2)记b= ,求数列{b}的前n项和T.
n a n n
n
解析 (1)当n=1时,S=2a-1,解得a=1.
1 1 1
当n≥2时,S =2a -1,则S-S =a=2a-2a ,即a=2a .所以{a}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以
n-1 n-1 n n-1 n n n-1 n n-1 n
a=2n-1(n∈N*).
n
2n-1 2n-1 3 5 2n-1
(2)b= = ,∴T=1+ + +…+ ,
n a 2n-1 n 21 22 2n-1
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1 1 3 5 2n-3 2n-1
∴ T= + + +…+ + ,
2 n 21 22 23 2n-1 2n
1 2 2 2 2 2n-1 2n+3 2n+3
两式相减得 T=1+ + + +…+ - =3- ,∴T=6- (n∈N*).
2 n 21 22 23 2n-1 2n 2n n 2n-1
7.(2022届全国学业质量联合检测)已知数列{a},{b},S 是数列{a}的前n项和,T=ab+ab+…+ab,从
n n n n n 1 1 2 2 n n
①b
n
=3n;②S
n
=n2+n;③T
n
=3+(
n-
1)·3n+1中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
2 2
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
证明 若选①②作为条件,由S=n2+n可得,当n=1时,a=S=2;当n≥2时,a=S-S =n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1
n 1 1 n n n-1
时符合上式,所以a=2n(n∈N*).所以T=2×31+4×32+…+2n·3n,3T=2×32+4×33+…+(2n-2)·3n+2n·3n+1,两式相减
n n n
得-2T
n
=2·(31+32+…+3n)-2n·3n+1=2×3·(1-3n )-2n·3n+1,所以T
n
=3+(
n-
1)·3n+1(n∈N*),③成立.
1-3 2 2
若选①③作为条件,当n≥2时,由T
n
=a
1
·31+a
2
·32+…+a
n
·3n=3+(
n-
1)·3n+1,得T
n-1
=a
1
·31+a
2
·32+…+a
n-1
·3n-1=3+
2 2 2
( n- 3)·3n,两式相减得a n ·3n=2n·3n,所以a n =2n(n≥2,n∈N*).当n=1时,a 1 ·3=3+( 1- 1)·32,解得a 1 =2,符合上
2 2 2
n(2+2n)
式,所以a=2n(n∈N*).所以数列{a}是首项为2,公差为2的等差数列,所以S= =n2+n(n∈N*),②成
n n n
2
立.
若选②③作为条件,由S=n2+n可得,当n=1时,a=S=2;当n≥2时,a=S-S =n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.当n=1时符
n 1 1 n n n-1
合上式,所以a
n
=2n(n∈N*).当n≥2时,由T
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=3+(
n-
1)·3n+1,得T
n-1
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n-1
b
n-1
=3
2 2 2
+(
n-
3)·3n,两式相减得a
n
b
n
=2n·3n,把a
n
=2n代入,解得b
n
=3n(n≥2,n∈N*),当n=1时,2·b
1
=3+(
1-
1)×32=6,
2 2 2
解得b=3,符合上式,所以b=3n(n∈N*),①成立.
1 n
8.(2022届广东调研)已知数列{a}的前n项和为S,满足2S=3n-1.
n n n北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若c=a+loga,求c+c+…+c 的值.
n n 3 n 1 2 n
3-1
解析 (1)当n=1时,a=S= =1,
1 1
2
当n≥2时,2S =3n-1-1,
n-1
所以2a=2S-2S =3n-3n-1=2·3n-1,
n n n-1
所以a=3n-1(n∈N*,n≥2),又a=1符合上式,所以a=3n-1(n∈N*).
n 1 n
1×(1-3n ) (n-1)n 3n+n2-n-1
(2)由(1)可得c=3n-1+n-1,所以c+c+…+c= + = .
n 1 2 n 1-3 2 2
考法二 利用递推关系求数列的通项
1.(2022届新高考联盟月考,6)已知数列{a}中,a=4,a =a +a,则a +a +a +…+a =( )
n 2 m+n m n 11 12 13 19
A.95 B.145 C.270 D.520
答案 C
2.(2022届长沙长郡中学月考)在数列{a}中,对任意n∈N*,a=k,当且仅当2k≤n<2k+1,k∈N时,若满足
n n
a +a +a +a +a ≥52,则m的最小值为 .
m 2m 4m 8m 16m
答案 512
3.(2022届江苏泰州中学检测)在数列{a
n
}中,a
1
=3, 3a 1+ 3a 2+…+ 3a n=1+1+1+…+1+n(n∈N*),则a
n
=
a a a 2 3 n 2
2 3 n+1
,若λa≥4n对所有n∈N*恒成立,则λ的取值范围是 .
n
答案 6n ;[320 )
,+∞
n(n+1) 81
4.(2022届重庆西南大学附属中学开学考,16)设数列{a}满足a=2,a=6,a=12,数列{a}的前n项和为S,且
n 1 2 3 n n
S
n+2
-S
n-1
+1
=3(n∈N*且n≥2).若[x]表示不超过x的最大整数,b
n
=
[(n+1) 2]
,数列{b
n
}的前n项和为T
n
,
S -S +1 a
n+1 n n
则T 的值为 .
2 022
答案 2 023
5.(2020课标Ⅰ文,16,5分)数列{a}满足a +(-1)na=3n-1,前16项和为540,则a= .
n n+2 n 1
答案
