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7.2 等差数列
基础篇
考点 一 等差数列及其前 ｎ 项和 Ｎ∗ 则ａ ａ ａ ａ .特别地 若 ｐ ｑ ｍ
)ꎬ ｋ＋ ｌ＝ ｍ＋ ｎ ꎬ ＋ ＝２ ꎬ
1. 则 ａ ａ ａ ｍ ｐ ｑ Ｎ∗ 反之不一定
等差数列相关概念 ｐ＋ ｑ ＝ ２ ｍ( ꎬ ꎬ ∈ )ꎬ
成立.
定义 一般地 如果一个数列从第二项起
１) :① ꎬ ꎬ
若 ａ 是等差数列 公差为 ｄ 则 ａ 也是
每一项与它的前一项的差都等于同一个常 ３) { ｎ} ꎬ ꎬ { ２ ｎ}
等差数列 公差为 ｄ.
数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常 ꎬ ２
ꎬ ꎬ
若 ａ ｂ 是等差数列 则 ｐａ ｑｂ ｐ ｑ
数叫做等差数列的公差 通常用字母 ｄ 表示. ４) { ｎ}ꎬ{ ｎ} ꎬ { ｎ＋ ｎ}( ꎬ
ꎬ
是常数 仍是等差数列.
ａ ａ ｄ 同一个常数 ｎ Ｎ∗ 或 ａ )
② ｎ ＋１ － ｎ ＝ ( ꎬ ∈ ) ｎ－
若 ａ 是等差数列 公差为 ｄ 则 ａ ａ
ａ ｎ －１ ＝ ｄ ( 同一个常数 ꎬ ｎ ∈ Ｎ∗ ꎬ ｎ ≥２) . ５) { ｎ} ꎬ ꎬ ｋꎬ ｋ ＋ ｍꎬ
ａ ｋ ｍ Ｎ∗ 组成公差为 ｍｄ 的等差
等差中项 如果ａ Ａ ｂ 成等差数列 那么Ａ 叫 ｋ ＋２ ｍꎬ( ꎬ ∈ )
２) : ꎬ ꎬ ꎬ
数列.
做 ａ 与 ｂ 的等差中项且 Ａ ａ ｂ.
２ ＝ ＋ 2.
与等差数列各项的和有关的性质
通项公式 ａ ａ ｎ ｄ ｎ Ｎ∗ .
2
３)
.
: ｎ＝ １ ＋( －１) ( ∈ ) {Ｓ }
等差数列的前 ｎ 项和 若 ａ 是等差数列 则 ｎ 也是等差数列
１) { ｎ} ꎬ ｎ ꎬ
ｎ ａ ａ ｎ ｎ
公式 Ｓ ( １ ＋ ｎ) ｎａ ( －１)ｄ. 其首项与 ａ 的首项相同 公差是 ａ 的公
１) : ｎ＝ ＝ １ ＋ { ｎ} ꎬ { ｎ}
２ ２
ｄ æ ｄö 差的１.
与函数的关系 Ｓ ｎ２ çａ ÷ｎ.非零数列
２) : ｎ＝ ＋è １ － ø ２
２ ２
若 Ｓ Ｓ Ｓ 分别为等差数列 ａ 的前 ｍ
{ ａ ｎ} 是等差数列的充要条件是其前 ｎ 项和 ２) ｍꎬ ２ ｍꎬ ３ ｍ { ｎ}
项 前 ｍ 项 前 ｍ 项的和 则 Ｓ Ｓ Ｓ
Ｓ ｎ＝ ｆ ( ｎ ) 是关于 ｎ 的二次函数或一次函数且 ꎬ ２ ꎬ ３ ꎬ ｍꎬ ２ ｍ－ ｍꎬ
Ｓ Ｓ 成等差数列.
不含常数项
ꎬ
即 Ｓ
ｎ＝
Ａｎ２
＋
Ｂｎ
(
Ａ
ꎬ
Ｂ 是常数
)
.
３
ｍ－
２
ｍ
非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
最值 若ａ ｄ 则Ｓ 存在最大值 若ａ ３) :
３) : １>０ꎬ <０ꎬ ｎ ꎻ １<
Ｓ ａ
ｄ 则 Ｓ 存在最小值. 若项数为 ｎ 则 Ｓ Ｓ ｎｄ 奇 ｎ .
０ꎬ >０ꎬ ｎ ① ２ ꎬ 偶－ 奇＝ ꎬＳ ＝ａ
偶 ｎ
＋１
考点 二 等差数列的性质 若项数为 ｎ 则 Ｓ ｎ ａ Ｓ ｎａ
② ２ －１ꎬ 偶＝( －１) ｎꎬ 奇 ＝ ｎꎬ
1. 等差数列的常用性质 Ｓ 奇 ｎ
Ｓ Ｓ ａ .
奇－ 偶＝ ｎꎬＳ ＝ｎ
通项公式的推广 ａ ａ ｎ ｍ ｄ ｎ ｍ 偶 －１
１) : ｎ ＝ ｍ＋( － ) ( ꎬ 若两个等差数列 ａ ｂ 的前 ｎ 项和分别
Ｎ∗ . ４) { ｎ}、{ ｎ}
∈ ) ａ Ｓ
ｎ ｎ
若 ａ 是等差数列 且 ｋ ｌ ｍ ｎ ｋ ｌ ｍ ｎ 为 Ｓ Ｔ 则 ２ －１.
２) { ｎ} ꎬ ＋ ＝ ＋ ( ꎬ ꎬ ꎬ ∈ ｎ、 ｎꎬ ｂ ＝Ｔ
ｎ ｎ
２ －１
专
题
七
数
列
２７９
综合篇
考法 一 等差数列的判定 考法 二 等差数列前 ｎ 项和最值问题
判定等差数列的方法 求等差数列 ａ 的前 ｎ 项和 Ｓ 的最值的
: { ｎ} ｎ
方法
方法 解读 适合题型
:
对于任意自然数 ｎ(ｎ )ꎬａ
≥２ ｎ－
定义法 ａ 为同一常数 {ａ }是等差
ｎ －１ ⇔ ｎ 解 答 题
数列
中 的 证
等差中 ａ ａ ａ (ｎ ꎬ且 ｎ Ｎ∗ ) 明问题
２ ｎ －１＝ ｎ＋ ｎ －２ ≥３ ∈
项法 成立 {ａ }是等差数列
⇔ ｎ
ａ ｐｎ ｑ(ｐꎬｑ 为常数)对任意的
通项公 ｎ＝ ＋
正整数 ｎ 都成立 {ａ }是等差
式法 ⇔ ｎ 选择题、
数列 填 空 题 例2 已知等差数列{ａ }的公差不等于 ꎬ其
ｎ ０
中 的 判
前ｎ项和
Ｓ
的 ｎ 正 ＝
Ａ
整
ｎ２
数 ＋
Ｂｎ
ｎ
(
都
Ａꎬ
成
Ｂ是
立
常数
{ａ
)对
}是
任
等
意
定问题 前 ｎ 项和为 Ｓ ｎ .若 ａ ５ ꎬＳ ３ ꎬＳ ９∈ { ０ ꎬ １８ }ꎬ则 Ｓ ｎ 的
公式法 ⇔ ｎ 最大值为 ( )
差数列
Ａ.１８ Ｂ.２０ Ｃ.２２ Ｄ.２４
例1 ( 河北衡水中学二模ꎬ )在数列
解析 设等差数列{ａ }的公差为 ｄꎬｄ .
２０２２ １８ ｎ ≠０
{ａ }中ꎬＳ ａ ꎬａ .
ａ ａ
ｎ ｎ ＋１ ＝４ ｎ＋２ １ ＝１ Ｓ ａ ａ ａ ａ ꎬＳ １ ＋ ９ ａ ꎬ因为
ａ ３ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝３ ２ ９ ＝ ９ ＝ ９ ５
( )设 ｃ ｎ ꎬ求证:数列{ｃ }是等差数列ꎻ ２
１ ｎ＝ ｎ ｎ ａ ꎬＳ ꎬＳ { ꎬ }ꎬ即 ａ ꎬ ａ ꎬ ａ { ꎬ }ꎬ显
２ ５ ３ ９∈ ０ １８ ５ ３ ２ ９ ５∈ ０ １８
( )求数列{ａ }的通项公式. 然 ａ ꎬ否则 ａ ꎬ矛盾ꎬ于是得 ａ ａ
２ ｎ ９ ５≠１８ ５ ＝２ ５ ＝９ ５ ＝
解析 ( )证明:由 Ｓ ａ ꎬ得当 ｎ ꎬ又 ａ ꎬ否则 ａ ꎬ公差 ｄ ꎬ矛盾ꎬ因
１ ｎ ＋１ ＝４ ｎ＋２ ≥２ ０ ３ ２≠０ ２ ＝０ ＝０
时ꎬ有 Ｓ ａ ꎬ两式相减得 ａ ａ 此ꎬ ａ ꎬ解得 ａ ꎬ而 ａ ꎬ则公差 ｄ
ｎ ＝ ４ ｎ －１ ＋２ ｎ ＋１ ＝ ４ ｎ － ３ ２ ＝１８ ２ ＝６ ５ ＝０ ＝
ａ ａ ａ
４
ａ
ｎ －１
ꎬ而 ｃ
ｎ ＝ ｎ
ｎ ꎬ即 ａ
ｎ ＝２
ｎｃ
ｎ
ꎬ则有
２
ｎ ＋１ｃ
ｎ ＋１ ＝４×
５
５
－
－
２
２
＝－２
ꎬａ
ｎ＝
ａ
２ ＋
(ｎ
－２
)ｄ
＝－２
ｎ
＋１０
ꎬ由 ａ
ｎ≥０
２
２ ｎｃ ｎ－４×２ ｎ －１ｃ ｎ －１ ꎬ整理得 ｃ ｎ ＋１ ＝２ ｃ ｎ－ ｃ ｎ －１ ꎬ即 ｃ ｎ ＋１ ＋
得ꎬｎ
≤５
.等差数列{ａ
ｎ
}是递减数列ꎬ其前
５
项
都是非负的ꎬ从第 项起为负ꎬ当 ｎ 或 ｎ
ｃ ｎ －１ ＝２ ｃ ｎ ꎬ所以数列{ｃ ｎ }是等差数列. ６ ＝４ ＝５
时ꎬ(Ｓ ) Ｓ Ｓ ꎬ所以 Ｓ 的
(
２
)由 Ｓ
ｎ ＋１ ＝４
ａ
ｎ＋２
得 ａ
１ ＋
ａ
２ ＝４
ａ
１ ＋２
ꎬ因为 ａ
１ ＝ 最大值
ｎ
为 ｍａｘ
＝
.故 ５
＝
选 ４
＝
.
８＋６＋４＋２＝２０ ｎ
ａ ａ ２０ Ｂ
ꎬ所以 ａ ꎬｃ １ １ꎬｃ ２ ５ꎬ因此ꎬ等差 答案
１ ２ ＝５ １ ＝ ＝ ２ ＝ ２ ＝ Ｂ
5 ２ ２ ２ ４
年
高 数列{ｃ }的公差为５ １ ３ꎬ则 ｃ １ ３(ｎ
考 ｎ － ＝ ｎ ＝ ＋ －
3 ４ ２ ４ ２ ４
年
ａ ｎ
模
拟 １
)
＝
３ｎ
－
１ꎬ即
ｎ
ｎ
＝
３ －１ꎬ则 ａ
ｎ＝
(
３
ｎ
－１
)
２
ｎ －２ꎬ
A ４ ４ ２ ４
版 所以数列{ａ } 的通项公式为 ａ ( ｎ )
ｎ ｎ ＝ ３ －１
高
考
ｎ －２.
２
数
学
２８０
