北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.3 二次函数与幂函数
专题检测
1.(2020四川宜宾第四中学第二次月考,6)已知函数f(x)=x-3,若a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则a,b,c的大小关
系是( )
A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 B f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,0.40.6<0.60.6<0.60.4,所以b<a<c,故选B.
2.(多选题)(2020 5·3原创题)若函数y=x2-4x-4在区间[0,a)上既有最大值又有最小值,则正整数a的值可能是
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 BC 令y=f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,
作出函数y=f(x)的部分图象,
如图, f(0)=f(4)=-4, f(x) =f(2)=-8.
min
因为函数在区间[0,a)上既有最大值又有最小值,
所以区间[0,a)必须包含2,且f(a)≤-4,所以2<a≤4.结合选项可知选BC.
命题说明 函数在开区间内有最值,必然是有极值点,并且开区间端点处的函数值不是值域的边界.开口向上
的抛物线在开区间上有最小值,就是定义域包含了顶点的横坐标;有最大值,则定义域的开区间端点处的函数
值必不超过闭区间端点处的函数值.此题背景熟悉,难度不大,但对答题者的逻辑思维能力有较高要求.
3.(2017江西九江七校联考,4)幂函数f(x)=(m2-4m+4)· 在(0,+∞)上为增函数,则m的值为 ( )
xm2-6m+8
A.1或3 B.1
C.3 D.2
答案 B 由题意可知
{m2-4m+4=1,
解得m=1,故选B.
m2-6m+8>0,
4.(2018河北保定第一次模拟,8)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=
g(x)
+1,则h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)= (
f (x)+1
)
A.0 B.1 C.4 036 D.4 037
答案 D 因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数,
g(x)
所以f(x)=x2,所以h(x)= +1,
x2+1
因为g(x)是R上的奇函数,
g(x) g(-x) g(0)
因此h(x)+h(-x)= +1+ +1=2,h(0)= +1=1,
x2+1 x2+1 0+1
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因此h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)=2 018×2+1=4 037,
选D.
5.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知f(x)={-x2-2x+1,x<0,则y=f(x)-x的零点有
f (x-1),x≥0,
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
由条件知f(x)={-x2-2x+1,x<0,
其中n=0,1,2,…
-(x-n)2+2,n≤x<n+1,
作出函数y=f(x)和y=x的图象,知它们共有3个不同的交点,故y=f(x)-x的零点有3个.
6.(2016内蒙古集宁二模,6)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]
答案 A 令f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,∴f(x) =4,
最小值
若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,
只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.故选A.
易错警示 注意不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意的x∈D恒成立与不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意的a∈D恒成立
的区别.
7.(2017北京海淀期中)已知函数y=ax,y=xb,y=logx的图象如图所示,则 ( )
c
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
答案 C 由题图知,函数y=ax是指数函数,且x=1时,y=a∈(1,2);
函数y=xb是幂函数,且x=2时,y=2b∈(1,2),∴b∈(0,1);
函数y=logx是对数函数,且x=2时,y=log2∈(0,1),∴c>2.
c c
综上,a、b、c的大小关系是c>a>b.故选C.
8.(2020海南天一大联考一模,5)不等式(x2+1 1>(3x+t 1的解集为 ( )
)2 )2
A.[ 5 )∪(4,+∞) B.(-1,4)
- ,-1
3
C.(4,+∞) D.(-∞,-1)∪(4,+∞)
答案 A 不等式(x2+1 1>(3x+5 1等价于x2+1>3x+5≥0,
)2 )2
解得-5≤x<-1或x>4,所以原不等式的解集为[ 5 )∪(4,+∞).故选A.
- ,-1
3 3
9.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x,x 和
1 2
x,x,若x<x<x<x,则a的取值范围是 .
3 4 1 3 2 4
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答案 -1<a<1
2 2
解析 由x2-ax-2=0得a=x- (x≠0),由x2-x-1-a=0得a=x2-x-1.在同一个坐标系中画出y=x- 和y=x2-x-1的图象
x x
2
(如图).由x- =x2-x-1化简得x3-2x2-x+2=0,即(x+1)(x-1)(x-2)=0,解得x=-1或x=1或x=2.当x=2或x=-1时,y=1;当
x
2
x=1时,y=-1,所以函数y=x- 与y=x2-x-1的图象有3个交点:(-1,1),(1,-1),(2,1).
x
2
作直线y=a与y=x- 的图象相交,且交点横坐标从左到右依次为x,x,直线y=a与y=x2-x-1的图象相交,且
1 2
x
交点横坐标从左到右依次为x,x,若满足x<x<x<x,则由图象知,-1<a<1.
3 4 1 3 2 4
10.(2018苏州期中)已知幂函数y= (m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是 .
x2m-m2
答案 1
解析 因为幂函数y= (m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,所以2m-m2>0,解得0<m<2,又m∈N*,所以m=1.
x2m-m2
11.(2019河北邯郸模拟,16)若正实数a,b满足a+b=1,则函数f(x)=ax2+( 1)x-a的零点的最大值为
3+
b
.
-9+√85
答案
2
解析 设f(x)=ax2+(
3+
1)x-a的零点为x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,
b
(3 1 ) √ (3 1 ) 2
则x=
- + + + +4,
2 a ab a ab
2
令t=3+ 1 =3b+1,0<b<1,求导得t'=3b2+2b-1,
a ab b-b2 (b-b2)2
1 1
∴0<b< 时,t'<0,函数递减,b> 时,t'>0,函数递增,
3 3
1
∴b= 时,t取得最小值9,∴t≥9,
3
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∴x=-t+√t2+4= (-t+√t2+4)(√t2+4+t)
=
2
在t∈[9,+∞)上递减,
2
2 2(√t2+4+t) √t2+4+t
2 1 -9+√85
∴t=9,即a= ,b= 时,x 取得最大值 .
2
3 3 2
思路分析 问题转化为求x= - (3 + 1 ) + √ (3 + 1 ) 2 +4的最大值,令t=3+ 1 = 3b+1 (0<b<1),利用
2 a ab a ab
a ab b-b2
2
导数法求得t∈[9,+∞),再利用分子有理化得x=-t+√t2+4的单调性,从而可求得最大值.
2
2
12.(2016皖北联考,18)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(2)若对任意的x,x∈[1,a+1],总有|f(x)-f(x)|≤4,求实数a的取值范围.
1 2 1 2
解析 (1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),
∴f(x)在[1,a]上是减函数,
又f(x)的定义域和值域均为[1,a],
∴{f (1)=a, 即{1-2a+5=a, 解得a=2.
f (a)=1, a2-2a2+5=1,
(2)∵对任意的x,x∈[1,a+1],总有|f(x)-f(x)|≤4,
1 2 1 2
∴f(x) -f(x) ≤4.
max min
①若a≥2,∵a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,
∴当x∈[1,a+1]时, f(x) =f(1)=6-2a, f(x) =f(a)=5-a2.
max min
∴(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
②若1<a<2,则f(x) =f(a+1)=6-a2, f(x) =f(a)=5-a2,
max min
f(x) -f(x) ≤4显然成立.
max min
综上,1<a≤3.
由题悟法 在研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时,最好是作出二次函数的大致图象.特别是遇到
对称轴固定而区间变化或对称轴变化而区间固定这两种情形时,要利用函数图象,找出讨论的分类标准.
{
x-x2,x∈[0,1],
13.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)=
√5
- f (x-1),x∈[1,3].
5
(1)求f(5)及x∈[2,3]时函数f(x)的解析式;
2
k
(2)若f(x)≤ 对任意的x∈(0,3]恒成立,求实数k的最小值.
x
解析 (1)f(5)=-√5f(3)=1f(1)=1×1= 1 .
2 5 2 5 2 5 4 20
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1 1
当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],所以f(x)= [(x-2)-(x-2)2]= (x-2)(3-x).
5 5
k
(2)要使f(x)≤ ,x∈(0,3]恒成立,只需k≥[xf(x)] ,x∈(0,3]即可.
max
x
当x∈(0,1]时,f(x)=x-x2,
则对任意的x∈(0,1],xf(x)=x2-x3.
令h(x)=x2-x3,则h(x)
max
=h(2)= 4 ;
3 27
√5 √5
当x∈(1,2]时,xf(x)=- x[(x-1)-(x-1)2]= x(x-1)·(x-2)≤0;
5 5
1
当x∈(2,3]时,xf(x)= x[(x-2)-(x-2)2],令x-2=t,则t∈(0,1],
5
1
记g(t)= (t+2)(t-t2),t∈(0,1].
5
1
则g'(t)=- (3t2+2t-2),令g'(t)=0,
5
-1+√7
得t= (负值舍去),
0
3
-1+√7 14√7-20
故存在t= 使得函数g(t)在t=t 处取得最大值,为 .
0 0
3 135
4 14√7-20 4 k
又 > ,所以当k≥ 时, f(x)≤ 对任意的x∈(0,3]恒成立,
27 135 27 x
4
故实数k的最小值为 .
27
14.(2019山西晋中模拟,20)对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b-1(a≠0),若存在实数x,使f(x)=mx 成立,则称x 为f(x)关
0 0 0 0
于参数m的不动点.
(1)当a=1,b=-2时,求f(x)关于参数1的不动点;
(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有关于参数1的两个不动点,求a的取值范围;
(3)当a=1,b=2时,函数f(x)在(0,2]上存在两个关于参数m的不动点,试求参数m的取值范围.
解析 (1)当a=1,b=-2时, f(x)=x2-x-3,
由题意得x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3,
故当a=1,b=-2时, f(x)关于参数1的两个不动点为-1和3.
(2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有关于参数1的两个不动点,
∴ax2+(b+1)x+b-1=x,即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,
∴Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立,
于是Δ'=(-4a)2-16a<0,解得0<a<1,
故当b∈R且f(x)恒有关于参数1的两个不动点时,0<a<1.
(3)由已知得x2+3x+1=mx在x∈(0,2]上有两个不等实数解,
即x2+(3-m)x+1=0在x∈(0,2]上有两个不等实数解,
令h(x)=x2+(3-m)x+1,
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h(0)=1>0,
{
h(2)=11-2m≥0,
所以 Δ=(3-m)2-4>0,
m-3
0< <2,
2
11
解得5<m≤ .
2
故m的取值范围是( 11].
5,
2
思路分析 (1)当a=1,b=-2时,解方程f(x)=x即可;(2)f(x)=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,两次使用判别
式即可得到a的取值范围;(3)问题转化为x2+(3-m)x+1=0在(0,2]上有两个不等实数解,利用二次函数的图象列
不等式组可得m的取值范围.
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